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发表于 24.4.2010 20:18:47
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$ q$ A& Q6 J4 N, _! |( L微分几何研究微分流形的性质,是现代数学中一主流;是广义相对论的基础,与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。
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{' I7 i8 J; ]: H# C. k3 `) ^, o0 m古典微分几何起源于微积分,主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。. p; W( f0 e9 H- o: O) E
3 S; V& k1 p5 l, b5 H+ N0 J
现代微分几何的创始人是黎曼,他在1854年创立了黎曼几何(实际上黎曼提出的是芬斯勒几何),这成为近代微分几何的主要内容,并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。0 F* S! t' t/ a& L% t
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分支1 P. a1 I2 n& t' V, a1 I. w( @
切触几何5 @5 [3 M8 f9 L1 F. N. f. A. `
这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说,在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式α使得处处非退化。
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芬斯勒几何
\( `! {( ^7 _4 I0 [$ H8 z芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形,也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。) m8 @' K- |! ~# h, J- G' M( h" \
g9 i: d) \! r- w/ }2 |黎曼几何5 ]0 V! @9 r' o& l" U
黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形,他们因此无穷小的看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度,散度,曲线的长度等概念得到了推广;而无须假设空间整体上有这么对称。* o: L0 i' y( I
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辛几何3 Q% r% H$ }' J2 G% F$ g' Y! ]3 x
这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式(也就是,一个闭的非退化2-形式)的微分流形。) l% J! s. X& R& W D
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