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在数学和抽象代数中,群论研究名为群的代数结构。
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群在抽象代数中具有基本的重要地位:许多代数结构,包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现,而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群(linear algebraic groups)和李群(Lie groups)作为群论的分支,在经历了重大的发展之后,已经形成相对独立的研究领域。- C5 g8 b9 m+ I' h3 R" Q
% u _9 c1 I! Z6 c5 ~ h群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中,因为许多不同的物理结构,如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。9 M/ o3 w6 F; H6 J( |
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群论中的重要结果,有限单群分类(classification of finite simple groups)是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果,它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。1 A, g; `: I# ?. j
/ p2 R6 v+ o, N1 T5 ^- Q" F0 Q群论在数学上被广泛地运用,通常以自同构群的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。如果在一类操作中存在不变式,那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。. Y9 K$ G7 I/ X( W1 R8 f! a# Q
7 b" L: U$ L: U/ [3 I阿贝尔群概括了另外几种抽象集合研究的结构,例如环、域、模。
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在代数拓扑中,群用于描述拓扑空间转换中不变的性质,例如基本群和透射群。; `5 l( Z7 }( |
0 e( E, [; A: E李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色,因其结合了群论和分析数学,李群能很好的描述分析数学结构中的对称性。对这类群的分析又叫调和分析。4 j: w# c* D6 m! h+ i8 C5 Z
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在组合数学中,交换群和群作用常用来简化在某些集合内的元素的计算。0 T. L4 H G) D6 b0 ^/ P! q
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后来群论广泛应用于各个科学领域。凡是有对称性出现的地方,就会有它的影子,例如物理学的超弦理论。 |
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