大家谈谈数学的重要性吧?

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2 R; h' a0 D$ Z) o* [抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间和代数。这些代数结构中，有的在19世纪就已经被给出了正式的定义。事实上，对抽象代数的研究是应数学更严格化的要求而发展起来的。对抽象代数的研究还使人们形成了对全部数学和自然科学的基础性逻辑假设（的复杂性）的整体认识，现今，几乎没有那一个数学分支用不到代数学的结论。此外，随着抽象代数的发展，代数学家们发现：明显不同的逻辑结构通过类比可以得到一个很简练的由公理构成的核心。这对深入研究代数的数学家是有益的，并赋予他们更大的本领。
& ~1 ], |3 ]- c: }! O- G5 r
6 _1 }5 h4 ]; O1 I“抽象代数”这词，是为了与“初等代数”区别开，后者教授公式和代数表达式的运算方法，其中有实数、复数和未知项。20世纪初，抽象代数有时也称为现代代数，近世代数。
- y, t5 b' f2 {$ _2 l
在泛代数中有时用抽象代数这一称呼，但作者大多简单的称作“代数”。


在过去，代数结构通常首先在数学其它学科出现，以公理(axioms)指明后在抽象代数专门研究。正因如此，抽象代数与所有别的数学学科间有许多成果丰硕的联系。
! w1 b) e/ D+ {! C( {. ]
5 i" n( z% y' i. h4 Y有一个二元运算的代数结构的例子有：

广群，
' \9 E) o4 D, Z  n拟群，
% P) S5 p) }! p$ b1 s幺半群，半群，及最重要的群。
9 ], a- W$ W& r3 c, s2 S3 x5 w( j; D8 ^更复杂的例子有：
6 j* }4 c9 {1 k! A. m
+ o. ]! `8 n1 @2 k# F: R( l环和域，
. ]' }1 c# V2 ]5 |3 X模和向量空间，
3 o# s; H* _* n( P) W- `8 M结合代数和李代数，
格和布尔代数。
在泛代数中，类似的代数结构的定义和结果都收集起来。上述各类对象，连同赋予恰当意思的同态，便构成各个范畴。很多时候范畴论提供了适当的形式语言，令各种代数结构间可以对译和比较。

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2 K1 u' n$ O5 L' L; ~5 M1 S图论（graph theory）是数学的一个分支，它以图（graph）为研究对象，研究顶点（vertex）和边（edge，又称line）组成的图形的数学理论和方法。
1 l, u8 w+ z: }# I6 t' t2 x6 S, n
图论中的图是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用顶点代表事物，用连接两顶点的边表示相应两个事物间具有这种关系。
! d. n8 ?. J; V; N5 P% y. F% z
. G, G5 F. d+ U( w. ^% m; q图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。
' e( ]) c% `: k( g( E( Y* w6 k+ k
图论的研究对象相当于一维的拓扑学。

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+ H4 `8 V4 A: h1 `7 q9 r
0 O# M1 v1 T2 D: E" j9 b) I1 q密码学（在西欧语文中之源于希腊语kryptós，“隐藏的”，和gráphein，“书写”）是研究如何隐密地传递信息的学科。在现代特别指对信息以及其传输的数学性研究，常被认为是数学和计算机科学的分支，和信息论也密切相关。著名的密码学者Ron Rivest解释道：“密码学是关于如何在敌人存在的环境中通讯”，自工程学的角度，这相当于密码学与纯数学的异同。密码学是信息安全等相关议题，如认证、访问控制的核心。密码学的首要目的是隐藏信息的涵义，并不是隐藏信息的存在。密码学也促进了计算机科学，特别是在于电脑与网络安全所使用的技术，如访问控制与信息的机密性。密码学已被应用在日常生活：包括自动柜员机的芯片卡、电脑使用者存取密码、电子商务等等。

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0 b" M. d4 Y8 u( j# C( O( @

8 [6 C2 y( o9 W8 _/ t- I, b5 W9 B
3 c5 Y, L+ q. H7 j' E: F3 Y数学物理是数学和物理学的交叉领域，指应用特定的数学方法来来研究的物理学的某些部分。对应的数学方法也叫数学物理方法。
数学和物理学的发展历史上一直密不可分。数学理论是在物理问题的基础上发展起来的；很多数学方法和工具通常也只在物理学中找到实际应用。

# N$ r9 L/ k. A主要内容

: Z9 F8 D' C0 C& d  e5 \' R& K- C' G微分方程的解算：很多物理问题，比如在经典力学和量子力学中求解运动方程，都可以被归结为求解一定边界条件下的微分方程。因此求解微分方程成为数学物理的最重要组成部分。相关的数学工具包括：
常微分方程的求解
) {6 I) u, K. o* ?+ a偏微分方程求解
5 G. a$ e. m; @9 A- s! J! T特殊函数
( G9 h3 W) T3 f: n+ x7 d1 s积分变换
复变函数论
# y% L, X2 q* C% C8 ]4 q场的研究（场论）：场是现代物理的主要研究对象。电动力学研究电磁场；广义相对论研究引力场；规范场论研究规范场。对不同的场要应用不同的数学工具，包括：
, N& i$ d" ^2 b* K4 x矢量分析
张量分析
微分几何
% d  \: A( \  {2 q7 r对称性的研究：对称性是物理中的重要概念。它是守恒律的基础，在晶体学和量子场论中都有重要应用。对称性由对称群或相关的代数结构描述，研究它的数学工具是：
; ~" P+ @( ^" M) U. A4 `群论
表示论
作用量（action）理论：作用量理论被广泛应用于物理学的各个领域，例如分析力学和路径积分。相关的数学工具包括：
变分法
泛函分析

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流体力学是连续介质力学的一门分支，是研究流体（包含气体及液体）现象以及相关力学行为的科学。可按研究对象的运动方式分为流体静力学和流体动力学，还可按应用范围分为水力学，空气动力学等等。理论流体力学的基本方程是纳维-斯托克斯方程，简称N-S方程。
7 B" M3 b- p3 j* h
9 Q& F& C7 Z1 n) G3 `纳维-斯托克斯方程由一些微分方程组成，通常只有通过一些边界条件或者通过数值计算的方式才可以求解。它包含速度, 压强p,密度ρ, 黏度η，和温度T等变量，而这些都是位置(x,y,z) 和时间t的函数。通过质量守恒、能量守恒和动量守恒，以及热力学方程 f(ρ,p,T)和介质的材料性质我们可以确定这些变量。

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数值分析(numerical analysis), 是数学的一个分支, 主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的算法.
3 X, Q  ~& J; G1 n$ {7 j+ ?
, L" n0 M! d. R0 Q" O: t$ U巴比伦石碑 YBC 7289 是关于数值分析的最早数学作品之一, 它给出了  在六十进制下的一个数值逼近.

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: m" b& Y6 A" ^8 U最优化，是应用数学的一个分支：

主要分支
线性规划
6 X4 g! _& w) K当目标函数f是线性函数而且集合A是由线性等式函数和线性不等式函数来确定的， 我们称这一类问题为线性规划
整数规划
2 R; p' w! _, x0 v3 R当线性规划问题的部分或所有的变量局限于整数值时， 我们称这一类问题为整数规划问题
- Q0 F- ^& C! }. C; L4 V. X二次规划
目标函数是二次函数，而且集合A必须是由线性等式函数和线性不等式函数来确定的。
非线性规划
, e" H5 C$ p( e/ y* m, C6 _研究的是目标函数或是限制函数中含有非线性函数的问题。
随机规划
" M+ I& m/ L7 j3 X  _& {* S9 n研究的是某些变量是随机变量的问题。
动态规划
+ ]- b, y1 K, K7 z4 U" r3 v研究的是最优策略基于将问题分解成若干个较小的子问题的优化问题。
组合最优化
研究的是可行解是离散或是可转化为离散的问题。
无限维最优化
. k( i. E0 Q5 S* J* Y6 O研究的是可行解的集合是无限维空间的子集的问题，一个无限维空间的例子是函数空间。

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! ~5 h9 _* l0 O1 W9 s0 |: _3 t7 G6 }
4 C+ u( S6 a, t2 O- d1 B& g/ l* n概率论是研究随机性或不确定性等现象的数学。更精确地说，机率论是用来模拟实验在同一环境下会产生不同结果的情状。典型的随机实验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。

数学家和精算师认为机率是在0至1之间之闭区间的数字，指定给一发生与失败是随机的“事件”。机率P(A)根据机率公理来指定给事件A。
. d  a% q; I& ^% q9 q  d
' m- ~; l/ D) C7 g, R# T3 S一事件A在一事件B确定发生后会发生的机率称为B给之A的条件机率；其数值为(当P(A)不等于零时)。若B给之A的条件机率和A的机率相同时，则称A和B为独立事件。且A和B的此一关系为对称的，这可以由一同价叙述：“，当A和B为独立事件时。”中看出。

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统计学是在统计实践的基础上，自17世纪中叶产生并逐步发展起来的一门社会学科。它是研究如何测定、收集、整理、归纳和分析反映客观现象总体数量的数据，以便给出正确认识的方法论科学，被广泛的应用在各门学科之上，从自然科学和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。

- k/ O! ~5 y* n! K譬如自一组数据中，可以摘要并且描述这份数据的集中和离散情形，这个用法称作为描述统计学。另外，观察者以数据的形态，建立出一个用以解释其随机性和不确定性的数学模型，以之来推论研究中的步骤及母体，这种用法被称做推论统计学。这两种用法都可以被称作为应用统计学。数理统计学则是讨论背后的理论基础的学科。

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& d$ T  M' w3 ?博弈论（Game Theory），有时也称为对策论，或者赛局理论，应用数学的一个分支, 目前在生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。主要研究公式化了的激励结构（游戏或者博弈（Game)）间的相互作用。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。也是运筹学的一个重要学科。 博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。 表面上不同的相互作用可能表现出相似的激励结构(incentive structure)，所以他们是同一个游戏的特例。其中一个有名有趣的应用例子是囚徒困境(Prisoner's dilemma)。
; l1 D# d6 }9 E+ d% ^$ R% I; m! d
( |/ O# ?& n4 I4 K/ f. p0 b具有竞争或对抗性质的行为成为博弈行为。在这类行为中，参加斗争或竞争的各方各自具有不同的目标或利益。为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。比如日常生活中的下棋，打牌等。博弈论就是研究博弈行为中斗争各方是否存在着最合理的行为方案，以及如何找到这个合理的行为方案的数学理论和方法。
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生物学家使用博弈理论来理解和预测演化（论）的某些结果。例如，John Maynard Smith 和George R. Price 在1973年发表于《自然》杂志上的论文中提出的“evolutionarily stable strategy”的这个概念就是使用了博弈理论。还可以参见演化博弈理论（evolutionary game theory）和行为生态学（behavioral ecology）。

  q  D2 T% C, U0 M0 k博弈论也应用于数学的其他分支，如概率，统计和线性规划等。