中外著名的数学家

extras · 发表于 23.4.2010 23:57:58

巴拿赫

　　巴拿赫，S．(Banach，Stefan)1892年3月30日生于波兰的克拉科夫；1945年8月31日卒于苏联乌克兰加盟共和国的利沃夫．数学．
　　巴拿赫的父亲是一名铁路职员，母亲将幼年的巴拿赫托付给一位洗衣女工．这位洗衣女工成了巴拿赫的养母，巴拿赫的姓是养母给起的．
　　巴拿赫的童年过着清苦的生活．早在14岁那年他就不得不到私人家里讲课以养活自己．1910年中学毕业后曾自修数学，并到雅各龙大学听过一个短时期的课．后来就读于利沃夫工学院．第一次世界大战使他中断了学业，重回克拉科夫．这时他虽然丧失了接受正规数学训练的机会，但仍不断钻研数学．他靠自学和同数学家交谈获得许多数学知识．这些数学家包括O．尼可丁(Nikodym)和W．威尔可兹(Wilkosz)等人．比巴拿赫年长5岁的H．斯泰因豪斯(Steinhaus)也在这时和他相识．斯泰因豪斯回忆说：“1916年的一个夏夜，我在克拉科夫旧城中心附近的花园里散步，无意中听到一段对话，确切地说只听到勒贝格积分等几个词，这吸引我跨过公园的长凳和两位谈话者相见，他们正是巴拿赫和尼可丁．”
　　巴拿赫和斯泰因豪斯在这次夏夜的结识，对他们的一生影响甚大．那晚斯泰因豪斯曾提到一个有关傅里叶级数收敛性的问题，说他研究多时尚未解决．仅仅几天之后，巴拿赫就找到了答案，这使他们俩紧密合作，并在1917年联名写了一篇论文，两年之后发表在《克拉科夫科学院会报》(Bulletin of the CracovAcademy)上，这也是巴拿赫的第一篇论文．
　　这篇论文引起人们的注意．1920年，利沃夫工学院的罗姆尼斯基(Lomnicki)教授将未经大学正规训练的巴拿赫，破格聘用为他的助教．同年，巴拿赫向利沃夫的简·卡齐米尔兹大学提交了他的博士论文，题为“关于抽象集合上的运算及其在积分方程上的应用” (Sur les opérations dans les ensembles abstraits etleur application aux équtions intégrales)，由此取得博士学位．这篇论文发表在1923年的《数学基础》(Fundamenta Mathematicae)第3卷中．人们有时把它作为泛函分析学科形成的标志之一．
　　1922年，巴拿赫以一篇关于测度论的论文取得讲师资格，同年升为副教授．1927年在利沃夫工学院升为正教授．然而早在1924年，他已是波兰科学院的通讯院士了．
　　巴拿赫在利沃夫大学的教学与科学活动，使他成为泛函分析方面的世界权威，一群才华出众的青年人聚集在他的周围，其中包括日后成名的S．马祖尔(Mazur)，W．奥尔里奇(Orlicz)，J．肖德尔(Schauder)以及S．乌拉姆(Ulam)等人．在巴拿赫和斯泰因豪斯的指导下，迅速形成了利沃夫数学学派．1929年，在利沃夫创办了关于泛函分析的专门杂志《数学研究》(Studia Mathe-matica)，至今仍在世界上享有盛誉．
　　巴拿赫的教学任务也很繁重．他花了许多精力写大学教材和中学教材，其中有一本关于力学的书很受欢迎．
　　1932年，巴拿赫的名著《线性算子论》(Théorie des opéra-tions linéaires)作为《数学丛书》(Monografie Matematyczne)的第一卷刊行于世．这部著作总结了到那时为止的有关赋范线性空间的所有成果，成为泛函分析方面的一本经典著作．书中提到的线性泛函延拓定理、共鸣定理、闭图象定理，使全世界分析学家看到泛函分析的威力．该书中的全部术语已被广泛采用，而完备的赋范线性空间被后人称为巴拿赫空间．
　　由于巴拿赫在泛函分析方面的杰出贡献，1936年在奥斯陆召开的国际数学家大会邀请他作大会报告．从1939年到1941年，他是利沃夫大学的校长．1939年被选为波兰数学会主席．他还是苏联乌克兰科学院的院士．
　　在法西斯德国占领波兰时期，他的境况很糟．为了维持生计，曾到威格尔(Weigel)教授的研究所充当一名寄生虫饲养员．那里生产的抗伤寒病的疫苗，有一些曾被秘密送到波兰地下武装手中．1944年秋天，利沃夫城被苏联红军解放，巴拿赫回到大学工作．不幸的是，由于战时的贫困和受到法西斯摧残，他的健康状况恶化，加上胃癌的侵袭，终于在1945年8月31日与世长辞．为了表示对这位杰出数学家的悼念，1960年在波兰召开的泛函分析国际会议上，举行了纪念巴拿赫的仪式．1967年出版了巴拿赫全集(Oeuvres)．1972年1月13日，华沙成立了巴拿赫国际数学中心(S．Banach International Mathematical Center)．
　　泛函分析学科是20世纪数学的最重要分支之一，它是通常的、以微积分为主体的经典分析的自然推广．如果说函数是数集与数集之间的对应关系，那么泛函则是函数集与数集之间的对应关系，而算子则是函数集与函数集之间的对应关系．例如，如果用C[a，b]表示［a，b］上于g的积分算子K(由核K(x，y)所决定)，泛函分析正是在这样的背景上发展起来的．
　　相对于以n个坐标表示的点x=(x1，x2，…，xn)构成的n维欧氏空间Rn来说，函数空间可以看成无限维空间，其中的元素x有无限多个坐标，例如，对于一个在［0，2π］上可积的函数(x)，可以得到一列傅里叶系数(a0，a1，
　　可以用相应的傅里叶级数来表示f(x)．所以函数空间的研究使数学从有限维跨入无限维，泛函分析也可以说成是无限维空间上的分析学．
　　函数空间的研究始于本世纪初，法国数学家M．弗莱歇(Fréchet)于1906年提出线性距离空间的概念，德国大数学家D．希尔伯特(Hilbert)在研究积分方程时，引入了线性内积空间．巴拿赫研究的则是线性赋范空间，这是介于线性距离空间和线性内积空间之间的一类无限维空间．众所周知，在有限维空间情形向量a和b之间可以有内积：(a，b)=|a||b|cosθ，θ是向量a和b之间的夹角，(a，b)=0说度|a|，就可定义a和b之间的距离ρ(a，b)=|a-b|．巴拿赫研究的赋范空间，就是给每个元素赋以一个范数，它相当于通常的长度．例
但可以证明C［a，b］中不可能定义内积，使之构成线性内积空间．
　　完备的线性内积空间称为希尔伯特空间，它和巴拿赫空间构成泛函分析中最重要的两种空间．由于可数维的希尔伯特空间都和平方可和数

较单一，但是巴拿赫空间的结构十分复杂，因此近几十年来，研究巴拿赫空间结构的数学分支“巴拿赫空间几何”得到迅速发展．
　　任何一门学科都有几个基本定理，泛函分析也不例外．其中最基本的两个定理都和巴拿赫有关．
　　第一个定理是线性泛函延拓定理(即汉(Hahn)-巴拿赫定理)．它保证在一个线性子空间上的线性泛函能够延拓到全空间上．这一问题起源于n维欧氏空间Rn上的矩量问题．巴拿赫在1920年提交的博士论文中，用几何语言将它推广到无限维空间．1922年，O．汉发表的论文也独立地得出类似结果．1927年，O．汉将结果更一般化．1929年，巴拿赫独立地给出同样的现在普遍使用的线性泛函延拓定理．该定理保证在无限维空间上有足够多的线性连续泛函可供研究，因而是线性泛函分析的一块基石．
　　另一个基本定理是巴拿赫-斯泰因豪斯定理．这个定理又称为“一致有界性原理”，是1927年以两个人名义在《数学基础》第9卷上发表的．它断言，在巴拿赫空间X上，如果有一列算子(或泛函)Tn，能对每个x∈X，数列‖Tnx‖(n=1，2，…)都有上界Cx，那么必存在常数C，有界．这显然是由各点x的局部有界性推广到在一个单位球上整体地一致有界性的深刻定理．这一定理的逆否形式称为共鸣定理．它是说，如果对一列算子或泛函Tn(n=1，2，…)，存在元素列xn，‖xn‖≤1(n=1，2，…)，使得‖Tnxn‖关于n无界，那么必至少存在一个公共的x，使‖Tnx‖关于n也无界，这就是共鸣的含意．
　　由一致有界性原理立即可以推出在微分方程中十分有用的闭图象定理．此外，一致有界性原理在经典分析中有许多应用，例如，在三角级数中有一个著名的问题：任何连续函数的傅里叶级数是否必收敛于自身？答案是否定的．经典的证明很复杂，但用共鸣定理很快就得出答

(fn，x)|无界，然后由共鸣定理知存在公共的f0，使|Fn(f0，x)|无界．这就是说，确实存在一个连续函数f0(x)，它的傅里叶级数在点x处不收敛．这种存在性的证明，很能显示出巴拿赫-斯泰因豪斯定理的威力．
　　关于泛函的一致有界性原理早在1922年就被O．汉所证得，他用的是所谓“滑动驼峰法”．1927年，巴拿赫和斯泰因豪斯发现该原理成立的关键在于完备距离空间必定是R．贝尔(Baire)意义下的第二纲集，这是一个深刻的揭示．此外，他们把该原理推广到任意一族线性算子的情形．由于这个原因，现在教科书上也把一致有界性原理称作巴拿赫-斯泰因豪斯定理．
　　巴拿赫另一个著名的成果是压缩映象原理．它断言，对于在完备距离空间上的映射f，如果空间中任两元素x和y的距离d(x，y)经映射后能得到压缩，即d(f(x)，f(y))≤ad(x，y)，0＜a＜1，则f必有一个不动点z，即使得f(z)=z．这一原理有着广泛的应用，日后又为许多数学家所推广．它的最原始形式出现在1920年的巴拿赫的博士论文中．
　　巴拿赫空间X上的线性连续泛函全体也构成巴拿赫空间，记为X*．设有X中的点列{xn}和x0，如果对任何f∈X*都有f(xn)→f(x0)，就说xn弱收敛于x0．巴拿赫对此作了详尽而深入地考察，这成为后来的线性拓扑空间理论及对偶原理的一个先导性工作．
　　巴拿赫的研究范围不只限于泛函分析，他在正交级数、拓扑学、集合论等方面都有许多建树，其中有两项工作对后来影响很大．
　　1924年，巴拿赫和A．塔斯基(Tarski)发表“关于将一些点集分割为彼此全等部分的分解”(Sur la decomposition des ensem-bles de point en parties respectivement congruents)一文，其中有一结果被称为分球怪论．它是说，在三维或更高维的欧氏空间中，任何两个有界的含有内点的集合(比如两个不同半径的球)总可以分别分割为同等数目的子集，使得它个保距的双射，这个结果等于说两个不同半径的球，在某种意义下可以全等．这和通常的直观感觉相违背，因而被称之为“怪论”．产生怪论的原因是用了选择公理(对集族Aα(α∈I)，必存在集合S，使S∩Aα=aα，α∈I)．由于不用选择公理将使数学内容大为贫乏，所以现今的大多数数学家仍坚持使用选择公理．然而，如何消除这一“怪论”，眼下尚无妥善办法．正因为如此，分球怪论受到数学家的广泛重视．
　　巴拿赫在泛函分析之外的第二个重大贡献是测度问题．所谓测度，乃是通常的长度、面积、体积概念的推广．巴拿赫提出问题：在n维欧氏空间中，能否给所有的有界子集M都指派一个非负实数A(M)作为测度，使得满足
　　(i)有限可加性：M1，M2为有界子集，彼此不相交，则

A(M1∪M2)= A(M1)＋ A(M2)；

　　(ii)运动不变性：若M1与M2在欧氏几何意义下全等，则A(M1)=A(M2)；
　　(iii)正则性：当M为普通的几何图形(如正方体)时，A(M)即为通常的n维体积．
　　这就是所谓“较易测度问题”，巴拿赫证明，当n≥3时这一问题是无解的．这可用分球怪论直接推得．至于n=1和n=2情形，则问题有解．巴拿赫还讨论过较难测度问题，那是将条件(i)改为可列可加性：
　　(i′)对一列两两不相交有界集合M1，M2，…，Mn…，总有

　　巴拿赫又证明能满足(i′)(ii)(iii)的A(M)是不存在的，不论n为1，2，3，…都是如此．
　　由于这些工作都涉及数学的基本问题之一：是否每个集合都可测？其答案又出乎人们的意料之外，因而一直受到世人的重视．
　　巴拿赫不仅自己在科学上作出了巨大贡献，而且培育了一大批青年数学家，为形成强大的利沃夫泛函分析学派奠定了基础．他培养青年的方式中有一种很特别，这就是“咖啡馆聚会”．当年利沃夫学派的一个年青学者S．乌拉姆(后来去美国定居，在二次大战中参与原子弹的研制)，曾写过一篇文章，题为“回忆苏格兰咖啡馆”，其中写道：“巴拿赫一天生活中有相当多的时间消磨在咖啡馆，当有同事和年轻同行围坐时，他可以滔滔不绝地讲上几个钟头．…咖啡桌跟大学研究所和数学会的会场一样，成了爆发数学思想火花的圣地．”“在苏格兰咖啡馆(利沃夫城内一间受数学家欢迎的咖啡馆)的频繁聚会中，数学家提出了各种问题．有时问题很多，大家觉得应该记录下来，于是在咖啡馆内专门准备了记录本，以便随时使用(咖啡馆的侍者也乐意给以方便，因为这免得他们擦洗涂在桌上的数学式子)．于是，这些记录本就产生了一部传奇式的书：‘苏格兰书’．由于提问者当时或后来都很著名，使得这些记录具有重要的科学与历史价值，而且具有一种引起人们求知欲望的力量．由于巴拿赫夫人的功劳，这些‘苏格兰书’免遭战火，奇迹般地保存了下来”．此书后来由E．马尔采夫斯基(Marczewski)和斯泰因豪斯负责编辑出版．原稿由巴拿赫的儿子(一位博士)献给了巴拿赫国际数学中心．
　　斯泰因豪斯在描绘巴拿赫个性时曾指出，巴拿赫所处的那个时代，波兰科学家还受到宗教那种殉道观念的束缚，即知识分子应当远离尘世的欢乐，象苦行僧那样清贫寡欲．但巴拿赫没有向这种观念屈服，不愿做圣徒的候选人．他是一位现实主义者，甚至到了接近玩世不恭的程度．他强调自己祖先的山民血统，并对那些无所专长的所谓有教养的知识分子持蔑视态度．
　　巴拿赫恰好在第二次世界大战结束时去世，这使人们不胜惋惜．斯泰因豪斯在回忆巴拿赫时这样写道：“他最重要的功绩乃是从此打破了波兰人在精确科学方面的自卑心理，…他把天才的火花和惊人的毅力与热情熔为一体．”

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维诺格拉多夫

　　维诺格拉多夫，1891年9月14日生于俄国西部普斯科夫省大卢基县的米洛留勃村；1983年3月20日卒于莫斯科．数学．
　　维诺格拉多夫的父亲是米洛留勃村墓地教堂的一名牧师，母亲是一名教师．维诺格拉多夫从小就表现出绘画的才能．当时牧师的孩子通常是进教会学校读书，而他的父母却一反惯例，于1903年送他到大卢基城的一所主要是讲授自然科学、现代语言及绘画的实科中学去就读．1910年他中学毕业后，进入首都彼得堡(1914—1924年间改称彼得格勒；后又更名为列宁格勒)的彼得堡大学的物理数学系学习，1914年毕业．在该系著名学者Я．B．乌斯宾斯基等人的影响下，维诺格拉多夫对数论产生了浓厚的兴趣．1915年，由于他关于二次剩余及非剩余分布问题所获得的研究成果，经B．A．斯捷克洛夫推荐，授予他一项奖学金，此后他成功地通过了硕士学位．1918—1920年，维诺格拉多夫先后在国立彼尔姆大学及苏联东欧部分的莫洛托夫大学任教，先任副教授，后担任教授．1920年底，他回到彼得格勒，任彼得格勒工学院教授及彼得格勒大学副教授．在彼得格勒工学院他开设高等数学课，在彼得格勒大学他开设数论课，这门课就成了他后来所著《数论基础》一书的基础．1925年他升任列宁格勒大学教授，并担任该校数论及概率教研室主任．
　　1929年1月他当选为苏联科学院院士，这标志着他开始进入国家级的科学活动组织者及管理人才的行列中．他与C．И．瓦维洛夫共同制订了对科学院物理-数学研究所进行重大改组的计划．1930—1932年他出任人口统计研究所所长，1930—1934年任物理-数学研究所数学部主任．1934年，物理-数学研究所分为两个所：列别捷夫物理研究所与斯捷克洛夫数学研究所．维诺格拉多夫被任命为斯捷克洛夫数学研究所第一任所长，直到去世前，他一直担任这一职务．其间，苏联科学院从列宁格勒迁往莫斯科，斯捷克洛夫数学研究所即建在瓦维洛夫大街上．1950年起，他任《苏联科学院通报》数学组主编，1958年起任全苏数学家委员会主席．他始终对数学教育有极大的兴趣，直到去世前一直任全苏中学数学改革委员会主席．
　　维诺格拉多夫中等身材，体格异常健壮．即便到90高龄，他也从不坐电梯去办公室，且步履十分矫健．他与人谈话常用俄语，但能说一口相当熟练的英语．他一生中只有很少几次出国参加活动．其中有两次出访联合王国，一次是1946年参加英国皇家协会主办的牛顿纪念活动，另一次是参加1958年的爱丁堡国际数学家大会．维诺格拉多夫十分好客，待人诚挚体贴．1971年借祝维诺格拉多夫80寿辰之机，在莫斯科举行了一次学术讨论会．维诺格拉多夫自费主办了一次宴会，邀请与会的国内外数学家参加，他亲笔填写了每份请帖，对每位客人都给予了热情的款待．
　　维诺格拉多夫一生中被20多个外国科学院及科学协会等机构授予院士、名誉院士、会员、名誉会员等称号．1939年被授予伦敦数学会名誉会员称号，1942年当选为英国皇家学会外籍会员．他一生还多次荣获苏联政府及苏联科学院等颁发的勋章及荣誉称号．其中计有：
　　社会主义劳动英雄(2次)，列宁勋章(5次)，锤子与镰刀勋章(2次)，十月革命勋章，斯大林奖金(现改称国家奖金)，列宁奖金，罗蒙诺索夫金质奖章，其中罗蒙诺索夫金质奖章是苏联科学院的最高奖．

波利亚-维诺格拉多夫不等式

　　设m≥1为给定的整数，a，b为两个整数．若a—b可被m整除，则记m|(a—b)，称m为模，并称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)．对固定的模m，同余关系是一个等价关系．把对模m同余的所有整数归为一类，称为模m的一个剩余类，则全体整数恰可分成m个不同的剩余类．从每一类中取一代表元组成的集合称为模m的一个完全剩余系．对剩余类可以很自然地定义类的加、减、乘法，它们与整数的加、减、乘法有完全类似的性质．
　　设m=p≥3为素数，f(x)=anxn+…a1x＋a0是一个n≥1次整系数多项式．若x0满足同余方程
　　f(x)≡0(modp)， (1)
　　易见一切满足t≡x0(modp)的t皆满足(1)，它们称为(1)的一个解．与代数基本定理对应，我们有如下定理．
　　定理(拉格朗日)若an(modp)，则(1)至多有n个解．
　　当n=2时，求解(1)可以归结为求解特殊形式的二次同余方程
　　x2≡a(modp)． (2)
　　A．M．勒让德(Legendre)首先定义了如下的符号，此即初等数论中著名的勒让德符号：
　　
　　非剩余(即平方非剩余)．在模p的一个完全剩余系｛1，2，…，p｝中，易见除p外，二次剩余与非剩余各占一半，故

　　实际上，对任何整数N均有

　　这表明在模p的一个完全剩余系里，二次剩余与非剩余个数总是相等．一个自然的问题是：对任意整数N及任给正整数M，当a取遍区间[N＋1，N+M]中的整数时，其中二次剩余及非剩余的分布情况如何？(3)表明其中二次剩余与非剩余的个数之差为

　　由(5)知不妨可设1≤M＜p／2．维诺格拉多夫证明了

　　上式表明，当区间长度M适当大时，其中二次剩余与非剩余的个数相差甚少．正是由于这项研究成果，1915年他被授予一项奖学金，并被批准留校攻读学位．
　　勒让德符号实际上是以p为模的一种实原特征，它是更为广泛的狄利克雷(Dirichlet)特征χq(a)的特例，这里q是特征的模．1918年，维诺格拉多夫与波利亚互相独立地证明了：若χq(a)是以q为模的一个原特征，则对任何整数N≥1皆有

　　若χq(a)为非主特征，则有

　　这些不等式统称为波利亚-维诺格拉多夫不等式．
　　1977年，H．L．蒙哥马利(Montgomery)与R．C．沃恩(Vaughan)在假设广义黎曼猜想(简记为GRH)成立的条件下证明了：对非主特征有

　　而R．E．A．C．佩利(Paley)于1932年就构造出一列无穷多个不同的二次特征χqj(j=1，2，…)，使得

　　因此，(7*)与最好可能的结果(7.1)相比已经相当接近．
　　设n2(p)＞1为模p的最小二次非剩余．1919年，维诺格拉多夫利用(7)及素数分布的简单性质证明了

　　他猜想对任给ε＞0有n2(p)=O(pε)，他还猜想对任给ε＞0有安克尼(Ankeny)证明了：若GRH成立，则有n2(p)=O(ln2p)．对于后一猜想，1967年P．D．T．A．埃利奥特(Elliott)证明了它是GRH的一个推论．这两个猜想迄今仍未获得证明．他关于二次及高次剩余分布、原根与指数分布等问题的许多结果已被D．A．伯吉斯(Burgess)等人加以改进．有关结果请见W．纳基耶维奇(Narkiewicz)所写专著第Ⅱ章及其他文献．

类数均值公式及格点问题

　　设a，b，c为取定的整数，称二次齐次式

f(x，y)=ax2＋bxy＋cy2

　　为一个二元二次型，简记为{a，b，c}，称d=b2-4ac为其判别式．若(a，b，c)=1，则称{a，b，c}为本原二次型，简称原型，这里(a，b，c)表a，b，c三数的最大公约数．
　　设给定两个型{a1，b1，c1}与{a2，b2，c2}，其变量分别为x，y及u，v．若有一个整系数变换

　　使{a1，b1，c1}变为{a2，b2，c2}，则称它们是相似型．易证相似是二次型的一种等价关系．利用它可将判别式为d的所有本原二次型分成两两不相交的等价类．用h(d)表示把判别式d的本原二次型所分成的等价类的个数．容易证明，对每个判别式d，h(d)皆有限．
　　对判别式为-d＜0的正定型，F．高斯(Gauss)在其所著《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae，1801)一书第302篇中不加证明地给出一个渐近公式

　　
　　1865及1874年，R．李普希茨(Lipschitz)与F．默滕斯(Mertens)先后得到(8)式的第一项(参见P．巴赫曼(Bachma-nn)著《解析数论》(Die analytische Zahlentheorie，1894)二卷十三章§16)，但他们的方法均未能得到第二项主项．
　　1917年，维诺格拉多夫给出了研究算术函数渐近表示中余项估计这一难题的一个新方法，它比Г．沃罗诺伊于1903年提出的方法简单，且能获得几乎相同的结果．维诺格拉多夫新方法的重点在于如下的所谓“第一基本公式”：
　　设k≥1，A＞29，R＞Q皆为实数，函数f(x)在区间[Q，R]中二阶可微且满足

　　则有

　　其中｛y｝表示实数y的小数部分，而

　　由此并利用上述李普希茨文章中的一个恒等式

　　即证得(8)式，并得到
　　R(n)＝O(n5/6(ln n)2/3)， (13)
　　其中μ(m)为麦比乌斯(Mbius)函数，F(m)为满足某些不等式组的整值解组数．1963年他得到
　　R(n)=O(n2/3(lnn)6)， (14)
　　这一纪录至今未被打破．
　　维诺格拉多夫的第一基本公式可以解释成为关于由

x=Q，x=R，y=f(x)，y=0

　　所围成的平面区域内的整点个数的一个命题．1925年V．雅尼克(Jarnik)证明了，(11)已是基本上最好可能的结果．由是可知，维诺格拉多夫方法可用于处理域内整点问题．设p(x)表示落在球

u2＋v2+w2≤x

　　中的整点个数．1963年维诺格拉多夫证明了

　　这仍是目前已知最好的结果．

华林问题

　　1770年，E．华林(Waring)在《代数沉思录》(Meditationesalgebraicae)第204—205页上发表了如下的猜想：
　　每个自然数皆可表为四个整数的平方和，皆可表为九个非负整数的立方和，皆可表为十九个整数的四次方之和，等等．
　　综观其言，他实质上提出了如下的问题：对每个给定的整数k≥2，是否存在一个只与k有关的正整数s=s(k)，使每个正整数皆可表为至多s个非负整数的k次方之和？求最小正整数s(k)=g(k)，使每个正整数皆可表为g(k)个非负整数的k次方之和，此即著名的关于g(k)的华林问题．若不要求这种表示对每个正整数成立，改为要求对充分大的正整数皆成立，又以G(k)表示满足这种要求的最小的s(k)，估计G(k)的上界即著名的关于G(k)的华林问题．
　　1909年，D．希尔伯特(Hilbert)首次用多重积分证明了A．胡尔维茨(Hurwitz)提出而未能证明的一个恒等式，由此即得：对形如k=2c的幂k，华林问题中的s(k)是存在的．由此再用初等方法可对一般性的k证明s(k)的存在性．但希尔伯特方法所得s(k)之数值太大，方法也相当复杂，在近代数论的发展中没有找到进一步的应用．
　　1920—1928年间，G．H．哈代(Hardy)与J．E．李特伍德(Littlewood)在总标题为“‘Partitio numerorum’的若干问题”(Some problems of“Partitio numerorum”)的七篇论文中，系统地开创并发展了解析数论中一个新方法，此即当今著称的哈代与李特伍德的圆法．而在哈代与S．拉马努金(Ramanujan)1918年发表的一篇论文中已经有了圆法的思想．
　　1924年，维诺格拉多夫对希尔伯特关于华林问题的结果给出一个新证明，它相当初等，只用到傅里叶(Fourier)级数及外尔(Weyl)估计三角和的方法，而没有用圆法．E．兰道(Landau)在《数论导引》(Vorlesungen ber Zahlentheorie，1927)第一卷第六部分第五章指出，维诺格拉多夫的方法可用于求g(k)的相当满意的上界．1936年L．E．迪克森(Dickson)与S．S．皮莱(Pillai)相互独立地得到g(k)问题近乎最后的解决，其中证明的关键部分有赖于对维诺格拉多夫方法的应用．
　　在哈代与李特伍德上述系列文章的Ⅳ中证明了：若s≥(k-2)2k-1+5，k≥3，Rs(n)是n表为s个k次方之和的表法数，则对充分大的n有

　　其中(n)大于某个正常数．由是他们首次得出显式上界
　　G(k)≤(k-2)2k-1+5． (17)
　　在1925年发表的Ⅵ中，他们纠正了上文中一个引理证明中的错误并得到：对k≥4有
　　G(k)≤(k-2)2k-2+k+5

　　他们的方法是考虑无限和

　　及其s次幂

　　由柯西积分公式有

　　C是以原点为圆心，半径为ρ(0＜ρ＜1)的圆周，他们在s≥s0(k)且n充分大时找到一种渐近计算积分(19)的方法．
　　1928年，维诺格拉多夫改为考虑有限和

　　及其s次幂

　　这里e(x)=e2πix，N=［n1/k］，而Rs(m，n)是m表为s个不超过N的非负整数k次幂和的表法个数．易见

　　由此他也导出了(16)，并证明了(17)．这大大简化了哈代与李特伍德的方法，也为解决数论中各种困难的问题开辟了一条更为广阔的道路．此后，他多次回到这一问题．他关于渐近公式成立时G(k)上界的最后结果是
　　G(k)≤2k2(2lnk＋ln lnk+5)(k≥4)． (23)
　　如果放弃渐近公式(16)而只证Rs(n)＞0，则可得到G(k)的好得多的上界．1934年，维诺格拉多夫第一个获得阶为klnk的上界
　　G(k)＜6klnk+(ln216+4)k(k≥4)． (24)
　　显然可证有
　　G(k)＞k， (25)
　　故(24)中的阶klnk已基本上是最好可能的了．1959年他得到：对k＞170000有
　　G(k)＜k(2lnk＋4lnlnk+2lnlnlnk＋13)， (26)
　　并且得到
　　
　　1985年A．A．卡拉楚巴用p-adic方法证明了，对k≥4000有
　　G(k)＜2k(lnk＋lnlnk+6)， (28)
　　这是目前G(k)上界的最好结果．对较小的k，更好的结果请见所列文献及专著．

哥德巴赫猜想

　　1742年，德国数学家C．哥德巴赫(Goldbach)在与L．欧拉(Euler)的几次通信中提出了整数表为素数和的两个猜想，用现代语言来说，就是：
　　(A)每个≥6的偶数都是两个奇素数之和，
　　(B)每个≥9的奇数都是三个奇素数之和．
　　这就是当今著称的哥德巴赫猜想，(A)通常称为关于偶数的哥德巴赫猜想，(B)称为关于奇数的哥德巴赫猜想．直到1900年希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上的著名演讲发表之前，有关这个猜想的研究尚未取得任何实质性的进展．
　　哈代与李特伍德在他们上述系列论文的Ⅲ与Ⅴ(发表于1923年)中，用圆法对哥德巴赫猜想进行了研究．鉴于圆法与维诺格拉多夫方法对哥德巴赫猜想的主要贡献在于解决了猜想(B)，而对猜想(A)只能得到“几乎全体偶数皆可表为二奇素数之和”这样的结果，本文中只对涉及猜想(B)的结果加以讨论．
　　在Ⅲ中，哈代与李特伍德考虑了函数

　　及其r次幂

　　这里

　　于是

　　这里C1是以原点为中心、半径为e-1/n的圆周．与前类似地将积分(32)分成主项与余项，他们在余项的估计中遇到对狄利克雷L函数的零点分布缺乏了解这一重大困难．不得已假设下面的猜想(R)成立：
　　点皆位于半平面Rez≤θ中．
　　在此假设下，他们证明了：充分大的奇数n表为三个奇素数之和的表法个数N3(n)有渐近式

　　其中

　　特别地，当(R)成立时，每个充分大的奇数n皆可表为三个奇素数之和．
　　维诺格拉多夫在他于1937年发表的著名论文中改为考虑过素数值求和的有限三角和

　　用In记n表为三个奇素数和的表法个数，则与(22)式同法有

　　适当将[0，1]划分成基本区间(也称优弧)与余区间(也称劣弧)两部分，相应的积分分别记为In(1)与In(2)．
　　对In(1)用西格尔(Siegel)-瓦尔菲茨(Walfisz)定理不难给出其主项及余项估计．为估计In(2)，维诺格拉多夫对形如(35)的素变数三角和给出了非平凡的上界估计，从而不用任何假设证明了：存在常数B0(现在称为维诺格拉多夫常数)，每个奇数n≥B0皆可表为三个奇素数之和．
　　应用上面的证法，常数B0无法算出来，这是因为上面证明中用到的西格尔-瓦尔菲茨定理中涉及的常数不能有效地算出．为具体求出B0的上界，可用较弱的佩奇(Page)定理代替西格尔-瓦尔菲茨定理．1956年，K．Г．博罗兹德基求得
　　B0≤exp(exp16.038)， (37)
　　这个值现在完全可以得到较大的改进．
　　同年，维诺格拉多夫对形如

　　的更一般的素变数三角和得到非平凡的上界估计，这里f(x)为实系数多项式．特别当f(x)=xk时他对华林-哥德巴赫问题得到如下结果：
　　lnk+lnlnk+5)]，则n→∞时有
　　

　　有关其他形状的素变数三角和估计及应用请见所列专著及文献．

模1一致分布

　　先考虑一个简单问题．设θ为一个实数，对任意给定的自然数N，考虑区间[0，1)中如下N+1个实数

0，｛θ｝，…，｛Nθ｝．

　　如果将［0，1)等分成N个长为1／N的子区间，则至少有两个整数a，b，0 ≤a＜b≤N，使{aθ}与{bθ}在同一子区间中，即

|｛bθ｝－｛aθ｝＜1／N．

　　定义k=b-a，h=[bθ]-[aθ]，则有一对整数h，k，0＜k≤N，使

|kθ—h|＜1／N≤1／k，

　　事实上可以要求(h，k)=1，又在θ为无理数时，满足上述要求的数对h，k有无穷多对．完全类似地可证下述命题：设θ为无理数，a为任一实数，则有无穷多对整数hn，kn(kn＞0)使

|θkn-hn-a|＜3／kn．

　　由此立即推出，［0，1)中每一点都是点集｛mθ｝(m=1，2，…)的极限点．那么，点集{mθ}在(0，1)中是否“均匀分布”呢？为了使“均匀分布”意义明确，我们给出如下的定义：设ω=(xn)，n=1，2，…是一个给定的实数列，我们称ω是模1一致分布的，如果对每对实数a，b，0≤a＜b≤1有

　　这里A(［a，b)；N；ω)表示x1，…，xn中使小数部分{xn}落在［a，b)中的项的个数．
　　对如何判别一致分布(modl)，有如下重要的韦尔判别法：数列(xn)，n=1，2，…为一致分布(modl)的充分必要条件是，对所有整数h≠0有

　　因此，能否对形如

　　的三角和给出适当的估计，是判别数列是否一致分布的关键．在某些重要而又困难的情形，维诺格拉多夫方法是解决这一关键困难的基本工具．
　　设a为一给定无理数，定义

xn=apn，n=1，2，…，

　　这里pn表示第n个素数，则由维诺格拉多夫估计(35)型和的方法易得

　　故由韦尔判别法立即证得(apn)是一致分布的．完全类似地可证：数列(f(pn))，n=1，2，…为一致分布(modl)，这里f(x)是首项系数为无理数的实系数多项式．值得一提的是，1937年P．屠阮(Turán)首次在假设GRH为真的条件下证明了(apn)的一致分布性．

带误差项的素数定理

　　令π(x)表示不超过x的素数个数，寻求它当x充分大时的渐近表示是19世纪近百年中数学家们的一项中心任务．1848—1850年，俄国数学家п．л．切比雪夫首开纪录，证得

　　1859年，黎曼在其著名论文中用新的解析方法揭示出ζ函数与素数分布之间的深刻联系．1896年，J．阿达玛(Hadamard)与C．J．德拉瓦莱-普桑(de la Vallée Poussin)相互独立地证明了素数定理：

　　这等价于

　　
　　此后，数学家们一直致力于求π(x)-lix的最佳误差．1901年，H．冯·科克(Koch)在黎曼猜想成立的假设下证明了有

　　熟知，只要对ζ函数在σ=1附近的值给出适当的估计，就可以得出ζ(s)无零点区域的对应结果，从而给出π(x)-lix的相应估计．而在估计ζ函数邻近σ=1的阶时，维诺格拉多夫的三角和方法是相当有效的．1958年，维诺格拉多夫与H．М．科罗博夫相互独立地得到

　　(a＞0，ε＞0为任意给定的实数)，相应的ζ函数无零点区域为

　　这些都是迄今已知最好的结果．
　　本桥洋一(本桥洋一， Motohashi Yoichi)曾用筛法对形如

　　的无零点区域给出一个初等证明，而蒙哥马利则用另外的方法给出(46)的另一证明，这些请见他们各自的专著．

主要著作评介及对中国数论界的影响

　　维诺格拉多夫一生发表过一百多篇论文，出版过四部专著及两部选集．他的四部专著中，影响最大的是其中的三部：《数论基础》，以下简称《基础》；《数论中的三角和方法》，以下简称《方法》；《三角和方法的特殊变体》，以下简称《变体》．
　　《基础》一书初版于1936年，先后译成匈牙利文(1952)、捷克文(1953)、英文(1954)、波兰文(1954)、德文(1955)、日文(1961)、西班牙文(1971)等多种文字．1952年由上海商务印书馆初次出中文版，1956年由北京高等教育出版社出新一版，译者裘光明．我国著名数学家、中国科学院数学研究所第一任所长华罗庚教授为中译本撰写了指导性的介绍，题为“介绍《数论基础》”，对书的内容、习题及维诺格拉多夫的研究成果，给了极高的评价．
　　《基础》一书共分六章，介绍了初等数论的一些基本内容．每章后习题分两部分，计算题强调了计算技巧的训练；而通过理论性的习题向读者介绍了许多著名的数论问题，如：有理数逼近实数，切比雪夫不等式，圆内整点问题，狄利克雷除数问题，V．布龙(Brun)筛法，三角和估计，函数值的分数部分的估计，佩尔(Pell)方程，波利亚-维诺格拉多夫不等式，剩余与非剩余的分布等．使初学者也能对近代解析数论的一些问题与方法，特别是维诺格拉多夫方法的基本技巧有所了解．即使在今天，它也不失为一本好的参考书．

extras · 发表于 23.4.2010 23:59:56

柯尔莫哥洛夫

　　柯尔莫哥洛夫，A．H．(Андрей Николаевич Колмогоров)1903年4月25日生于俄国坦波夫(Тамбов)；1987年10月20日卒于苏联莫斯科．数学、大气力学．
　　柯尔莫哥洛夫的父亲卡塔也夫(Николай Матвеевич Катаев)是农艺师兼作家，母亲柯尔莫哥洛娃(Мария Яковлевна Колмогорова)出身贵族．他们并没有办结婚手续，所以柯尔莫哥洛夫从母姓．十月革命后，卡塔也夫主持农业人民委员部教育部门，在1919年A．И．邓尼金(Деникин)进攻时死于南方战线．柯尔莫哥洛夫生后十天母亲就去世，他由姨妈薇拉(Вира)与娜捷日达(Надежда)抚育，生活在沿伏尔加河的雅洛斯拉伏尔(Ярославлъ)下游约20公里的图诺斯那村(Туношна)．她们都有民主思想，卒于50年代初．在柯尔莫哥洛夫幼年，两个姨妈努力引导他对书本和自然的兴趣，开拓他的好奇心，带他去田野、森林，给他讲花草树木的知识、星星与宇宙演化的故事、安徒生的童话……．她们办了一个有十个不同年龄的孩子组成的家庭学校，以适应当时新的教育模式．五六岁的他负责家庭杂志《春燕》(Beсенние Ласточки)的数学部分．在1963年发表的文章《我是如何成为数学家的》(Кат Я стал математиком)中写道：“在五六岁时我就领受到数学‘发现’的乐趣，我观察到

1=12，

1+3=22，

1+3+5=32

1+3+5+7=42

　　等等．我的发现被刊在《春燕》上，在那里还发表了我发明的算术问题(其中例如：要固定一个有四孔的扣子至少要用线缝合两个孔，问有多少种不同的固定办法？)．”孩子们还参加农庄劳动、收集柴火、自己缝扣子等等．1910年他进入莫斯科列普曼(Лепман)文法学校预班．该校崇尚自由，着重因材施教，学生可以自由选听高年级的课程，还采用了很多试验教学．在女性环境中成长的他特别珍视男孩特点的培养，诸如淘气、嬉闹、大胆、果敢、灵巧等．在该校他结识了A．Д．叶戈洛娃(Анна Демитриевна Егорова)．
　　她是通讯院士、历史学家П．H．叶戈洛夫(Егоров)之女，后于1942年在莫斯科与柯尔莫哥洛夫成婚，她卒于1988年．少年时他对生物、物理、历史、社会学、数学、俄国艺术、林业学都有浓厚的兴趣，在14岁就自习高等数学，还梦想在荒漠中创建法律至上的公社，并为此起草了宪法．
　　1920年他毕业于第23高中(即前列普曼文法学校)．他曾向往学冶金，因为在那时候人们认为工程比纯科学更为重要和必需．他同时在国立莫斯科大学物理数学系和门捷列夫(Менделеев)化工学院冶金系注册．但是不久以后他就下决心以数学为职业．他在莫斯科大学学习的同时又在门捷列夫化工学院数学部学习了一段时间，还参加了莫斯科大学历史系教授C．V．巴赫罗欣(Вахрушин)的讨论班．17岁的他对历史发生了兴趣，他曾对俄国诺夫格勒(Новгород)地区在15—16世纪房地产登记的资料，用数理统计进行科学分析并写出论文，得到了巴赫罗欣的赞赏．但是当他问能否发表时，得到的回答是：只有一个论据是不够的，必须有五个不同的论据．以后他专心致力于数学，因为数学问题只需一个证明就足够了．
　　在进入大学之前，他已有相当多的数学知识，他从《数学的新概念》(Новые идей в мате матике)一书中知道了集合论基础，他从《勃洛克豪斯与杰弗朗百科全书》(Brockhaus and Jefronencyclopedia)中学了很多专题，并用自己的语言改写了这些过于浓缩的内容．进入莫斯科大学后，他立刻通过了集合论和射影几何的免修考试．当时鲁金学派正处于顶峰时期，1921年他在H．H．鲁金(Луэин)的解析函数论课上，对鲁金的一个猜测举出了反例，得到П．C．乌里松(Урысон)的赞扬，成为乌里松的学生．在听了П．C．亚历山德罗夫(Александров)的课后，他发表了“作用于集合上的算子的理论”(Теории　　операций　　над　　множествами)，推广了E．波莱尔(Borel)、R．贝尔(Baire)、H．勒贝格(Lebesgue)、亚历山德罗夫和M．苏斯林(Суслин)等人的研究．1921年秋，他参加了B．B．斯捷班诺夫(Стенпанов)的三角级数讨论班，这对他以后的事业有特殊的重要性．1922年他解决了鲁金提出的构造一个系数收敛到零的任意慢的傅里叶级数问题．此后他又定期向鲁金学习，从而又成为鲁金的学生．在三角级数讨论班上，他还与Д．E．门晓夫(Меншов)建立了友谊．1922年，他取得了突出的成果，构造了几乎处处发散的傅里叶级数，它立刻使这位大学三年级的学生扬名世界(到1926年他进而构造了一个处处发散的傅里叶级数)，并开始了他长达60多年的高强度与高创造性的时期．1925年他毕业于莫斯科大学后成为鲁金的研究生，并开始与鲁金的另一个学生A．Я．辛钦(Хинчин)一起从事概率论的研究．1929年研究生学习结束后，他成为莫斯科大学数学力学研究所助理研究员．1934年在苏联首次建立了博士学位制度，翌年他被授予数学物理学博士学位．1930年1月他与亚历山德罗夫一起对德国和法国进行了10个月的访问．格丁根在当时是数学的“麦加圣地”，研究人员少而精，只有D．希尔伯特(Hilbert)、E．兰道(Landau)、R．柯朗(Courant)与S．N．伯恩斯坦(Bernstein)4位教授，那里的助教有K．O．弗里德里希(Friedrichs)，F．雷列希(Rellich)．H．莱维(Lewy)和E．诺特(Noether)的学生B．L．范·德·瓦尔登(Van der Waerden)等．希尔伯特时已66岁，即将退休，H．外尔(Weyl)已内定取代他的位子．柯尔莫哥洛夫与这些人广泛交往，与柯朗探讨了极限定理的领域，与外尔讨论了直觉逻辑，与兰道交换了对函数论领域的看法．继而，他前往慕尼黑与C．卡拉特奥多雷(Carathéodory)交谈自己关于测度论与积分论的思想．后者对前者的测度论思想很喜欢，坚持要他尽快发表，但是对他的推广的积分论反应冷淡．在法国，他与M．弗雷歇(Fréchet)讨论了马尔科夫链，与P．勒维(Levy)进行了长时间的科学讨论，并与老一辈数学家勒贝格、波莱尔等建立了联系．
　　1931年柯尔莫哥洛夫任莫斯科大学教授，开始指导研究生．1933年任莫斯科大学数学力学研究所所长(至1939年1月，后来在1951—1953年又任此职)．他在数学力学系创建了如下教研室：概率论(1935年，任主任至1966年)，数理统计(1976年，任主任至1980年)，数理逻辑(1980年，任主任至逝世)，概率统计方法(1960年，任顾问至1966年，任主任从1966年到1976年)．他对数学教学结构的形成起了很大作用，他创建了许多新课程，如数学分析Ⅲ、概率论、数理逻辑等．他教过的课程有数学分析、常微分方程、复函数与概率论、数理逻辑、信息论等．在这些课程中有的附有非常有趣的实践练习，如用多项式逼近函数、范特波尔(Vander Pol)型方程的积分、微分方程的奇点、最小二乘法、用网络来研究偏微分方程的积分等．他于1953年任莫斯科大学数学会名誉会员，后任理事长(1964—1966，1973—1985)．1954—1958年任莫斯科大学数力系主任．1939年，他被选为苏联科学院数理部院士、主席团委员、数理部科学秘书(1939—1942)、科学院斯捷克洛夫(Стеклов)数学研究所所长(1939—1958，1980至逝世)．
　　在30年代末至40年代初，他研究湍流，随后在苏联科学院地球物理研究所创建了大气湍流实验室(1946—1949)，以后该室发展成该所的主体部门．
　　在卫国战争中，他与M．B．凯尔迪希(Келдыш)一起研究枪炮的火力与轰炸的理论．
　　1949年，柯尔莫哥洛夫任《大百科全书》数学部主任与编委．他长期任期刊《数学科学的进展》(Успехи Матемдтических наук，Russian Mathematical Surveys)的主编．他创办了期刊《概率论及其应用》(Теории Вероятностии и её пременении)及以中学生为对象的杂志《量子》(KBaHT)．他还主持撰写了数理系列丛书．
　　从1963年至逝世，他主要致力于文法学校的数学教学改革：编写教科书、编制教学大纲．1963—1968年，他任科学院科教委员会数学部主任．1968—1978年任教育部中学教科书委员会委员及数学部主任．他是莫斯科大学物理数学寄宿学校的创建人之一(1963)，而第18寄宿学校则以他命名．
　　他与辛钦关于随机过程的研究成果在1941年获国家奖，他与A．И．阿诺尔德(Арнолд)关于经典力学的研究在1965年获列宁奖．他两次获得科学院奖——1951年与Б．B．格涅坚科(Гнеденко)一起获车贝雪夫奖，1986年获罗巴切夫斯基奖．1963年，他荣获苏维埃劳动英雄称号．他还曾被授予十月革命勋章(1983)、劳动红旗勋章(1940)、七枚列宁勋章(1944—1975)及“在伟大的爱国战争中英勇劳动”奖章、金星奖章(1963)等．
　　他获得的国际荣誉称号有：巴黎大学名誉博士(1955)，罗马科学院通讯院士(1956)，波兰科学院外国院士(1956)，国际统计学研究所名誉成员(1957)，波士顿美国艺术与科学院名誉院士(1959)，斯德哥尔摩大学名誉科学博士(1960)，加尔各答印度统计研究所名誉科学博士(1962)，荷兰皇家科学院外国院士(1963)，伦敦皇家科学院外国院士(1964)，罗马尼亚科学院名誉院士(1965)，匈牙利科学院名誉院士(1965)，美国国家科学院外国院土(1967)，法国科学院外国院士(1968)，匈牙利“荣誉事业”(Honoris causa)科学博土(1973)，历史科学国际科学院名誉院士(1977)，民主德国科学院外国院士(1977)，联邦德国“有成就”(Pour le Mérite)勋章学会外国会员(1977)，芬兰科学院外国院士(1983)，等等．
　　他得到的国际奖有：国际巴尔桑(Balzan)奖(1963)，美国气象学会奖章，民主德国科学院赫姆霍兹(Helmholtz)奖章(1976)，匈牙利旂帜奖章(1975)，1980年鉴于他“在调和分析、概率论、遍历论和动力系统深刻而开创性的发现”而获得沃尔夫(Wolf)奖．
　　20世纪初以来，由于采用了集合论观点研究函数，从而推广了测度与积分、函数构造等概念，这就大大扩大了数学家们的视野．波莱尔、勒贝格等人为此都做出了重大贡献．苏联的Д．T．叶戈洛夫(Егоров)、鲁金、苏斯林进一步把函数与集合的研究推向新的高潮．柯尔莫哥洛夫正是在20—30年代鲁金学派的顶峰时期成长的．鲁金学派造就了苏联举世闻名的一批数学大师，柯尔莫哥洛夫是其中最杰出的代表．在这个时期，数学领域还出现了大量极有挑战性的问题，新思想、新方法、新探索、新成就相继出现，其中包括：H．庞加莱(Poincare)关于太阳系发展的永恒性问题(庞加莱称它为动力学基本问题)的提出，引导到哈密顿(Hamilton)系统在微扰下的稳定性的研究；L．巴舍利艾(Bache－lier)、A．爱因斯坦(Einstein)、M．V．斯摩罗霍夫斯基(Smo－luchowski)、N．维纳(Wiener)及勒维等长期研究的布朗运动的数学特性，揭示了随机过程的基本规律；大气物理的研究提出了湍流的统计规律刻画；格丁根学派领导人希尔伯特在20世纪初提出了23个对数学发展具有决定性影响的问题；当时函数论的研究正在从有限维扩展为无穷维，这就需要把函数论、拓扑与代数等结合起来以产生新概念、新学科．以上种种背景是柯尔莫哥洛夫从学生时代开始在数学上面临的一些客观使命．
　　他一生共写学术论文(包括合作)488篇，给《大百科全书》写114条，给科普报刊撰写57篇文章．
　　他是本世纪苏联最有影响的数学家，也是本世纪世界上为数极少的几个最有影响的数学家之一．他所有的开创性工作是俄罗斯民族的骄傲，也是世界人民的宝贵财富．他研究的领域非常广泛，几乎遍及一切数学领域，包括：函数的距离理论、描述集合论、数理逻辑与数学基础、概率论及随机过程、数理统计及其应用、几何、泛函分析、拓扑、微分方程、湍流理论、(武器的)火力理论、演算学与自动机、动力系统与经典力学、函数的迭合理论、信息论、算法概率论、遍历论、诗韵中的统计学等．他在这些领域的研究成果不仅被应用于数学本身的发展和开辟新的领域，而且在物理、化学、生物、地球物理、冶金学、结晶学、人工神经网络等学科中都有极重要的应用．
　　他的开创性研究可分三个时期．
　　第一个时期开始于1921年秋．大学二年级的他开始研究三角级数与集合上的算子等一系列复杂问题．1926年他构造了处处发散的一个傅里叶级数，直到1966年瑞典数学家L．卡勒逊(Carle-son)及1967年美国数学家R．亨特(Hunt)又证明了对p＞1，Lp函数的傅里叶级数处处收敛到这个函数，这就彻底解决了三角级数的发散问题(鲁金问题)．他于1922年定义的在集合上的δS运算是描述集合论中的基本运算．他对三角级数和正交级数的兴趣贯彻终生，不时地返回到这个领域，并安排年轻人继续进行研究，在这方面他发表的10篇文章中的每一篇都是延续至今的研究的起点．在这时期他在微分、积分、可测集等方面都做了重要的工作．此后他又转向数理逻辑与数学基础．20世纪以来，数学家对逻辑律的适用性、数学本质及集合论悖论发生了无休止的争论，产生了直观主义者，他们否认排中律在超限归纳中的有效性．柯尔莫哥洛夫在1925年证明：超限地使用排中律所得到的有限结论都是对的，而且都可以不用排中律来证明．他还构造了他的直观演算系统，从而创造了直观逻辑的另一种解释．1925年他证明了希尔伯特变换的一个车贝雪夫型不等式，这是M．里斯(Riesz)、A．济格蒙德(Zygmund)、G．H．哈代(Hardy)等著名数学家关于奇异算子弱型概念研究的起点．作为柯尔莫哥洛夫开创性成果的核心部分之一是概率论与随机过程．这一研究起始于他大学的第四年(1924年)，他与辛钦一起研究独立随机变量组成的级数的收敛性，得到了以后被称为柯尔莫哥洛夫三级数定理的成果，其中他首次使用了以后用他命名的不等式以及相应的下限估计，开创了概率论研究中的新方法．1928年他得到了独立随机变量列遵从大数律的必要且充分的条件．1930年他又得到了独立随机变量列遵从强大数律的一个非常一般的充分条件．这些结果至今是概率论教科书中的标准内容．1929年他又得到了独立同分布随机变量列的重对数律．他的结果和创用的方法是许多作者用来作为研究的泉源，其中如J．马辛凯维茨(Marcinkiewicz)和济格蒙德1937年证明了柯尔莫哥洛夫的结果中的一个小O条件不能改为大O；1941年P．哈特曼(Hartman)与维纳改进了柯尔莫哥洛夫的条件；1965年V．斯特拉森(Strassen)将其推广为泛函类型的重对数律．20世纪初，G．波尔曼(Bohlmann)曾企图给概率论建立一个公理系统．为此，波莱尔A．隆尼斯基(Lomnicki)、维纳相继在概率论中运用测度论，伯恩斯坦、R．冯·米赛斯(vonMises)也都企图建造概率论的公理化基础，但是都不很成功．柯尔莫哥洛夫在他1929年发表的文章“概率论与测度论的一般理论”(General measure theory and calculus of probabilities)，首次给出了测度论基础的概率论公理结构．5年以后该文编写成单行本，即如今在数学界众所周知的经典著作《概率计算的基本概念》(Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung)．概率论的公理化是他的巨大贡献，它使概率论从自然哲学领域真正转到数学的范围，使概率论被确认为数学的一个分支，并且日渐与其他数学分支相互渗透．著名日本数学家伊籐写道“读了柯尔莫哥洛夫的小册子《概率论基本概念》，我信服地认为概率论可以用测度论来发展，并且它也与其他数学分支一样地严格”．柯尔莫哥洛夫在这单行本的序言中还列出了无穷维空间的概率分布、条件期望，指出这些都源自物理问题．事实上它们也是随机过程论的必要基础．在50多年以后的今天，它的意义就更明显了，它是概率论划时代的著作，柯尔莫哥洛夫在1930夏完成的小册子《概率论中的解析方法》(ber,die analytischen Methoden in Wahrscheinlichkeitrechnung)开创了无后效随机过程(以后辛钦建议改名为马尔科夫过程)的一般理论的研究，把物理学家M．普朗克(Plank)、爱因斯坦、A．福克(Fokker)等在特殊情形得到的关于转移函数的一个积分方程一般化［以后称为恰普曼(Chapman)-柯尔莫哥洛夫方程］，并且由此导出了时间向前与向后的两个偏微分方程(称为柯尔莫哥洛夫方程)．在马尔科夫过程的发展中，他把傅里叶的传热理论、爱因斯坦与斯摩罗霍夫斯基的布朗运动理论、马尔科夫等人关于可几随机徘徊的描述与首次构造随机过程例子的巴舍利艾与维纳的思想结合在一起，抽象出了马尔科夫过程的一般模型．这个工作标志着概率论发展及其在物理、化学、生物、工程等方面的应用的新时期．在这个时期，他的另一文章“拉普拉斯-李雅普诺夫定理的推广”(An extention of Laplace－Lypunov theorem，1931)，给出了获得独立随机变量和的上、下界概率的渐近展开的基本方法．
　　柯尔莫哥洛夫开创工作的第二阶段始于1931年他被任为教授之后．这时期持续了1／4个世纪，在此期间他的研究兴趣极其广泛．1932年他发表了两篇关于几何的文章“射影几何证法”(Кобоснованиюпроективной геометри)和“拓扑几何”(Топологической геометрии)，用拓扑、群的观点研究几何．在他建议下，Л．庞特里亚金(Понтрягин)证明了具有可数基的连通局部紧拓扑域一定是实数域、复数域或四元数广域之一．在代数拓扑领域中上同调群是一个核心的概念．1936年柯尔莫哥洛夫与美国数学家J．W．亚历山大(Alexander)相互独立地构造了上同调群，并在其上定义了乘积运算，使之成为环，这在以后的研究(特别是连续映射)中极为重要．他在拓扑上的第二个贡献是给出了局部紧空间闭集的对偶律．1937年，他给出了一个从一维紧集到二维紧集的开映射，引起了苏联拓扑学家对开映射的兴趣．
　　这时期，概率论仍旧是他的主要专业之一，他非常重视随机过程的应用．1932年他积极参与了著名生物学家Д．Д．罗玛晓夫(Ромащов)领导的生物微演化的实验室．由于马尔科夫过程是动力系统在随机情形的对等物，两者互相渗透会产生很多新的概念和现象，所以马氏过程始终是许多研究的重点．1935年他又提出了可逆(对称)马氏过程的新模型，并给出了刻画其特征的充要条件．40多年后的今天，可逆马氏过程已成为统计物理、排队网络、模拟退火、人工神经网络、蛋白质结构等领域中十分常见的重要模型．在20年代末30年代初 B．德·菲乃蒂(de Finetti)提出了“无穷可分律”，指出了具有特征函数

和同分布，柯尔莫哥洛夫在1932年对具有二阶矩的随机变量给出了它具有无穷可分律的充要条件．以后，勒维证明了有限方差这个限制可以取消，随后辛钦又证明了这一结果仍可用柯尔莫哥洛夫的方法得到(最终的表达式称为无穷可分律的勒维-辛钦典则形式)．
　　柯尔莫哥洛夫还解决了一系列生物学问题，由此得到了十分有意义的纯数学的成果．他与И，Г彼得洛夫斯基(Петровский)及H．C．比斯库诺夫(Пискунов)合作的有关生物学的文章(1937)，首次构造了非线性扩散的行波型稳定解．他在其中的贡献是从物理方面定性地描述现象的图象，并把它表示为公式．生物学问题导致他提出了分枝过程的模型，并研究了它的灭绝概率(1947年)．1939年，他由分析统计资料验证了基因遗传的“孟德尔(Mendle)律”(当时基因与孟德尔律在苏联生物学界被批判为“唯心主义”、“反科学”的)．
　　1937年，他给出了在金属随机结晶过程中一个给定的点属于结晶团的概率与平均结晶的数目，这一结果在金属结晶化理论中至今仍是基本的结论．
　　1933年，他与M．A．列沃托维奇(Леотович)给出了A．K．伏拉索夫(Власов)提出的二维布朗质点为中心、半径为ρ的圆盘在t时刻前扫过的平均面积的渐近估计．
　　1936—1937年，他给出了可数状态马尔科夫链的状态分类．
　　在数理统计方面，1933年他定义了度量经验分布与理论分布最大偏差的(以后以他命名的)统计量，并推导了它的分布函数．这是分布拟合理论中拟合度的基本检验，已成为数理统计教科书的基本内容．
　　1935年他首次给出了巴拿赫空间上概率测度的特征泛函这一概念，并指出它在发展非线性量子理论中的重要性．
　　他在平稳随机过程方面的成就与维纳的成就并列为该领域最基本的成果．具连续谱的元阻尼随机运动是平稳过程的丰富源泉，平稳过程是概率特征不随时间变化的随机过程，常出现在无线电工程、自动控制等应用领域，是大量随机自然现象(大气、海洋等)的理想化．其中的一个重要问题是用过去的资料预测将来．他早于维纳(1941)得到了预测与内插的公式．维纳指出柯尔莫哥洛夫的研究是与控制学有关的信息统计理论相联系的．在柯尔莫哥洛夫的研究中应用了希尔伯特空间的几何理论．
　　平稳过程与平稳增量过程的研究使他得到了局部迷向湍流的近似表达式．流体有确定性的规律，但是其运动特征又极端复杂，可以把它看成随机过程．20世纪著名的工程师G．L．泰勒(Tay－lor)与T．冯·卡门(von Krmn)引进了迷向湍流，然而其结论与实验不符，柯尔莫哥洛夫用局部迷向湍流得到了著名的“柯尔莫哥洛夫2／3次律”：在特定条件下，湍流中距离为r的两点的速度差的平方平均与r2/3成正比．这个2／3律至今还被大气物理界公认为几乎是关于湍流的所有结果中最与实际相近的．1962年他又作了更为精确的修正．
　　他在概率论、随机过程与数理统计方面的贡献，说明他是随机数学领域的领导人．他不仅是一个多方面的数学家，而且是一个有惊人洞察力的应用数学家．
　　1949年格涅坚科与他一起发表的《独立随机变量和的极限分布》(Пределъные теолемы для сумм неэависимых случайныхвеличин)一书，总结了莫斯科学派当时在弱极限理论方面的世界领先的成果，成为弱极限理论的经典著作．
　　在逼近论方面，1935—1936年他研究了光滑性与逼近度的关系，引进了一种逼近的度量(以后称为柯尔莫哥洛夫直径)，开创了逼近论领域中的新方向．60年代以后柯尔莫哥洛夫直径受到了更大的重视．
　　在泛函分析方面，他在1931年得到了Lp空间中集合为紧的判别法．在1934年定义了线性拓扑空间与其中的有界集和凸集，得到了可正规化的经典判别法(存在0点的一个有界凸邻域)．1938年柯尔莫哥洛夫与И．M．盖尔范德(Гелъфанд)合作的文章是后者以后开创赋范环理论的源泉．他们证明了两个满足第一可数公理的拓扑空间的同胚性与在它们上的连续函数环间的代数同构性等价．
　　他的第三个开创性研究时期开始于50年代中期．这时，他的研究方向转向经典力学哈密顿系统、信息论、动力系统的遍历论、信息论与函数论的关系(ε熵)、希尔伯特第13问题和函数的迭合、有限自动机与复杂性理论等领域．
　　50年代中期他与B．A．乌斯宾斯基(Успенский)对算法与自动机理论的基本对象给出了广泛的定义．
　　在这时期他在动力系统方面的工作可分为两个系列．第一个系列是经典力学方面的．太阳系能否永恒发展而不会引起灾变？简单行星系是否只有三体系统才能稳定地运动？这个问题归结于研究近似可积系统的运动体系．庞加莱称它为哈密顿系统在微扰下的发展问题．它是动力学基本问题，可溯源到Ⅰ．牛顿(Newton)、P．S．拉普拉斯(Laplace)的研究．柯尔莫哥洛夫在50年代中期对具大量初始条件的情形解决了这个问题，开创了哈密顿系的微扰理论．从他的定理可推出：围绕木星作圆轨道转动的卫星，在经受沿椭圆轨道的木星运动的干扰下，并不能影响木星的椭圆轨道．他的理论还可用到大量力学、物理学问题中，解决了不对称刚体统定点高速旋转的稳定性、托卡马克(Токамак)型系统中磁面的稳定性等问题．他的思想后来被A．И．阿诺尔德(Арнолд)与J．莫泽(Moser)所发展，成为以他们三人命名的KAM理论．
　　他研究动力系统的第二系列是把信息论应用于研究系统的遍历性质．G．E．仙农(Shannon)用直观定义的熵有深刻的内涵，柯尔莫哥洛夫给出了严格的数学定义及推广，他引入了距离空间上的ε熵及ε容度作为逼近论中的崭新工具，1958年又进一步把熵参数引进动力系统的研究．30年代冯·诺伊曼证明了具有纯点谱并有相同谱点的两个动力系统(动力系统是指测度空间及其上的一个保测自映射)是同构的．柯尔莫哥洛夫和他的学生Ю．Г．希那依(Синай)定义了一个熵型不变量(以后称为柯尔莫哥洛夫-希那依嫡或K－S嫡)，用它来证明不同参数p(0＜p＜1)的伯努利模型虽然具相同的谱点，但是它们彼此并不同构，从而彻底回答了冯·诺伊曼问题(即具有相同谱的两个动力系统是否同构问题)．K－S熵至今是动力系统中最为成功的不变量(虽然它并不完备)，它的发现标志着动力系统理论有了崭新的开始．
　　希尔伯特第13问题是要证明方程f7＋xf3＋yf2＋zf+1=0的解f(x，y，z)不能表成两变量函数的叠合．柯尔莫哥洛夫在1956年证明：任意一个四变量连续函数都能表成三变量连续函数的叠合(这是他认为技巧性最复杂的成就，是他花费了一生中最长的连续思考时间所完成的)．翌年春，他的学生——三年级的大学生A．И．阿诺尔德(Арнолд)彻底解决了这个问题，推翻了希尔伯特的猜测．不久，柯尔莫哥洛夫又简化为如下的精美构造：任意整数n≥2，必有[0，1]上的连续函数族｛ij(·)｝，使［0，1］n上任意连续函数j都能表成

　　这里i(·)是实数上连续函数．这个定理在如今已成为人工神经网络设计的理论基础．
　　这一时期柯尔莫哥洛夫继续保持着研究概率论的兴趣．1956年，他得到了用无穷可分律去一致逼近独立同分布随机变量的和的阶为n-1/5．1963年他又改进为n-1/3．1983年又被T．B．阿拉克(Apak)和A．Ю．沙以切夫(Эаицев)改进为最佳阶n-2/3．这个结果比经典正态近似的贝莱-艾森(Berry－Essen)界n-1/2精确得多．
　　1956年他与Ю．B．普罗霍洛夫(Прохоров)合作的关于距离空间上概率的弱收敛的文章总结了他们所开创的取值于函数空间的概率测度的弱极限理论，这些理论和1955—1956年A．B．斯格罗霍特(Скороход)引进的D空间理论构成了弱极限理论中具划时代性的成果．
　　60年代，柯尔莫哥洛夫又开创了两个新的数学分支——演算信息论和演算概率论．对一个n位二进列定义“复杂度”似乎很难避免某种任意性，他与R．J．索洛莫诺夫(Solomonoff)的基本发现是利用演算论可在不计有界项的差别的意义下定义“复杂度”，并使其任意性受到限制．在演算概率论中的一个重要问题是如何判断一个二进数列是随机的，冯·米赛斯早在20世纪初就提出：一个二进列为随机的，如果它对一类按某种容许选择规则选定的子列都有相对稳定的0出现率．柯尔莫哥洛夫在1963年拓广了这种选择规则(称之为频率法)．随后又与他的学生P．马丁-洛夫(Martin－Lf)和L．A．列温(Levin)用极大复杂度来定义随机性的新概念．1986年他和乌斯宾斯基在伯努利协会首届国际会议上作了“演算和随机性”的大会报告，这是随机性演算方法的极为重要的综述．
　　从60年代开始至1985年，柯尔莫哥洛夫一直保持着对语言学统计研究的兴趣．他引入了语言的熵，并把它分成语义信息与语言信息(剩余熵)，开创了语言统计学的新领域．
　　柯尔莫哥洛夫的开创性工作在数学的一系列重要领域中提供了新方法，打开了新思路，开辟了新方向，揭示了不同数学领域间的本质联系，并广泛地提供了它们在物理、化学、气象、生物、力学、工程、人工神经网络、金属结晶学、控制论、计算机、比较语言学等学科中的应用前景．他创造的大量构造方法和基本引理至今在不同领域中经常引用，其中绝大部分都已成为教科书和专著中的经典内容．
　　他的选集已出版了三卷：第一卷《数学与力学》，致力于确定性现象，也可以说是涉及“序”的领域；第二卷《概率论与数理统计》涉及随机过程与混沌现象；第三卷《信息论与算法论》，其基本思想是：序和随机及混沌之间并无明确界限．把随机性的思想归结为算法复杂性，力图揭示“序”与“混沌”的本质，是他开创生涯的统一源泉．在这观念下，他所研究的所有方面似乎都能融化为一体，统一的思想联系着概率论思想、算法论与数理逻辑结构、信息论方法与概念、动力系统与遍历论，以及研究自然现象的试图．而他的许多早期工作，包括函数论、描述集合论等都可视为他实现这一宏图的前奏．
　　他的主要贡献可以概括为：继承了牛顿、拉普拉斯、庞加莱的路线，试图解释太阳系运动永恒性的奥秘，并在这个问题上得到了满意的成果；解决了关于多变量函数基本结构的希尔伯特第13问题；开创了无后效过程的理论研究，在此基础上统一了傅里叶、普朗克、爱因斯坦、斯摩罗霍夫斯基的思想；发现了新的湍流统计规律，本质上发展了泰勒与冯·卡门理论；与辛钦、维纳一起给出了弱平稳过程的构造，并解决了信号滤波问题(现已成为石油探测数据处理中的重要数学方法)；引进了大量十分重要的数学概念(如线性拓扑空间、上同调、动力系统的熵、柯尔莫哥洛夫复杂性等)；对许多重要的基本概念作出了精辟的解释(如测度、积分、导数等)；研究了数学逻辑的基本结构；开创了十多个新的研究方向，并给出新方法．
　　柯尔莫哥洛夫进行科学研究的特点是：几乎在他所关心的所有领域，都首先创建了几个基本原理，接着让他的学生继续进行研究，达到深入完备的程度，最后吸引大量研究人员加入，写综合报道，出专集，开交流会议，形成科学方向和学派．他是他的学生领导的许多学派的奠基人．
　　对于学生，柯尔莫哥洛夫为他们创造了要求严格而且神圣的科学研究气氛．他具有激发他们创造力的能力，发现适合每个人特点的问题和任务．他与他们分享自己的思想，这些都使他的学生铭刻终生，
　　从30年代起，他就致力于领导全国数学奥林匹克，定时地给学生讲课．但是，他认为它的意义不仅在于体育式的竞赛，更重要的是发现数学天才并给他们以较为全面的数学知识训练而不是只教他们作一些特殊问题以便夺取冠军．他指出：奥赛的成功固然值得高兴与骄傲，但是失败了也不必伤感到看不见自己的能力，“在非常局限的时间内解答问题常使许多人感到困惑，而有些数学问题只可能在经长时间的孜孜不倦地冥思苦索，并引进新概念后才能得到解决．苏联著名拓扑学家亚历山德罗夫就解决了很多这类问题，这并非偶然．亚历山德罗夫多次说，他年轻时幸而没有数学奥赛，否则就很有可能使他不能成为数学家．亚历山德罗夫在数学上的成就绝非智慧火花的闪烁，而是长期深思熟虑的成果．”柯尔莫哥洛夫认为奥赛优胜者常会停留在对类似于奥赛的问题作精细加工，而并未达到解决那些需要冗长的推理和研究的数学问题的水准．为了补救这个不足，他及其他教授们就给优胜者举办暑期学校，给他们讲课(如有限域与布尔代数、集论、群论、力学、数论等)，并在莫斯科大学附设数理学校，让学生做大量习题，解决实际问题，还伴以音乐、文学、体育等活动．
　　他具有发现重要数学概念的能力，亚历山德罗夫诙谐地说过，数学天才有敏捷型与迟缓型两种，柯尔莫哥洛夫属于前者，而希尔伯特属于后者．然而柯尔莫哥洛夫的思想还不如他自己的洞察力与掌握问题的能力更敏捷，一些模糊而粗线条的“轮廓”常引起他的注意，并且立即被他纳进他的有次序而完备的系统中去，以求得到最终的解决．他对经典力学、遍历论、函数的迭合等基本问题的模糊思想在30年代中期就已开始酝酿，直到50年代中期才达到最终的确切形式．
　　柯尔莫哥洛夫把创造性才能分为演算性的、几何性的与逻辑性的．他非常善于与学生们交往，并把他们自己未意识到的能力发挥出来．
　　他喜爱旅行、滑雪、俄国诗与美术，尤其热爱油画与建筑．他与亚历山德罗夫的交往是互补的，后者是音乐、戏剧的鉴赏家．柯尔莫哥洛夫从不夸谈自己的成就、衔头与地位，并不看重金钱与物质条件，他把巴尔桑奖的奖金捐给了学校图书馆，而沃尔夫奖金他未曾去领取．柯尔莫哥洛夫为科学事业无私地贡献了他的光辉的一生．

extras · 发表于 24.4.2010 00:00:28

亚历山德罗夫

　　亚历山德罗夫，П．С．(Александров，Павел Сергеевич)1896年5月7日生于俄国博戈罗茨克[Богородск，今诺金斯克(Ногинск)]；1982年11月16日卒于莫斯科．数学．
　　亚历山德罗夫出生于博戈罗茨克一位著名的区段医生(Участковыйврач)的家庭．父亲谢尔盖·亚历山德罗维奇·亚历山德罗夫(Сергей Александрович Александров)是沙俄末期一名进步的知识分子，在莫斯科大学医疗系毕业后，他放弃留在大学里工作的机会，自愿到边远地区担任区段医生，为普通民众治病．经过多年的实践，终于成为当时俄国著名的外科专家．父亲的生活道路对亚历山德罗夫人生观的确立有很大影响．他从小就热爱劳动，对自然科学有浓厚兴趣．母亲采扎里娅·阿基莫夫娜·亚历山德罗娃(Чеэария Акимовна Александрова)是一位受过良好教育的妇女，她把自己的全部精力都用在照顾丈夫和抚育子女上．亚历山德罗夫幼时体质较弱，不便到学校就读，母亲就亲自承担他的早期教育．
　　在早期的家庭教育之后，亚历山德罗夫进入斯摩棱斯克公立中学读书．他在13岁时开始对数学发生兴趣．在一堂数学课上，教师A．P．艾格斯(Эйгес)给同学们讲授罗巴切夫斯基几何．非欧几何的创立及其原理使少年亚历山德罗夫激动不已，他在课后立即向老师追问其中不解之处．不久，艾格斯向他的学生推荐一本关于几何基础的书，亚历山德罗夫在老师的帮助下很快就理解了它的内容．这本书使他大开眼界，亚历山德罗夫从此迷恋于数学．在艾格斯老师的鼓励和指导下，亚历山德罗夫在中学期间就熟读了非欧几何和微积分．艾格斯学知广博，他的文学修养和对人文科学的兴趣对亚历山德罗夫也有很大影响．他们师生之间建立了深厚友谊，并一直保持到亚历山德罗夫成为著名学者之后．
　　1913年，亚历山德罗夫以优异成绩从中学毕业，并获金质奖章．同年进入莫斯科大学物理－数学系学习．在以前的很长时间内，莫斯科大学的数学研究远远落在欧洲几所一流大学之后．亚历山德罗夫学习期间，正值H．H．鲁金(Луэин)和Д．Ф．叶戈罗夫(Егоров)在实变函数论领域取得经典结果之时．不久，在莫斯科大学就以鲁金为核心，形成了函数论学派．亚历山德罗夫在大学期间就开始了科学研究，并取得出色的成果．
　　1917年，亚历山德罗夫大学毕业并留校工作．次年，他根据鲁金的建议着手研究连续统问题，没有获得成功．这使他对自己的数学能力产生怀疑．在以后的两年内，他脱离了数学研究，先后在谢维尔诺夫戈罗德和契尔尼戈夫等地的剧团从事编导工作，结交文学艺术界的名流．1920年，当他路经莫斯科时，受到鲁金、叶戈罗夫、И．М．普里瓦洛夫(Привалов)、B．B．斯捷潘诺夫(Степанов)的亲切欢迎，使他重新产生从事数学研究的激情．
　　1920—1921年，亚历山德罗夫在斯摩棱斯克大学任教，并定期到莫斯科大学参加学术活动．在此期间，结识了鲁金教授的年轻助教——П．С．乌雷松(Урысон)，他们很快成为最亲密的朋友．1921年，亚历山德罗夫调到莫斯科大学工作．最初他以额外教授的资格任教，1929年晋升为教授．
　　1922年夏，亚历山德罗夫和乌雷松到莫斯科郊外的波尔舍瓦度假．就是在这个暑期，他们开始了在拓扑学领域的创造性工作．最初的成果在国内没有引起重视．1923年夏和1924年夏，他们两次共同出国留学．第一年，他们来到欧洲数学发展的中心——格丁根大学．当时格丁根大学的学术环境与莫斯科大学鲁金学派繁荣时期很相似．他们一面向各位数学大师学习，一面宣传自己在拓扑学研究中的新思想．他们的工作很快引起F．克莱因(Kline)和D．希尔伯特(Hilbert)的兴趣，并得到赞许．1924年以后，他们的论文开始在欧洲几种主要的数学杂志上发表．在此期间，A．E．诺特(Noether)及R．库朗(Courant)的工作对他们有很大影响．1924年夏，亚历山德罗夫和乌雷松先后来到波恩和阿姆斯特丹，拜访F．豪斯多夫(Hausdorff)和L．F．布劳威尔(Brouwer)．他们对拓扑学研究中的一些感兴趣的问题，进行了愉快的讨论．
　　1924年8月，亚历山德罗夫和乌雷松在经过巴黎时的短暂逗留之后，来到布里塔尼半岛，在一个名叫巴斯(Bourg de Batz)的小渔村住下，准备在这里研究一些新课题．不幸的是，1924年8月17日，年仅26岁的乌雷松在海水浴中葬身大西洋．就在出事的当天早晨，乌雷松还写出新的研究论文的第一页．失去挚友的悲痛使亚历山德罗夫几乎不能继续工作．1925年春到1926年夏，他在荷兰与布劳威尔共同整理乌雷松的科学手稿，并安排了付印计划．由于他们的努力，乌雷松的许多贡献才没有埋没．
　　亚历山德罗夫和乌雷松在20年代初的研究是苏联数学家在拓扑学领域工作的开端，他们的工作奠定了莫斯科拓扑学派的基础．在以后的几十年内，亚历山德洛夫继续为该学派的发展和壮大做出卓越的贡献．
　　从1925到1932年间，亚历山德罗夫每年大约有四分之三的时间在国外度过．通常是夏末去国外，来年春天才返回．他定期到格丁根大学进行学术交流，如开设拓扑学讲座、参加诺特的研究班、与Ｈ．霍普夫(Hopf)共同举办拓扑学讨论班，等等．亚历山德罗夫在1926年与霍普夫相识，并结为好友．他们在拓扑学方面的合作是极富成效的．1927年秋，他们一起来到普林斯顿，又结交了当代著名拓扑学家J．W．亚历山大(Alexander)、S．莱夫谢茨(Lefschetz)和O．维布伦(Veblen)等人，共同探讨拓扑学中的问题．亚历山德罗夫在这一时期所进行的广泛的学术交流对拓扑学的发展有很大推动作用，他所建立的国际关系促进了苏联数学水平的提高．
　　亚历山德罗夫从1921年起一直在莫斯科大学工作．早年他开设过实变函数论、一般拓扑学(在莫斯科大学首次讲授)和伽罗瓦理论等课程．他还主持了高等几何和拓扑学讲座，创办了拓扑学讨论班，并领导苏联科学院斯捷克洛夫数学所一般拓扑学研究室的工作．1932年以来他担任莫斯科数学会主席达33年之久，1964年开始任名誉主席．1958—1962年，担任国际数学协会副主席．亚历山德罗夫是苏联一些主要数学杂志的编委，《数学科学成就》(Успехи Математическихнаук)的主编．
　　亚历山德罗夫的科学、教育和社会活动得到社会的高度评价．他于1929年当选为苏联科学院通讯院士，1953年成为正式院士．他还是许多国家的科学院和学术团体的成员，如柏林科学院、奥地利科学院、波兰科学院、民主德国科学院、美国国家科学院、美国哲学学会等等．苏联政府于1969年授予他社会主义劳动英雄称号，他还曾获得多种奖励和荣誉称号．
　　亚历山德罗夫的数学研究开始于实变函数论和描述集合论．在19世纪，数学家们主要研究连续函数，到20世纪初，由于数学分析的发展，连续函数的许多结果被推广到更一般的函数类上．这时，由G．康托尔(Cantor)创立的集合论已成为数学研究，特别是分析学研究的有力工具．法国数学家R．L．贝尔(Baire)、E．波莱尔(Borel)和H．L．勒贝格(Lebesgue)成功地用集合论方法来研究间断函数、集合测度和积分概念的推广等课题，特别是划分出B－函数与B－集合类，研究了B-集合的构造．由于这些工作，产生了数学中一个新的研究方向——描述集合论．当时所研究的两个关键性问题是：1．详细研究B－集合的构造；2．构造出非B－集合的新集合类．
　　在20世纪第二个10年中，由于鲁金和叶戈罗夫在实变函数论方面的工作，莫斯科大学内集合论和函数论研究方兴未艾．亚历山德罗夫在大学一年级时就参加了叶戈罗夫领导的函数论讨论班．1915年，他得到了第一个研究成果，即证明了凡不可数B－集合必包含完备子集．由此可知，凡不可数B－集合的势必等于连续统的势．为证明这个结果，他建立了A－运算．这种运算对集合论方法的发展产生了重要影响．苏联数学家Ｍ．Я．苏斯林(Суслцн)就是借助于A－运算作出了比B－集合类更广的一类新集合——A－集合类．由此还引出射影集合理论、集合的一般理论的研究．
　　1922年以后，亚历山德罗夫转向拓扑学的研究．他早期和乌雷松共同创立和发展了紧与列紧空间理论．之后，他又引进了一系列基本概念和拓扑结构，建立了本质映射定理和同调维数论，导出一系列对偶性原理的基本规律，发展了连续映射理论，为现代拓扑学做出奠基性的贡献．
　　自康托尔研究欧氏空间的点集开始，数学家们对欧氏空间的点集理论进行了细致深刻的研究，到19世纪末已清楚地掌握了欧氏空间的拓扑结构，给点集拓扑学的形成提供了一个内容丰富的模型．在此基础上，法国数学家Ｍ．弗雷歇(Frechét)提出抽象空间理论(1906)．不久以后，德国数学家豪斯多夫建立了拓扑空间理论(1914)，标志着点集拓扑学的产生．在点集拓扑学的发展过程中，亚历山德罗夫的贡献是卓越的．他是主要的奠基人之一．
　　在20年代初，这一新的数学分支有两个中心课题，一个是拓扑空间的紧致性问题，另一个是拓扑空间的度量化问题．亚历山德罗夫在与乌雷松合作期间，在这两方面都得到了重要结果．他们首先研究豪斯多夫空间类，提出了丰富而有趣的问题．例如，他们提出并解决了有关H闭空间(即绝对闭于豪斯多夫空间)的问题，给出了几个等价条件．自1923年他们提出紧性定义之后，共同建立了紧空间和列紧空间理论．他们引进了一系列基本概念，证明了关于紧性与列紧性的若干定理．他们给出的紧空间的三个定义如下．
　　定义1．拓扑空间R称为紧的，如果对于空间的每一个无穷集A，都存在点x，使A与x的任一邻域的交的势与A的势相等(他们称这种点为完全聚点)．
　　定义2．拓扑空间R称为紧的，如果空间中所有的非空闭集的递减超限序列都是不空的．
　　定义3．拓扑空间R称为紧的，如果对每一个覆盖R的无穷开集系统，可从中选出有限个元的子系统，它也能覆盖住R．
　　他们证明了定义1，2，3中所阐明的三个性质是等价的．他们所确定的紧空间类完全独立于奥地利数学家Ｌ．韦特利(Vieto－ris)的工作．他们还引进“紧统”、“常空间”、“法空间”等概念，研究紧空间及与上述概念相关的性质，建立一系列定理．他们把关于紧空间的许多结果推广到列紧空间，建立了相仿的概念和定理．
　　此外，亚历山德罗夫还建立了局部紧空间的理论，证明了关于一点紧化定理、关于势敛的定理以及关于权与拟权关系的定理等．
　　亚历山德罗夫和乌雷松关于紧与列紧空间的理论被许多数学家发展．例如，在他们工作的基础上，A．H．吉洪诺夫(Тихонов)解决了具有紧豪斯多夫扩张的一般空间的问题，奠定了紧扩张理论的基础；而Ｈ．Б．韦杰尼索夫(Веденисов)则证明了在连续映射下紧性保持不变的定理．
　　拓扑空间的度量化问题就是用纯拓扑的语言来表达可度量空间的特征．这个问题由亚历山德罗夫和乌雷松解决．他们在1923年建立了第一个度量化准则，即给出拓扑空间可度量化的充要条件：该空间是具可数加细覆盖系统的仿紧空间．他们还建立了几个关于特殊空间类的度量化准则．关于可数重空间和列紧空间的度量化准则属于乌雷松．对于局部列紧空间，亚历山德罗夫证明了其可度量化的充要条件是该空间是豪斯多夫空间，并可表示成互斥开集之和，每个开集的权不超过可数．亚历山德罗夫还对可分空间证明了关于Gδ集完全可度量化是遗传的，这一工作不久被豪斯多夫推广．1960年，亚历山德罗夫引进点正则基的概念，并应用它得出新的度量化准则：拓扑空间可度量化的充要条件是它是族状正规的且有点正则基．他的学生A．B．阿尔汉格尔斯基(Аргангедъский)也得到类似的结果．
　　1925年，亚历山德罗夫建立了现在通用的拓扑空间公理系统的最终形式．
　　在点集拓扑学中，除上述的紧空间、列紧空间、局部紧空间、H闭空间、完全聚点等，还有许多重要的基本概念是亚历山德罗夫提出并研究的，如二进空间、闭映射、局部有限族、商空间、逆向序列的极限等．还有些概念是他和乌雷松共同提出的，如林德勒夫空间、正则空间类等．
　　20年代中期，亚历山德罗夫了解到布劳威尔在拓扑学方面的工作，特别是关于维数的拓扑不变性的研究，对他有很大启示．从此以后，他的研究工作进入一个新的阶段．在此之前，数学家们在研究拓扑问题时，或运用纯几何的方法(又称组合方法)，或运用纯集合论的方法．亚历山德罗夫在这一时期研究工作的主要特点是把上述两种方法有机地结合起来，从而把以前仅限于多面体的某些结果移植到紧与列紧空间中来，实现把组合拓扑学方法向集合论对象上的转移，奠定了同调理论的基础．
　　亚历山德罗夫在1925年引进的覆盖的网的概念是他进一步研究的基础．设X是拓扑空间，w是X的有限开覆盖，w的网是一个单纯复形映成网Nw)．所以，如果X是紧统，而w通过它的所有有限开覆盖的组成的投影谱S．S以某种自然形态确定自己的极限空间，它同胚于紧统X．这样一来，空间X的所有拓扑性质可以通过它的投影谱的性质来描述，即通过网Nw及其单纯映射的性质来描述．特别地，关于维数和同调的性质就可以这样描述．
　　由这种方式所产生的关于点集拓扑学及其构造方法的新观点具有重要意义，这种观点在很大程度上影响了拓扑学发展的方向．
　　覆盖的网的概念的第一个应用是亚历山德罗夫建立的关于以同维多面体“逼近”列紧统的几个著名概念定理：
　　ε-平移：设ε＞0，A，B是度量空间X的子空间，f为A到B的连续映射，如果对任意。x∈X，ρ(x，f(x))＜ε均成立，则称f为ε－平移．
　　ε－平移定理：设X为m维欧氏空间Rm的有界子空间，且dimX≤n，则对任意ε＞0，存在X到多面体KRm上的ε－平移，其中dimK≤n．
　　ε－映射：设ε＞0，f为度量空间X到拓扑空间Y的连续映射，如果对任何y∈y，f－1(y)均为直径小于ε的集，则称f为ε－映射．
　　ε－映射定理：m维欧氏空间Rm的紧子空间X满足不等式dimX≤n，当且仅当对任意ε＞0，存在X到Rm中维数≤n的多面体K上的ε－映射．
　　后来亚历山德罗夫把ε－映射定理推广到更一般的空间．
　　亚历山德罗夫还研究了度量空间的本质映射，建立了关于维数的另一个重要的特征定理．拓扑空间X到Rn＋1中的(n＋1)球的连续映射f：X→Bn＋1是本质的，如果不存在连续映射g：X→Bn＋1，使g[f－1(Sn)]＝f[f－1(Sn)]且Bn＋1＼g(X)≠φ．亚历山德罗夫证明了下面的本质映射定理：空间X满足不等式indX≤n(≥0)的充要条件是没有连续映射f：X→Bn＋1是本质的．这个定理又被他推广到更广义的空间类．本质映射定理在维数论中有重要地位，它是联系乌雷松－门杰(K．Menger)维数论与亚历山德罗夫的同调维数论的中心环节．
　　1928—1932年，亚历山德罗夫在上述工作基础上，创立了同调维数论，这是同调理论的重要应用．这项工作不仅使维数论得到巨大发展，而且开辟了同调论研究的崭新途径．这是亚历山德罗夫在拓扑学中最重要的贡献．
　　20世纪初，布劳威尔以及稍后的Ｅ．切赫(ech)给出了维数的严格定义，称为大归纳维数；门杰及乌雷松把上述思想局部化之后，得到另一种维数定义，即小归纳维数；勒贝格发现了方体覆盖的有趣事实后，切赫又引进了第三种维数，称为覆盖维数．亚历山德罗夫所定义的同调维数是紧豪斯多夫空间关于可换群的维数，是第四种维数．他研究了同调维数的性质，证明了一系列基本定理，如求和定理、列紧统必包含康托尔流形的定理、障碍定理等，研究了几种维数的关系，特别是同调维数与小归纳维数的关系．同调维数论为拓扑学提供了新的有力的研究工具．例如，关于积空间的庞特里亚金问题、关于任意空间Rn的闭子集的乌雷松问题等都在同调维数论的基础上得到解决．由于亚历山德罗夫的理论具有十分明显的几何特征，所以它可以作为抽象维数论的直接例证．特别地，在很广一类的列紧空间中，同调维数与其他维数的一致性证明了维数定义的正确性和自然性．
　　同调维数论被许多数学家继承和发展．这一领域的某些结果在集合论中又得到十分美妙的推广．如亚历山德罗夫ε－位移定理在很多年以后又穿上了新的外衣——成为度量空间中以ω－映射描述仿紧统的多克尔(Dowker)定理，这一结果现已成为仿紧空间的基本理论之一．
　　同调维数论的另一个应用是J．W．亚历山大(Alexander)建立的对偶性理论在A．H．科尔莫戈罗夫(Колмогоров)和亚历山大发现了上同调群后得到进一步的发展．欧几里得空间或更一般的流形中列紧统的同调群和它的补之间的对应是这一类对偶性的例子．问题的提出显然包含了开集的同调群的定义——列紧统的补集．亚历山德罗夫的理论建立了这一研究领域的坚实的基础．Л．С．庞特里亚金(Цонтрягин)在这个方向上发现并证明了著名的对偶规律．
　　这样一来，在接近30年代中期的时候，拓扑学的两个完全不同的分支——H．庞加莱(Poincaré)的代数拓扑学和由弗雷歇、豪斯多夫开创，亚历山德罗夫建立了重要功绩的点集拓扑学之间出现了实质性的联系．亚历山德罗夫和霍普夫合作的专著《拓扑学》就是这两个拓扑学分支综合发展的结果，是集合论方法与组合拓扑学方法有机结合的典范．遗憾的是，战争干扰了这部著作的完成．原定三卷的计划仅完成了一卷，这就是著名的《拓扑学I》(1935)．两位驰骋在拓扑学不同方向上的优秀大师所写的这部专著已成为拓扑学的经典之作．它的出版是对拓扑学发展有重大影响的著名事件．
　　在1940—1942年间(战时疏散时期)，亚历山德罗夫在拓扑学领域的研究工作达到高峰．他完成了用同调方法研究复形和闭集的形式和分布的工作，也包括闭集及其补集的群的正合序列的研究．这一时期的工作总结在他的专著《复形和闭集分布的同调性质》．这部著作在1943年荣获苏联政府授予的最高奖——国家一级奖金．
　　在40年代末到50年代初，亚历山德罗夫及其学生建立了欧几里得空间中开集的同调理论，推动了同调理论的进一步发展．亚历山德罗夫本人得到了第一个关于欧几里得空间中开集的一般对偶性规律及一系列有关结果．这些工作发表在他的论著《关于n维空间中开集的对偶性的基本定理》中．
　　亚历山德罗夫在拓扑空间同调论方面的工作，特别是创立维数的同调理论的工作与他在纯集合论领域的研究同时进行．1939年，他开展了完全正则空间中列紧扩张的重要研究．他提出的新观点是极有启发性的．后来为В．И．波诺马廖夫(Пономарёв)所发展。这一时期，他在点集拓扑学方面的另一个重要结果是证明了每一个权等于τ的紧统是广义康托尔不连续统Dτ的闭子空间的连续像．早在1927年，他就曾证明每一个列紧统都是寻常康托尔不连续统的连续像．与此相关，对任意τ，作为每一个广义康托尔不连续统Dτ的连续像，他引进了二重紧统的概念．不久后，E．马尔切夫斯基(арчевский)证明了每一个权τ＞0的紧统都不是二重的，而当τ＝0时情形却完全相反．因此，二重紧统理论就显得十分有趣和重要．
　　亚历山德罗夫还提出关于任意紧群空间的二重扩张(Диадичностъ)的假设，后来由Л．Н．Ивановский(伊万诺夫斯基)和В．Л．库兹明诺夫(Куэъминов)证明．他们还证明了二重紧统(диадический бикомпакт)的可度量性可由第一个可数公理得出．苏联和其他国家的一些数学家继承了这项工作．50年代初，拓扑空间映射理论在亚历山德罗夫的直接影响下得到发展．在他20年代创立的连续映射以及与之相关的紧统的连续剖分理论中，几乎每一个重要的结果都是进一步研究的起点．例如，关于每一个列紧统的表示——作为康托尔完备集的连续像的理论，发展为关于每一个紧统是同权的零维紧统的连续像的定理和二重紧统理论．而紧统的连续映射理论则在任意空间的全映射理论中得到发展，等等．亚历山德罗夫本人还得到了关于紧统开映射的第一批基本结果，提出这一领域的基本问题，证明了紧统的维数当施行可数重开映射时保持不变，这是一个与零维及有限重开映射密切相关的结果．在亚历山德罗夫的影响下，完成了非紧度量空间到度量空间的闭连续映射理论的奠基性工作．他的学生И．А．魏国施泰因(Вайнщтейн)得到了关于这种映射边界紧性的结果，这个结果是通向闭映射理论的重要阶梯．
　　1954年以后，亚历山德罗夫着重研究一般连续映射理论，同时在代数拓扑学和一般拓扑学的有关分支做出新的贡献．
　　亚历山德罗夫的研究工作有很大的国际影响．他先后在1961和1966年于布拉格举办的国际拓扑学会议上作重要报告．在1961年的报告中，围绕连续映射理论，他提出了三个密切相关的问题，由此引发出大量的研究工作．在1966年的会议上，他作了关于一般拓扑学研究的综合报告，其中给出空间和映射分类的基本原理，提出一些未解决的问题．这两个报告对拓扑学的发展起到积极作用．
　　亚历山德罗夫著述甚丰，他一生共发表论文150多篇，著作多种．除前文提到的以外，流行较广的还有《组合拓扑学》、《集与函数的泛论初阶》、《拓扑对偶定理，第一部分：闭集》、《群论导引》(Введение в теорию групп，1951)、《非欧几何是什么》(Что такое ноэвклидова геометрия，1950)，等等．他和乌雷松早年合作完成的重要论著《关于列紧空间的研究报告》已于1971年译成俄文出版．
　　亚历山德罗夫不仅是一位才思敏捷的数学家，而且是一位杰出的教育家．他在半个世纪的时间内为莫斯科大学培养了好几代数学家，其中最优秀的是吉洪诺夫和庞特里亚金．在苏联，很难举出一个在拓扑学领域做出贡献的数学家，而未受过亚历山德罗夫的教育和影响．
　　亚历山德罗夫具有作为杰出的教育家所必备的优秀品德．他的性格热情而开朗，充满激情，对学生和周围的人有一种很强的感召力．他讲课的气氛活泼而热烈，使人感到很亲切．他的教育方式也很独特．他经常带领他的讨论班上的年轻人进行所谓“拓扑学旅行”：有时是远距离的、持续数日的水上旅行(划船)，有时带领他们游泳(如横渡伏尔加河)，冬天在莫斯科近郊进行滑雪旅行，夏天则进行远距离的徒步郊游．在旅途中，自然要谈论沿途的建筑、名胜古迹及民族风俗等，但最重要的是给学生指定拓扑学的研究课题．在旅行中他与每个人多次交谈，大家也在一起讨论．每次旅行，大家都能接受许多数学思想．这种方式使参加者感到既兴奋又紧张，人人都在为完成自己的目标而努力．
　　他的优秀品德还体现在对学生的关心．他不仅在工作时间内与学生在一起，而且许多闲暇时间也与学生共同度过．许多学生回忆道，当他们遇到困难(学习上或生活上的)而来到亚历山德罗夫身边时，不仅得到一位长者的深切同情和关心，而且得到科学研究方面或待人处事方面的具体建议，直到帮助他们从困境中摆脱出来．
　　亚历山德罗夫这种生动活泼的教育方式，吸引了一批又一批的年轻人来从事比较抽象的拓扑学研究．由于他多年坚持不懈的努力，终于使以他为核心的研究队伍发展为世界著名的拓扑学派．
　　亚历山德罗夫还是一位音乐爱好者．当他的学生到他的宿舍或家中来讨论问题时，常播放一些古典音乐来缓解气氛．他还常带几个学生去大学的俱乐部听音乐会，培养学生这方面的兴趣．他还是莫斯科大学礼堂公开讲演的支持者，并鼓励学生参加这项活动．总之，他认为高等学校不仅要使学生获取科学知识，而且要把他们培养成为具有高度文化修养的人．他在70年代莫斯科大学校报的“大学生寄语”中写道：“任何科学天赋都由三部分组成——智力、意志和激情，它们形成一种能完全被激情所支配的力量，这种力量是科学创造必不可少的，甚至是决定性的条件．”亚历山德罗夫的这种教育思想在莫斯科大学有很大影响．
　　最后还要提到亚历山德罗夫在数学界所建立的广泛的友谊．除了早年与乌雷松的友谊外，他在1923年以后的国际旅行中，又结交了希尔伯特、诺特、库朗、布劳威尔、豪斯多夫、霍普夫、亚历山大等著名数学家，与他们结下深厚的友谊并进行了长期合作．除此之外，他与科尔莫戈罗夫的友谊特别值得一提．他们在1929年相识，很快结为终生朋友．他们经常沿着伏尔加河、第聂伯河，或者到高加索、克里米亚和法国南部旅行，在旅途中探讨数学问题．1935年以后，在他们的生活中出现了“科马洛夫卡时期”．在莫斯科郊区的一个名叫科马洛夫卡的小村庄，从1935年开始，有一所属于亚历山德罗夫和科尔莫戈罗夫的住宅．在这里，他们规划和完成了许多重要的数学研究．在1935年以后的40多年内，这里发生的许多事情对莫斯科大学数学发展有过影响．这所住宅里经常有他们二位的学生来访和居住，亚历山德罗夫与学生的很多次郊游就在科马洛夫卡结束，然后他们共进午餐(或晚餐)．一些外国数学家，如J．阿达马(Hadamard)、M．R．弗雷歇、S．巴拿赫(Banach)、K．库拉托夫斯基(Kuratowski)以及霍普夫等也曾来此访问并进行学术交流．这些活动对提高苏联数学科学水平起到促进作用．
　　(本文承蒙方嘉琳教授仔

extras · 发表于 24.4.2010 00:01:11

庞特里亚金

　　庞特里亚金，Л．(Понтрягин,Лев Семёнович)1908年9月3日生于俄国莫斯科；1988年5月3日卒于莫斯科，数学．
　　庞特里亚金生于莫斯科的一个低级职员家庭．父亲曾是会计，后来当兵．母亲是一位裁缝．十月革命以后，他在一所普通的十年制中学读书．13岁那年，因一次汽炉的意外爆炸而双目失明．母亲帮助他树立起坚强的人生信念．起初曾想将来从事音乐和历史，但都没有产生强烈的兴趣．到了八、九年级，却被数学迷住了．1925年中学毕业时的唯一志愿，就是报考莫斯科大学数学物理系，由于成绩优秀和教父的帮忙，几乎未经考试就被保送入学，而且有奖学金．
　　庞特里亚金凭听觉学习数学．每次听完课后，立刻集中复习并加以熟记．从二年级起，除听必修课之外，还参加П．C亚历山德罗夫(Алексндров)的拓扑学的授课和讨论班．当年末就获得拓扑学的研究成果．1928年，德国女数学家E．诺特(Noether)来访，使庞特里亚金受益很多．1929年大学毕业后，在亚历山德罗夫主持的讨论研究班里又读了两年．他运用同调维数理论，构造了两个二维紧集，其拓扑积维数是三．这给亚历山德罗夫留下极为深刻的印象．当时的苏联尚没有学位制度．到了1934年，庞特里亚金成为苏联首批博士之一．同年他被任命为莫斯科大学数学教授．也是在1934年，苏联科学院从列宁格勒迁来莫斯科，应所长И．М．维诺格拉多夫(Виноградов)的邀请，庞特里亚金于1935年到莫斯科的斯捷克洛夫数学研究所工作，同时兼任莫斯科大学教授．
　　庞特里亚金曾在1950年和1960年两次结婚，第二位妻子是A．依格娜切也芙娜(Игначтъевна)医生．
　　1939年，庞特里亚金当选为苏联科学院的通讯院士，1958年转为院士．同年他第一次出国访问，参加在爱丁堡举行的国际数学家大会，应邀作大会报告，题目是“最优过程的数学理论”．1970年，在尼斯举行国际数学家大会前夕，需要有一名苏联数学家参加国际数学家联盟(IMU)的执行委员会．苏联数学家全国委员会主席维纳格拉多夫和苏联科学院院长М．B．凯尔迪什(Келдыш)推荐庞特里亚金去参加，他于是代表苏联担任国际数学家联盟(1970—1974)的副主席．1969年，他去美国斯坦福大学访问．次年，再次在国际数学家大会上作报告，题目有关微分对策。
　　庞特里亚金在数学上的最大贡献是拓扑学和最优控制理论．
　　从1927年到1952年，他在拓扑学方面发表了60多篇论文．早期的一项工作是前已提到的维数论．当时人们猜想：拓扑积的维数是其各个因子的维数之和．庞特里亚金举出反例，运用同调维数论构造出两个二维的紧集，其拓扑积的维数是三．与此相关的是推广J．W．亚历山大(Alexander)的拓扑对偶定理，建立起所谓庞特里亚金对偶(1934)．它指出，n维球面流形Mn中闭集A的以紧群X为系数的r维同调群Hr(A，X)，与其补集B=Mn＼A的以离散群Y为系数的(n-r-1)维同调群是对偶的．
　　1933年，庞特里亚金继续拓扑学和代数学的交叉课题，并力求得出尽善尽美的结果．他把紧拓扑空间的同调群构作成连续的交换紧拓扑群，并且使这个群是离散交换群的特征标，由此接近了交换拓扑群的特征标理论．他证明了现被称为庞特里亚金对偶定理的下述结果：局部紧可分交换群G及其特征标群C(G)互为对偶，即C≌C(G)．这一结果以及有关连续代数运算对象的系统论述，都收在专著《连续群》之中．此书于1938年出版，次年即被译成英文(1958年出版中译本)．庞特里亚金也因此获得1940年的国家奖金．
　　维数的同调理论研究的关键，是要找出按集合论定义的紧集维数的同伦等价性．为解决这一问题，必须把从n+k维的球到n维球的一切映射加以同伦分类．1936年的初夏，庞特里亚金解出了 k=1，2的情形．他发现：当n＞3时，n+1维球Sn+1到n维球Sn映射的同伦类只有两类，而不同于先前H．霍普夫(Hopf)的结果：π3(S)=Z，这是令人惊奇的结论．在解决映射的同伦分类时，庞特里亚金还发明了标架流形法，创立了光滑流形的特征类——庞特里亚金示性类，成为刻画流形的微分结构和复结构的不变量．标架流形法和这一示性类虽未能解决球面到球面的分类问题，反过来却用同伦论方法开辟了微分拓扑的新天地．许多数学家给示性类找到了应用．时至今日，庞特里亚金示性类和惠特尼(Whitney)示性类，特别是陈(省身)示性类等，都在刻画一般向量丛(纤维丛，李群，齐性空间)结构的不变量研究中具有特别重要的意义，可说已成为拓扑、分析、代数、几何的交会点及共同工具．
　　1934年，著名的法国数学家E．嘉当(Cartan)访问莫斯科时，提到求紧李群的贝蒂(Betti)数问题．庞特里亚金用摩尔斯理论获得了解决，并在1935年的莫斯科国际拓扑学会议上作了报告．
　　庞特里亚金的拓扑学研究成果多半汇集在《拓扑学基础》和《光滑流形及其在同伦论上的应用》两部专著中(都有中译本)．
　　在战争年代，庞特里亚金疏散到喀山，在那里完成了两件事：研究初等超越函数的零值，以及带不定度规的希尔伯特空间上对称算子的谱分解．带有限维负于空间的希尔伯特空间现被称为庞特里亚金空间．
　　在纯数学领域取得了令人羡慕的成就之后，庞特里亚金既有喜悦又有忧虑．他在自传里曾写道：“我所作的一切究竟为了什么？……什么时候可以把维数同调理论用于技术物理学，或一般地用于我们周围物质世界中？”同事们中间的舆论更加深了他的忧虑．1932年的一天，一位素不相识的年轻物理学家A．A．安德罗诺夫(Андронов)突然来到庞特里亚金的住所，说要和他谈谈研究应用数学的问题。从此开始了他们间20年的友谊．庞特里亚金在回忆往事时说：“我认为他最突出的一点，就是对于国家所发生的一切具有高度的责任感．与他的结识及对我的影响使我放弃了自己一直从事的抽象问题的研究工作，而致力于数学的应用”由于安德罗诺夫的影响，庞特里亚金在第二次世界大战之前作过微分方程方面的工作，曾隐约地提出后来的“结构稳定”概念．也曾因计算哈密顿系统的动力学体系，钻研过J．H．庞加莱(Poincare)和H．M．摩尔斯(Morse)的有关论著，但没有什么重大成果．研究方向上的真正改变，是1952年之后的事情．这一方面是自己的思想早巳倾向应用数学，另一方面是领导和朋友的建议，其中有数学研究所副所长凯尔迪什的劝告，而他的学生和合作伙伴E．Φ．米申科(Мишинко)的支持与帮助则起了关键的作用．
　　1952年秋夫，庞特里亚金和他的学生们开设了振动与控制理论讨论班，开始研究安德罗诺夫的振动理论著作，从而知道了什么是电容、自感、感抗、电子管振荡器等．讨论班上还有一条严格的制度：每次学术报告都必须从讲解某技术问题入手，再用微分方程加以描述．刚开始时这种作法并不为一些老数学家所理解，亚历山德罗夫认为这是对拓扑学的背叛．柯尔莫哥洛夫也对米申科的电子振荡器的研究评价不高．但他们仍然坚持下去，最初的研究工作涉及带小参数的高阶微分方程，庞特里亚金和米申科一起取得了系统的成果，而这一次柯尔莫哥洛夫则给予了高度评价．
　　庞特里亚金在应用数学方面的最大贡献是研究微分对策，发展了最优控制理论．特别是1956年提出的“极大性原理”，取得极高的学术声誉．其主要内容是：
　　非线性控制系统由方程x(t)=F(t，x(t)，u(t))描述，其中u(t)是控制向量，t=0，t=1时x(t)分别有初值x0，x1，用u(t)确定的泛函

　　来表示控制方式的优劣，使J［u(t)］取最小的u(t)为最优控制，相应的x(t)为最优轨线．若该系统的哈密顿函数为H((t)，x(t)，u)，则u(t)，x(t)最优控制和最优轨线的必要条件是存在绝对连续函数(t)=(0(t)…，n(t))使得H((t)，x(t)，u(t))达到最大值，而在终止时间t1，满足0(t1)=0，H((t1)，x(t1)，U(t1))=0．
　　在极大性原理的基础上，庞特里亚金和他的合作者发展了一系列方法，处理了许多实际问题．更重要的是这一原理有很多推广，对偏微分方程和随机过程理论的发展也有重大价值．
　　庞特里亚金和合作者们的专著《最优过程的数学理论》于1961年出版，并很快就有了多国译本，包括中译本．他为莫斯科大学本科生所写的教材《常微分方程》也受到广泛欢迎，1961年由苏联的数学-物理文献出版社出版，并在1975年作为优秀教科书获得国家奖金．
　　1968年以后，庞特里亚金对数学出版物的质量感到关切，他组织了一批数学家成立数学著作编辑与出版委员会，推动许多优秀数学书籍问世．他自己在1980年前后写了四本高等数学的普及读物，并拥有大量读者．他对中学数学教育改革也十分关心，时常提出直率的批评．
　　庞特里亚金出身社会下层，又双目失明，却传奇般地成了一代数学名家．这里除了他个人的天才和勤奋之外，社会给予他很多很多．他从中学起就有奖学金，又被保送进入莫斯科大学．31岁时，成了苏联科学院通讯院士．1940年和1962年两次获国家奖金．1966年再获学术性很高的罗巴切夫斯基奖．他曾三次被授予列宁勋章，1969年获得社会主义劳动英雄金星奖章．

extras · 发表于 24.4.2010 00:02:05

冯·诺伊曼

　　冯·诺伊曼，J．(von Neumann，John)1903年12月28日生于匈牙利布达佩斯；1957年2月8日卒于美国华盛顿．数学、物理学、计算机科学．
　　冯·诺伊曼出生于犹太人家庭．父亲麦克斯·冯·诺伊曼(Max von Neumann)是位富有的银行家． 1913年，奥匈帝国皇帝弗朗西斯·约瑟夫一世(Franz Joseph I)授予麦克斯贵族的封号，诺伊曼家族的姓中便有了“von”字．
　　冯·诺伊曼自幼受到良好的教育．父亲特地聘请了家庭教师，向他系统传授数学、外语、历史和自然常识，而他很早就显示出超人的记忆力和理解力．传说他6岁能心算8位数除法，8岁掌握了微积分，12岁时还学习了E．波莱尔(Borel)的《函数论教程》(Lecons sur la thorie des fonctions)．
　　第一次世界大战爆发的1914年，冯·诺伊曼刚满10岁，被送入大学预科学习．他的过人才智引起了老师L．瑞兹(Ratz)的注意，瑞兹觉得让冯·诺伊曼接受传统的中学教育是在浪费时间，应该对他进行专门的数学训练，使其天才得到充分发展．瑞兹把冯·诺伊曼推荐给布达佩斯大学的J．屈尔沙克(Krschak)教授，屈尔沙克则安排助教M．费克特(Fekete)担任了他的家庭辅导工作．他发表的第一篇论文，便是在不到18岁时与费克特合写的，推广了切比雪夫(Чеъыдев)多项式求根的费耶尔(Fejr)定理．1921年他通过中学生毕业考试时，已被公认为前途远大的数学新秀．
　　这之后的四年，冯·诺伊曼先后在柏林大学和瑞士苏黎世的同业高等技术学院攻读化学，同时保留着布达佩斯大学数学系的学籍．每学期末，他都要从欧洲赶回布达佩斯，探望家人并参加数学考试．1925年和1926年春，他先后获得了苏黎世的化学工程学位和布达佩斯大学的数学博士学位．
　　在柏林，冯·诺伊曼参加过A．爱因斯坦(Einstein)关于统计力学的讲座并跟随E．施密特(Schmidt)学习；在苏黎世，他与H．外尔(Weyl)和G．波利亚(Plya)都有过密切接触．冯·诺伊曼曾说，对他早年学术思想影响最大的数学家，便是外尔和施密特．
　　他还数次前往格丁根大学，拜访大数学家D．希尔伯特(Hi－lbert)．他被希尔伯特的量子力学和证明论深深吸引住了．希尔伯特也非常赏识这位年轻学者，1926年初他尚未拿到博士学位时，希尔伯特就设法为他谋到了格丁根大学的访问学者资格．
　　1927—1929年，冯·诺伊曼被聘为柏林大学的义务讲师，其间在集合论、代数学和量子理论方面取得了大量研究成果，受到数学界的瞩目．1929年他转入汉堡大学任义务讲师．经外尔推荐，他于1930年以客座讲师的身份来到美国普林斯顿大学数学系，第二年成为该系终身教授．这样，他每年有一半时间生活在欧洲，另一半则在美国度过．
　　1933年，高级研究院在普林斯顿成立．冯·诺伊曼从一开始便受聘担任研究院的数学物理终身教授，年仅29岁，是院内最年轻的教授．他在1937年取得了美国公民权．
　　当时，世界经济正处于大萧条时期，战争的阴云笼罩着欧洲，而普林斯顿却成为数学和物理学精英云集之地．在浓厚的学术气氛和安定的生活中，冯·诺伊曼一直全身心地从事着研究工作．1932年，他从数学上总结了量子力学的发展，出版《量子力学的数学基础》(Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik)一书，同时推出了著名的弱遍历定理．1937年他发表关于算子环的理论，还确立了连续几何学．希尔伯特第五问题的部分解决，也是他在这个时期的主要成就之一．
　　1930年。冯·诺伊曼与M·柯维斯(Kovèsi)结婚，女儿玛丽娜(Marina)在1935年出生．两年后，他们的婚姻破裂．1938年夏，冯·诺伊曼回布达佩斯讲学、探亲，与克拉拉·丹(KlaraDan)结婚并于年底一起来到了普林斯顿．克拉拉后来成为首批为计算机编制数学问题码的学者之一．
　　第二次世界大战爆发后，冯·诺伊曼的科学生涯发生了转折．1940年，他被阿伯丁弹道实验研究所聘为科学顾问，1941年受聘任海军兵工局顾问．从1943年底起，他又以顾问身份参加了洛斯阿拉莫斯研究所的工作，指导原子弹最佳结构的设计，探讨实现大规模热核反应的方案．在数学上，除了解决各种数值计算问题外他的最重要成就是1944年正式创立了对策论和现代数理经济学．
　　大战后期，他转向电子计算机的研究．1944年夏，他参观了尚未竣工的第一台电子计算机ENIAC，并参加了为改进计算机性能而举行的一系列专家会议．此后一年里，他提出电子计算机及程序设计的崭新思想，制订出两份全新方案——EDVAC机方案和IAS机方案．1951年，IAS机研制成功，证明了他的理论的正确性．
　　大战结束后，冯·诺伊曼担任高级研究院计算机研究所所长，同时继续在美国海军武器实验室等军事机关中服务．1954年10月，他被任命为美国原子能委员会委员，便于次年辞去了在高级研究院的职务，由工作、生活了23年的普林斯顿迁居到华盛顿．
　　从40年代末直到逝世前，冯·诺伊曼还集中研究了自动机理论，包括对各种人造自动机和天然自动机的比较，解决自动机的自适应、自繁殖和自恢复等问题．1951年发表“自动机的一般逻辑理论”(The general and logical theory of automata)，开辟了计算机科学的一个新领域，并为以后人工智能的研究奠定了基础．
　　1955年夏，冯·诺伊曼被确诊患有骨癌，病情迅速恶化．他在轮椅上坚持进行思考、写作，参加学术会议，还为耶鲁大学准备了希利曼(Hilliman)讲座的讲稿．1957年2月8日，他在华盛顿陆军医院与世长辞，享年53岁．
　　冯·诺伊曼一生担任过许多科学职位，获得了众多荣誉，最主要的有：1937年获美国数学会博歇(Bcher)奖；1947年获美国数学会吉布斯(Gibbs)讲师席位，并得到功勋奖章(总统奖)；1951—1953年任美国数学会主席；1956年获爱因斯坦纪念奖及费米(Fermi)奖．
　　他发表的学术论文共有150余篇，全部收录在1961年珀格蒙出版社出版的《冯·诺伊曼文集》(Collected works of John vonNeumann)中．其中60篇是纯粹数学方面的，60篇关于应用数学，20篇属于物理学．冯·诺伊曼以其超人的才思和丰硕的学术成果，成为一代科学巨匠．　
纯粹数学
　

　　冯·诺伊曼在纯粹数学方面的工作集中于1925—1940年，主要可分为以下六个方向。
' N0 [& x$ i0 @) x c　　1．集合论与数学基础
　　本世纪初，为了克服悖论给G．康托尔(Cantor)集合论带来的困难，并系统整理康托尔的理论与方法，人们开始致力于公理化方法的研究．1908年，出现了两个著名的公理系统：E．策梅罗(Zermelo)的系统[后由A．弗伦克尔(Fraenkel)和A．斯科朗(Skolem)修改补充，成为ZF公理系统]和B．罗素(Russell)的类型论．
　　冯·诺伊曼很早就对集合论问题感兴趣．1923年还在苏黎世就读期间，他发表了自己的第二篇论文“超穷序数引论”(Zur Einfhrung der transfiniten Ordnungszahlen)，力图将康托尔的序数概念“具体化、精确化”．在康托尔的定义中，序数是良序集的序型，而根据ZF公理系统，序型的存在性是无法证明的．冯·诺伊曼借助于ZF公理系统中初始截断的概念和无穷公理，给出了序数及超限序数形式化的新定义，这种定义一直沿用至今．
　　此后六七年中，他积极传播公理化的思想，并试图建立更具形式化和精确性的公理系统．1923年，他向德国《数学杂志》(Ma－thematische Zeitschrift)编辑部提交了长篇论文“集合论的公理化”(Die Axiomatisierung der Mengenlehre)，施密特代表编辑部把论文推荐给集合论方面的权威弗伦克尔．经过与弗伦克尔详尽地探讨，冯·诺伊曼根据原文写出一篇介绍性文章“集合论的一种公理化”(Eine Axiomatisierung der Mengenlehre)，于1925年发表．
　　“集合论的公理化”后来成为冯·诺伊曼的博士毕业论文．它所建立的公理体系经P．贝尔纳斯(Bernays)和K．哥德尔(Gdel)完善之后，形成了公理化集合论中又一新的系统——NBG系统．
　　NBG系统不像ZF系统那样，把集合与从属关系作为原始概念，并采取限制集合产生的办法来达到排除悖论的目的，也不同于类型论中以集合与层次的语言描述集合体系．它的特点是在“集合”与“属于”之外，引入了“类”作为不定义概念，比集合的概念更具概括性．类分为集合和真类，规定真类不能作为类的元素．这样，就排除了由“所有集合的集合”产生悖论的可能性．
　　与ZF公理系统相比，NBG系统保留了更多、更有用的论证方法．而且在ZF系统中，包含着由无穷多条公理组成的公理模式，NBG系统则不含公理模式，是一有穷公理系统，有着如同初等几何公理那样简单的逻辑结构，这是它最主要的优点．
　　现已证明，NBG系统是ZF系统的扩充．哥德尔在证明选择公理与连续统假设同其他公理的相容性时，就受到了NBG系统的启发．到今天，NBG系统仍是集合论最好的基础之一．
　　与集合论公理化的工作相适应，冯·诺伊曼在20年代后期参与了希尔伯特的元数学计划．1927年的文章“关于希尔伯特的证明论“(Zur Hilbertschen Beweistheorie)对数学形式主义的基本概念进行了阐释．它指出，希尔伯特元数学计划所提出的各种问题，虽经希尔伯特本人及贝尔纳斯、W．阿克曼(Ackermann)等人的努力而有所进展，但从总体上而言仍未得到令人满意的解决．尤其是阿克曼关于自然数论无矛盾性的证明，不能在古典分析中实现．
　　1931年，哥德尔不完全性定理提出之后，希尔伯特计划的完全实现落空了．对此，冯·诺伊曼并未感到过分惊奇，因为早在1925年发表的“集合论的一种公理化”中，他便隐约地预见到哥德尔的结论：任一形式化体系中都存在着本系统内无法判定的命题．原文的最后一句话是：“暂时，除了陈述集合论本身的缺陷外，我们还能做什么呢？没有一种已知的方法可以避免其中的困难．”他认为，“由哥德尔的结果应当引出一条新的途径，去理解数学形式主义的作用，而不应把它当作问题的结束．”他本人对数学基础保持着长久的兴趣，并在后期关于计算机逻辑设计和机械化证明中得到体现． 8 j4 U& r0 Y2 d& W2 {
　　2．测度论
　　测度论在冯·诺伊曼的整个研究工作中并非处于中心地位，但他给出了许多很有价值的方法和结果．
　　在1929年的“一般测度理论”(Zur allgemeinen Theorie desMasses)一文中，冯·诺伊曼对群的子集讨论了有限可加测度．n维欧氏空间Rn中的“测度问题”是：Rn的幂集上，是否存在一非负、正规化且关于刚体运动不变的可加集函数？F．豪斯多夫(Hau－sdorff)和S．巴拿赫(Banach)证明：测度问题在n为1和2时有无穷多个解，在其他情况下无解．这个结论给人的感觉是：当维数由2变为3时，空间的特性发生了根本的、难以捉摸的变化．冯·诺伊曼则指出，问题在本质上是属于群论的，造成性质差异的根源在于群的变化而非空间的变化．探讨测度问题的可解性，需要用到群的可解性这一代数概念．
　　他继续运用群论的思想，分析了豪斯多夫-巴拿赫-塔尔斯基(Tarski)悖论：Rn(n≥3)中两个不同半径的球，可以分别被分解为有限个互不相交的不可测子集，使两球的子集间可建立起两两全等的关系(在n为1或2时，这种分解不存在)．他解释说，这是因为在n为3或更大时，正交群包含着自由非阿贝尔(Abel)群，而在小于3时则不然．
　　这样，测度问题便从Rn推广到了一般的非阿贝尔群．而巴拿赫关于R2的一切子集使用同一测度的可能性被证明对阿贝尔群的所有子集也成立．最后，他得出结论：所有可解群都是可测度的(即某种测度能够引入到可解群上)．
　　这篇文章属于最早将集合论的结果从欧氏空间推广到更一般的代数和拓扑结构中去的工作之一．从那时起，这种思想方法开始受到了更广泛的重视．
　　同一时期，匈牙利数学家A．哈尔(Haar)提出这样一个问题：在Rn中是否有一种挑选可测子集的方法，使得每个子集均与给定的集合等价，并且选择过程保持有限集运算？冯·诺伊曼给出了肯定的回答，并把结论推广到可测函数的情形．这成为解决测度分解问题的出发点．1935年，他还与M．斯通(Stone)合作，讨论了更一般的问题：A是一布尔代数，M为A的理想，何时存在A的子代数，使A到A／M的映射限制在子代数上时为同构？他们给出了存在性的各种充分条件．
　　另一成果是他在1934年对紧致群证明了哈尔测度的唯一性(在相差常数因子的意义下)．证明过程中构造了紧致群上连续函数的“不变平均”(invariant means)，用到不同于哈尔的方法来引进测度：以光滑测度m′代替给定的左不变测度m，m′由下式定义：

　　其中ω为适当的权函数．m′不但具有m的所有性质，且具有右零不变性．这些方法在后来他与S．博赫纳(Bochner)研究可分拓扑群上殆周期函数时得到了系统的应用．
　　1933—1934年，冯·诺伊曼在高级研究院作过有关测度论的报告，非常详细地阐释了欧氏空间中勒贝格测度的古典理论，并推广到抽象测度空间中．报告的内容在很长一段时间内是美国在测度论方面的主要资料来源，1950年由普林斯顿出版社编辑成为《函数算子》 (Functional operators)一书． 4 W1 q! l, [" j( V7 W9 P
　　3．遍历理论
　　冯·诺伊曼在这一领域的首要成就，是证明了平均遍历定理(mean ergodic theorem，亦称弱遍历定理)．19世纪70年代，L．玻尔兹曼(Boltzmann)提出了统计力学中的遍历性假设，并希望以此为前提，推导出保测变换的空间平均等于(离散)时间平均，这就是玻尔兹曼计划．
　　从数学上实现这一计划，首先需要证明作为时间平均的极限的存在性．1931年，B．库普曼(Koopman)和A．韦伊(Weil)同时发现，由保测变换诱导出的函数算子是酉算子．它给冯·诺伊曼以很大启示．当时，他正致力于算子理论的研究，这一发现促使他尝试着用希尔伯特空间的自共轭算子去解决存在性问题．很快，他便提出并证明了遍历理论的第一个重要定理——平均遍历定理：
，对保测变换T，遍历平均

　　依L2的范数收敛到函数Pf，其中Ut是T诱导的算子

UTf(x)=f(Tx),xX

　　而p是L2到Ut不变函数空间的正交投影．
　　在这一结果发表(1932年)之前，冯·诺伊曼把它介绍给了G．D．伯克霍夫(Birkhoff)和库普曼．伯克霍夫将“依平均测度”意义下的收敛改善为“处处收敛”，得出了更强的结论——逐点遍历定理(pointwise ergodic theorem，亦称个体遍历定理)，并于1931年12月率先发表．
　　尽管如此，由于伯克霍夫与库普曼在1932年撰写了“遍历理论的近期发展”(Recent contributions to the ergodic theory)，使学术界了解到遍历定理产生的前因后果，冯·诺伊曼的首创性工作得到了肯定．
　　不久，第33卷《数学纪事》(Annals of mathematics，1932)又刊登了他颇具影响力的文章“古典力学中的算子方法”(ZurOperatorenmethode in der klassischen Mechanik)，这标志着对遍历理论系统研究的开端．
　　论文首先给出了平均遍历定理的详尽证明，然后推出6条重要的定理．第一条是分解定理(decomposition theorem)：任何保测变换均可分解为若干遍历变换的直积分．它说明在所有保测变换中，具有遍历性的是最基本、最重要的，任何保测变换都可由它们构造而得．
　　定理2则进一步指出，单参数保测变换群的分类问题在本质上可归结为对遍历变换进行分类．
　　保测变换的分类问题后来成为遍历理论的中心问题，其中最关键的第一步，当属冯·诺伊曼与P．哈尔莫斯(Halmos)1942年共同证明的结论：
　　f1和f2分别是有限测度空间X1和X2上的保测变换，U1和U2分别是X1，X2在L2上诱导出的酉算子．若f1，f2有离散谱，则f1与f2同构当且仅当U1和U2作为希尔伯特空间上酉算子时是相同的．
　　冯·诺伊曼在处理遍历理论的问题时，往往着重于测度和谱的内在联系．定理5就是关于离散谱的典型结果：对于具有纯点谱的酉算子U(由遍历变换诱导而得)，其谱实际上构成实数群的一可数子群；反过来，实数群的每个无穷可数子群均可作为某些遍历变换所诱导的酉算子的纯点谱．
　　与此对应，又有冯·诺伊曼和库普曼关于连续谱的混合定理(mixing theorem)．它断言：遍历变换的几何性质(混合性)与酉算子的谱性质(无非平凡的特征值)是等价的．
　　对于冯·诺伊曼在测度论和遍历理论方面所取得的成果，哈尔莫斯给予了如此的评价：“从文献数量上看，它们尚不及冯·诺伊曼全部科学论著的十分之一，但就质量而言，即使他从未在其他方面作过研究，这些成果也足以使他在数学界享有永久的声望．”
* W7 ~3 R9 ?0 ^. t　　4．群论
　　冯·诺伊曼的一个著名成果，是在1933年对紧致集解决了希尔伯特第五问题．早在1929年，他曾证明对连续群有可能改变参数，使群的运算成为解析的．具体地说，对于n维空间中的线性变换群，它有一正规子群，可以被解析地且按有限个参数一一对应的方式局部表出．这是第一篇对解决希尔伯特第五问题做出贡献的文章．
　　1933年，他在《数学纪事》第34卷上发表“拓扑群中解析参数导论”(Die Einfhrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen)，证明每个局部同胚于欧氏空间的紧致群允许一李群结构．这样，希尔伯特第五问题在紧致群的条件下得到了肯定的回答．
　　问题的解决用到了彼得(Peter)-外尔积分在群上的类比、施密特的函数逼近定理及L．E．J．布劳威尔(Brouwer)关于欧氏空间的区域不变性定理，体现出冯·诺伊曼丰富的集合论与实变函数知识以及他对积分方程、矩阵计算技巧的熟练应用．
　　另一项工作亦同群论相关：群上的殆周期函数(almost pe－riodic function)理论．他把H．玻尔(Bohr)首创的实数集上殆周期函数概念扩展到任意群G中，继而在新的殆周期函数理论与彼得、外尔的群表示理论之间建立起联系：设群G的有限矩阵表示为D(x)=(dij(x))，
　　则下述三个条件等价：
　　(1)每个dij(x)都是G上的有界函数；
　　(2)每个dij(x)都是G上的殆周期函数；
　　(3)D等价于一个酉矩阵的表示．
　　他由此指出，群上的殆周期函数构成了群表示理论的最大适用范围．
4 e& K2 M6 j9 m }! ]　　5．算子理论
　　对算子理论的探索贯穿了冯·诺伊曼的整个科学生涯，这方面的论文占他全部著述的三分之一，他在这个领域有着20多年的领导地位．
　　1927—1930年，他首先给出了希尔伯特空间的抽象定义，即现在所使用的定义．然后，对于希尔伯特空间上自共轭算子谱理论从有界到无界的推广，做了系统的奠基性工作：引入稠定闭算子的概念，给出无界自共轭算子、酉算子以及正规算子的谱分解定理，指出了对称算子和自共轭算子在性质上的差异，还与外尔共同研究了无界算子经过扰动后谱的变化规律．
　　冯·诺伊曼的谱理论的形成，加上1933年巴拿赫所著《线性算子理论》(Thorie des operations linaires)一书的问世，标志着数学领域中又一新的分支——泛函分析的诞生．
　　20年代，E．诺特(Noether)和E．阿廷(Artin)发展了非交换代数理论，冯·诺伊曼意识到这是对矩阵论极好的阐释和简化，他尝试着将有关概念扩展到希尔伯特空间上的算子代数中，由此产生了“算子环”的概念：关于弱(或强)算子拓扑为闭且含有恒等算子I的＊子代数称为算子环．算子环可以认为是有限维空间内矩阵代数的自然推广，后来被人们称为冯·诺伊曼代数，以示对冯·诺伊曼的纪念．而在同构意义下，它又可称作W*代数．
　　算子环的正式定义出现在冯·诺伊曼1929年的论文“函数运算代数和正规算子理论”(Zur Algebra der Funktionaloperati－oren und Theorie der normalen Operatoren)中．这篇论文还包括了“交换子”(commutant)、“因子”(factor)等重要定义，以及二次交换子定理(double commutant theorem)：
是算子环，则交换子也是算子环，且．
　　这实际上给出了算子环的一个等价定义：希尔伯特空间H上有界线性算子全体(H)中满足=()’的＊子代数称为算子环．这一定义是研究算子环的重要工具，如判断算子何时与一算子环相伴，用于对稠定闭算子进行标准分解等．
　　从1935年开始，冯·诺伊曼在F．J．默里(Murray)的协助下，又写出了题为“论算子环”(On rings of operators)的系列文章．
　　他们的首要结论是：算子环可以表示为因子的连续直积分．因此，对算子环的研究便归结为对因子的研究．
　　受经典非交换代数理论的启示，人们曾推测所有因子均同构于(H)．冯·诺伊曼和默里在“论算子环I”中证明：当因子包含极小射影时，它同构于(H)．但同时，他们又应用遍历论的技巧，构造出一类重要的例子，说明并非所有的因子都有极小射影，因而有关因子的性质远非人们推测的那样简单．
　　他们在因子的射影之间建立了序关系，使之具有可比性．而这种序关系又可用维数函数(定义于因子的等价类之上)来表述．根据维数函数值域的不同情况，对因子有以下分类：

　　通过群测度空间的构造，他们得到了Ⅱ1型和Ⅱ∞型因子．1940年的“论算子环Ⅲ”又给出了Ⅲ型因子的例子．
　　继因子的分类和各类因子存在性的证明之后，一个重要的问题是：这种分类是否完成了因子的代数分类？即某给定类型中的全体因子是否同构？冯·诺伊曼和默里花去大量时间考察这个问题，最终构造出两个新的Ⅱ1型因子并证明它们是非同构的，从而给了原问题否定的回答．
& }, r5 M# G2 }! |# C/ M+ }# t" P　　6．格论
　　冯·诺伊曼在研究希尔伯特空间算子环时，遇到了一类完备有补模

定义L为连续几何(continuous geome－try)，并构造出一类重要的连续几何：对任意可除环F和自然数n，F上的2n维子空间构成2n—1维射影几何PG(F，2n—1)．将它度量完备化之后得到的有补模格就是连续几何，记为CG(F)．他证明了希尔伯特空间中的Ⅱ1型因子具有与CG(F)同构的不变子空间格．
　　正则环(regular ring)是冯·诺伊曼引入的另一新概念：A是有单何的表示有着密切联系：连续几何L与某正则环A的主左理想构成的格同构．也就是说，将A分解为诸理想的直和，对应于把L分解为诸格的直积的问题．
　　在这些结论的证明过程中，冯·诺伊曼又发展了一些新的思想方法，其中主要是关于格的分配性：数对的分配性、独立元的分配性和无穷分配性等．他最早发现，在布尔代数中，交与并的运算必然是无穷分配的，而这种分配性又等价于连续性．
　　他在格论方面的工作大部分未能及时发表，主要通过1935—1937年高级研究院的讲义《复域几何》(Geometry of complexdomains)、《连续几何》及美国科学院会议录得以保存和传播．　
应用数学
　

　　1940年以后，随着第二次世界大战中政治、经济和军事形势的发展，冯·诺伊曼开始把精力更多地投注于实际问题之中，主要是计算数学和对策论两方面的工作． 1 W: X: ?9 v1 ~0 ~2 V' a
　　1．计算数学
　　冯·诺伊曼认为，描述物理现象的方程一旦用数学语言给予表达，就可以从数值上得到解决而无须借助于常规方法或进行重复试验．他在计算数学方面的努力，是与他的这种观点以及解决实际问题的困难程度分不开的．
　　大战中，各种技术问题引起了快速估计和逼近解的需要．这些问题往往涉及一些不能忽略或分离的外部扰动，必须借助数值方法进行定性分析．冯·诺伊曼从数值稳定性分析、误差估计、矩阵求逆和含间断性解的计算等数个方向进行了探索．1946年，他和V．巴格曼(Bargmann)、D．蒙哥马利(Montgomery)合作．向海军武器实验室提交了报告“高阶线性系统求解”(Solutionof linear systems of high order)，对线性方程组的各种解法进行了系统阐述，并探讨了利用计算机进行实际求解的可能性． 1947年，他又同H．哥德斯坦(Goldstine)研究了高阶矩阵的数值求逆，并给出严格的误差估计，特别是对150阶矩阵求逆所能达到的精确程度给出了有意义的结果．
　　在解决可压缩气体运动尤其是存在间断性的情况时，冯·诺伊曼创始了人工粘性法．例如，物理学上有系统守恒律

Ut+F(U)=0(U为热量，F为流量)，

　　它所描述的系统即使在初值光滑的情形下也会自发地产生间断性(激波)．冯·诺伊曼和R．里希特迈耶(Richtmyer)把它看成分布方程，求解过程便相当于寻求有效的数值算法来计算分布导数．他们以抛物正则方程

Ut+F(U)=εΔU

　　代替原方程，使分布导数成为普通导数，从而可用有限差分来近似，这样得出的解总是光滑的．这种在计算公式中人为加入“粘性”项的方法，使激波间断成为光滑的过渡区，激波的位置与强度便很容易确定了．人工粘性法是现代流体动力学中拉格朗日方法的第一个例子，提供了在电子计算机上对流体力学进行数值模拟的有力手段．
　　电子计算机产生之后，冯·诺伊曼又推出了利用计算机进行数值分析的新思想、新方法，从而推动了计算数学的兴起与形成，也使他成为现代科学计算的奠基人之一(详见本文“计算机的理论与实践”部分)． " L! |! [+ Q) w8 H2 i- p4 ~/ D0 z
　　2．对策论与数理经济
　　冯·诺伊曼是对策论(又称博弈论)的创始人和现代数理经济学的开拓者之一．本世纪20年代，波莱尔最早用数学语言刻画了博弈问题，引进纯策略与混合策略的概念，并提出解决个人对策与零和二人对策的数学方案．但是，对策理论作为学科的真正创立，则是从冯·诺伊曼1928年发表“关于伙伴游戏理论”(Zur The－orie der Gesellschaftsspiele)开始的．
　　文中最重要的结论，是关于零和二人对策的极小极大定理(minimax theorem)：m×n矩阵A是正规化零和二人对策的支付矩阵，x和y是对局双方采取的混合策略的概率向量，存在唯一数值v，使得

　　同时，存在最优策略x*和y*，使

　　以极小极大定理为依据，冯·诺伊曼首先讨论了合作对策问题，特别是零和三人对策中有两方联合的情形．为了给出合作对策解的概念，他引入特征函数的思想．最后又明确表述了n个游戏者的一般博弈方案，结果表明：在附加条件下，n人对策问题的解是存在并且唯一的．
　　极小极大定理是对策论的基石．30年代，冯·诺伊曼本人及其他数学家陆续给出此定理的一些新的证明方法．到了40年代，A．瓦尔德(Wald)以极小极大定理为基础，把决策过程视为人与环境进行的二人对策问题，由此开创了统计决策理论．从那时起，对策论成为应用数学中一个活跃的研究领域．
　　1940年，奥地利经济学家O．摩根斯坦(Morgenstern)来到普林斯顿，他使冯·诺伊曼对经济问题特别是货物交换、市场控制和自由竞争等产生兴趣．经过四年的合作，他们出版了《对策论与经济行为》 (Theory of games and economic behavior)．这部著作对1928年的论文进行了进一步阐述，如增加了“分配”(imputa-tion)、“控制”(domination)的概念，定义了冯·诺伊曼-摩根斯坦解．全书有近三分之二的篇幅是处理合作对策问题的．
　　对策论在经济理论基本问题中的应用，是书中另一重要成果．他们认为，尽管当时的经济学还处于发展早期——如同16世纪的物理学，但最终它必将也像物理学一样，发展成为一门严密的数理科学．而对策论就是迈向综合性的数理经济学的第一步．这实际上体现了冯·诺伊曼将社会科学也纳入公理化数学体系的愿望．
　　早在1932年普林斯顿举办的一次学术讨论会上，冯·诺伊曼还讨论了一般经济平衡的模型化问题．他给出货物生产与消费的一个经济模型，并指出了模型问题与极小极大定理的密切关系：当把经济活动视为零和对策问题时，经济模型的平衡点就是对策问题中的极大极小值v．　
物理学
　

　　冯·诺伊曼的眼光并未只局限于数学方面，他对物理科学同样有着浓厚的兴趣．可以说，对数学和物理学之间内在联系的探讨，在他的科学成就中具有最重大的意义．前面提到的算子理论和遍历理论等，实质上都与他在理论物理领域的工作——量子力学的数学化密不可分．
　　1926年，冯·诺伊曼来到格丁根大学．他在跟随希尔伯特研究数学基础的同时，被格丁根大学内正在开展的量子力学工作深深吸引住了．当时的量子力学在数学上有两种表述体系：W．海森堡(Heisenberg)、M．玻恩(Born)和W．泡利(Pauli)从微观粒子的粒子性出发建立的矩阵力学，E．薛定谔(Schrdinger)从波动性出发建立的波动力学．对于推测原子的性质这一实用目的来说，这两种体系是足够的．不久，薛定谔又证明了两者的等价性，并归结为由P．狄拉克(Dirac)和P．约当(Jordan)发展的变换理论的特殊情形．但是，冯·诺伊曼等人对此并不满意，他们希望从中提取更多的共性，建立量子力学的形式化体系．
　　这年冬天，希尔伯特就量子力学的新发展作了一次演讲，L．诺德海姆(Nordheim)为讲义的物理部分准备了材料，而关于数学形式化部分的主要工作，则是由冯·诺伊曼完成的．
　　量子理论的一个基本点，是原子状态的数学描述．冯·诺伊曼对此并未明确定义，而是给予了形式化的处理：原子的状态由希尔伯特空间中的单位向量表征．这正如希尔伯特对欧氏几何进行形式化时，把点、直线作为不定义术语一样．冯·诺伊曼指出，这种描述同海森堡和薛定谔的定义是一致的，而且代数中的形式规则如加法、乘法规则，对他们的表述体系同样适用．
　　他又构造了基于五条公理之上的抽象希尔伯特空间，并证明海森堡和薛定谔的原子状态定义满足五条公理．最后的结论是：量子力学的一种合适的形式语言，由抽象希尔伯特空间的向量(代表系统状态)、某类算子(代表系统中的可观察量)及其代数规则构成．
　　这些方法极好地体现了希尔伯特的公理化纲领，成为量子力学数学化的序曲，也促使冯·诺伊曼对希尔伯特空间的算子理论给予了充分的发展．
　　1932年，他的名著《量子力学的数学基础》由德国斯普林格公司出版．这是对先前的方法和结论的综合与完善．他特别指出，狄拉克等人在处理算子的概念时，对其定义域和拓扑并未予以充分考虑，草率地假设当算子为自共轭时，总可以被对角化．而对于无法对角化的，则引入狄拉克非正常函数(δ函数)的概念．冯·诺伊曼发现了它的自相矛盾的性质，并用自己的成就证明：变换理论能够建立在清晰的数学基础之上．其方法并非去修正狄拉克的理论，而是发展希尔伯特的算子理论．当他成功地将算子谱论由有界推广到无界情形后，便最终完成了量子力学的形式化工作，它包含海森堡和薛定谔等人的体系作为特殊情况．
　　书中另一个主要内容，是从统计学角度阐述了量子力学中的“因果律”(causality)和“测不准原理”(indeterminacy)．他的结论是，量子系统的不确定性并非由于观察者的状态未知所致．即使在系统中引入假想的“隐参量”(hidden parameters)，使观察者处于精确的状态，最终仍会因为观察者的主观意识而导致不确定的观察结果．这种观点得到了大多数物理学家的赞同．
　　此书还包括了对量子力学中特殊问题的解决，例如遍历假设在量子系统中的表述和证明．这成为他后来开辟的遍历理论的先声．
　　《量子力学的数学基础》(德文版)先后被译为法文(1947年)、西班牙文(1949年)、英文(1955年)和日文，它至今仍是理论物理领域的经典之作．
　　1927年，冯·诺伊曼开始用概率术语对量子力学进行分析，引入统计矩阵U(现称为ρ矩阵)来描述各种量子状态的系统之集合．统计矩阵成为量子统计学的主要工具．而他关于量子力学的度量理论则为热力学的发展奠定了基础．　
计算机的理论与实践
　

　　在洛斯阿拉莫斯，原子核裂变过程所提出的大量计算任务，促使冯·诺伊曼关注着电子计算机的研制情况．从1944年8月到1945年6月，他参与了对电子数值积分和计算器ENIAC(ele－ctronic numerical integrator and calculator)的考察和改进工作．他发现ENIAC机的主要缺陷，是仍采取以往机电式计算机的“外插型”程序，在按给定程序执行运算时，每个问题都需要一个特殊的线路系统，因而缺乏高速计算所必需的灵活性和普遍性．
　　1945年3月，冯·诺伊曼为宾夕法尼亚大学起草了离散变量自动电子计算机EDVAC(electronic discrete variable automaticcomputer)的设计方案，轰动了科学界．第二年6月，他又与A．伯克斯(Burks)、哥德斯坦联名提出更完善的报告“电子计算机逻辑设计初探” (Preliminary discussion of the the logical design of an electronic computing instrument)，揭开了计算机发展史上新的一页．
　　在这两份报告中，冯·诺伊曼建立了计算机组织的最主要结构原理——存储程序(stored－program)原理．它确定计算机由五部分构成：计算器、控制器、存储器、输入和输出装置．程序由指令组成并和数据一起存放在存储器中，机器按程序指定的逻辑顺序，把指令从存储器中读出来并逐条执行，从而自动完成程序描述的处理工作．
　　根据这一原理设计的EDVAC机和IAS机方案，与ENIAC机相比有如下重要的改进：
　　(1)将十进制改为二进制，程序和数据均由二进制代码(code)表示；
　　(2)程序由外插变为内存，当算题改变时，不必变换线路板而只需更换程序；
　　(3)以超声波信号的方式存储输入的电信号，并建立多级存储结构，存储能力大大提高；
　　(4)采用并行计算原理，即对数字的各位同时进行处理．
　　从1946年开始，冯·诺伊曼组织哥德斯坦等人在高级研究院进行了IAS机的实际建造工作，1951年终于获得成功．它的运算速度达到每秒百万次以上，比ENIAC机快数百倍，实现了冯·诺伊曼的设想．
　　由存储程序原理构造的电子计算机称为存储程序计算机，后又被称为冯·诺伊曼型机．现代计算机的组织结构虽然有了一些重大变化，但就原理而言，占主流的仍是以存储程序原理为基础的冯·诺伊曼型机．冯·诺伊曼的思想深深地影响着现代计算机的存储、速度、指令选取和线路设计等各个方面．
　　冯·诺伊曼的名字是与计算机设计家联系在一起的．然而，他对计算机的主要兴趣并不在于计算机的设计与制造，而在于如何利用这种新型科学工具，开创现代科学计算的新天地．
　　古典的数值分析方法，对于计算机来说未必是最优的，而一些在算术上极为复杂的方法，编制为程序后反而容易在新型计算机上得以实现．冯·诺伊曼从这一实际情况出发，为计算机程序设计做了大量工作．他和哥德斯坦发明了流程图(flow diagram)以沟通所要计算的问题和机器指令；他引入子程序和自动编程法，大大简化了程序员编程时的繁琐程度．矩阵特征值计算、求逆、多元函数极值和随机数产生等数十种计算技巧，也都是他在战后的几年内首创的，它们在工业部门和政府计划工作中有着广泛的应用．
　　电子计算机诞生后，冯·诺伊曼和S．乌拉姆(Ulam)倡导了一种新型计算方法——蒙特卡洛法(Monte Carlo method)，它将所要求解的数学问题化为概率模型，在计算机上以较小规模实现随机模拟，获得近似解．例如，在计算n维立方体的某子区域的体积时，不用通常的将空间分割为一系列格点以逼近所求体积的方法，而是按均匀的概率在空间中随机选择点，利用计算机确定落在孩子区域中的点与所有点的比．当所选点的数量足够多时，这个比便给出了体积的近似值．
　　蒙特卡洛法的优点在于对问题的几何形状不敏感，收敛速度与维数无关，因此特别适用于高维数的数学物理问题．利用此法，冯·诺伊曼通过适当的对策产生了具有给定概率分布的随机数列，设计了处理玻尔兹曼方程的概率模型．战后，他在高级研究院领导了一个气象研究小组，建立起模拟大气运动的模型，希望利用计算机逐步求解从而解决数值天和技术上都有着极大的启发意义．
　　1956年，美国原子能委员会在向冯·诺伊曼颁发费米奖时，特别提到了他对于在计算机上进行计算研究的贡献．
　　从1945年起，冯·诺伊曼还致力于自动机理论及脑神经和计算机的对比研究，他被认为是自动机理论的创立者．
　　本世纪三、四十年代，C．尚农(Shannon)的信息工程、A．图灵(Turing)的理想计算机理论和R．奥特维(Ortvay)对人脑的研究，引发了冯·诺伊曼对信息处理理论的兴趣．而1943年W．麦考洛奇(McCulloch)与W．匹茨(Pitts)所著的《神经活动中内在意识的逻辑分析》(A logical calculus of the ideas imma－nent in nervous activity)，则使他看到了将人脑信息过程数学定律化的潜在可能．在他1945年关于EDVAC机的设计方案中，所描述的存储程序计算机便是由麦考洛奇和匹茨设想的“神经元”(neurons)所构成，而非利用真空管、继电器或机械开关等常规元件．
　　此后，他参加了有关信息论、控制论的系列会议，同数学家、物理学家、电工学家和生物学家进行广泛接触，逐渐形成了能同时应用于生物和技术领域的自动机理论．1948年9月，在希克松(Hixon)讨论班上，他作了“自动机的一般逻辑理论”(The ge－neral and logical theory of automata)的报告，提出自动机的自繁殖和迭代阵列等新概念，并对人造自动机(如计算机)和天然自动机(如人脑)进行了比较．他通过计算说明，计算机中电子元件的数量不过是人脑神经元数目的百万分之一；而另一方面，信息在电子元件中的传递速度大约是在脑神经中的一万倍．这样，计算机以速度取胜，而大脑则在复杂性上占优．为了使两者的特性具有可比性，可用每秒内发生的电信过程作为标准．计算显示，人脑的特性要超出计算机一万倍．
　　进一步，他还指出，计算机在执行运算时一般是依顺序进行的，而人脑则倾向于平行运算，因此在“逻辑深度”上不及计算机．
　　以此为基础，他于1952年开创了著名的冗余技术：对于一批带有一定故障发生率的元件(不可靠元件)，通过适当的方法，建造出任意规模和复杂程度的自动机，使不正确输出的概率能被控制在一定范围之内(可靠机)．同时，他又仿照微生物组织的结构来描述自繁殖系统，提出诺伊曼细胞空间的概念，利用许多互相连结的小自动机并行运算，形成了更大规模的自动机——诺伊曼自动机．这是最早最基本的一类自动机．这两项理论在70年代分别发展成为容错自动机理论和细胞自动机理论．
　　1955年初，冯·诺伊曼应耶鲁大学之邀，开始为美国最古老、最著名的科学讲座之一——希利曼讲座编写讲义，系统阐述他关于计算机、自动机和人脑的理论体系．由于他的病情加重和逝世，这次讲座的计划未能实现．1958年，耶鲁大学出版了讲义的单行本《计算机与大脑》(The computer and the brain)．
　　在1947年的论著《数学家》(The mathematician)中，冯·诺伊曼表达了这样的数学观念：数学的发展与自然科学有着密切联系，数学方法渗透于并支配着自然科学的所有理论分支．数学有其经验来源，不可能存在绝对的、脱离所有人经验的严密性概念．而另一方面，数学是创造性学科，受审美观的支配，选择题材和判断成功的标准都是美学的．必须防止纯粹美学化的倾向．为此，应该不断在数学中注入一些“或多或少直接来自于经验的思想”．
　　冯·诺伊曼的科研活动明显地受着上述观念的影响．他涉猎了如此众多的科学领域，力求保持数学理论同物理学及其他自然科学中日益增长的复杂现象之间的联系．这同时也是对实现数学的普适性和有机统一性这个目标的贡献．
　　形式化思想在冯·诺伊曼的哲学观念中占据着主导地位．他认为，逻辑体系具有普遍性和综合性，而形式化逻辑结构在某种程度上刻画了事物的抽象本质．他对寻找逻辑体系的局限性不感兴趣，但当某种局限性被发现后，他便开始考虑如何利用更加形式化的过程去克服它(体现在他对哥德尔不完全性定理的态度)．对他来说，最高层次的抽象——例如逻辑和数学的基础——应当通过严密的形式逻辑手段去完成．在接触到实际问题时，冯·诺伊曼总能迅速地给出适当的数学形式化表述，并进行纯形式的推理．不仅如此，将形式逻辑和数学付诸最大限度的应用，成为他的科学禀性．在他看来，利用抽象的形式结构可以了解整个世界——包括社会生活和精神意识．这在他对数学基础、量子理论和计算机组织的形式化工作中都有所反映．可以说，冯·诺伊曼遵循着这样一种观念：只有严密的逻辑体系才可能包含主宰万物的、永恒的普遍真理．
　　在冯·诺伊曼身上，集中着多种科学才能：对数学思想的集合论基础(形式上是代数的)的感知，对分析和几何的经典数学之本质的理解，以及发掘现代数学方法的潜在威力并应用于理论物理问题的深刻洞察力．这些才能之间并不矛盾，但每一种都要求很高的注意力和记忆力，它们能汇集于一人之身是非常难得的．
　　冯·诺伊曼不用笔和纸就能熟练地估计几何大小，进行代数和数值运算，这种心算能力常常给物理学家们留下深刻的印象．
　　对于在科学上有时并非十分重要但却体现出一定难度的问题，他也极愿给予关注．通过与他交谈，人们往往可以领会到一些并非人人皆知的、能轻松解决问题的数学技巧．这使他受到应用数学工作者的喜爱和欢迎．
　　除了科学之外，冯·诺伊曼对历史也有着浓厚的兴趣．早在孩提时代，他就系统阅读了21卷的《剑桥古代史》(Cambridgeancient history)和《剑桥中世纪史》(Cambrige medieval histo－ry)，特别精通欧洲皇室的衍变和拜占庭的历史．他对历史事件的叙述和评价，总是令同事们大为折服．从中还可感受到他以数学家特有的方式表达的幽默．
　　他能熟练地运用德语、法语、英语、拉丁语和希腊语．他在美国所进行的演讲以其良好的文学修养著称．

月之女祭司 · 发表于 24.4.2010 08:41:00

本帖最后由月之女祭司于 30.4.2010 12:17 编辑

原来是frjj，真后悔回这个帖子。中国数学家拿不拿得出手，中国人逻辑思维水平怎么样，轮不到你来指摘。

augustiner · 发表于 24.4.2010 19:08:28

1，这些数学家都是有极高天分的大师，但要是说天才，个人认为还得是法国的那个加罗瓦。

2，把罗素和上述数学家放在一起，貌似也不太合适。

augustiner · 发表于 24.4.2010 19:42:30

你是学数学的吗?
4 _+ G( g( r" z& r; F7 I! Q
7 T/ k2 P4 _4 H* u# `+ E
/ g2 n7 J+ W& W; C& m我估计不管在哪个国家学数学,. `" A4 Q- w0 Y! w5 p
; {! \5 k3 k% T: K% }9 Z
数学专业的数学第一章就是集合, 逻辑这些东西啊 ...1 r$ U* t5 u" a( z. w
extras 发表于 24.4.2010 20:29

不是说集合不重要，而是说罗素首先是一个哲学家，也是个社会活动家，甚至是个文学家，对他最简单的概括应该是历史上最后一位全才大师。而如果他单纯只有数学上的成就，他应该不会被列在上面大师的行列。

另外，可以把加罗瓦的事迹也弄上来，个人觉得挺震撼，拍个类似Amadeus那类电影应该很合适。

orientalwolf · 发表于 24.4.2010 21:54:59

统计局的都是天才。

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