大家谈谈数学的重要性吧?

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动力系统（dynamical system）是数学上的一个概念。在动力系统中存在一个固定的规则，描述了几何空间中的一个点随时间变化情况。例如描述钟摆晃动、管道中水的流动，或者湖中每年春季鱼类的数量，凡此等等的数学模型都是动力系统。
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5 Q1 x# H% O, U1 ^* O在动力系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动力系统的演化规则是一组函数的固定规则，它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔内，从现在的状态只能演化出一个未来的状态。

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微分方程（这里指的是全微分方程）指含有微分未知数的方程。是解决偏微分方程、数理方程的基础。

微分方程是应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如受与速度成比例空气的阻力时的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

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  ?0 D% }8 n; y0 W9 u5 e7 F  h; U混沌理论（Chaos theory）是在数学和物理学中，研究非线性系统在一定条件下表现出的“混沌”现象的理论。

1963年美国气象学家爱德华·诺顿·洛伦茨提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。

混沌理论认为在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方世界流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说：
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丢失一个钉子， 坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁， 折了一匹战马； 折了一匹战马， 伤了一位骑士； 伤了一位骑士， 输了一场战斗； 输了一场战斗， 亡了一个帝国。

马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。
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布莱德福所发明之定律为书目计量学三大定律，布莱德福以应用地球物理学为例：

每区的期刊数之比9：59：258 视为10：50：250 等于1：5：25
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# h- ^2 @; G8 Y所以，推论出其公式为“y=x1+x2+x3...+xn+E”。E 即 error 混沌不明的变因，如同噪声是无法解释的。 文献计量学为何用混沌理论（chaos）？ 布莱德福试图想了解这有没有法则，他研究期刊生产力的分布比例约为1:n:n^2，它分成三区：核心区、相关区、边缘区，不同区期刊数量都是差不多。核心期刊，产出的论文数量，可能一种期刊抵过其他50种期刊。

3 m! Z: O- Z4 n: F浑沌理论亦可以运用在知识管理上，当可以解释的因素之下，不可解释的便是E，而创造就是在E上面所产生的。知识管理者所求的就是创新，在创新的空间上就是隐性知识，掌握住隐性知识便能够激发一个组织的创造力。
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3 l2 @5 G0 n! z4 _7 h7 W混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学，生物学，信息技术，经济学，工程学，金融学，哲学，物理学，政治学，人口学，心理学和机器人学
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多种系统的浑沌状态在实验室中得到观察，包括电路，激光，流体的动态，以及机械和电磁装置。

7 n& j* |4 J# n在自然中进行的有对天气，卫星运动，天体磁场，生态学中的种群增长，神经元中的动作电位和分子振动的观察。

浑沌理论最成功的应用之一在于生态学中的雷克动态综合模型，在其中显示了受密度制约之下的种群增长如何引致混沌状态。

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4 A8 D) \% g& ?- d) q( \+ ?: f复分析是研究复函数，特别是亚纯函数和复解析函数的数学理论。这些函数定义在复平面上，其值为复数，而且可微。
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5 a2 O0 c6 V$ y% p8 {6 r. n' ^, x复函数的可微性有比实函数的可微性更强的性质。例如：每一个正则函数在其定义域中的每个开圆盘都可以幂级数来表示：
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1 D% T/ f  N0 H& L1 T8 |特别地，全纯函数都是无限次可微的，这性质对实可微函数而言普遍不成立。大部分初等函数（多项式、指数函数、三角函数）都是全纯函数。

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5 b! i1 t+ k0 p3 u+ S5 R! x2 B% }* M分形一般是指“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少会大略）是整体缩小尺寸的形状”，此一性质称为自相似。分形一词是由曼德勃罗于1975年提出的，有“零碎”、“破裂”之意。

3 p# Y- S; [! `3 C分形一般有以下特质：

9 I$ l# a2 u, ]+ u8 r! U4 Y% d7 `3 d在任意小的尺度上都能有精细的结构；
太不规则，以至难以传统欧氏几何的语言来描述；
0 I! [2 c: y3 m) t' I（至少是大略或任意地）自相似
豪斯多夫维数会大于拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；
有着简单的递归定义。

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' Q/ ?, V4 `1 z, G9 V数理逻辑是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
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数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
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数理逻辑”的名称由皮亚诺（Peano）首先给出，他又称其为符号逻辑。数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。

+ U' }. u' K% h某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。

9 [+ v! y: ~- ]- ^; z5 ?2 y/ H亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。

% I7 d5 ?0 [7 f& T% O传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
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( I, ^$ J5 Y4 F- M0 m数理逻辑的重要著作有哥特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。

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  H3 i4 j; w  `& g! W4 U. ]集合论是一门研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含集合、元素和成员关系等数学中最基本的概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。

" Q0 p8 r: J7 }7 Q8 [在朴素集合论中，集合是被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。
. w0 F$ Q7 F7 u' R, W# ]6 l1 r
. k  w6 N0 L# [9 |' l# P5 B在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。

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向量分析(Vector Analysis)是数学的分支，关心拥有两个维度或以上的向量的多元实分析。它有一套方程式及难题处理技巧，对物理学及工程学特别有帮助。

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在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。

群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群（linear algebraic groups）和李群（Lie groups）作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。

群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。

群论中的重要结果，有限单群分类（classification of finite simple groups）是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。

群论在数学上被广泛地运用，通常以自同构群的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。如果在一类操作中存在不变式，那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。
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, j8 Y/ q+ g5 [8 Y阿贝尔群概括了另外几种抽象集合研究的结构，例如环、域、模。
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7 j7 @6 V' }6 S/ A在代数拓扑中，群用于描述拓扑空间转换中不变的性质，例如基本群和透射群。

李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其结合了群论和分析数学，李群能很好的描述分析数学结构中的对称性。对这类群的分析又叫调和分析。
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在组合数学中，交换群和群作用常用来简化在某些集合内的元素的计算。

; d! R- Z" H( D' S5 w: X2 q0 Q后来群论广泛应用于各个科学领域。凡是有对称性出现的地方，就会有它的影子，例如物理学的超弦理论。

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* P- s+ ]# M5 ^' Z2 E5 X1 x! z& g
序理论是研究捕获数学排序的直觉概念的各种二元关系的数学分支。

次序无所不在——至少在数学和相关领域比如计算机科学是这样。你典型遇到的第一个次序是小学数学教育中的自然数的≤次序。这个直觉概念很容易扩展到其他数的集合的排序，比如整数和实数。实际上大于或小于另一个数的概念一般是数系统的基本直觉（尽管你通常还感兴趣于两个数实际的差，它不能由这个次序给出）。排序的另一个非常熟悉的例子是词典中词典次序。
7 p4 y- P5 q8 ^0 a2 [: A7 Q
; G% ]" [' Z  s* Z: Y& [2 N4 z上述类型的次序有特殊性质: 每个元素都是可以“比较”于另一个元素，就是说，它或者大于、或者小于、或者等于另一个元素。但是，这不总是想要的要求。一个周知的例子是集合的子集排序。如果一个集合 A 包含集合 B 的所有元素，则 B 被称为小于等于 A。然而有些集合不能在这种方式来比较，因为其中每个都包含在其他集合中不存在的某些元素。所以，子集包含是偏次序，对立了前面给出的全次序。
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序理论在一般性架构下捕获了上述例子引发的直觉次序。这是通过指定关系≤必须是数学上次序的一些性质来完成的。这种更加抽象的方式更有意义，因为你可以从一般性架构推导出各种定理，而不用关心任何特定次序的细节。这种洞察可以容易的转换到很多具体应用中。
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+ A' Y0 v! v4 j- D! t" n! b8 l5 n由次序的各种实践使用所驱动，已经定义了多个特殊种类的有序集合，其中某些已经发展出自己的数学领域。此外，序理论不限制于各种种类的排序关系，还考虑在它们之间的逼近函数。函数的序理论的性质的一个简单例子来自在数学分析中常见的单调函数。