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发表于 24.4.2010 20:18:47
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5 C' @8 D# E! r6 ~- H4 q( b; H1 {微分几何研究微分流形的性质,是现代数学中一主流;是广义相对论的基础,与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。& f! d2 X# R! K. ^7 B0 {8 P5 V. s( Z
1 y, D/ ]. ?) v# T d. ]4 ?6 a, f古典微分几何起源于微积分,主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。7 o+ g: o; Z2 U; e
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现代微分几何的创始人是黎曼,他在1854年创立了黎曼几何(实际上黎曼提出的是芬斯勒几何),这成为近代微分几何的主要内容,并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。
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3 Y5 c2 H8 h2 T) i7 z分支! |" G/ H' A D4 q
切触几何
1 m4 N5 d4 ^5 J4 [, y这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说,在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式α使得处处非退化。. a5 d3 P4 l* o6 J5 C0 _# r8 V
' A3 h3 p; T5 u7 m芬斯勒几何- u6 P& W2 J# E4 P
芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形,也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。4 q; b( Z' X; U* ?
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黎曼几何( |! o- a0 w* p' b9 ~- P; H
黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形,他们因此无穷小的看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度,散度,曲线的长度等概念得到了推广;而无须假设空间整体上有这么对称。
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辛几何
* c0 ^3 v0 C! T+ ?, X( v这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式(也就是,一个闭的非退化2-形式)的微分流形。# x' q9 R+ G& O5 a8 F3 \
2 C" ]7 h9 S$ p Q( }信息几何 |
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