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发表于 24.4.2010 20:18:47
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微分几何研究微分流形的性质,是现代数学中一主流;是广义相对论的基础,与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。8 B# J; V4 x) R s% ]
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古典微分几何起源于微积分,主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。
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现代微分几何的创始人是黎曼,他在1854年创立了黎曼几何(实际上黎曼提出的是芬斯勒几何),这成为近代微分几何的主要内容,并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。3 H+ h3 @: Y# U$ H) o
' S) l/ J% i# [! h5 Z+ B* t分支
7 y- ]) T& m: ~" J1 h1 @切触几何4 ]4 ?3 E! g, X* j6 T# H3 T
这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说,在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式α使得处处非退化。
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芬斯勒几何' ]: q0 o6 N. E- S7 c, H
芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形,也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。
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2 l; J* o" J. U a9 B1 ~黎曼几何* E, D" {' s$ s+ p' E( A
黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形,他们因此无穷小的看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度,散度,曲线的长度等概念得到了推广;而无须假设空间整体上有这么对称。" t) ?% A4 B5 J7 ?- q
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辛几何0 O) f* L; u! n: @6 ]
这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式(也就是,一个闭的非退化2-形式)的微分流形。
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