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发表于 24.4.2010 20:18:47
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微分几何研究微分流形的性质,是现代数学中一主流;是广义相对论的基础,与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。! ^+ Y' F* k% Y5 m
4 |, u5 b8 w# E. B/ h- X# y( I古典微分几何起源于微积分,主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。
1 Y3 e& H" @# r0 g s, @( g8 E- f. O- y9 Y; X' i6 P
现代微分几何的创始人是黎曼,他在1854年创立了黎曼几何(实际上黎曼提出的是芬斯勒几何),这成为近代微分几何的主要内容,并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。
* x. S7 v" M. Z
r J7 p4 K! F分支$ n* t- j) x' G( G
切触几何
* l. x4 V2 I2 G1 [这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说,在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式α使得处处非退化。
7 J. H+ u7 a; M2 U
9 Y- N0 ]5 S* I0 R$ W1 L芬斯勒几何6 g$ {, h: F4 ^) {
芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形,也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。- o( s1 ]9 K: k/ E6 u& f7 ]
7 d' \( V' b& @9 O4 d' ]9 \( b
黎曼几何9 x! U- P, K7 I, r. `
黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形,他们因此无穷小的看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度,散度,曲线的长度等概念得到了推广;而无须假设空间整体上有这么对称。# `6 {: {; ~2 j; c4 B; D
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辛几何
' o7 s) \5 L' \. q5 m这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式(也就是,一个闭的非退化2-形式)的微分流形。- }4 j+ r9 m4 ^/ \+ B% v
' m0 t2 ] H) ^( s4 q+ A3 `. a信息几何 |
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