中外著名的数学家

extras

楼主辛苦。

说到数学天才，我先想到的好像是高斯、阿贝尔和冯诺依曼。我觉得这里的很多人令后人惊叹敬仰不 ...
7 }: E8 i$ \  q# D! O6 w月之女祭司 发表于 24.4.2010 09:41

( K. P) f9 E; _

7 H3 K1 S1 O2 i& J   

陈景润

　　陈景润 1933年5月22日生于福建福州．解析数论．
　　陈景润的父亲陈元俊系邮局职员，生母潘氏于1947年去世．由于父亲收入低微，加上兄弟姐妹多，因而家境十分贫寒．陈景润于1938—1948年先后在福州市三一小学、三元县小学、三元县立初中、福州市三一中学及英华中学就读．其间由于受到一些数学教师的影响，他对充满奇妙问题的数论产生了浓厚的兴趣．1949年他进入厦门大学数学系学习，1953年以优异成绩毕业，并被分配到北京市第四中学任教．由于他性格十分内向，极不善与人交往，因而对中学教师这一工作很不适应．当时的厦门大学王亚南校长了解到陈景润的处境和他希望献身于数论研究的志向后，即于1954年通过有关部门将陈景润调回厦门大学担任助教．就在这里他订出了研究哥德巴赫猜想的计划．经过几年的刻苦钻研，陈景润对我国数学家华罗庚及苏联数学家И．М．维诺格拉多夫等人的专著及一些重要的数论方法有了深刻的了解，很快便写出了第一篇有关塔利问题的论文，这篇论文引起了华罗庚教授的注意．1957年，经华罗庚的推荐，陈景润被调到中国科学院数学研究所任实习研究员．1962年任助理研究员，1977年升任研究员，1988年提升为一级研究员．从1978年开始，他参加了培养硕士及博士研究生的工作．先后受聘担任贵州民族学院、河南大学、厦门大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校兼职教授．还曾当选为第四、五、六届全国人民代表大会代表．并任《数学季刊》主编，国家科委数学小组成员及中国科学院学部委员．
% D/ \) \  a! H  Z+ r- x　　为了追求自己的理想，多年来，陈景润始终过着普通人难以忍受的艰苦生活，踏踏实实、坚持不懈地从事着解析数论及应用数学等方面的研究工作．无论是在“文化大革命”中遭受批斗打击的时候，还是在遭受疾病折磨的时候，他都没有停止自己的追求．他关于哥德巴赫猜想的著名成果，就是在“文化大革命”这场浩劫中艰苦磨炼出来的．直到1980年8月他才结束独身生活，组织了自己的家庭．他的夫人由昆女士在北京某部队医院工作，俩人有一个活泼可爱的男孩．多年的营养不良及艰苦工作，严重损害了陈景润的健康，经先后在北京市一些医院住院治疗，身体有所恢复．但他仍患有帕金森氏综合症，这种疾病经冶疗得到控制，但无法根除，因而对他的生活和工作仍有不利的影响．
: e! Z3 f! l- Q$ N　　从1958年至1990年，陈景润共发表研究论文50余篇，出版专著4部．由于他关于哥德巴赫猜想等问题的杰出研究成果，于1982年荣获国家自然科学一等奖，并于1978—1979年应美国普林斯顿高级研究院等的邀请先后去美国、法国及英国讲学．

extras

丘成桐

5 k4 W' x) ~$ B& B* N0 `' o　　丘成桐1949年4月4日生于广东汕头．微分几何．
# H4 L- \/ a" M) T' ]9 O# [　　丘成桐的父亲丘镇英曾在香港香让学院及香港中文大学前身崇基学院任教，不幸于1963年病逝，留下丘成桐的母亲及子女七人．父亲的突然去世，造成丘家生活上的极大困难．为维持一家人的生计，继续供养丘成桐兄弟上学，丘成桐的母亲及姐姐们每日工作十几个小时．即使这样，丘成桐也不得不经常出外打短工，帮人补习功课，来解决部分生活费用及学费．那时，他是香港培正中学初中三年级的学生．清苦的生活并没有动摇他积极向上、奋发图强的决心．他家住沙田，每天上学要步行一个半小时．由于刻苦学习，他于1966年秋以优异成绩考入香港中文大学数学系．在大学期间，他更加勤奋，在短短三年时间内，修完了全部必修课程，还阅读了大量的课外材料．1969年初，刚刚从美国加利福利亚大学伯克利分校取得学位的S．萨拉夫(Salaff)博士，来到香港中文大学执教．丘成桐的杰出才能及表现给萨拉夫留下了深深的印象．在萨拉夫的推荐下，伯克利分校录取丘成桐为博士研究生，并授予IBM奖学金．于是，丘成桐放弃中文大学学士学位，提前退学，于1969年秋到伯克利．他的导师是著名微分几何学家陈省身．70年代左右的加州大学伯克利分校是世界微分几何的中心，云集了许多优秀的几何学家和年轻学者．
# ~# [# o4 O, s0 T5 k7 K# a　　在伯克利分校学习期间，丘成桐十分重视偏微分方程在微分几何中的作用．当时C．莫里(Morrey)教授仍在伯克利执教，他对偏微分方程理论有重大贡献，但他的讲课习惯使许多年轻人难于接受．加上偏微分方程历来是数学中难学的理论，因而导致众多学生中途退课，最后只剩下丘成桐一人．尽管如此，他仍孜孜不倦地学习偏微分方程理论，为他以后的杰出工作打下牢固的基础．
　　到伯克利分校一年后，即1970年底，丘成桐完成了他的博士学位论文．通过J．H．C．怀特海(Whitehead)等人在40—50年代在几何及拓扑方面的工作，人们早已知道具非正截曲率的紧黎曼流形的同伦类由其基本群完全决定，是一个所谓K(π，1)流形．因此自然且重要的问题是：作为这种流形的基本群的群是否具有一些特别的结构？这些特别结构的几何涵义是什么？丘成桐在他的博士论文中，对第一个问题给出了非常满意的回答．简单地说，他证明了这种流形的基本群的任何可解子群都必须是比伯巴赫(Bieberbach)子群．由此解决了当时著名的沃尔夫猜测，即如果一个具非正截曲率的紧黎曼流形的基本群是可解的，则这一流形实际上是平坦的．沃尔夫猜测在当时吸引了许多优秀数学家，包括在伯克利任教的J．沃尔夫(Wolf)本人．丘成桐对这一问题巧妙的解决，使当时的世界数学界意识到一个数学新星的出现．丘成桐的毕业论文发表在1971年的《数学年刊》上．之后，他与B．劳森(Lawson)合作，又给出这种流形基本群的可解子群的几何性质，他们的文章发表在1972年《微分几何杂志》．他们的工作及著名数学家J．米尔诺(Milnor)关于曲率与基本群大小的工作是具非正截曲率流形基本群方面的开创性工作．

extras

华罗庚

" k; o5 a1 \8 K9 u7 ^5 r7 L
　　 华罗庚 1910年11月I2日生于江苏金坛；1985年6月12日卒于日本东京．数论、代数与几何、复分析。
1 M/ E* W& ~  W4 G3 _5 }2 D　　华罗庚出生在江苏省金坛县．他的父亲华瑞栋经营一个家庭式的小杂货店．当他初中毕业时，由于家贫未能进入高中继续学习．经过努力，华罗庚考取了上海中华职业学校商科(二年制)．仍因家贫，华罗庚仅差一学期未能毕业，弃学回家帮助其父经营小店．他只能利用业余时间自修数学．
/ C3 N! R' E7 ~　　这时华罗庚已对数学产生了强烈的兴趣，而不能全力从事小店的工作．他的父亲对此很反感，多次要撕掉他的“天书”．1928年，华罗庚就职于金坛初中．1927年，他与金坛吴筱元女士结婚，一年后他们有了一个女儿．至1951年，他们又依次有了三个儿子及两个女儿．1928年，华罗庚染上了流行瘟疫(可能是伤寒)，卧床半年，后病虽痊愈，但左腿却残废了．
　　华罗庚的数学才能显示得很早．他的第一篇论文发表在上海《科学》杂志上(1929)．他的第二篇文章“苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立的理由”发表在1930年《科学》上．这篇文章引起了当时清华大学数学系主任熊庆来的注意，但熊庆来并不知华罗庚其人．后来熊庆来从系里一个金坛籍教员唐培经那里了解到华罗庚仅为一个初中毕业生，现任金坛初中会计．熊庆来深受感动并邀华罗庚到清华大学工作．华罗庚于1931年到清华大学任数学系助理．两年后，他被破格提拔为助教，又晋升为教员．1934年，又任“中华文化教育基金会董事会”乙种研究员．在清华大学时，华罗庚的同事中有以后成名的数学家陈省身、许宝騄与柯召．他的最早研究领域为数论中的华林问题．他的工作曾得到清华大学数学系教授杨武之的指点与帮助．
+ ^3 h! H; b3 E! n* C" Z- x2 g+ p　　1936年，经N．维纳(Wiener)推荐，G．H．哈代(Hardy)邀请华罗庚去英国剑桥大学访问．华罗庚到达英国时，哈代正在美国．华罗庚很快掌握了英语并与一些在英国的年轻数学家如H．海尔布伦(Heilbronn)、H．达文波特(Davenport)、T．埃斯特曼(Estermann)、R．A．兰金(Rankin)与E．C．蒂奇马什(Titchmarsh)等人结为好友，从他们那里得到不少帮助．华罗庚在剑桥期间至少发表了15篇论文．
1 b6 b# V  j& W/ {, {1 M. i　　1937年抗日战争爆发，清华大学与北京大学、南开大学迁至云南昆明，组成西南联合大学．华罗庚由剑桥回到昆明，1938年至1945年，他执教于西南联大．这时，华罗庚的研究兴趣拓广到矩阵几何学、自守函数论、多复变函数论与群论．他与其他数学家一起倡导并主持了各种讨论班，参加过他的讨论班而以后成名的数学家有段学复、闵嗣鹤、樊与徐贤修等人．
　　1946年2月至5月，华罗庚应苏联科学院与苏联对外文化协会邀请，对苏联作了广泛的访问．他会见了И．Μ．维诺格拉多夫(Виноградов)与Ю．B．林尼克(Линник)．
8 H' f% W% {8 B: ]* R　　1948年，华罗庚当选为中央研究院院士．1947年至1948年，华罗庚任普林斯顿高级研究院访问研究员，又在普林斯顿大学教授数论课．1948年至1950年，华罗庚应依利诺伊大学之聘，任正教授．在依利诺伊期间，他指导的几个学生以后均成为职业数学家(R．埃尤伯(Ayoub)，J．密席尔(Mitchell)与L．熊飞尔德(Schoenfeld))．这期间，除数论外，华罗庚还涉足有限域上的方程论、典型群与域论等领域．
　　1950年，华罗庚与他的妻子儿女一起回国，参加建立中国科学院数学研究所的筹备工作，1952年被任命为所长，从此他即全力投身于建设研究所的工作．按照华罗庚的意见，研究所包括纯粹数学、应用数学与计算机技术的一些分科．他还对培养青年教学家工作给予特别重视．在青年数学家中，数论方面有陈景润、潘承洞与王元，代数方面有万哲先，复分析方面有龚昇与陆启铿．为了他们及中国年轻数学家普遍受益，华罗庚写了一系列书：《堆垒素数论》(中文版，1957)、《数论导引》(1957)、《多复变数函数论中的典型域的调和分析》(1958)、《指数和的估计及其在数论中的应用(中文版，1963)、《高等数学引论》(1963)与《典型群》(1963，与万哲先合著)．1955年，华罗庚当选为中国科学院学部委员．
, b. p1 h5 P4 l! S  F& o- x　　1966年，发生了“文化大革命”．华罗庚的家被”红卫兵”抄过好几次，手稿散失殆尽，至今没有下落，他也遭到批判斗争，对他来说，这种情况至1967年才有明显的好转．这是由于他受到毛泽东主席与周恩来总理的特别保护，可以安静地呆在家里，甚至可以到工业部门去普及数学方法．
　　1958年，华罗庚被任命为中国科学技术大学副校长．他开始从事应用数学的研究工作，特别将数论用于高维数值积分法，他还到工厂和工业部门普及“优选法”(斐波那契(Fibonacci)方法)与“统筹法”(CPM与PERT)．近20年中，他与助手陈德泉、计雷走遍了20多个省市自治区，向工人宣讲并教会他们如何将这两种方法用于他们自己的工作中去．从而，工厂的产量增加了，产品的质量也提高了．
　　从1979年开始，中国执行开放政策．华罗庚在他的学生的协助下，完成了专著《从单位圆谈起》(1977)及《数论在近似分析中的应用》(1978，与王元合著)．由H．哈贝斯坦(Halberstam)主编的《华罗庚论文选集》也在1983年由施普林格出版计出版．华罗庚在1978年被任命为中国科学院副院长．1980年被任命为应用数学研究所所长．此外，他从1950年至1983年均被选举为中国数学会理事长．
+ t+ R6 o6 j4 _% t. U　　华罗庚作为访问学者，多次访问欧洲、美国与日本．尽管年迈体弱，他仍坚持数学研究及其应用工作．1985年6月12日，他在日本东京大学作学术报告，当讲完最后一句话时，由于心脏病突然发作而去世．

extras

樊畿

) A% A$ ]3 c4 S9 X( B$ M
2 x# Q  u8 @9 m8 H5 @5 X. H  `
2 s3 m2 A8 A' o3 d1 K, l　　樊畿1914年9月19日生于浙江杭州．数学．
! C! |, ~2 W. }& u( ~　　樊畿，西文名Ky Fan，父亲樊琦(1879—1947)曾在金华、温州等地的地方法院任职．樊八岁时随父到金华，初中阶段先后在金华中学、杭州宗文中学和温州中学就读．他各科成绩均优，唯不喜欢英文，原因是“讨厌呆板地记忆生词和不可理喻的文法”．1929年初中毕业时，考入不用英文的吴淞同济附中．这是四年制高中，第一年专习德文．1932年的“—·二八”事变后，同济附中不能开课，樊插班到金华中学读高三，半年后就高中毕业了．
　　1932年秋，樊入北京大学数学系．他本想读工科，但因姑父冯祖荀在北京大学任数学系主任，更由于北大不考英文，因此决定樊走上了数学道路．樊攻读数学得心应手．二年级时，德国数学家E．施佩纳(SPerner)来华讲学，在北大讲授“近世代数”，使用的教材是O．施赖埃尔(Schreier)和施佩纳合著的德文原版《解析几何与代数引论》(Einfuhrung in die analytischeGeometrle und Algebra)与《矩阵讲义》(Vorlesungen uberMatrizen)两书．樊听完课之后，利用暑假将两者译出，合为《解析几何与代数》，由冯祖荀作序并推荐给商务印书馆．1935年，该书初版作为《大学丛书》之一发行．1960年在台湾印行了第七版．在大学生时期，樊还译过E．兰道(Landau)的《理想数论初步》(Einfurung in die elentare Theoric der algebraischenZahlen und der Ideale)，并与孙树本合著《数论》，先后由商务印书馆出版．
6 ?2 u5 q5 a' y　　1936年，樊在北京大学毕业之后，留校任教．1938年下半年，由法国退回庚子赔款设立的中法教育基金会，招考数学、化学、生物三科各一名去法国留学．樊是数学科的被录取者．1939年初启程去巴黎．他本打算攻读代数学，但在临行前，程毓淮(北京大学)和蒋硕民(南开大学)两教授建议他跟随M．R．弗雷歇(Prechet)学习，指出“弗雷歇的分析和代数差不多”．对这一指点，樊终生感激．确实，作为泛函分析先驱学者的弗雷歇，曾发展一套抽象的分析结构，在当时崇尚函数论等“硬分析”的法国独树一帜．樊到巴黎之后，请曾来中国访问的J．阿达玛(Hadam-ard)给弗雷歇写了一封介绍信，彼此渐渐熟悉，弗雷歇就成了樊的导师．
　　1941年，樊以“一般分析的几个基本概念”的学位论文，获得法国国家博士学位．当时第二次世界大战正在进行，樊幸运地成为法国国家科学研究中心的研究人员，并且在庞加莱数学研究所从事数学研究．战时的生活紧张而清苦，但研究工作不断取得成果．到1945年大战结束时，樊已发表论文20余篇．他和弗雷歇合著的《组合拓扑学引论》(Introdution a la topologiecombinatoire)一书也于1946年刊行，以后又发行了英文版和西班牙文版．
) C. [8 g% ]& A　　樊在第二次世界大战之后，转往美国发展．1945—1947两年，他是普林斯顿高级研究院的成员．当时，世界著名数学家云集普林斯顿，其中包括战前已来美国的H．外尔(Weyl)和J．冯·诺依曼(von Neumann)．樊后来的工作深受他们的影响，学术上也有更大的进展．
　　1947年之后，樊去圣母大学任教，从助教授、副教授，到教授．1960年曾到底特律城的韦恩州立大学任教一年，随即转到芝加哥附近的西北大学，直至1965年应聘为加州大学圣巴巴拉分校数学教授．
　　1964年，台北中央研究院推选樊为院士．1978—1984年1745 间，他曾连任两届该院的数学研究所所长．他还曾任德克萨斯大学(奥斯丁)、汉堡大学、巴黎第九大学及意大利的卑鲁加(Perugia)大学的访问教授．从1960年起，担任《数学分析及其应用》(Journal of Mathematical Analysis and its Application)的编辑委员共32年．他还是《线性代数及其应用》(Linear Algebraand its Application)的杰出编辑，1993年又被聘为荷兰的《集值分析》(Set Valued Analysis)和波兰的《非线性分析中的拓扑方法》 (Topological Methods in Nonlinear Analysis)的编辑委员．
　　1985年夏樊正式退休．数学界为他举行了盛大的学术活动，世界各地的许多数学家前来参加．加州大学圣巴巴拉分校宣布成立樊助理教授(Ky Fan Assistant ProfessorshiP)职位．这次为樊荣誉退休而举行的学术会议论文集，题为《为樊举行的会议录：非线性分析和凸分析》(Nonlinear and convex analysis，Proceediny in honor of Ky Fan)．其中收录了樊到那时的全部论文目录．
　　樊退休之后，继续担任杂志编辑，且仍有著作问世．1989年，他应邀访问香港中文大学，是该校联合学院的杰出访问学者．1990年5月，巴黎第九大学授予樊名誉博士学位．1990年，他曾出席矩阵论方面的会议，应邀作宴会后演讲．1992年5月，应邀访问波兰．1993年到东京参加“非线性分析与凸分析”会议，是该会的四名学术委员之一．
: d7 U. I% m% b# L# ]% [　　樊从1947年离开大陆之后，长期没有机会返回故土．1981年，他已准备好大陆之行，临时因手术而取消．1988年南开大学召开不动点理论会议，也因健康原因未能与会．1989年5月，樊应北京师范大学之邀回到阔别50多年的北京，讲学两周之后，又去北京大学、中国科学院数学研究所、武汉大学、浙江大学、杭州大学等校演讲．访问期间被聘为北京大学和北京师范大学的名誉教授．樊已将40余年收藏的数学书籍和杂志，除少量自己常用之外，全部捐献给母校北京大学．1993年5月，当杭州大学为纪念陈建功教授诞生100周年举行函数论国际讨论会时，樊再次回国讲学访问．
　　樊的学术成就是多方面的．从线性分析到非线性分析，从有限维空间到无限维空间，从纯粹数学到应用数学，都留下了他的科学业绩．以樊的名字命名的定理、引理、等式和不等式，常见于各种数学文献．他在非线性分析、不动点理论、凸分析、集值分析、数理经济学、对策论、线性算子理论及矩阵论等方面的贡献，已成为许多当代论著的出发点和一些分支的基石．

extras

吴文俊

　　吴文俊 1919年5月12日生于上海．拓扑学、几何学、数学史、数学机械化．
　　吴文俊出生在一个知识分子家庭．父亲吴福同毕业于上海交通大学前身的南洋公学，长期在一家以出版医药卫生书籍为主的书店任编译，埋头工作，与世无争．家中收藏的许多“五四”运动时期的书籍与历史书籍对少年吴文俊的思想有重要影响．吴文俊在初中时对数学并无偏爱，成绩也不突出，只是到了高中，由于授课教师的启迪，逐渐对数学及物理，特别是几何与力学产生兴趣．1936年中学毕业后，并没有专攻数学的想法，而且家庭对供他上大学也有一定困难，只是因为当时学校设立三名奖学金，一名指定给吴文俊，并指定报考上海交通大学数学系，才使他考入这所以工科见长的著名学府．比起国内当时一些著名大学来，上海交通大学数学系成立较晚，数学内容也比较古老，数学偏重计算而少理论，这使吴文俊念到二年级时，对数学失去了兴趣，甚至想辍学不念了．到三年级时，由于武崇林讲授代数与实变函数论，才使吴文俊对数学的兴趣发生了新的转机．他对于现代数学尤其是实变函数论产生了浓厚的兴趣，在课下刻苦自学，反复阅读几种著作，在数学上打下了坚实的基础．有了集合论及实变函数论的深厚基础后，吴文俊进而钻研点集拓扑的经典著作(如F．豪斯多夫(Ha-usdorff)，W．H．杨(Young)等人的名著)以及波兰著名期刊《数学基础》(Fundamenta Mathematica)上的论文．前几卷几乎每篇都读，以后重点选读，现在他还保存着当时看过的论文摘要．然后又进而学习组合拓扑学经典著作．他的高超的外文水平(特别是英文、德文)大大有助于他领会原著．只是毕业之后无法接触现代数学书刊，加上日常工作繁重，只得中断向现代数学的进军，而抽空以初等几何自娱，实属迫不得已．实际上，他的现代数学基础主要还是靠大学三、四年级自学而成．
　　1940年吴文俊从上海交通大学毕业，时值抗日战争，因家庭经济问题而经朋友介绍，到租界里一所育英中学工作，不但教书同时还要兼任教务员，搞许多繁琐的日常事务性工作．1941年12月珍珠港事件后，日军进驻各租界，他失业半年，而后又到上海培真中学工作．在极其艰苦的条件下，勉强度过日伪的黑暗统治时期．他工作认真，在5年半期间里竟找不到多少时间钻研数学，对他的成长不能不说是一大损失．
　　抗日战争胜利后，他到上海临时大学任教．1946年4月，陈省身从美国返回国内，在上海筹组中央研究院数学研究所．吴文俊经亲友介绍前去拜仿，亲戚鼓励他说，陈省身先生是学者，只考虑学术，不考虑其他，不妨放胆直言．在一次谈话中，吴文俊直率提出希望去数学所，陈省身当时未置可否，但临别时却说：“你的事我放在心上．”不久陈省身即通知吴文俊到数学所工作．从1946年8月起，吴文俊在数学所(上海岳阳路)工作一年多．这一年陈省身着重于“训练新人”，一周讲12小时的课，授拓扑学．听讲的年轻人除吴文俊外，还有陈国才、张素诚、周毓麟等等．陈省身还经常到各房间同年轻人交谈，对他们产生了巨大的影响．
　　与陈省身的结识是吴文俊一生的转折点，他开始接触到当时方兴未艾的拓扑学，这使他大开眼界，使自己的研究方向也从过去偏狭的古老学科转向当代新兴学科的康庄大道．在陈省身的带动下，吴文俊很快地吸收了新理论，不久就进行独立研究．当时H．惠特尼(Whitney)提出的示性类，有一个著名的对偶定理，惠特尼对这个定理给的证明极为复杂，难以弄清，并且从来没有发表过．吴文俊独创新意，给出一个简单的证明．这是示性类的一个重要成果，现在已成为经典．陈省身对此十分欣赏，把它推荐到曾林斯顿大学出版的《数学年刊》(Annals of Mathematic)上发表．在数学荒疏多年的情况下，一年多时间之内，就在以难懂著称的拓扑学的前沿取得如此巨大成就，不能不说是由于吴文俊的天才和功力．
　　1947年11月，吴文俊考取中法交换生赴法留学．当时正是布尔巴基(Bourbaki)学派的鼎盛时期，也是法国拓扑学正在重新兴起的时代．吴文俊在这种优越的环境中迅速成长．他先进斯特拉斯堡大学，跟着C．埃瑞斯曼(Ehresmann)学习．埃瑞斯曼是E．嘉当(Cartan)的学生，他的博士论文是关于格拉斯曼流形的同调群的计算，这个工作对后来吴文俊关于示性类的研究至关重要，同时，他还是纤维丛概念的创始人之一．他的一些思想对吴文俊后来的工作是有一定影响的．在法国期间，吴文俊继续进行纤维空间及示性类的研究，在埃瑞斯曼的指导下，他完成了“论球丛结构的示性类”(Sur les classes caracteristiques des struc-tures es fibrees spheriques)的学位论文．这篇论文同G．瑞布(Reeb)的论文一起，于1952年以单行本出版．吴文俊于1949年获得法国国家博士学位．此后他还发表了多篇关于概复结构及切触结构的论文．在斯特拉斯堡他结识了R．托姆(Thom)等人．吴文俊的一些结果发表后，引起各方面的广泛注意，由于他的某些结果与以前结果表面不同而使H．霍普夫(Hopf)亲自来斯特拉斯堡澄清他们的工作．霍普夫同吴文俊交谈后才搞清楚问题，非常赞赏吴文俊的工作，并邀请他去苏黎世讲学一周．在苏黎世他结识了当时在苏黎世访问的江泽涵．他的工作还受到了J．H．C．怀特海(Whitehead)的注意．取得学位后，吴文俊到巴黎，在法国国家科学研究中心(CNRS)研究数学，在H．嘉当(Cartan)(他是E．嘉当的儿子)的指导下工作．这时，H．嘉当举办著名的嘉当讨论班，这个讨论班对于拓扑学的发展有重要意义．同时，反映国际数学主要动向的布尔巴基讨论班也刚刚开始，当时参加的人数还不多，一般二三十人．吴文俊参加这两个讨论班，并在讨论班上作过报告．当时嘉当致力于研究著名的斯廷罗德上同调运算．吴文俊从低维情形出发，已猜想到后来所谓嘉当公式．H．嘉当在他的全集中，也归功于吴文俊．同时吴文俊发表的论文也预示了后来的道尔德流形．
　　1951年8月，吴文俊谢绝了法国师友的挽留，回到解放了的祖国．他先在北京大学数学系任教授，在江泽涵的建议之下，吴文俊获准于1952年10月到新成立的中国科学院数学研究所任研究员．当时数学所在清华大学校园内，他和张素诚、孙以丰共同建立拓扑组，形成中国的拓扑学研究工作的一个中心．不久他结识陈丕和，并于1953年结婚，婚后生有三女一子，皆学有所成．从1953年到1957年短短5年间，吴文俊以忘我的劳动做了大量工作．在这段日子里，他主要从事C．庞特里亚金示性类的研究工作，力图得出类似于施蒂费尔-惠特尼示性类的结果．但是庞特里亚金示性类要复杂得多，许多问题至今未能解决，他在5篇论庞特里亚金示性类的论文中的许多结果长期以来是最佳的．1956年他作为中国代表团的一员赴苏联参加全苏第三次数学家大会，作关于庞特里亚金示性类的报告，得到好评．庞特里亚金还邀请他到家中作客并进行讨论．
0 u8 }4 h6 y* Y7 t% r" g# w　　其后，吴文俊的工作重点从示性类的研究转向示嵌类的研究，他用统一的方法，系统地改进以往用不同的方法所得到的零散的结果．由于他在拓扑学示性类及示嵌类方面的出色工作，他与华罗庚、钱学森一起荣获1956年国家第一届自然科学奖的最高奖——一等奖，并于1957年增选为中国科学院学部委员．1957年他应邀去波兰、民主德国并再次去法国访问，在巴黎大学系统介绍示嵌类理论达两个月之久，听众中有C．海富里热(Haefliger)等人，对于海富里热等人后来的嵌入方面的工作有着明显的影响．1958年吴文俊被邀请到国际数学家大会作分组报告(因故未能成行)．
$ A: H: c# p, y& z: ?$ Z/ d6 j　　从1955年起数学所拓扑组开始有新大学生来工作，在吴文俊的指导下，开始走上研究的道路．其中有李培信、岳景中、江嘉禾、熊金城及虞吉林等．
: D8 e7 Z; H! z2 h' f& P: @& M　　从1958年起，由于国内政治形势的影响，稳稳当当的理论研究工作难以继续进行，拓扑学研究工作也被迫中断．在“理论联系实际”的口号下，数学所的研究工作进行大幅度调整．吴文俊同一些年轻人开始对新领域——对策论进行探索．在短短的一两年中不仅引进了这门新学科，而且以其深厚的功力，作出值得称道的成果．从1960年起，他担任中国科学技术大学数学系60级学生的主讲教师，开出三门课程：微积分、微分几何和代数几何，共七个学期，他高超的教学水平使这届学生受益匪浅．
　　三年困难时期科学研究工作部分得到恢复．1961年，在颐和园龙王庙召开会议，讨论数学理论学科的研究工作的恢复问题．从1962年起，吴文俊重新开始拓扑学的研究工作，特别着重于奇点理论，其后又结合教学对代数几何学进行研究，定义了具有奇点的代数簇的陈省身示性类，这大大领先于西方国家．1964年起社会主义教育运动(“四清”)再一次使他的研究工作中断．1965年9月吴文俊以普通工作队员的身分到安徽省六安县参加半年“四清”运动．回京后不久，“文化大革命”开始了，数学所大部分研究工作从此长期陷于停顿，吴文俊也不得不参加运动并接受“批判”．他的住房也大大压缩了，六口之家挤在两小间屋子里，工作条件可想而知．但就在这种困难的条件下，他仍然抓紧时间从事科研工作，只是方向有所变化．他在1966—1967年注意到他的示嵌类的研究可用于印刷电路的布线问题，并于1973年完全解决．他的方法完全是可以算法化的，而这种“可计算性”是与以前在布尔巴基影响下的纯理论的方向完全不同的．大约从这时开始，他完成自己数学思想上一次根本性的改变．大约同时，他还参加仿生学的研究．1971年他到北京无线电一厂参加劳动．1972年科研工作开始部分恢复，同时中美数学家开始交流，特别是陈省身等华裔数学家回国，带来国际上的许多新情况．1973年数学所拓扑组开始讨论由D．沙利文(Sullivan)等人开创的有理同伦论，据此吴文俊提出他的I*函子理论，其显著特点之一也是“可计算性”．1974年，吴文俊的兴趣转向中国数学史，用算法及可计算性的观点来分析中国古代数学，发现中国古代数学传统与由古希腊延续下来的近现代西方数学传统的重要区别，对中国古算作了正本清源的分析，在许多方面产生独到的见解．这两方面是他在1975年到法国高等科学研究院访问时主要的报告题目．
　　1976年粉碎“四人帮”之后，科学研究开始走上正轨．年近花甲的吴文俊更加焕发出青春活力．他在中国古算研究的基础上，分析了西方R．笛卡儿(Descartes)的思想，深入探讨D．希尔伯特(Hilbert)《几何基础》(Grundlagen der Geometrie)一书中隐藏的构造性思想，开拓机械化数学的崭新领域．1977年他在平面几何定理的机械化证明方面首先取得成功，1978年推广到对微分几何的定理机械化证明，这样走出完全是中国人自己开拓的新数学道路，并产生巨大的国际影响．到80年代，他不仅建立数学机械化证明的基础，而且扩张成广泛的数学机械化纲领，解决一系列理论及实际问题．
; F( m1 ^# }  ~% F; s　　1979年以后，我国数学家的国际交往日益频繁，吴文俊也多次出国．从1979年被邀请去普林斯顿高级研究院任研究员起，其后几乎每年都出国访问或参加国际学术会议，对于在国外传播其数学成就起着重要作用．尤其是吴文俊机械化数学的思想与中国传统数学受到国际上的瞩目．1986年他在国际数学家大会上作关于中国数学史的报告，引起广泛的兴趣，这样，在近代数学史上第一次由中国数学家开创数学新领域，不再是沿袭他国的主题、他国的问题和他国的方法，吸引了众多的数学家向中国学习．1980年在陈省身的倡议下，吴文俊积极参与双微会议(微分几何与微分方程国际讨论会)的筹备及组织工作．从1980年到1985年共举行六届双微会议，对于国内外数学界的交流起了重要推动作用．

extras

陈省身

: b# J  e9 l  z# z0 ^6 P( g0 l

　　 陈省身生于浙江嘉兴．微分几何、拓扑学．

　　早年
　　陈省身的父亲陈宝桢是晚清秀才，后毕业于浙江法政专门学校，在司法界服务．母亲韩梅，弟陈家麟，姊陈瑶华，妹陈玉华．
5 V6 s5 X, C8 ]6 |　　因为祖母钟爱，不放心陈省身进小学，由他的姑母在家教他国文．他的父亲在外地做事，不常在家．有一年，父亲回来，教他认阿拉伯数字，学四则运算．父亲走后，陈省身做了很多数学习题．因此，他虽然没有上过初小，却能在9岁时轻易地通过考试进入秀州中学附属小学五年级．
　　1922年，陈宝桢在天津供职，决定把全家接到天津．陈省身进天津扶轮中学，仍然喜欢数学，觉得它既容易又有趣，做了H．S．霍尔(Hall)及S．R．奈特(Knight)的高等代数及G．A．温特沃思(Wentworth)和D．E．史密斯(Smith)的几何学和三角学书中的大量习题．他也喜欢看小说和写文章．
5 R' f& U' z# R$ c9 {0 K! v　　1926—1930，南开大学
) A( Z# K. A1 Z: P$ q; f　　15岁时，陈省身考入天津南开大学学习数学．他的老师姜立夫对他的读书态度有很大影响．姜立夫是哈佛大学的数学博士(指导教授是J．L．库利奇(Coolidge))．当时全中国只有几个数学博士，而姜立夫的教学态度很严谨，总是布置很多习题，并且亲自批改作业，使学生获益极多，觉得数学非常有趣又有前途．
9 T9 m' @( X( J- |　　1930—1934，清华研究院
. G$ v0 t$ v$ g7 }% z/ M$ N　　30年代，很多在国外获得博士学位的留学生陆续回国任教．虽然各大学的数学系的水准有提高，但陈省身觉得那时的教学颇象学徒制，很少鼓励学生自己创新，所以要在数学上有长进，必须出国深造．因陈省身的父母无法供他出国念书，只有考公费．当时清华研究院规定，毕业后成绩优异者可以公费留学．所以陈省身在1930年从南开大学毕业后考进清华研究院．那时研究院的四位教授是熊庆来、孙光远、杨武之(杨振宁的父亲)和郑之蕃(后来成为陈省身的岳父)．陈省身随孙光远念投影微分几何．
; p: {$ \9 t! h: `# ~, K9 l* u! Y# {　　 陈省身在南开大学时上过姜立夫开的空间曲线、曲面论的课，用的是W．J．E．布拉施克(Blaschke)的书．他觉得这门课深奥奇妙，所以当布拉施克在1932年到北平访问时，陈省身听了他的全部六个关于网络几何的演讲．
　　 陈省身在1934年从清华研究院毕业时得到两年的留美公费．因受布拉施克的影响，陈省身要求清华研究院让他去德国汉堡大学．当时数学系的代理系主任杨武之帮他安排去德国留学．
　　当时正值希特勒当权，驱逐大学里的犹太籍教授．因汉堡大学刚成立不久，幸而比较安静，成为一个研究数学的好地方．
　　1934—1936，汉堡大学
( j( O; m* O: x3 d# B' B/ R　　陈省身在1934年9月到达汉堡大学，随布拉施克研究几何，论文的内容是嘉当方法在微分几何中的应用，在1936年2月得到科学博士学位．因为布拉施克时常外出旅行，故陈省身和布拉施克的助手E．克勒(Khler)的讨论最多．当时对陈省身在数学上影响最大的可能是克勒的讨论班“微分方程组论”，其中的主要定理现称为嘉当-克勒定理．这是一个崭新而复杂的理论．讨论班刚开始时研究院里每个人都来参加了，但到最后只剩下陈省身一个人．陈省身觉得他也因此而受益最多．
; A; Q) Q" J4 L　　1936年夏天陈省身的公费期满，就接到清华大学与北京大学的聘约，同时又得到中华文化基金会的一年资助．所以他由布拉施克推荐去巴黎随当代几何大师E．嘉当(Cartan)工作一年．
　　1936—1937，巴黎
　　陈省身在1936年9月到达巴黎．当时嘉当的学生众多，要会见他得在他的办公时间排队等候．幸而两个月后嘉当邀请陈省身每隔一周到他家去讨论一小时．陈省身在巴黎这段时间工作很勤奋、很快乐，全部精力花在准备这每两周一次与嘉当的面谈上．他学到了活动标架法和等价方法，以及更多的嘉当-克勒理论．更重要的是，陈省身觉得他学到了嘉当的数学语言及思考方式．他感到和嘉当工作10个月所得益处甚多，在那时所写的三篇文章只是研究成果的一小部分．
　　1937—1943，西南联大
　　1937年夏天陈省身受聘于清华大学．不幸，未离巴黎就发生了卢沟桥事变，日本侵华战争爆发．清华大学要陈省身暂时先去长沙临时大学任教．1938年1月日军逼近长沙，陈省身随大学搬到昆明西南联合大学．西南联大是战时由北京大学、清华大学、南开大学三校合并而成的，师资力量很强．譬如华罗庚当时也在西南联大任教．陈省身在西南联大有很多好学生，不少后来在数学及物理学上有杰出贡献，例如数学家王宪钟和物理学诺贝尔奖获得者杨振宁．因战争之故，昆明与外界完全隔绝，且物资匮乏，幸而陈省身带了不少嘉当的论文研读，将自己完全投入了研究工作．他在这段困难时期开始的研究工作后来对于现代数学的发展具有极大的启示性．
% ]) A' L4 t* h/ g. w) o　　陈省身的家庭
, x" [3 t% e, f! _2 Z6 H6 [　　陈省身与郑士宁的婚姻是由杨武之促成的，他们于1937年在长沙订婚，1939年结婚．郑士宁是东吴大学生物学理学士．1940年她由昆明去上海待产，生下长子陈伯龙．但因战事，她无法回昆明，直到6年后的1946年才得以团聚．他们尚有一女陈璞(女婿朱经武是高温超导体研究的主要贡献者之一)．
  {+ |: f' ?) l  H. L& q　　 陈省身的家庭美满，夫人一向陪伴在旁，陈省身非常感谢她为他创造了一个平静的气氛进行研究．在郑士宁60岁生日时，陈省身特别为她写下一首诗：

三十六年共欢愁，无情光阴逼人来．

摩天蹈海岂素志，养儿育女赖汝才．

幸有文章慰晚景，愧遗井臼倍劳辛．

小山白首人生福，不觉壶中日月长．

　　1978年陈省身在“我的科学生涯与著作梗概”中写下了如下的话：“在结束本文前，我必须提及我的夫人在我的生活和工作中所起的作用．近40年来，无论是战争年代抑或和平时期，无论在顺境抑或逆境中，我们相濡以沫，过着朴素而充实的生活．我在数学研究中取得之成就实乃我俩共同努力之结晶．”
: o8 O, B6 O9 g" h: h: R　　1943—1945，普林斯顿高级研究院
6 P# D& k. I1 T6 Q: N- H　　此时陈省身已是中国著名的数学家，他的工作也逐渐受到国际上的重视．但他对自己的成就并不满足，所以当O．维布伦(Veblen)在1942年邀请他去普林斯顿高级研究院做研究员时，他不顾世界大战正在进行中，毅然决定前往．(他坐军用飞机花了7天才由昆明到达美国！)
# \1 m8 ]3 N2 e3 \" {　　这是陈省身一生中最重要的决定之一，因为在普林斯顿这两年里进行的研究是最创新的工作，具有最深远的影响．他给出了“高斯-邦尼公式一个新的内蕴证明”，进而发现了“陈示性类”．H·霍普夫(Hopf)曾说：“推广高斯-邦尼公式是微分几何最重要和最困难的问题，纤维丛的微分几何和示性类理论……更将数学带入一个新纪元．”
) X  [& |- g) e; f- q! I( u　　1946—1948，中央研究院
　　陈省身在1946年春天回国．当时中央研究院决定成立数学研究所，由姜立夫任筹备处主任．姜立夫聘陈省身为兼任研究员，但姜立夫很快离国去美，故筹备工作落在陈省身的身上．战后复员，筹备处确定在上海工作．陈省身着重于“训练新人”，他从全国各大学选了最好的大学毕业生集中到上海，由他每周讲12个小时的拓扑学．由此培养了一批新的拓扑学人才，如吴文俊、廖山涛、陈国才、张素诚、杨忠道等．1948年研究所迁到南京．该年秋天中央研究院举行第一届院士选举，共选出81人，陈省身是其中最年轻的一位．
7 B9 n# U+ j" A2 b0 o+ \% u　　陈省身专心于研究及教学，完全没有注意到内战的状况．一天，他忽然接到普林斯顿高级研究院院长R．奥本海默(Oppenhe-imer)的电报，说：“如果我们可做什么事便利你来美，请告知．”陈省身这才开始阅读英文报刊，了解南京的局面不能长久，所以决定带全家去美国．在去美国前，印度孟买的塔塔(Tata)研究院曾邀请他去那里工作，但那时他已不能接受．陈省身全家于1948年12月31日离开上海，在普林斯顿高级研究院度过了春季学季．
　　1949—1960，芝加哥大学
　　陈省身知道他无法很快返回中国，需要一个长期职位哺养家室．此时正值芝加哥大学M．斯通(Stone)教授揽才网罗最好的数学家，将芝加哥发展成世界上最好的数学研究中心．当时，陈省身的好友、著名数学家A．韦伊(Weil)就在那里．1949年夏，陈省身被聘为芝加哥大学教授．在芝加哥大学11年陈省身指导了10个杰出的博士生．他于1960年离开芝加哥去伯克利加州大学，一直到1979年退休．
- V1 q! a! f3 O2 ]) t- q1 O　　陈省身与杨振宁
* [/ x& L  ~% C$ P　　陈省身在1946年发表示性类的论文，1949年在普林斯顿讲了一个学期的联络论．杨振宁和R．L．米尔斯(Mills)在1954年发表了杨-米尔斯场论．1949年陈省身、杨振宁均在芝加哥，1954年又同在普林斯顿．他们是好友，时常谈论自己的工作，却不知道他们的工作有密切的关系．20年后才知道两者的重要性，也才知道他们所研究的是同一个“大象”的两个不同的部分．下面是杨振宁送陈省身的一首诗：

天衣岂无缝，匠心剪接成．

浑然归一体，广邃妙绝伦．

造化爱几何，四力纤维能．

千古寸心事，欧高黎嘉陈．

, K. o8 `5 p6 @　　1960—1979，伯克利加州大学
　　陈省身曾说他去加州大学原因有二：一是加州大学正在发展阶段，有建成几何学中心的潜力；二是加州的天气暖和．
6 B+ N6 I2 U! z+ H5 v  g　　在加州大学，陈省身有很多学生，有31人随他完成博士学位．陈省身也是许多到加州大学做讲师的年轻博士们的良师(本文作者之一曾在芝加哥大学做讲师，另一位曾在加州大学做讲师，均受教于陈省身)．
　　陈省身在加州大学将数学系建成世界著名的几何学中心．他对人友善、益谈、多鼓励，再加上他的论文和讲稿从50年代起已成为学习微分几何的经典，因此可以说世界各地的几何学家几乎都受到他的影响．当他在1979年从加州大学退休时，学校为他举行了一个数学讨论会(Chern Symposium)，历时一周，300多人出席．其实陈省身并没有真正退休，而是继续在加州大学教到1984年，并且到“山顶”成为伯克利数学科学研究所首任所长。
　　1981年以后，三个研究所
　　1981年，陈省身、C．穆尔(Moore)、I．辛格(Singer)以及旧金山海湾地区的几位数学家向美国国家科学基金会提出在伯克利成立数学研究所的计划．经过激烈的竞争，国家科学基金会宣布成立两个所，其中一个就是在伯克利的数学科学研究所(MSRI)，陈省身为首任所长，任期三年．此所办得很成功，陈省身的影响是显著的．
9 p7 F# ~: Q8 y/ K3 P　　陈省身一共办过三个研究所：中央研究院数学研究所(1946—1948，上海，南京)，数学科学研究所(1981—1984，伯克利)，南开数学研究所(1984年以后，天津)．陈省身一向不愿意让琐碎的行政工作缠身，总是把老子的无为哲学用得恰到好处．
　　陈省身一直希望中国数学能跻身于世界数学领导地位．他觉得要达此目的必须做到下面两点：第一，要培养出一批年轻、有抱负、有信心、不求个人名利、且要“青出于蓝而胜于蓝”的数学工作者．第二，要有足够的经费支持，充实的图书，完善的研究室以及国内外的数学交流．(陈省身觉得这些资源对于数学研究的重要性不亚于仪器对于实验科学的重要性．)
: U+ c, K* c0 `  R: y& H/ H　　为了促使中国早日成为数学强国，陈省身1946年回国，办中央研究院数学研究所．以后又在1984年从伯克利数学科学研究所退休后回到天津办南开数学研究所．
" z6 w0 S. Q+ f3 E3 m! D9 [　　1966—1976年的“文化大革命”使中国损失了整整一代的数学工作者．从1972年起，陈省身常回中国讲学，培养中国年轻一代的数学家．南开研究所成立于1985年，在这里建有宿舍，常年有中外学者来访．研究所仿普林斯顿高级研究院的模式，其目的之一是让中国各大学里的教师和研究生可以到这里专心致志进行研究，并且有机会与中外数学家进行讨论和交流．另一个目的是希望创造一个好的研究环境吸引在国外获得博士学位的留学生回国工作．

extras

阿基米德

　

辽宁师范大学 梁宗巨

　

　　阿基米德(Archimedes) 公元前287年生于西西里岛(Sicilia，今属意大利)的叙拉古(Sracusa，—译锡拉库萨)；公元前212年卒于叙拉古．数学、力学、天文学．
! Y" N4 |# X) C" h: a　　和其他的古希腊数学家相比，阿基米德的生卒年是比较确实的．J．策策斯(Tzetzes，约1110—约1180)在《史书》(Book of histories)中记载：“智者阿基米德是叙拉古人，著名的机械制造师，终生研究几何，活到75岁”．阿基米德之死，T．李维(Livius， 公元前59—公元17年)策斯等历史学家作了不同的描述，但一致同意他是在叙拉古陷落(公元前212年)时被罗马兵所杀的．倒推回去，应生于公元前287年．
　　阿基米德是叙拉古统治者海厄罗王(Hiero Ⅱ，约公元前308—前216年，约公元前270—前216年在位)的亲戚，和王子吉伦(Gelon，后继承王位)友善．父亲菲迪亚斯(Phidias)是天文学家．
　　阿基米德早年曾在当时希腊的学术中心亚历山大跟随欧几里得的门徒学习，对欧几里得数学进一步的发展作出了一定的贡献．在那里结识许多同行好友，如科农(Conon of Samos，公元前245年前后)、多西修斯(Dositheus，公元前225年前后)以及埃拉托塞尼(Eratosthenes)等等．回到叙拉古以后仍然和他们保持密切的联系，因此阿基米德也算是亚历山大学派的成员，他的许多学术成果就是通过和亚历山大的学者通信往来保存下来的．后人对阿基米德给以极高的评价．数学史家E．T．贝尔(Bell，1883—1960)说：任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定会包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯．不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比，拿他们的影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．普林尼(Pliny，公元 23—79年)甚至称阿基米德为“数学之神”这些过分的赞扬，反映了后世对阿基米德的崇敬．
　　赫拉克利德(Heraclides)曾写过阿基米德的传记，欧托基奥斯(Eutocius of Ascalon，约生于公元480年)止一次提到这件事，可惜传记已失传．阿基米德的生平事迹，散见于各种古代的文献中．

　

金冠

　

　　维特鲁维厄斯(Marcus Vitruvius Pollio，公元前1世纪上半叶—约公元前25年)罗马有名的建筑学家，以传世的10卷《建筑学》(De Architectura Libri X)称．这书第Ⅸ卷记述了一段传诵千古的逸事．叙拉古的海厄罗王的政治威望及权势日益提高，为了报答诸神的德泽，他决定建造一个华贵的神龛，内装一个纯金的王冠，作为谢恩的奉献物
( t3 w. x* T9 f3 q/ x& P　　金匠如期完成了任务，理应得到奖赏．这时有人告密说金匠偷去一部分金子，以等重的银子掺入．国王甚为愤怒，但又无法判断是否确有其事．便请素称多能的阿基米德来鉴定一下，他也一时想不出好办法来．正在苦闷之际，他到公共浴室去洗澡，当浸入装满水的浴盆去的时候，水漫溢到盆外，而身体顿觉减轻．于是豁然开朗，悟到不同质料的物体，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等．根据这一道理，不仅可以判断王冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的份量．这一发现非同小可，阿基米德高兴得跳了起来，赤身奔回家中准备实验，口中不断大呼“尤里卡！尤里卡！”(Eureka，意思是“我找到了”．)
　　这问题可解释如下：设王冠重W，其中金与银分别重W1，W2，而W=W1＋W2分别取重为W与W1的纯金放入水中，设排去水的重各的银放入水中，设排去水的重量各为F2与y，于是W∶W2=F2∶y，
　　

( r0 y  g1 c' ^! }4 T　　由此推得F(W1＋W2)=F1W1+F2W2，即

　

; r  B8 o; c6 E/ i+ F　　用实验可求出F，F1，F2，即可算出银与金之比值．如F=F1，说明没有掺银．实际情况是两者不等，从而揭穿了金匠的劣行．
　　经过仔细实验和反复思考，将经验上升为理论，他终于发现了流体静力学的基本原理——阿基米德原理：物体在流体中减轻的重量，等于排去流体的重量．后来总结在他的名著《论浮体》(Flo－ating bodies)中成为第7命题．

　

豪言壮语

　

' y9 H+ H  l% x( w) Z　　帕波斯(Pappus)的《数学汇编》(Mathematical collections)
' Q: L) d! R! f+ V# [　　记载，阿基米德建立了杠杆定律(若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡)之后，解决了“用给定的力去移动任何给定的重物”的问题，曾发出豪言壮语：“给我一个立足点，我就可以移动地球！”
　　
　　普卢塔克(Plutarch，约公元46—119年以后)的《马塞勒斯传》(Marcellus)中有更详细的描写．阿基米德对海厄罗王说：任何重物都可以用一个给定的力来移动．“如果另外有一个地球，就可以站在那上面移动这一个”．海厄罗王大为诧异，想考验一下这惊人的论断是否可靠，要求他用事实来证明．阿基米德从国王的船队中选定一艘有三根桅杆的货船，这种船通常要用很多人花很大力气才拖得动它．阿基米德安装了一组滑轮，自己站在远处，手握绳子的一端，轻而易举将船平稳地拉过来，好象它在海上行驶一样．
0 I- S- \+ ?( `- l8 a2 h　　按普罗克洛斯(Proclus)的说法，这艘船是海厄罗王特地为托勒密王(Ptolemy)建造的，下水时几乎动员了所有的叙拉古人．而阿基米德凭着他发明的机械，使国王自己一个人就把它拖动．国王佩服得五体投地，当即宣布：“从现在起，阿基米德说的话我们都要相信”．
- I7 b, d6 P. a% c( e5 `2 C1 u　　 辛普利休斯(Simplicius，6世纪上半叶)在注释亚里士多德的《物理学》(Physica)时，说阿基米德发明了一种“神力器”(cha-ristion)
8 N" O$ }0 T7 z& R7 x, b/ U' l# c1 Y+ w　　
　　德宣称要用“神力器”去移动地球．
! F% W0 {8 ]: P  O2 `8 w　　上述几种记载内容大致相同．阿基米德真的能移动地球吗？不妨作一个简单的计算．那时他并不知道地球有多重，现在知道地球质量是6×1027克．假想用杠杆来举起地球，加60公斤(6×104克)的力，那么力臂应该是重臂的 6×1027÷6×102=1023倍．要举起地球1/10000毫米，力臂的一端应走过1013公里以上．每天24小时以短跑的速度走过这个距离，至少要3000万年！换句话说，即使略去杠杆本身的重量不计，阿基米德用尽毕生的力量，也休想移动地球分毫．不过这位伟大的古代力学家，只因为不知道地球的大小，以致作出错误的判断，这是可以谅解的．

　

叙拉古保卫战

　

　　在阿基米德的一生中，最悲壮、最惊心动魄的一幕是他以古稀之龄，投身于反侵略战争，最后为国捐躯．
8 U# M" T$ d- R　　迦太基(Carthage)是古代腓尼基(Phoenicia)人建立的国家．以现今非洲北部的突尼斯为中心，领土东到西西里岛，西达西班牙和摩洛哥．由于商业和殖民利害的冲突，从公元前264年起到前146年为止，前后三次和罗马人进行了猛烈的大搏斗，延续120年之久．罗马人称迦太基人为腓尼(Poeni)，转为布匿(Punic)，故史称布匿战争．第二次布匿战争发生于公元前218—前201年，叙拉古和迦太基缔结同盟，因此成为罗马的仇敌．公元前214年，罗马名将马塞勒斯(Marcus Claudius Marcellus，约公元前268—前208年)率领大军围攻叙拉古．在这危急存亡之秋，阿基米德便献出自己一切杰出的科学技术为祖国效劳．
; k; P  ~" ^+ c  y* L　　详细记述这次保卫战的主要有三种书：波利比奥斯(Polybius，约公元前200—前118年)的《通史》(Historiae，共 40卷)，李维的《罗马史》及普卢塔克的《马塞勒斯传》(Vita Marcelli)．此外策策斯、卢西恩(Lucian，约公元120—180年以后)等也有所论述．
　　马塞勒斯从陆上及海上袭击叙拉古．阿基米德用他发明的起重机之类的器械将靠近墙根的船只抓起来，再狠狠地摔下去，有的被撞得粉碎，有的沉入海底．马塞勒斯也不甘示弱，他用8艘5层橹船(quinquereme)，每两艘联锁在一起，架起一种叫“萨姆布卡”(sambuca)武器，准备攻城．可是叙拉古人未等敌船靠近，就用强大的机械将巨大石块抛出，形同暴雨，打得“萨姆布卡”七零八落．同时万弩齐发，罗马兵死伤无数．吓得目瞪口呆的马塞勒斯下令退兵．在陆上，罗马兵也没有占到便宜．多次进攻，均未得逞．
; V/ ]% u. |! w/ a5 K- L# w; W　　有一种传说是阿基米德用巨大的火镜(burning－mirror)反射阳光来焚烧敌船，这大概是夸张的说法，最早见于卢西恩(Luci－an)的记载．不过当时阿基米德已经发现抛物面反射镜能够聚焦的性质．有的书说成将燃烧的火球弹射出去使敌船着火，这也许比较可信．
　　无论如何，罗马兵已成惊弓之鸟，简直是“风声鹤唳，草木皆兵”，只要看到一根绳子或一块木头从城里扔出来，立刻抱头鼠窜，大呼：“阿基米德的机器又瞄准我们了”．
+ y8 Z* w  d! E5 c! V! g　　罗马人在一次军事会议上，决定夜间偷袭，他们以为飞弹只能在远距离起作用，黑夜可以避开城上的视线，一旦接近城墙，飞弹就无能为力了．谁知阿基米德早有防备，制造了一种叫“蝎子”的弩炮，专门对付近处的敌人．罗马兵又一次吃了大亏．
　　马塞勒斯嘲笑他自己的工程师和工兵说：“我们还能同这个懂几何的‘百手巨人’(Briareus)下去吗？他轻松地稳坐在海边，把我们的船只像掷钱游戏(pitch and toss)似的抛来抛去，船队被搞得一塌糊涂，还射出那么多的飞弹，比神话里的百手妖怪还厉害”．(《马塞勒斯传》，见[7]，p．29．)
; s  C0 s' {( ~4 u+ z　　后来罗马军放弃正面进攻，改用长期围困的策略．叙拉古终于因粮食耗尽，被叛徒出卖，公元前212年，在一个庆祝阿泰密斯(Artemis)神，75岁的阿基米德也光荣牺牲了．

　

为国捐躯

　

　　叙拉古陷落时，马塞勒斯虽然发布了许多禁令，仍然阻挡不住士兵的劫掠．出于对阿基米德的敬佩，他下令不准伤害这位贤者，
　　但阿基米德还是被愚蠢的罗马兵杀害了．关于他的死，几种记载颇有出入．
　　(一)最早的说法出自李维．在兵荒马乱之中，侵略军大肆杀戮，阿基米德正在沙上画图，一个罗马兵将他刺死，根本不知道他是谁．
, W* ?2 s4 `9 h: R& @" k　　这里所说的“沙”，是指沙盘(sand board)，在平板上铺上细沙，用来计算、画图和写字．也就是“算盘”(abacus)．李维的原文是pulvis(拉丁文，沙盘或沙上铺的细沙)，后来罗马历史学家瓦勒里乌斯(Valerius Maximus，活跃于公元20年前后)提到这件事，误以为是在沙地上画图，把pulvis写成terra(土地)，于是许多书就以讹传讹．
' l5 v6 R7 [" Q. i+ [  A　　许多数学史书都转载一幅镶嵌的图案画(例如见［11］，p．135)，表现了阿基米德之死．它是在意大利赫库兰尼姆(Herculaneum)发现的，原为波拿巴(Jérme Bonaparte， 1784—1860)的传家宝，后为威斯巴登(Wiesbaden)的F．E．沙贝尔(Schabell)所有，1924年由F．温特尔(Winter)将它发表出来．一般认为这件工艺品是艺术家根据古代一幅画来制作的．画面是一位老人，坐在小桌子后面，两手似在护着放在桌上的长方形沙盘，横眉冷对站在旁边的握剑士兵，他显然是命令老人跟他走．较多的学者认为它较真实地重现了当时的情景．
  j7 X, j# Z+ ~/ F+ P- n4 w( M/ i9 d　　(二)策策斯的记载是，他俯身去画一些机械图，一个罗马人走过来拖他去当俘虏．阿基米德全神贯注在作图，没有注意是谁，口中说：“喂！站远一点，离开我的图．”那人继续拽他，他转过头来，看清是一个罗马兵时，立即喊道：“给我一样器械(指他发明的武器)！”士兵吓了一跳，马上杀了他，虚弱的老人就这样倒下了．
　　(三)普卢塔克还给出下面几种说法．阿基米德独自聚精会神去思考要解决的问题，目不转睛地看他的图，丝毫没有注意到城池已破．一个罗马兵突然出现在他的面前，命令他到马塞勒斯那里去，遭到阿基米德的严词拒绝，他表示除非解答了问题并给出了证明，否则是不会去的．这激怒了罗马兵，于是丧生在刀剑之下．
　　(四)另一种说法是罗马兵不由分说，要立刻刺死他，阿基米德看了他一眼，请求他等一会儿，不要让一道只研究了一半而尚未解决的问题遗留给后人．但是士兵不懂这些，终于动了手．
9 G, r; q2 i  g5 h+ i　　(五)还有一种说法是阿基米德带了许多数学仪器去见马塞勒斯，如日晷、球以及测量太阳的工具等，那些士兵不知这些闪闪发光的东西是什么宝物，于是便谋财害命．
. H2 v5 G9 f& X/ K: y. ]* ?! b　　不管具体的情节如何，这位旷世的大科学家，为了拯救自己的祖国，曾竭尽心智，力挽狂澜，给侵略者以沉重的打击，最后献出生命，这是无可怀疑的事实．
, p7 ~* n: A# ~4 {1 I　　阿基米德之死，马塞勒斯甚为悲痛，除严肃处理这个士兵外，还寻找阿基米德的亲属，给予抚恤并表示敬意，又给阿基米德立墓，聊表景仰之忱．在碑上刻着球内切于圆柱的图形，以资纪念．因阿基米德发现球的体积及表面积，都是外切圆柱体体积及表面积的 2/3．他生前曾流露过要刻此图形在墓上的愿望．
; }% N; g' V- {- |  t　　后来事过境迁，叙拉古人竟不知珍惜这非凡的纪念物．100多年之后(公元前75年)，罗马著名的政治家和作家西塞罗(Mar-cus Tullius Cicero，公元前106—前43年)在西西里担任财务官，有心去凭吊这座伟人的墓．然而当地居民竟否认它的存在．众人借助镰刀辟开小径，发现一座高出杂树不多的小圆柱，上面刻着的球和圆柱图案赫然在目，这久已被遗忘的寂寂孤坟终于被找到了．墓志铭仍依稀可见，大约有一半已被风雨腐蚀．又两千年过去了，随着时光的流逝，这座墓也消失得无影无踪．现在有一个人工凿砌的石窟，宽约十余米，内壁长满青苔，被说成是阿基米德之墓，但却无任何能证明其真实性的标志，而且“发现真正墓地”的消息时有所闻，令人难辨真伪．

主要著作

　

　　阿基米德留下的数学著作不下10种，多数为希腊文手稿，也有的是13世纪以后从希腊文译成拉丁文的手稿．有J． L．海伯格(Heiberg)校订的：Archimedis opera omnia cum commen-tariis Eutocii(《阿基米德全集，包括欧托基奥斯(Eutocius of Ascalan，约生于公元 480年)的注释》，1910—1915，莱比锡出版)，这是标准的本子：译成现代语的常见的有三种：T．L．希思(Heath)英译注释本：The works of Archimedes with the method of Archimedes(《阿基米德全集，包括阿基米德方法》，1912，纽约出版)； P．V．埃克(Eecke)法译本： Les oeuvres complètes d'Archimède(《阿基米德全集》，1921，巴黎出版)；E．J．迪克斯特惠斯(Dijksterhuis)：Archimedes[《阿基米德全集》，原文为荷兰语，1938—1944，C．迪克舒恩．(Dikshoorn)英译本，1956，哥本哈根出版]．
8 ^6 m8 {' C, I: @　　著作的体例，深受欧几里得《几何原本》的影响，先设立若干定义和假设，再依次证明各个命题．各篇独立成章，虽然不象《原本》那样浑然一体，但所言均有根据，论证也是严格的．现按海伯格本的顺序(为希思本所沿用)列举如下：
　　1．《论球与圆柱》(On the sphere and cylinder)；
' H+ j! C3 B  w; ~- z9 t2 D8 C　　2．《圆的度量》(Measurement of a circle)；
　　3．《劈锥曲面与回转椭圆体》(On conoids and spheroids)；
　　4．《论螺线》(On spirals)；
! ~8 t1 }& z+ u* i　　5．《平面图形的平衡或其重心》(On the equilibrium of planes or the centres of gravity of planes)；
$ a- V& D" t( e, x) C- T　　6．《数沙器》(The sand-reckoner)；
　　7．《抛物线图形求积法》(Quadrature of the parabola)；
* R' F1 C" }4 K3 l7 D3 B　　8．《论浮体》(On floating bodies)；
　　9．《引理集》(Book of lemmas)；
! F3 }( V8 E. N: h　　10．《群牛问题》(The cattle-problem)．
0 [# @1 s4 `/ u/ l$ n. ]　　以上并不是写作先后的顺序，如按时间来排，大致是：5(卷1)，7，5(卷2)，1，4，3，8，2，6．另外，在本世纪初还发现阿基米德的一封信，这信非常重要，它记录了阿基米德研究问题的独特思考方法，后来以《阿基米德方法》(The method of Archimedes，简称《方法》)的标题发表出来．

　

《方法》的发现及其内容

　

　　1906年，哥本哈根大学古典哲学教授J．L．海伯格(Heiberg，1854—1928)在土耳其君士坦丁堡(现称伊斯坦布尔)仔细观看一部擦去旧字写上新字的羊皮纸书①，旧的字迹幸好没有擦干净可以判定是10世纪时写上去的．擦掉之后，大约在13世纪时写上一大堆东正教的祈祷文和礼拜仪式，作为中世纪的宗教文献保存了下来．旧的字迹隐约可辨，海伯格惊喜地发现这是阿基米德的著作，因为在别处见过．于是用摄影等技术使旧字迹重现，1908年再一次去进行工作，经过不懈的努力，终于使 185页的文字(除少数完全看不清者外)重见天日．其中包活《论球与圆柱》及《圆的度量》、《平面图形的平衡或其重心》的一部分．还有《论浮体》的相当一部分，过去一直认为希腊文本已失传，只有莫贝克(William of Moerbeke，约1230—1286)的拉丁文译本存下来，现在居然得到希腊文原本，虽然也还不是全部．更令人兴奋的是有一封阿基米德写给埃拉托塞尼(Eratosthenes)的信，还是初次看到．这是本世纪数学史料的重大发现．
　　《方法》包括15个命题．一开头是写给埃拉托塞尼的信用来说明本篇的主要内容，相当于序言．下面，以命题1为例，阐明阿基米德的思想方法．为了便于了解，暂用现代的术语和符号来推导．

　

　　设D是抛物线弧ABC的弦AC的中点，过D作直线平行于抛物线的轴OY，交抛物线于B．要证明的是抛物弓形ABCD的面积等于△ABC面积的 4/3．
　　当时已经知道过B的切线平行于AC，即B是弓形的顶点(在ABC弧上与AC距离最远的点)．命题结论的另一种说法是：
2 z" d3 q# }* x: u7 r. Q　　抛物弓形的面积，是等底等高的三角形的4/3．
8 y' _+ z1 \! V9 \* G　　用解析几何来分析，设抛物线方程是
　　y=ax2 (1)
( g9 p% ]9 C/ k% ~　　A，C的横坐标分别是x1，x2，则AC的方程是
　　y=ax1x＋ax2x-ax1x2 (2)
　　过C点的切线CF的方程是
7 x: _. R8 A! ]9 p- D8 V( V　　
　　延长DB交CF于E，不难证明，B是ED的中点．事实上，将D，B，
4 M% ^. b2 s' ~6 `　　
　　坐标，依次是

　

　　由此知B是D、E中点．
9 h* A4 [0 V4 z: q　　作AF‖OY，交CF于F．延长CB交AF于K，则K是FA的中点．再取KH=KC，过AC上任意点M作MQ‖OY，交CK于P，交CF于Q，交抛物线于N．将M的横坐标x2分别代入(2)、(1)、(3)得到M，N，Q的纵坐标

ym=ax1x0+ax2x0-ax1x2，

　

　　于是有

　

/ ?* j. g+ \1 r4 ]: x　　上面推出的几个性质，有的前人已证明，有的阿基米德在别处已证明，在这里是作为已知条件来使用的．例如：1)过D且平行于轴的直线必过弓形的顶点B，且B是ED中点，在欧几里得以及阿里斯泰奥斯(Aristaeus，约公元前340年)的圆锥曲线论中已证明，在阿基米德的《抛物线图形求积法》命题 1，2中也讨论过；2)MQ∶MN=AC∶AM是同一篇论文的命题5．
　　下面才是阿基米德巧妙的根据力学原理去探索真理的方法．
& ?! O  e1 M" G' v2 l5 K: _8 C　　假想各线段都是有重量的，而且重量和长度成正比．又HP是一根以K为支点的杠杆．因为MQ∶MN=HK∶KP，如果将MN放在H点，就可以和位于杠杆另一端的MQ平衡，P是MQ的重心．这关系对于任意的M都成立．弓形可以看作由许多这样的MN线段所组成，而△AFC由许多的MQ线段所组成．如果将所有的MN(也就是整个弓形)都放在H上(以H为重心)，就可以和△AFC平衡．弓形的重量可以看作完全集中在H点，而△AFC的重量也可以看作集中在它的重心上，这重心位于中线KC上，与K的距离是KC(=KH)的1/3，故弓形重量(即面积)是△AFC重量(即面积)的1/3．又△AFC=4△ABC，故知弓形ABCD的面积是△ABC的4/3．
　　阿基米德特别声明以上的推导不能算是证明，只是一种直观的试探或猜测问题结论的方法．以后还要在别的地方用几何方法(通常是用归谬法)去严格证明它．
  H* e. c3 A. B8 ?: {2 g　　《方法》的中心思想，是要计算一个未知量(图形的面积、体积等)，先将它分成许许多多的微小量(如将面分成线段，将体积分成薄片等)，再用另一组微小量来和它比较．通常是建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后两组微小量取得平衡．再将后一组微小量集合起来，它的总体应该是较易计算的．于是通过比较，即可求出未知量来．这实质上就是积分法的基本思想．阿基米德的睿智，业已伸展到17世纪中叶的无穷小分析领域里去了！因此，称他为近代积分学的先驱，毫不为过．当然，和积分法还有相当大的差距．表现在：1)没有说明微小量(或元素)是有限的还是无穷多，这在古希腊时代是不可能解决的问题；2)没有极限的思想，现代的积分，是一个极限值而不是一个简单的和；3)就事论事，没有形成抽象的概念及一般的法则．
　　尽管如此，阿基米德运用这种富有启发性的方法，获得大量的辉煌成果，为后人开辟了一个广阔的领域．本篇后面的命题都是用类似的方法取得的．
6 N8 m1 {1 M1 a: \; O　　命题2．球体积是以此球的大圆为底、以球的半径为高的锥体体积的4倍．以球的大圆为底、球的直径为高的圆柱的体积是球体积的3/2倍．
) G0 }2 L, ?2 Q- r　　这在《论球与圆柱》中是命题34及其推论．也就是刻在墓碑上的那个著名的论断．
5 F# J) f, s7 ?+ G: [　　此外还有旋转椭圆体体积，旋转抛物线体体积及重心，半球的重心，以及相当复杂的圆锥体与球的交截体(两种立体相交的公共部分)等问题．在今天，只有用积分法才能解决，而阿基米德独辟蹊径，创立新法，取得正确的结果，使后人惊叹不已．

　

各篇著作的主要内容

　

　　(一)《论球与圆柱》
　　这是他的得意杰作，包括许多重大成就．序言是阿基米德给多西修斯(Dositheus)的信，后者是科农的学生和朋友．阿基米德的著作，过去一向是通过科农转给亚历山大的学者的．科农去世后，改由多西修斯代办．在《抛物线图形求积法》的序言中，阿基米德已经说明了这一点：“惊悉科农去世，我十分悲痛，这不仅仅因为失去一位好友，而且失去一位令人钦佩的数学家．你是他的朋友，而且精通几何，转交论文的任务，现在请你代劳”．以后好几篇著作都是先寄给多西修斯的．
　　在《论球与圆柱》的序言中，首先指出本篇的主要内容和成就，接着给出6个定义．阿基米德在这里将“定义”说成“公理”．按其性质来说应该是定义，后来欧托基奥斯在注中说明这一点．
　　下面给5个假定，相当于公理．例如
/ E* C! I% h7 }( L% u( \$ |　　1．在端点相同的所有线(包括曲线、直线)中，以直线为最短．
+ W6 ^8 O( j" [- E　　2．在以相同的平面曲线为边界的曲面中，以平面的面积为最小．
# O3 {, r9 F4 n　　特别重要的第5个公理，这就是后来以阿基米德的名字命名的公理：如果两条线段或两个面、两个立体不相等，就可以在两者之差的上面，加上它的本身，一次一次加上去，使得每一个预先给定的同类量都被超过．在现代分析学中常用的说法是：对于任意二正实数 a，b，必存在自然数n，使得na＞b．
3 I5 G0 W( c: B　　从这些定义和公理出发，推导出上卷44个，下卷9个命题．多次使用阿基米德公理及反证法(归谬法)，如要证A=B，则证明A＞B及A＜B均导致矛盾．以下面的命题为例来说明．
7 M6 j! J; m3 ?  Y　　阿基米德引用了欧几里得《几何原本》Ⅻ，2的证法(穷竭法)建立了命题6：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积C与内接正多边形的面积1之差可以任意小．不同之处是欧几里得默认了阿基米德公理，而阿基米德在本篇中是明确地作为公理提出来的．在这基础上，证明了：
　　命题14．正圆锥体的侧面积等于以底面半径与母线的比例中项为半径的圆的面积．

　

: U8 O( m- S' H; h6 p　　设正圆锥的底面为A，半径为r，母线为l，r与l的比例中项为 R(即R2=rl)，则此正圆锥的侧面积S=πR2．
& Z4 O  U$ r) i& \2 R7 }3 a　　以R为半径作圆B，其面积为πR2，现要证明S=B=πR2．用反证法，设S＞B．根据命题6，可作B的外切正多边形Cn(同时表示其面积，下同)与内接正边形In，使得

　

　　又作底面A的相同边数的外切正多边形Dn，其周长记作Pn．以Dn为底，
7 R5 S3 ^; y; V　　
0 a& i$ I! q/ l* D; {0 b　　Dn，Cn是相似的，其比等于对应线段平方之比，

　

　　由此知Cn=Ln，代入上面的不等式有

　

　　这是不合理的，因为圆锥侧面积S小于其外切棱锥侧面积Ln，而圆B大于其内接多边形面积In．同理可证S＜B也是不合理的，故S=B=πR2．现在常用的形式是S=πrl．
　　下面较著名的命题还有命题33．球面积等于它的大圆面积的4倍．
5 v) x. Q* F0 t- U& k' T, H: E- H　　命题34．球体积等于以它的大圆为底、它的半径为高的圆锥体积的4倍．推论：以球的大圆为底、球直径为高的圆柱的体积与表面积分别是球的体积与表面积的3/2．这命题在《方法》中已提出，此处用反证法加以证明．
　　命题35—44研究了球缺、球冠及球心角体(球扇形)的表面积及体积．
$ C' `9 f5 D" H9 X4 k) V　　下卷9个命题主要讨论球缺，好几个是作图题．命题2给出球缺的体积．命题4在历史上占有特殊的地位．它要求用平面将一个球截成两部分，使这两部分体积之比等于给定的比．
　　设球半径为r，所分成的两个球缺的高各为h及2r-h，公共底的半

& ]5 Z1 r& q% T8 G1 k) }4 n　　可改写为
. r/ o8 _( B, Q1 F3 n6 ~　　

　

　　记x=2r-h，a=3r，又将右端的常数写成bc2，上式简写成x2(a-x)=bc2．
　　此问题的解相当于用几何方法去解这个3次方程．阿基米德说他将在后面给出分析与综合的解法，但现存本未见，大概已失传．后来欧托基奥斯(5世纪时)找到一些残页，是用多利安方言(阿基米德惯用的方言)写的手稿，上有这问题的解法，他认为是属于阿基米德的．解法的要点是求两条圆锥曲线的交点．一条是抛物线

　

" |- p1 o; n1 E8 \' o# ~0 V- Y　　另一条是双曲线(a-x)y=ab．残页还讨论了方程可解的条件，这
/ e* |5 H) Q9 X
时，还比较了狄俄尼索多罗(Dionysodo-rus，公元前3世纪—公元前2世纪，居住在小亚细亚地区)以及狄俄克利斯(Diocles，约公元前190年)对此问题的解法．
　　(二)《圆的度量》，其中只有3个命题．
% c' Z: ^, L# k8 m! H5 J1 l　　命题1．圆的面积等于一个以其周长及半径作两个直角边的直角三角形的面积．
' r* m, x/ M) ]7 p2 v& e$ A　　更简单的说法是：圆面积等于半径乘半周长．这正是中国《九章算术》的说法：“半周长半径相乘得积步”．或刘徽(公元263年)注的说法：“半周乘半径为圆幂”．
; r1 D8 P0 q! W7 O% S% M　　但在古希腊，自从毕达哥拉斯学派发现不可公度量以后，每一条线段是否都有长度就成了问题．因此在几何学家的著作中，极力避免两条线段长相乘的说法，宁愿说成由两线段构成的矩形或三角形的面积．

　

$ V; o; F* g& o* g　　证明仍用穷竭法．圆半径为r，周长为C，面积为S．以C，r为两直角边作直角三角形，设面积为K．现证明S=K．用反证法，假定S＞K，作边数足够多的内接正多边形In，使其面积In与圆面积S之差

S-In＜S-K，

　　于是有

In＞K．

　　这是不合理的，因为In的边心距d＜r，而In的周长小于C，故In应＜K．同理作外切正多边形，可证S＜K也导致矛盾，从而有S=K．
　　命题2．圆面积与外切正方形面积之比为11∶14．
　　命题应该放在命题3的后面，也许是后人抄错了或阿基米德别有用意．
( g: j- S9 ?, T3 w( i! [8 r2 L　　
　　这就是有名的阿基米德圆周率的出处．欧几里得在《原本》中讨论了很多圆的性质，但却完全没有提到圆周率的值及圆面积、圆周长的计算法．阿基米德弥补了这一不足，并在科学上首次创用上、下界来确定一个量的近似值，还提供了误差的估计。
　　他在推导中使用了一个不等式

　

　　分数的渐近分数．它具有这样的特性，以265/153为例，在一切分母

2 f6 I/ o8 ?8 g# Q　　的性质．阿基米德是怎样得到这些分数的？这引起后人的极大兴趣．仅从17世纪以来，就至少有十几种不同的推测．较多的意见认为是利用了不等式

　

' n! X2 ^1 P  ?" v( x# \' S　　左右各平方，便可证其成立．试推演如下：

　　

　　取右端

　

　　
　　于是有　

　　本命题主要的推导思想如下：设O是圆心，OA是半径，作

∠AOB=30°，

　　过A作切线AB交OB于B．则

　

　

5 {+ H/ i4 |" N6 B& a% |) A

4 N  G4 ~# W; Y5 E6 j7 {　　两式左右相加得

　

　　作∠AOB的平分线OC，则
8 `' W) P7 `# Q5 {1 K2 T" V　　
　　左端分母与右端分子交换，再由前面的不等式，有

　

　　或

　

　　由上面的不等式立刻推出圆外切正6边形、正12边形的周长与直径比值的上界．同样，计算内接正多边形的边长，可以确定比值的下界．再利用比例关系及勾股定理，重复上述手续，一直算到96边形，最后得到

　　一切分母不大于71的分数中它是最接近π的．比它更接近π的分数有

①①见梁宗巨，祖冲之密率的优越性，《辽宁师范大学学报》增刊(数学史专辑)，1986，p．6．
, L6 @$ N' J( i6 h1 {& U1 U" M: A

　　分母都大于71，除了最后一个外，都不是连分数的渐近分数．
) d6 `) i$ g0 q6 R: t　　(三)《劈锥曲面与回转椭圆体》
　　共32个命题，研究椭圆的面积以及回转圆锥曲线体被平面截取部分的体积等．证明的方法是穷竭法，十分接近今天的积分法思想．当时还没有“抛物线”(parabola)等名称，早期的希腊数学家如门奈赫莫斯(Menaechmus，公元前4世纪)，用平面去截三种不同的直圆锥面，产生三种圆锥曲线．令平面与直圆锥的母线垂直，当圆锥的顶角(母线所张的最大角度)是直角时，截口叫做“直角圆锥截线”(section of a right-angled cone)，现在叫抛物线；当顶角是锐角时，叫“锐角圆锥截线”(section of an acute-angledcone)，现叫椭圆；当顶角是钝角时，叫“钝角圆锥截线”(section ofan obtuse-angled cone)，现叫双曲线．欧几里得和阿基米德一直沿用这些旧名称，为简单起见，改用今名．
6 v8 T4 ?( E+ ]# A# e) e5 ^　　本篇一开头先给出两个引理，以备后面证明之用．第1个是等差数列求和公式，写成不等式

2(a＋2a＋3a+…+na)＞n2a

＞2[a＋2a＋3a＋…+(n-1)a]．

　　如用求和公式，左端是n(n+1)a，右端是(n-1)na，不等式成立是明显的．
: g9 H; k$ f: i, O8 A3 D, W　　第2个是自然数平方和公式，先证明
- E9 B% ]) \( Z1 I  r0 }$ M　　(n＋1)(na)2+a(a＋2a＋3a＋…+na)
　 =3[a2+(2a)2+(3a)2+…+(na)2]，
4 J- E6 [$ F" S) Y1 _6 n* X3 e　　由此可知
　　a2＋(2a)2+(3a)2+…＋(na)2
　
. t% k6 e2 Y+ E( Y7 J　　写成不等式

3Sn-1a2＜n3a2＜3Sna2．

　　下面以一个较简单的命题来阐明阿基米德的证题思想．为了便于理解，改用现代的术语和符号．
7 }6 @6 T0 C; [9 ~( U　　命题21．回转抛物体被垂直于轴的平面所截取的部分的体积等于同底等高的圆锥体的3/2．

　

+ b+ Z' a. l( K6 f" C　　抛物线AOB(不妨设方程为y=x2)绕其轴OC回转，产生回转抛物体．求被垂直于OC的平面ACB所截取的部分的体积V．将OC用分点O，C1，C2，…，Cn-1，Cn(=C)分成n等分，过这些分点作垂直于OC的平面将所求的体积分成n个小薄片．每一个小薄片介于一个内接圆柱与一个外接圆柱之间．例如E1H2及A1F2回转后就产生C1，C2间的小薄片的内接与外接圆柱．又每一个外接圆柱与紧接着上面的一个内接圆柱(如A0F1与E1H2回转产生的圆柱)相等．
/ u- ~. r' u  H6 w0 j( u
4 Z: ]# u; O3 ]2 o
=In．这是根据前面引理得出的不等式．现证明V=V*，否则，如V＞V*，
; I7 i8 ~; D. `0 k9 G* `

Sn-In＜V-V*，

　　这是不合理的，因Sn＞V而In＜V*．同理可证V＜V*也导致矛盾，故
; M3 ~' u4 h- g2 P
　　其余各命题虽然都比这复杂，但基本思路是差不多的．除了没有取极限这一步骤之外，基本思想和现代积分是一致的．
3 D, c* V: ]2 r　　(四)《论螺线》
　　共28个命题，前10个是关于圆及切线的各种比例关系的．命题11重新证明了自然数平方和的不等式，这在《劈锥曲面与回转椭圆体》中是作为引理提出的：

　

" W  i. J2 j8 z% Q6 p4 A% w0 O　　接着给出螺线(现在称为“阿基米德螺线”)的定义．

　

* d5 a) v; `/ O% B　　一条射线绕其固定端点匀速旋转，同时有一动点从端点出发沿射线匀速运动，那么这动点就描绘出一条平面螺线(spiral)．射线开始时的位置叫做始线(OA)，固定端点叫做原点(O)．旋转一圈所产生的螺线与始线所包围的面积叫做“第1面积”(first area)．
　　现在在解析几何中螺线的极坐标方程是r=aθ，旋转一圈后动点到达A点，OA=2πa，以OA为半径的圆叫做“第1圆”．
　　命题21以后的几个命题探讨螺线所围的面积，命题24证明了“第1面积”S等于“第1圆”面积的1/3，即

　

　　螺线的内接与外接扇形．例如第3等分的内接扇形是ON2P3，外接扇形是OM2N3．设全部外接扇形面积的总和是Cn，内接扇形面积的总和是In，则Cn＞S＞In又根据自然数平方和的不等式，并注意到弓形面积公，有

　

8 L. p0 }1 h  Y　　可以任意小．
, k& ?5 A% ]5 Y4 C) I　　应用前面多次用过的反证法，可证S=S*．否则，如S＞S*，则可使

Cn-In＜S-S*，

4 k9 v% j) e4 P% K　　这是不合理的，因外接扇形面积总和＞S，而In＜S*．同样S＜S*也是不合理的．于是得到

　

　　命题13—20研究了螺线的切线，给出作图方法及种种性质．没有发现阿基米德有微分法的思想(那怕是粗浅的)，那么他是怎样得到切线的作法的？这有趣而且带有关键性的问题引起后人的注意．有些学者认为是运用了运动学的原理．射线作匀角速运动，而动点在射线上作匀速运动，两个速度按平行四边形法则所得到的合速度方向就是切线方向．如果这推测正确的话，那么这就是古代属于微分法的罕见的例子．
' Z# q( T/ Z& a: Q. y1 w7 ~" w- q$ o　　(五)《平面图形的平衡或其重心》
# m4 n! F3 V, W+ a4 s% }' Y4 p　　分两卷，卷Ⅰ先给出7个公理，都是显而易见之理．例如1．等重的物体放在相等的距离上(各在杠杆一端，与支点等距)，则处于平衡状态；等重的物体放在不相等的距离上则不平衡，向距离远的一端倾斜．
/ _6 d4 O: l+ b4 }( k- @# t　　2．放在一定距离上的重物处于平衡状态时，若在其中的一个重物上加一点重量，则失去平衡，要向加重量的一端倾斜．
　　5．相似图形的重心，也处在相似的位置上．
　　从这些公理出发，导出了著名的杠杆定律：
　　命题6，7．若两重物平衡，则所处的距离(与支点的距离)与重量成反比．
8 K7 m. J0 @' ~6 U7 o1 a　　证明是分可公度量与不可公度量两种情形来讨论的．下面的8个命题找出平行四边形、三角形以及梯形的重心．
　　卷2的10个命题集中研究了抛物弓形和它的一部分的重心．方法是作一系列的内接三角形，逐步去逼近所讨论的图形．
% r; T; C, N. b　　(六)《数沙器》
) e. ], R8 D! C% m　　这是阿基米德遗留下来的唯一的算术著作，也可能是最后的一种．那时海厄罗王已去世(公元前216年)，他的儿子吉伦(Gel-on)继承王位，阿基米德也已年逾古稀．这篇文章是递交给吉伦王的．
　　文章首先表明写作的目的，是要纠正有些人的错误观点，他们认为世界上的沙子是无穷的，即使不是无穷，也没有一个可以写出来的数超过沙子的数．阿基米德指出，任何大的数都可以表示出来．
2 c# x- W  q$ n  ]: {　　全文只有一个定理，实际相当于现今的指数法则

Am·An=Am+n

- s/ l5 z0 Q/ @4 U- b* A- ?　　他先给出地球、月球、太阳大小的估计，进而计算沙粒的数目．
　　1．地球的周长不大于3×106个“斯达地”(stadium，复数stadia)．斯
　　
　　的周长是5.55×105公里，而实际是40000公里．
+ r' N  i6 E7 c& j　　2．地球直径大于月球直径，太阳直径大于地球直径．
　　3．太阳直径是月球直径的30倍．(实际是400倍)
! \+ ]5 R8 ~$ y; E; U　　这些估计数字和实际出入很大，不过他自己也说只是一种假定．接着推出

“宇宙”(相当于太阳系)直径＜1010斯达地．

　　当时希腊用字母表示数字，最大的单位是“万”(10000，myri-ad)，
　　
5 v( I$ o' M0 C- D7 Z' a
/ N. n2 H2 J" K7 y! h2 ]6 ~　　表示加大10000倍．
- C: M, _" S$ X* L; K$ C; q　　阿基米德以万为基础，建立新的记数法，使得任何大的数都能表示出来．
- f; B5 |( ^& \/ Y6 a3 }$ E　　从1起到1亿(原文是万万，myriad myriads，按中文的习惯改称为亿)叫做第1级(first order)数；以亿(108)为第2级数的单位，从亿(108)到亿亿(108)2叫第2级数；再以亿亿(108)2为单位，直到亿亿亿(108)3叫第3级数；照此类推，直到第1亿级数的最后一
　　原文全用语言来叙述，没有创设记数符号，他是否在别的地方使用了符号不得而知．为了叙述简明，这里用P表示亿亿(108)108．从1到P叫做第1周期(first period)．下面列成表：
　　第1周期
5 t1 z3 k, }1 U/ {8 L( W: G3 ^　　第1级 　　　从1到108 　　第2级 　　　从108到(108)2
2 V# y# I+ Q; G+ f1 S　　
) F; t2 U, o# [* P$ b9 K- R
　　
& y* h# U2 P, K, l/ G　　第2周期
　　第1级　　　从P到P·108 　　第2级　　　从P·108到P·(108)2
0 t) O. n2 G& P* H) Y( |3 V　　　
$ `! Y8 x6 y# P- ]　　
0 x1 P) {" ]0 n. L
　　　
　　第108周期 　　
　　
3 `3 m- T+ q% y) u& s: r　　

　　+1位．
　　 阿基米德算出充满宇宙的沙数不过是1051，即使扩充到“恒星宇宙”，即以太阳到恒星的距离为半径的大球，也只能容纳1063个沙粒，远远小于前面列出的大数．
　　现今从理论上推测，可观察到的宇宙半径约为130亿光年，假想整个充满了具有最小可能体积的粒子(如质子)，其数也不超过10125．也还不能和上述的大数相比．
( A6 N5 D) F3 k1 O" G4 ?( c　　阿基米德的记数方法还可以继续下去，他企图说明任何大的数都可以表示出来，现在目的业已达到．可惜他没有再进一步去改革整个的希腊记数制度．也许那时已进行或临近叙拉古保卫战，致使改革工作功亏一篑．
6 \$ \- u* o0 F. h4 K2 e+ ^　　(七)《抛物线图形求积法》
) Z; \5 Q3 f# ^+ G8 _　　在《方法》中、阿基米德利用力学原理，已经得到“抛物弓形面积是同底等高的三角形的4/3”的结论．但他认为这不算证明，在本篇中另外用完全不同于力学的几何方法去严格证明它．基本思想是穷竭法，作一系列的内接三角形去穷竭(逼近)弓形，最后用归谬法完成证明．

　

7 k' y* i; {% q　　全篇24个命题，最后一个命题才是所要的结论，前面的都可以看作是引理．为了避免叙述的冗长，下面用解析几何来说明．
- F0 u0 p: X4 R  t: C　　设抛物线方程为

y2=2x

" U8 P' K$ x; J1 K　　在抛物线上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，不妨设y1＞y2．过P1P2中点M作MV‖抛物线的轴OX，交抛物线于V，V是抛物弓形P1VP2的顶点，即过V的切线‖于P1P2，ΔP1VP2与弓形同底等高(命题1与18已证)．现要证明弓形面积S是ΔP1VP2面积的4/3．
　　
　　过VP1中点M1作M1Q1‖OX交抛物线于Q1，过P2V中点M2作
　　 　　称ΔP1VP2为1级三角形，面积记作Δ1，ΔP1Q1V及ΔP2VQ2称为2
　　
, H" h% y1 {; }. j
# t0 q) q0 s! k' ^* k, u　　VQ2，Q2P2之上作4个3级三角形，其面积总和为Δ3，同样可证

　

+ k# R, V8 d; t  X, {' L　　这手续可以继续下去，直到作出n级三角形，其面积的总和
　　
　　由此知

　

　　又
/ |! I: n' w' `0 ]- |# X- S- Q" `+ g　　

　

　　前面的命题已证明，内接三角形的级数越多，In越大，S-In越小，同时Δn也越小，以至小于任给的正数．
　　
. T# ]6 L9 U) o0 z' @( Z# Q8 r7 j　　或

　

& H) b! z1 Z! [% R' G) `- B　　这与前面的不等式矛盾．
　　

In＞S

% d& r# u% N0 E　　这也是不合理的，因In是内接三角形面积之和，应有In＜S．综上所述，
7 _. S' L8 U* _! U0 G9 z0 q& I% B- l　　
　　(八)《论浮体》
　　这是古代第一部流体静力学著作，阿基米德因此而被尊为流体静力学的创始人．20世纪之前，本书只有莫贝克13世纪时的拉丁文译本，1906年，海伯格发现了羊皮纸上的希腊原文，但不完全．现传的本子是两种文字参照编成的．
/ q; U* y$ G& W　　卷上命题7给出著名的“阿基米德原理”：重于流体的固体，放在流体中，所减轻的重量等于排去流体的重量．这原理因和他解决王冠问题联系起来而脍炙人口．
1 y3 B( x1 M( S- K6 i　　卷下的10个命题相当详细地讨论了正回旋抛物体在流体中的稳定性，研究了不同的高与底的比、具有不同的比重及在流体中处于不同位置时这种立体的性态．在推理中运用了高度的计算技巧．
7 _( ]& W2 p3 t# Y4 ]  t　　(九)《引理集》

　　只有阿拉伯文译本传下来，是15个初等几何的问题集．也许不是阿基米德的原著而是后人收集整理的，因为在文章中不止一次提到阿基米德的名字．其中提出一种被称为“皮匠刀”(shoe-maker’s knife)的图形，是三个半圆所包围的部分，两个小半圆外切，又同时内切于大半圆．这图形有许多奇妙的性质，如通过两小圆的外切点C，作CP⊥大圆直径AB(三个圆的直径是重合的)交大圆于P，则“皮匠刀”AGCBPA的面积等于以CP为直径的圆面积．又可以作两个小圆，分别切于CP、大圆及一个小圆，可证这两个小圆相等．设HE是‖于AB的一个小圆的直径，则切点F与H，A共线，F与E，B也共线．E是ΔABD的垂心，从A向DB作垂线，垂足I必落在大圆周上．又AE，HC必过切点G，等等。还有许多其他的性质．
　　命题8和3等分角问题有关．设AB是⊙O的任一弦，延长AB至C使BC等于圆的半径．联CO并延长之使交圆于E，D．求证

　

/ O. q8 _" V: k" ]　　联OA，OB，只要证明∠AOE=3∠BOD即可．实际上∠AOE=∠OAC+∠OCA=∠OBA＋∠OCA=∠BOC＋2∠OCA=3∠BOD．
5 _; M+ V' P  Q) r) Q9 _3 S　　现将问题倒过来考虑．设有∠AOE，求它的三等分角．这就是古希腊的三大作图问题之一的“三等分任意角”问题．从理论上说用直尺和圆规是不可能解决的．受到本命题的启发，只要在直尺上加一个点，就能轻而易举地解决这历史难题．
　　在直尺ABC上记上一个点B，使B至尺端C的距离等于半径．现令尺通过A点，B在圆周上移动，当C落在直径的延长线EDC上时，作ABC直线，则∠C就是所求的三等分角．
9 o" s$ O$ J! a9 y  k; C" U& s　　当然这已不是欧几里得几何的尺规作图法，因为工具已经改变(即使只加一点！)，而且不合作图公法．不过它说明了一个问题，有些初学者只知道三等分角是难题，但不知难在尺规的限制上，如不限于尺规、那真是易如反掌．
! P1 }5 m! F6 D  u　　(十)《群牛问题》
　　阿基米德的论文向来是以命题的形式来表达的，而这篇的体例不同，它是用诗句写成的(原文见[7]，p．203)．标题是给埃拉托塞尼的信．胡尔奇(Hultsch)曾猜想这是阿基米德“显本领”(tour de force)之作，以此向亚历山大的学者们(特别是阿波罗尼奥斯)挑战．但它的真实性颇值得怀疑，“群牛问题”大概很早以前就已存在，阿基米德只是重新研究而已．诗句也未必出自他的手．内容如下：
( Z4 ~! a- d' K7 ~) j, h4 x( b　　太阳神赫利俄斯(Helios)有一大群牛在西西里岛草原上放牧．公牛和母牛各有4种颜色，各种头数之间的关系如下：令W，w分别表示白色公牛、母牛的头数；
' G5 q4 m. o2 r! j　　X，x……………黑色……………；
　　Y，y……………黄色……………；
% E) m( l5 U& E$ Q/ a　　Z，z……………花色……………．
0 \8 u$ o. @! D* |4 m9 u; F　　要求

　　

, C* ~2 _5 O9 v- R8 t5 h8 [7 ]9 p　　个三角形．倒数第2个条件是含混的，原话是“黑色和白色的公牛可以合起来排成一个方形，长与宽是相等的”．有两种可能解释，一是长与宽的数目相等，即

W+X=n2(完全平方数)；

. D+ {4 @2 k. [2 V6 c  ^　　另一是方形的两个边长相等，但由于牛的身长与体宽不一样，方形两个边的数目并不相等，条件成为①①这种解释也很牵强，因为要挤成一个正方形，还需要考虑身长与体宽的比，故右端不是任意两个正整数之积mn而是kn2(k是常数)，这样问题并没有化简．
7 K8 {) w. b; x, \! p

W＋X=mn．

- }" E2 d1 H( s3 t, t& h+ P" o　　后一种情形较易解决，称为“较简问题”，而前一种情形称为“完全问题”．
' z9 M4 p4 ~( E. Q9 B　　“较简问题”已由Jul．Fr．武尔姆(Wurm)解决．“完全问题”在1880年为阿姆托尔(Amthor)所解决．即使较简问题，牛的总数也已达到5916837175686头之多！而完全问题导致2元2次方程

t2-4729494u2=1．

' G. S' R" K; |5 p　　最小解牛的总数是7 766×10206544，位数超过20万！当时阿基米德未必解得出来．

　

其他工作

　

　　(一)半正多面体(semi－regular polyhedron)
　　帕波斯在《数学汇编》中记述阿基米德发现了13种半正多面体．各个面是若干个不同类的正多边形，但同一类的都相等．例如12个相等的正5边形和80个相等的三角形构成一个92面体；6个正8边形，8个正6边形，12个正方形构成26面体；26面体又可以由18个正方形和8个正三角形构成．如此等等．
: }0 C3 C. Y- L4 C$ L& p　　(二)三角形面积公式
: V, W4 U0 U; @  E8 e1 N　　阿拉伯数学家比鲁尼(Abū’l Raihān Muhammad al-Bīrūnī，973—1050？)记述，阿基米德发现了用边表三角形面积的公式

　

　　s是三角形三边a，b，c之和之半，这公式通常归功于海伦(He-ron，62年前后)，并称为海伦公式．
2 @# _8 @& O) T2 b8 a1 M　　(三)正7边形作图法
　　另一个阿拉伯数学家塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra，826—901)指出，阿基米德发现正7边形的作图法．自然不是尺规作图，可惜方法已失传，
　　(四)天文学方面
　　阿基米德对天文学也深有研究，但著作没有留下来．西塞罗的书记载马塞勒斯攻占叙拉古时，曾获得两座阿基米德制作的天文仪器．一座是天球仪，上刻各个星座，后放置在神庙中．另一座为加卢斯(Gain Sulpicius Gallus，公元前166年为罗马执政官)所有．可称为天象仪(planetarium)，借助机械或水力表演日、月、行星的运行，还可以演示日、月食．
2 _5 l  J+ ~4 k$ z, h4 ^; g" a: _8 L( N　　(五)阿基米德螺旋泵
　　历史学家狄奥多罗斯(Diodorus Siculus，公元前1世纪)记载阿基米德在埃及时，发明一种螺旋水泵，被埃及人广泛使用．

　

结束语

　

4 [+ E5 t* `9 s0 W; n　　历史上有的数学家勇于开辟新的园地，而缺乏缜密的推理，有的数学家偏重于逻辑证明，而对新领域的开拓却徘徊不前．阿基米德则兼有二者之长，他将惊人的独创与严格的论证融为一体，更善于将计算技巧与逻辑分析结合起来．正确地注意理论与实际的联系，常常通过实践直观地洞察到事物的本质，然后运用逻辑方法使经验上升为理论(如浮力问题)，再用理论去指导实际工作(如发明抗敌器械)．在严格性方面，实超过了15—17世纪的分析学家，他的理论比牛顿、莱布尼茨更加接近柯西、外尔斯特拉斯的ε-δ方法(例如阿基米德公理及穷竭法的使用)．只是没有强大的生产需求和适宜的社会环境，未能进一步发展起来．
　　这位独步千古的科学家，还具有崇高的爱国热忱，在祖国危亡的紧急关头，献出了自己的一切．他的爱国精神和爱科学的精神同样为万世所景仰．

extras

毕达哥拉斯

辽宁师范大学 梁宗巨

　

( ]) b4 k# Y3 K  h　　华达哥拉斯(Pythagoras) 约公元前560年生于萨摩斯岛(Samos，小亚细亚西岸)；约公元前480年卒于梅塔蓬图姆(Metapontum，今意大利半岛南部塔兰托附近)．哲学、数学、天文学、音乐理论．
4 H$ [. Q  R( I$ G7 S; m  w$ j4 _　　毕达哥拉斯与中国孔子(公元前551—前479年)同时．他早年曾在锡罗斯岛(Syros，在爱琴海中)向费雷西底(Pherecydes)学习，又曾师事伊奥尼亚学派的安纳西曼德(Anaximander)．以后游历埃及、巴比伦等地(一说到过更远的印度)，接受古代流传下来的天文、数学知识．回到家乡以后，开始讲学，未见成效．公元前520年左右，为了摆脱波利克拉底(Polycrates)的暴政，和母亲及唯一的一个门徒离开萨摩斯岛，移居西西里岛，最后定居在克罗托内(Crotone，意大利半岛南端)．在那里广收门徒，建立一个宗教、政治、学术合一的团体．他的讲学吸引了大量的听众，包括各个阶层的人特别是社会上层的人士．当时妇女是被禁止出席公开会议的，毕达哥拉斯打破这个界限，允许她们听讲．在热心的听众中有房主米洛(Milo)的女儿西雅娜(Theano)，绮年玉貌，后来成为他的妻子，还给他写过传记，可惜已失传． 　　毕达哥拉斯将信徒们分为两等．一等是普通的听讲者，这是大多数．他们只能听讲，不能发问，更不能参加讨论，高深的知识是不向他
& B- n' n" k! f: l' x! ^" T
3 F) a4 X. }8 q4 j% k2 s/ a
这就是欧洲文字“数学”(拉丁文mathematica、英文mathematics、德文Mathematik等等)一词的来源．
　　这个学派的组织是很严密的，带有浓厚的宗教色采．每个成员都要接受长期的训练和考核，遵守很多清规戒律，宣誓永不泄露学派的秘密和学说，在学术上要达到一定的水平．加入组织还要通过一系列的神秘仪式，以求达到“心灵的净化”．他们相信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体．数学是教义的组成部分．他们不仅认为万物都包含数，而且万物都是数，宣称上帝用数来统御宇宙．这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别．
. J. u  h; g: z, w+ [! j$ x' u　　学派的成员有共同的哲学信仰和政治理想，训练是严格的，食物是简单的．学派的教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从．他们起初在大希腊(Magna Graecia，今意大利南部一带)赢得很高的声誉，产生过相当大的政治影响，但却引起敌对派的忌恨．后来受到民主运动风暴的冲击，毕达哥拉斯被迫移居梅塔蓬图姆，终于被暴徒杀害．在克罗托内的活动场所连续遭到破坏，许多门徒逃回希腊本土，在弗利奥斯(Phlius，伯罗奔尼撒半岛东北部)重新建立据点，也有些人到塔兰托去，继续进行数学、哲学研究以及政治活动，直到公元前4世纪中叶．这个学派繁荣兴旺达一个世纪以上．
) a2 g" x: X8 T; H8 J6 R7 S" H　　毕达哥拉斯本人没有留下什么著作，而学派内部的发明创造是秘而不宣的，外人鲜知其详．不过也有少数通过各种途径流传开来．以后组织渐渐分散，保密的教条被放弃，才出现一些公开讲述这个学派教义的著作．第一本这类的书是学派的晚期成员菲洛劳斯(Philolaus)在公元前370年左右写的，当时柏拉图等人曾看到过，现今只残留片断，其内容偏重哲学，数学的记载不多．此后许多学者开展毕达哥拉斯的研究，他的思想和学说逐渐为人们所知．

　

数的理论

　

; _* E& h( W+ n( I　　毕达哥拉斯学派将抽象的数作为万物的本原．研究数的目的不是为了实际应用，而是想通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理．他们对数作过深入的研究，并得到很多结果，但常常将数和迷信奇特地结合起来．他们注意到数与音乐和谐之间的关系、数与几何图形的关系、数与天体运行的关系．把整个学习课程分为四大部分：1．数的绝对理论——算术；2．数的应用——音乐；3．静止的量——几何；4．运动的量——天文．合起来叫做“四道”(quadrivium，四条道路，或“四艺”)，这名称一直沿用到中世纪．后来又加上文法、修辞、逻辑，合称“七艺”．中国古代有“四术”(诗、书、礼、乐)、“六艺”(礼、乐、射、御、书、数)之说，堪与媲美． 　　毕达哥拉斯发现一根拉紧的弦弹出一个音调，比方说是do，那么

5 `% X: a, A5 J
5 e! F7 h3 m4 R3 m0 w
& Y0 ~' H4 \/ s成等差数列，那么原来这三个数就叫做调和数列．这就是调和数列名称的起源．同样，取原长的3/4，弹出的音是fa．总的来说，如果两弦紧张的程度(张力)相同，长度为简单的整数比时，奏出来就是和谐悦耳的乐音．这原理对管乐(笛、箫之类)也是适用的，不过情况较为复杂，因为声波的波长并不严格地正比于管长，还和管的粗细有关．
9 f" T, q% _( L; B3 S5 L% x8 ]　　根据“简单整数比”的原理，这个学派创造了一套音乐理论，1，2，3，4这头四个自然数，按4∶3，3∶2，2∶1的比构成几个主要的音调，而这四个数的和是10．于是他们认为10是一个完美的数，称之为“四数组”(tetractys)，用来表示，作为神圣的象征，10同时成为宣誓时的誓词．后来斯皮尤西波斯(Speusippus，柏拉图的外甥，公元前347—前339年是柏拉图学园的领导人)指出10包含点、线、面、体各种类型的数：1是点，2是线，3是三角形，4是四面体．这更增加了10的神秘性．这是他们的信条“一切事物都按数来安排”的又一例证．
1 t! M( V, z9 @+ @+ _5 ?# [　　他们认为偶数是阴性的，奇数是阳性的．偶数可以分为相等的两部分，而奇数只能分成不相等的两部分．按照这个定义，1既不是奇数也不是偶数．5是第一个阴性数2与第一个阳性数3之和，所以是结婚的象征．
　　毕达哥拉斯特别厌恶17这个数，它正好在16与18之间．而16与 18是仅有的两个数(自然数)，它同时等于一个矩形(包括正方形)的面积与周长．边长是4的正方形面积与周长都是16，边长是3，6的矩形面积与周长都是18．容易证明不可能有别的自然数具有这种性质．事实上，设矩形的两边是x，y，解不定方程

　

7 V5 q% m5 d7 P- G& f* z" C　　x只可能取3，4，6，对应的y是6，4，3．xy只可能是16和18．
9 {4 m$ k+ s% C　　晚期的希腊学者如尼科马霍斯(Nicomachus of Gerasa)等对这一类数的神秘主义仍然很迷恋，在他的《算术入门》(Introduc-tio Arithmetica)一书中大力宣扬数的神秘性和神圣性．他虽然后于毕达哥拉斯好几个世纪，但他的思想和学说却比较全面地反映毕达哥拉斯学派的本来面目．更晚的伊安布利霍斯(Iamblichus，约250—330)也是如此，将数说得玄妙莫测，他们被后人称为新毕达哥拉斯学派．
　　在欧几里得的《几何原本》(Elements)中，卷Ⅶ，Ⅷ，Ⅸ讲的是数论，毕达哥拉斯的理论有许多在这里得到了反映．不过完全摈弃了神秘的色彩，所有的论断都给出了严格的证明．

　

完全数与亲和数

　

% S0 t9 P3 y# j9 C% }　　如果一个数等于除它本身以外的全部因子之和，这个数叫做完全数．例如

6=1＋2＋3，28=1＋2＋4+7＋14，

; @5 w- }9 r1 l* b3 i0 k3 m+ g　　6，28就是完全数．完全数的发现，是毕达哥拉斯学派卓越贡献之一．尼科马霍斯给出四个完全数6，28，496，8128，并指出一般规律：若1＋2＋22+…+2n=P是素数，那么2nP就是完全数．这在欧几里得《几何原本》中已有证明(卷Ⅸ命题36)．道理很简单，因为2nP能被下列各数整除：

1，2，…，2n，P，2P，…，2n-1P．

　　 除此以外，不能被任何小于它本身的数整除，而这些除数(因子)之和为

1＋2＋…+2n＋P＋2P+…+2n-1P=P＋P(2n-1)=2nP．

　　证明中用到等比数列的求和公式

1+2＋22＋…+ 2n-1=2n-1，

　　这公式曾在毕达哥拉斯学派的著作中出现．据此推测毕达哥拉斯本人可能已经知道完全数的这一性质：如果2n-1是素数，那么2n-1(2n-1)就是完全数．尼科马霍斯提到的4个完全数是6=2(22-1)，28=22(23-1)，496=24(25-1)，8128=26(27-1)．
　　2n-1类型的数，17世纪时M．梅森(Mersenne，1588—1648)曾详加研究．由毕达哥拉斯开创的完全数研究，至今还有很多问题没有解决．
　　和完全数有关的还有亲和数．毕达哥拉斯发现，284这个数除它本身外的所有因子之和等于220，而220除它本身外的所有因子之和又等于284，即
! f* f6 d. `& j　　220=1+2+4＋71+142，
* x! W5 K" n, X- |. Q/ q3 o　　284=1+2＋4＋5＋10+11+20＋22＋44＋55＋110。
　　这一对数叫做亲和数，象征着友谊．当别人问及“朋友是什么”时，毕达哥拉斯回答说：“是另一个我(Alter ego)”，可用亲和数来表示．
　　两千多年之后，P．de费马(Fermat，1601—1665)才找到第二对亲和数17296和 18416．1750年，L．欧拉(Euler，1707—1783)写出62对亲和数(包括以前知道的)．现在已经知道上千对亲和数．

　

形 数

　

+ P: N& T8 i% {　　毕达哥拉斯很注意形与数的结合，许多论断既是数的关系，也是形的关系．他把算术中的单位叫做“没有位置的点”，而几何中的点叫做“有位置的单位”．

　

- N  B$ J% R9 t  M/ t0 O, W* o　　形数(figurate num-ber)是形与数的结合物．用点子排成图1所示图形．每一个图的点数叫做三角数，第1个三角数是1，第2个三角数是1+2=3，第3个三角数是1＋2＋3=6，…，第n个三角数是

　

　　毕达哥拉斯大概已经知道这个公式，后来出现在尼科马霍斯的书中．同样(图 2)的点数1，4，9，16，…，n2，…叫做平方数．平方数可以看作从1起连续奇数之和，如图3所示：

1＋3+5+7＋9+11=62．

　　一般地说，作出平方数n2的图形之后，再镶上一个曲尺形的边，点数是2n+1，就得到下一个平方数．即

n2＋(2n＋1)=(n+1)2．

　

6 r1 x; r) A& D) w0 {　　曲尺形叫做磬折形(gnomon)，这字的原意是指一根直立的杆，观测日影的位置以定时刻，也就是日晷．后来和水平尺连起来，构成一个画直角的工具，同时也可以测日影．在中国叫做“矩”，它的用处很大，现今仍然是木工不可或缺的器具．在欧几里得《几何原本》中，磬折形的意义有所推广，它指在平行四边形的一个角上截去一个相似的平行四边形后所剩下的图形，如图4的阴影部分．后来再进一步推广．

　

* Z" [' p1 g6 \" |0 H0 g5 o　　类似地，可用点子排出五角数(图5)，六角数(图6)等等．

　

　　五角数是1，5，12，22，35，…
. g0 T- v7 w4 A; ~( J　　六角数是1，6，15，28，45，…
2 m6 H& n% E9 k8 A$ n3 y　　知道五角数(或六角数)的某一项，用镶边的办法可以得下一项．这一点从图形看得很清楚．所镶的边，仍然叫做gnomon，当然意义是推广了的．
　　这一类数列现在可归入高阶等差数列的范围．毕达哥拉斯本人及其学派开展了研究，但究竟深入到什么程度，很难确知．

　

勾股定理

　

% M) `* E+ u7 s' o: H　　传统的说法，一致认为勾股定理是毕达哥拉斯发现的，因此西方叫做毕达哥拉斯定理，这几乎是家喻户晓的．还传说他为了庆祝这伟大的胜利，宰了一头牛来祭神．这传说不大可信，因为他们的教义是极力反对以动物特别是牛作牺牲的，有的作者还肯定他们是素食主义者．
  m3 U! e) @1 F$ a8 _6 H! q, a$ f　　经过仔细的研究，现在有充分的证据表明巴比伦人在汉穆拉比(Hammurabi，约公元前1700年)时代已经知道这一定理．特别是O．诺伊格鲍尔(Neugebauer)等人1945年诠释了巴比伦泥板“普林顿322”，更肯定了这一结论．那上面列有15组“毕达哥拉斯数”(即满足x2＋y2=z2的整数)，最大的一组斜边是18541，一个直角边是12709．令人惊讶的是时间竟早了一千多年！毕达哥拉斯本人曾到过巴比伦，很可能从那里学来．不过从他们欣喜若狂的情况来看，也不排除重新发现的可能性，或者是找到了证明的方法．
　　对于勾股定理，现在至少有三种不同的理解，当然表达方式也不同：
# P2 a, a; Y* }6 S" z: I　　1．在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形．
　　这就是欧几里得《几何原本》卷Ⅰ命题47．注意这里讲的纯粹是几何图形之间的关系，完全不牵涉到数的问题．所谓相等，是指拼补相等，即将两个正方形剖分为若干块，可以拼凑成斜边上的大正方形．
9 k: |% l0 `! Z# G　　2．直角三角形直角边上的两个正方形面积之和，等于斜边上正方形的面积．
# z: t; t' r3 J0 Y1 X6 D　　图形的面积是一个数，定理指出两个数的和等于第三个数．应注意欧几里得从来没有把面积看作一个数来加以运算．
　　3．直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和．
　　长度是数，数的平方还是数，定理讲的是数与数之间的关系．并不考虑数的平方的几何意义．
　　这三种提法的意义是不同的，第一种不妨称为“形的勾股定理”，后两种称为“数的勾股定理”．毕达哥拉斯当时怎样理解这个定理？根据他对于数的认识，似乎应该是第一种．这个学派虽然发现了不可通约量，但拒绝承认无理数是数．就拿最简单的等腰直角三角形来说，设直角边是1，如果数的勾股定理成立，斜边长度的平方应该是2，于是出现什么数的平方是2的问题．也就是要回答“斜边的长度是多少？”当他们进一步了解到任何数(他们所知道的有理数)都不是斜边的长时，必定会大惑不解．因此很难说他们已经建立了数的勾股定理．至于他们怎样发现这个定理，又怎样去证明它，后人倒作了一些合乎情理的推测．
　　这个学派曾研究过铺地砖的问题．像图7那样用等腰直角三角形来铺地是常见的．不难看出，△ABC的直角边上的两个正方形合起来正好是斜边上的正方形．受此启发，自然会推想对于非等腰的直角三角形这关系也能成立．

　

: |$ V+ \3 b3 q! ?9 [8 s　　任给△ABC(图8)，各边为 a， b， c．以a＋b为边完成□CD，它由4个全等的△和C边上的□III拼成．如果将△移动一下位置，立刻看出□CD也可以由4个△和a，b上的两个□I，□II拼成图9．从而得到

□III=□I+□II．

: g6 ?3 F. P! w, A, E  }　　毕达哥拉斯的证法也许和这个类似．

　　　

$ I  O! n( A) S1 d; E　　勾股定理大概是所有数学定理中证法最多的，有人已收集到367种之多．
2 O" v* M: T$ {2 ^) l% U6 O! W$ Z　　毕达哥拉斯还发现用三个整数表示直角三角形边长的一种公式，也就是不定方程
　　x2+y2=z2 (1)
2 z% ~2 X( z- \8 p, u. ~　　的一组解：2n＋1，2n2＋2n分别是二直角边，2n2＋2n＋1是斜边．满足(1)的正整数，现在叫做毕达哥拉斯数或勾股数组．上面这一组解并不是(1)的全部解，只限于斜边与一个直角边的差是1的那一种解．它很容易从前面提到的连续奇数和是平方数这一关系推出．讨论形数时已知

1＋3＋5＋…＋(2k-1)＋(2k＋1)=(k＋1)2

5 n" ?6 K3 ]4 k( p, \　　如果左端最后一个奇数恰好是某一个奇数2n＋1的平方(如25=52，49=72等)：
1 A  Y4 e" p! |/ Q　　2k+1=(2n＋1)2 (2)
　　那么左端就是两个平方数k2，(2n＋1)2之和，又由(2)知k=2n2＋2n，于是有

(2n2＋2n)2+(2n+1)2=(2n2＋2n＋1)2．

! p8 y# J# k5 r4 M  ~( e/ H; t　　毕达哥拉斯通过这一关系得出他的结果，是顺理成章的．
/ |/ v9 H+ g8 j. l! s4 X　　晚期的希腊代数学家丢番图(Diophantus)虽然已经知道(1)的一般解法，但未明显地表述出来．直到7世纪初，(1)的完整解答2mn，m2-n2，m2+n2(m＞n)才由印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)明确地给出．

　

正多面体

　

4 ^" V4 U( I. T6 f7 L& f: e　　这个学派在几何方面还发现了5种正多面体．关于这一点，有几种不同的说法，一种说毕达哥拉斯本人原先只知道4种：四面体、六面体、八面体、二十面体．另一方面，他主张一切物质都由土、水、气、火四大元素构成．土是固体、水是液体、气是气体、火是比气体更稀薄的东西．他把这四大元素和四种正多面体联系起来，说土生于正六面体，水生于正二十面体，气生于正八面体，火生于正四面体．后来发现还有正十二面体，但没有第五种元素，只好同整个宇宙对应．
5 {9 c# M: v! O$ Y; I0 l　　另一种意见认为毕达哥拉斯早就知道正十二面体，还有正四面体和正六面体．理由是正十二面体的每一个面都是正五边形，而这个学派对正五边形的作图法深有所知，并且用五角星来作他们秘密组织的徽章或联络的标志，称之为“健康”．有一则故事说这个组织的一个成员流落异乡，贫病交迫，无力酬谢房主的款待，临终前要求房主在门前画一个五角星．若干年后，有同派的人看到这个标志，询问事情的经过，厚报房主而去．
　　1885年，在意大利帕多瓦(Padua)附近的欧加内丘陵(ColliEuganei)发现用皂石制造的正十二面体，是公元前500年以前的遗物，源出于意大利西北部的伊特拉斯坎(Etruscan)．此外，在别处也发现类似的正十二面体，不下二十六个．可以推想当时毕达哥拉斯学派的人见过这种东西，以后便作为数学研究的对象．
　　不管是正五边形或是正十二面体，都和希帕索斯(Hippasus．约公元前470年，是梅塔蓬图姆地方的人)这个人物有关．他原先是学派的成员，后来被开除或被投入大海中淹死，也有的说是船只出事沉没，因而丧生．关于原因，至少有三种传说：1．是政治问题，他违反教规，参与反贵族的民主运动；2．自夸发现了正十二面体或不可通约量；3．泄漏了这些秘密．

　

不可通约量

　

　　不可通约量或无理量的发现，也许是这个学派最重大的贡献，但却和他们的信条相抵触．他们认为万物都可以用数来表示，所谓数，就是自然数与分数．除此以外，他们不认识也不承认有别的数．无理量的发现表明有些量不能用数来表示．这对他们的信条是一个致命的打击．他们惶恐不安，妄图用保密的办法来掩盖这一事实，但实际只能是掩耳盗铃．
5 W1 j. A8 l, h! N　　他们通过什么途径取得这一项成就？众说纷纭．归结起来，有下列这几种可能：
7 f) a9 h6 A, i  G( o1 l　　1．用辗转相截的方法求正方形的边与对角线的公度，发现公度根本不存在．
+ K; ?" q: K3 g, |- Q+ e9 t　　如图10所示，BC是正方形的一边，AC是对角线，现求两者的公度．先在 AC上截取 DC=BC，作 DE⊥AC交 AB于E，易知AD=DE=EB．AC截去DC后剩下的一段AD＜AE＜AB=BC．下一步应该在BC上截取等于AD的线段，但AB=BC，故也可以在AB上截取．截取EB=AD之后，剩下的AE，正好是以AD为边的正方形的对角线．于是情况又和开始时一样，以下的步骤只是重复上述的手续，这种重复永远不会完结．因此不可能存在公度．即AC与AB不可通约．
5 N) z- M, Z1 S  t5 Q　　2．用同样的方法求正五边形的一边与对角线的公度，或者将一个线段分为中末比之后，求大、小两部分线段的公度，最后证明公度不存在．
　　正五边形的五条对角线构成一个五角星形，它的中心形成一个小正五边形(图11)．容易证明 AB=AD=EC，AE=DC=FG．现在求一边AB与对角线AC的公度．先在AC上截取AD=AB，剩下一小段DC＜EC=AB，下一步应该用DC或AE去截AD，AD截去AE后剩下的ED是小正五边形的一边，而FG=AE是对角线．接着应该是用ED去截AE或FG．于是又重复上述求正五边形的一边与对角线的公度的手续．而且永远这样重复下去，所以不存在公度．

　　　　　　　　　

8 i, e: h5 A4 x$ F# y# `　　中末比的情形与此类似，不再复述．
0 z- b: E; p4 L( g　　3．建立了算术(等差)中项、几何(等比)中项、调和中项的概念之后，很自然会提出“两个最小的数1，2的等比中项是什么”的问题．后来证明不存在这样的数．
　　4．用几何方法证明了勾股定理之后，他们相信“数的勾股定理”也一定成立．于是便有“单位正方形的对角线等于多少”的问题．结果出现了不可克服的矛盾． 　　3和4这两个问题都是要找出一个数来，使得它的平方等于2．设

! o* ~7 E2 k- p- A" c  h) t8 N方才能是偶数，故n是偶数．令n=2k，则n2=4k2=2m2，或2k2=m2，


; ^6 y" U7 i1 {* ?5 L' @% N* l6 j在一个数(分数)，它的平方等于2．
% _. k& J4 l$ m/ Q' Z4 E  u　　这个“奇偶证法”有时叫做“欧几里得证法”，实际最早见于亚里士多德(Aristotle)的著作中，后来成为欧几里得《几何原本》卷X命题117，这是后人添加上去的．许多标准的版本都将它删去，只放在附录中． 　　毕达哥拉斯学派有一个教规，就是一切发明都归功于学派的领袖，而且对外保密．所以讨论他们的学术成就时，很难将毕达哥拉斯本人和他的学派分开．不过不可通约量的发现，大约是在公元前470年左右，那时毕达哥拉斯已不在世．他们讨论比率与比例，仅限于可公度的量．设一个量是公度的p倍，另一个量是公度的q倍，那么两者的比就是p∶q，

转成拉丁文ratio，rationalis．ratio除了保留“比”的意义外，还有“理由”的意思．rationalis由ratio派生出来，它的意义应该是“可比的”，但同时又有“有理(合乎情理)的”的含义．前者渐渐被人遗忘，只剩下“有理的”、“合理的”的含义．转成英文rational，法文rationnel等也都已经没有“可比的”的意思．对于不可公度(不可通约)的量，这个学派认为


/ v! z$ M( }8 C8 p拉丁文inrationalis，英文irrational．
: A: K4 @# A3 h6 J! D3 z  U* F, }　　6世纪时罗马人 A．卡西奥多拉斯(Cassiodorius)首先在现代的意义下使用“有理的”(rationalis)、“无理的”(inrationalis)这两个词，确实认为有一些数是合理的，有一些数是不合理的．他未必想到原来的意义是“可比的”与“不可比的”．
+ \. O9 q1 q9 G6 F% k4 ~2 B) F　　对几何量建立一般的比例论，它适用于可公度量与不可通约量，这是欧多克索斯(Eudoxus)的功劳．他的理论后来成为《几何原本》第5卷的主要内容．

　

天文学

　

　　这个学派在天文方面也有不少独特的见解，有一些是正确的，也有一些是假说或臆断．例如他们认为日、月、五星以及其他天体都呈球形，浮悬在太空中．天体的运行都沿着圆形的轨道，因为圆是最完美的平面图形，而球是最完美的立体．毕达哥拉斯原先认为地球是宇宙的中心，但他的门徒如希塞塔斯(Hicetas，叙拉古地方的人)、菲洛劳斯等人放弃了这一主张，说地球绕着“中心火”(central fire，不是太阳)旋转．在中心火的另一面，还存在一个和地球对称的“对地星”(counter earth，或译“反地球”)．而人类永远不能看见对地星与中心火，因为居住人的那一半球总是朝着相反的方向．有人以为他们已经建立了太阳中心说，这是误解．
$ _4 [3 m: s& y( l* }5 L  C) t　　他们还认为天体与地球的距离以及运行的周期等等大文数据与和谐的音乐是合拍的，换句话说，天体运动就是在演奏音乐．有的信徒还牵强附会地说这种音乐只有毕达哥拉斯能够听到，一般人是听不到的．17世纪时天文学家J．开普勒(Kepler)将这一思想大加发挥，说太空的运动是一部乐曲，它为智力思维所理解，而不为听觉所感知．有趣的是，1979年竟有人用现代电子技术将开普勒的天文数据译成音乐，弹奏出来，幻想居然变成了现实．

　

结 语

　

( A0 V0 i1 U3 a2 e  }( y　　毕达哥拉斯和他建立的学派是不可分割的，它是继伊奥尼亚学派之后，古希腊第二个重要的学派．它存在的时间达两个世纪之久，影响之大，远远超过前一个学派．
　　近代数学特点之一是它的高度抽象性．人类最初认识数是从具体的事物开始的，3头牛、5棵树是容易理解的，但从这些实际的事物中抽象出纯粹的数3与5，却经历了漫长的岁月．这是人类认识上的一次巨大的飞跃，这一飞跃首先应归功于毕达哥拉斯学派．他们承认并强调数学的对象是抽象的思维，和实际的事物有所区别．他们将抽象的数与形结合起来，进行了一系列的探讨，使数学逐渐成为一门独立的学科．同时又给它披上一层神秘的外衣，使人莫测高深．
　　在数学中引入逻辑因素，对命题加以证明，一般认为是从伊奥尼亚学派开始的，但毕达哥拉斯学派在这一方面作了重大的推进．他们的工作可以说是欧几里得公理化体系的前驱．
1 }4 Q2 Y5 ^: W/ [. |- h  r　　这个学派延续的时间很长，因此早期和晚期的思想和学说并不完全相同．他们所取得的成果，在当时的确是最先进的，然而由于保密，没有立刻在广大群众中产生应有的影响．等到局外人得知这些成果时，他们已经被别的学派超过了．不过他们的历史功绩，是不可磨灭的．

extras

泰勒斯

　

辽宁师范大学 梁宗巨

　

　　泰勒斯(米利都的) (Thales of Miletus)约公元前625年生于伊奥尼亚的米利都，约公元前547年卒．自然哲学、数学、天文学．
　　泰勒斯是希腊最早的哲学学派(伊奥尼亚学派)的创始人，也是最早留名于世的数学家和天文学家．伊奥尼亚(Ionia)包括小亚细亚(今属土耳其)西岸中部和爱琴海东部诸岛．公元前1200年到前1000年间，希腊部落伊奥尼亚入迁移于此，因而得名．在那里，氏族贵族政治为商人的统治所代替．商人有强烈的活动性，为思想的自由发展创造了有利条件．希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教条，这大大有助于科学和哲学同宗教分离开来．米利都(Miletus)是伊奥尼亚最繁盛的都市，位于门德雷斯(Men－deres)河口，地居东西方交通的要冲，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国累积下来的经验和文化．
4 L8 s' c* O3 Q, E8 j, s9 m　　泰勒斯生于米利都，父亲艾克萨米斯(Examyes)是卡里亚(Caria)人，母亲克利奥布林(Cleobuline)有腓尼基(Phoenicia)的血统．泰勒斯的生年有两种说法，根据第欧根尼(DiogenesLaertius)记载，阿波洛多罗斯(Apollodorus，活跃于公元前140年)将泰勒斯的生年定在第35个“奥林匹亚”第一年(即公元前640年)，卒年定在58个“奥林匹亚”(公元前548—前545年)，终年78岁．年龄和生卒年不合，差错的产生可能是将39(希腊数字γθ)误写成 35(γε)，这样生年应推迟 16年，即公元前 624年左右，此说较可信，和历史重大事件对照也相符．
2 j" |, n7 y  T. g# _+ ]5 `3 ]% W　　泰勒斯早年是商人，曾游历巴比伦、埃及等地，很快学到那里的数学和天文知识，以后从事政治和工程活动，并研究数学和天文学，晚年转向哲学．他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，获得崇高的声誉，被尊为“希腊七贤之首”．实际上七贤之中，只有他够得上是一个渊博的学者，其余的都是政治家．例如，梭伦(Solon，约公元前630—约前560年)是雅典的执政官，著名的改革家；开伦(Chilon)是斯巴达的城邦监察官；柏利安得(Periander)是科林斯的统治者等等．

　

传说与轶事

　

6 p. j3 D1 a# T6 _1 ~. L　　泰勒斯没有留下完整的传记．历史上流传着许多关于他的铁事，从各个角度去描绘这个人物，在一定程度上反映了他的生平事迹．这些传说未必完全真实，但和他的性格是相称的．
　　(一)早年的商旅活动，使他接触各种事物，了解各地的人情风俗，开阔眼界．他用骡子运盐，某次，一头骡滑倒在溪中，盐被溶解了一部分，负担顿觉减轻，于是这头骡每过溪水就打一个滚．泰勒斯为了改变这牲畜的恶习，让它驮海绵，吸水之后，重量倍增，这头骡再也不敢故伎重演了．亚里士多德(Aristotle)提到另一则故事：泰勒斯利用各方面的知识，预见橄榄必然获得特大丰收，于是就垄断了这一地区的榨油机，事情果然不出所料．他用自定的价格出租榨油机，获得巨额财富．他这样做并不是想成为富翁，而是想回答有些人对他的讥讽：如果他真的聪明的话，为什么不发财呢？他现身说法，用事实证明发财不见得比研究天文学更加困难．他终于走上了探讨大自然奥秘的道路．
7 \, l. w- f5 j! W　　(二)柏拉图(Plato)记述另一件铁事，说泰勒斯仰观天象，不小心跌进沟渠中，一优秀丽的色雷斯(Thrace)女仆嘲笑他说：近在足前都看不见，怎么会知道天上发生的事惰呢？——“智者干虑，必有一失”．
　　(三)梭伦的故事．普卢塔克(Plutarch)记载，梭伦到米利都去探望泰勒斯，问他为什么不结婚．泰勒斯当时没有回答．几天之后，一个陌生人来到梭伦面前，声称十天前曾去过雅典．梭伦问他有何见闻，那人说：有一个青年人的葬礼轰动了全城，因为其父是一位尊贵人物．儿子死时父亲不在家，他很久以前就出外游历去了．梭伦急切地问：“他叫什么名字？”那人说已记不清，只听说他很聪明、很正直．当惊慌失措的梭伦就要猜出死者是自己儿子的时候，泰勒斯笑着说：“这就是我不娶妻生子的原因．这种事连你那么坚强都承受不了．不过，这个消息完全是虚构的，不必介意．”
0 i9 ]5 ~2 \) ~& [2 p7 V" s! ^# _　　(四)泰勒斯言谈幽默并常含有哲理．他对于“怎样才能过着正直的生活？”的回答是：“不要做你讨厌别人做的事情．”这和中国的“己所不欲，勿施于人”(《论语·颜渊》)如出一辙．有人问：“你见过最奇怪的事情是什么？”回答：“长寿的暴君．”又“你作出一项天文学的发现，想得到些什么？”他答道：“当你告诉别人时，不说是你的发现，而说是我的发现，这就是对我的最高奖赏．”

　

预测日食

　

- W) I# J* e* Q1 e$ L　　泰勒斯最脍炙人口的事迹是预报了一次日食，使战争停止．
　　根据希罗多德(Herodoti，公元前5世纪中叶)的记载，公元前612年，米底王国与两河流域下游的迦勒底人(Chaldean)联合攻占了亚述(Assyria)的首都尼尼微(Nineveh)，亚述领土被米底和迦勒底瓜分．米底占有今伊朗的大部分，准备向西扩充，遇到吕底亚王国的顽强抵抗，在哈吕斯河一带展开激战，连续5年未见胜负，生灵涂炭，横尸遍野．泰勒斯预先知道有日食，便扬言上天反对战争，某日必用日食来作警告．到了那一天，果然发生了日食，白昼顿成黑夜．正在酣战的双方士兵、将领大为恐惧，于是停战和好，后来两国还互通婚姻．
　　除了希罗多德之外，第欧根尼也记载了克森诺芬尼斯(Xeno－phanes，约公元前560—约前478年)这次日食预测的赞颂，他是当时的目击者．
- W1 E: D: c$ t3 u. H　　这次战争的结束，当然还有政治、经济等方面的原因，日食只是起到促进的作用．不过由此知道泰勒斯预测了日食．历史学家还反过来根据日食的日期来印证重大的历史事件，因为即使是两千多年前，日食也是可以较准确地计算出来的．多数学者认为这次日食发生在公元前585年5月28日下午3时．
　　泰勒斯是怎样预知的？这是很重要的问题．后人作过种种猜测，一般认为是应用了迦勒底人发现的沙罗周期(Saros)．一个沙罗周期等于223个朔望月，即6585.321124日或18年零11日(如其间有5个闰年则是18年零10日)．日月运行是有周期性的，日月食也有周期．日食必发生在朔日，假如某个朔日有日食，18年11日之后也是朔日，而日月又大致回到原来的位置上，因此很有可能发生类似的现象．例如1973年6月30日有日食，1991年7月11日又有日食．不过一个周期之后，日月位置只是近似相同，所以见食地点和食象都有所改变甚至不发生日食．泰勒斯大概知道公元前603年5月18日有过日食，因而侥幸猜对．
) @% @/ L/ g  K3 Q# d9 u　　有的学者认为他利用了另一种较短的周期：47个朔望月或别的什么周期．也有人持否定态度，说对一个固定地区来说，根本不存在日食周期，所有周期都是对整个地球来说的．在当时的条件下，不大可能有全球性的统计资料．故泰勒斯预测是后人穿凿附会．现姑存此说．

　

测金字塔的高

　

　　泰勒斯另一项备受赞扬的业绩是他在埃及时，测定了金字塔的高度．最早的记载出自海罗尼莫斯(Hieronymus，公元前4—前3世纪)，第欧根尼援引他的话，说泰勒斯利用人的身高和影子相等时，金字塔的高也和影子相等的道理，成功地测出金字塔的高．(［5］，p．129．)普利尼(Pliny，公元23—79年)也有类似的记述：泰勒斯发现怎样可以得到金字塔或者其他物体的高，他在人身和影子等长的时候去量物体的影子．普卢塔克的记载更进一步，认为是利用了相似三角形的原理．他记述尼洛克森纳斯(Niloxenus)对泰勒斯所说的话：你的其他贡献，最使他(雅赫摩斯二世)高兴的是金字塔的测量．不用许多工具，仅仅在金字塔影子的端点处树立一根杆子，借助太阳的光线，构成两个三角形，你指出塔高与杆高之比，等于两者影长之比．
) Y: e  B/ R$ n4 B: ]& V- k2 O" u　　前一种说法原理较简单，容易被人接受，因此可能性较大．但问题在于金字塔不是一根杆，它的底很大，底的中点不能到达，影长是难以直接量得的．历史上没有更详细的记载，现在只能作一些推测．如果太阳在适当的位置，影长还是可以量出来的．以最大的胡夫(Khufu)金字塔为例，原高 146.5米，底为每边长230米的正方形．四面正对着东南西北．如果太阳位于正东、正南、正西(正北是不可能的)，仰角又小于侧面与底的夹角∠OMP(约等于51°52′)，塔影就是一个等腰△AQB，影长应该是OQ=OM＋MQ，而OM等于底边长之半，现在只要量出MQ就行了．如果应用相似三角形的关系，下一步的工作是作比例计算．若避免用比例，可以等待太阳的仰角为45°时(即杆长与影长相等时)再量MQ，这时OQ就是塔高．

　

　　这种可能性是存在的．比方，每天正午(太阳在正南方)定时观测杆影，不难发现秋分以后影子逐渐增长，到了某一天，影长和杆长相等，这时太阳既在正南，仰角又是45°．如选择正东或正西方向，情况与此类似．总之，只要耐心观察，测度塔高不用比例就能解决．
　　如允许应用比例原理，就可以不必受时间的限制．较合理的办法是作两次观测．第一次记下杆顶影子的位置a，和塔顶影子的位置A，第二次观测时杆顶影子在b处，塔顶影子在B处．那么，AB∶ab就等于塔高与杆长的比．不管用哪一种方法，都可以说是西方测量术的滥觞，泰勒斯对相似形已有初步的认识．

　

数学的贡献

　

　　泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想．命题的证明，就是借助一些公理或真实性业经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程．它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论．这在数学史上是一次不寻常的飞跃．在数学中引入逻辑证明，它的重要意义可以从下面这几个方面看出来：一、保证命题的正确性，使理论立于不败之地；二、揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；三、使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑．证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱．
- g% j; |& I( F1 m' [; I　　欧德莫斯(Eudemus，约公元前335年)有资料可查的第一个科学史家，曾著《算术史》、《几何学史》、《天文学史》，可惜均已失传．普罗克洛斯(Proclus)是雅典柏拉图学园晚期的导师，公元450年左右，给欧几里得《几何原本》卷Ⅰ作评注，写了一个“几何学发展概要”，通常叫做《普罗克洛斯概要》(Proclus's summary)(以下简称《概要》，见［10］，pp．144—161)，或叫《欧德莫斯概要》(Eudemian summary)，因为它主要取材于欧德莫斯的《几何学史》．
, `6 l, B! X7 ~8 N) m4 X7 ^　　《概要》写道：“泰勒斯是到埃及去将这种学问(几何学)带回希腊的第一人．他自己发现了许多命题，又将好些别的重要原理透露给他的追随者．他的方法有些是具有普遍意义的，也有一些只是经验之谈．”
　　普罗克洛斯指出他发现的命题有：
* @1 l" [# ]) ?9 b. d$ `6 X　　(1)圆的直径将圆平分．
/ K+ r* W( m: q. d# Z: `( @8 s; O　　普罗克洛斯说泰勒斯第一个证明了这个命题．多数学者认为他大概只是认识了这个性质而不是确实证明了它．．在《几何原本》中，欧几里得也只是作为定义提出来(卷Ⅰ定义17：直径是通过圆心的直线，……将圆平分)．M．康托尔(Cantor)推测，可能是受到某些图形的启发．从埃及的纪念碑上常看到将圆分成若干扇形的图，这些扇形显然都是相同的．

　

$ u/ r5 k6 y% k# {2 H　　(2)等腰三角形两底角相等．
5 t' E3 Z6 Y! c* D2 i) L# q% D　　在《几何原本》中，这是卷1命题5，也就是有名的“驴桥”．泰勒斯是用“相似”这个词来描述相等角的，说明他还未将角作为具有大小的量，而是看作有某种形状的图形．这和古代埃及人的观点一致．
. E2 P0 |& D; p; ?7 p3 M8 F　　(3)两直线相交，对顶角相等．
　　这是《几何原本》卷1命题15．
0 Z# m8 x* q/ t) y% @$ h* m　　(4)有两角夹一边分别相等的两个三角形全等．
7 t( ~" x: f- P1 z　　这是《几何原本》卷Ⅰ命题26．欧德莫斯在《几何学史》中将这定理归功于泰勒斯，并说他利用这定理测出从船只到岸边的距离．具体怎样测法，数学史家作过几种猜测．T．希思(Heath)设计一种简单易行的方法，其原理实际就是“一顶军帽定河宽”：人站在岸边，将军帽戴得低一些，使得眼睛望着彼岸某一点，同时看到帽檐，这时，视线、河宽和身高构成一直角三角形．现在转过身来，同样顺着帽檐看到此岸的一点，这一点和人的距离就是河宽．如要更精确一些，可制作一个工具，站在高处测量．
　　(5)对半圆的圆周角是直角．
9 @# h, A: K4 i2 `　　这是第欧根尼的记截，他引用潘菲拉(Pamphila)的话，说泰勒斯从埃及人那里学到了几何学，第一次在圆内作内接直角三角形，并为此宰了一头牛来庆祝．但也有人说这是毕达哥拉斯发现勾股定理时的故事．
　　如果这记载可靠，那么泰勒斯的几何学已经达到相当高的水平，应该能够掌握更多的知识，如三角形内角和等于两直角等．上述的命题看起来并不复杂，有些仅凭直观就能判断，然而泰勒斯不满足于“知其然”，还要穷究“所以然”．历史学家强调他证明了(至少是企图证明)这些命题．在数学中引入证明的思想，这是难能可贵的．从此数学从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演绎的科学．

　

其他的成就

　

4 u, ]: s+ i5 f* N1 \; U; x  e　　泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖，他第一次冲破了超自然的鬼神思想的羁绊，去揭示大自然的本来面目．他看到一切生命都依赖于水，而水无处不在，于是断言水是万物的本质．而地球像一个圆盘，漂浮在浩瀚无垠的水中．这种观点使他无法解释日月食的现象．他可能写过《航海天文学》，建议希腊的航海者按小熊星座去寻找北极，他们过去的习惯是看大熊星座．欧德莫斯说他已知按春分、夏至、秋分、冬至来划分的四季是不等长的．在物理学方面，琥珀摩擦产生静电的发现也归功于他(见［11］，中译本p．11)．
　　泰勒斯思想的影响是巨大的．在他的带动下，人们摆脱了神的束缚，去探索宇宙的奥秘，经过数百年的努力，出现了希腊科学的繁荣．泰勒斯首创之功，不可磨灭．

extras

柏拉图

　

江苏教育学院 周焕山

　　柏拉图(Plato) 公元前 427年生于雅典；公元前347年卒于雅典．认识论、数学哲学、数学教育．
! I( G# p+ O0 A7 a- N) I　　柏拉图出生于雅典的显贵世家．父亲阿里斯顿(Ariston)据信是雅典历史上最后一个君主科德罗斯(Codrus)的后裔；母亲珮里克蒂妮(Perictione)的先辈可以上溯到公元前7世纪的雅典执政官德罗彼得(Dropides)，据说他是被称为七贤之一的著名政治家和诗人梭伦(Sclon)的兄弟．柏拉图有两个年纪比他大得多的哥哥：阿得曼图(Adeimantus)和格洛康(Glaucon)，还有一个姐姐波托尼(Potone)，其子斯标西波(Speusippus)后来成为柏拉图的继承人．
　　柏拉图幼年丧父，之后母亲改嫁．继父皮里兰佩(Pyrilampes)是建设民主政体的杰出政治家柏里克利(Pericles)的亲密助手，曾作为雅典使节被派往波斯等国，在国家事务中起过引人注目的作用．他的堂舅克里底亚(Critias)思想机敏，给柏拉图留下深刻的印象．在柏拉图的著作中，曾多次用颂扬的口吻满怀眷恋地提到他的继父、兄弟和其他亲属．他的著作的一些篇名如《克里底亚》等，就是以亲属的名字命名的．
　　柏拉图自幼受到良好而完备的教育，少年时代勤奋好学、多才多艺，且体格健壮．他写过抒情诗和悲剧，也参加过摔交等激烈运动，除去家庭的熏陶之外，给他影响最为深远的莫过于正直善辩的哲学家苏格拉底(Socrates)了．苏格拉底是柏拉图一家的老朋友，交往密切，所以，柏拉图很可能从小就认识苏格拉底．但是，热心追随苏格拉底则是从20岁时开始的．从此，苏格拉底成为柏拉图心目中最敬仰的导师．他在后来的著作中多次称苏格拉底是“人世间最有智慧的人”．
　　公元前404年，雅典在长达28年之久的伯罗奔尼撒战争之后被迫向斯巴达投降．柏拉图目睹了奴隶主民主政体的垮台，取而代之的是以他的堂舅克里底亚为首的史称“三十僭主”的专制政体，他的舅舅查密迪斯(Charmides)也成为“三十僭主”的成员之一．虽然这些亲戚们一上台就立即邀请柏拉图参加其行列，而且他也久怀从政的愿望，但是他没有响应．事态的发展迅速表明，“三十僭主”政体的所作所为，倒使得原先的民主政体在相比之下显得象一个黄金时代．他们滥杀无辜，任意剥夺，甚至老朋友也不放过，连正直的苏格拉底也险遭陷害．不到八个月，“三十僭主”的暴政就被推翻，克里底亚和查密迪斯也死于战乱，这一切都使柏拉图感到悲愤和失望．
　　在“三十僭主”垮台、民主派领袖恢复执政之后，尽管采取了比较温和、不施报复的政策，一些政客却指控苏格拉底犯有不敬神和蛊惑青年的罪名，并被处死．在苏格拉底受审时，柏拉图和他的哥哥阿德曼图曾去法庭聆听苏格拉底的雄辩、无畏的申辩词，并在他的早期著作《申辩》篇中记录了这件事．这一悲剧给柏拉图以极大的刺激，使得在他心中复萌的从政愿望熄灭了．随着年岁的增长，他对当时的政客、法典和习俗越来越感到厌恶，从而决心继承苏格拉底的哲学思想，开始撰写以苏格拉底为主人公的《对话》，并从事于缔造理想国家的理论研究．
　　苏格拉底死后，柏拉图离开雅典，退避到欧几里得(Euclid)的家乡麦加拉．欧几里得是麦加拉学派的首领，他信奉苏格拉底的伦理学，“把善说成是普遍意义下的绝对本质”．黑格尔在谈到麦加拉学派时说：“他们曾经在一切观念中指出矛盾，这是他们的好辩”．柏拉图对于这种“好辩”似乎不太热心，转而对科学产生兴趣．离开麦加拉以后，他开始了长途游历．先后去过埃及、昔勒尼(Cyrene)、意大利南部和西西里等地．在昔勒尼，他在著名数学家德俄多儒(Theodorus)的指导下，特别钻研了数学．在意大利南部的塔林敦(Tarentum)，他结交了当时毕达哥拉斯学派的主要代表人物阿尔希塔斯(Archytas)．阿尔希塔斯在数学和力学上的造诣，他所维持的毕达哥拉斯学派的教育制度，都给柏拉图留下深刻的印象．在西西里岛的叙拉古，柏拉图结识了年青的狄昂(Dion，约公元前408—前354年)．狄昂是叙拉古僭主狄俄尼索(Dionysuis)的姻亲，他厌恶上层社会的奢侈淫逸的生活，虔诚地接受了柏拉图的哲学观点，成为追随柏拉图的忠实信徒．在柏拉图的第七封信札中提到过这次旅行，他说，40岁时他在意大利和西西里，那里看到的声色享乐使他惊骇不安．他还记载了对狄昂的良好的印象．
　　公元前387年，柏拉图在雅典城的东北角创办了一所好多方面颇象现代私立大学的学园(Academy)．柏拉图学园有教室、花园、饭厅、礼堂和学员宿舍，并有由柏拉图及其助手讲授的正式课程．仿效毕达哥拉斯学校的惯例，学员们吃公共伙食．学园同时也作为一个敬奉缪斯的宗教社团，以确保得到合法的承认．柏拉图自任校长，大概就住在学园的附近．
　　公元前367年春狄俄尼索去世，柏拉图的崇拜者狄昂成为首席大臣，他吁请柏拉图去叙拉古，以帮助教育他的外甥狄俄尼索二世，将他培养成一个能胜任他的职责的立宪君主．柏拉图应邀于公元前366年到达叙拉古．根据柏拉图的第七封信札，他到了那里发觉形势很复杂，一些叙拉古人认为，狄昂企图让他的外甥泡在没完没了的学习之中，以便他自己掌握实权．在柏拉图到达三个月之后，国王狄俄尼索二世怀疑起他的舅父来了，并以勾结敌国迦太基的罪名，将狄昂放逐到国外．柏拉图于次年(公元前365年)，在得到狄昂将被召回的诺言之后返回雅典．
* h1 l3 }6 b* E/ Z" D7 n　　公元前362年，柏拉图又应国王的邀请再次去叙拉古．据说这一次国王真正对哲学感兴趣了，按照柏拉图的第七封信札的说法，这次他同意去那里，是被狄昂的事有可能在他返回叙拉古的条件下得以解决的前景所促成的．狄昂在被放逐的那几年里一直在雅典度过，并成为柏拉图的姪儿斯标西波的朋友．然而，柏拉图的调解努力以失败告终．国王非但没有听从柏拉图的劝说，反而禁止狄昂的代理人向狄昂解送他的地产收入，柏拉图也被软禁起来，好不容易才于公元前361年逃回雅典．于是，狄昂采取步骤以实现武力返回叙拉古，并要以非礼罪惩处国王．虽然这次他恳求柏拉图的帮助，但被柏拉图以年老为由婉谢了．学园中的其他一些成员参加了这次远征．狄昂的冒险行动得到成功，国王被赶下台，并逃走了．然而在短期执政之后，狄昂被参加这次远征的一个雅典人谋杀了(公元前354年)．柏拉图的第七和第八封信札，就是在这时期写给狄昂的同党的．
, l( u. A1 S' k, E5 N+ `9 E" M　　除去上面说的第二和第三次西西里之行，柏拉图自创办学园之后的四十年，一直在雅典度过．他从事学园的管理、教学、研究和写作．除去一些早期作品外，他的大部分著作都是在雅典完成的．柏拉图逝世于公元前347年，享年八十．传说他是在参加一位朋友的结婚宴会时，忽感不适，退到屋子一角平静地辞世的．　　
6 i. [" l- h) v6 P  ?　　作为一位哲学家，柏拉图对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响．特别是他的认识论、数学哲学和数学教育思想，在古代希腊的社会条件下，对于科学的形成和数学的发展，起了不可磨灭的推进作用．古希腊最大的科学家和思想家亚里士多德，曾师事柏拉图20年，被柏拉图誉为“学园的精英”；杰出的数学家欧多克索斯(Eudoxus)、门奈赫莫斯(Menaechmus)和泰特托斯(Theaetetus)等都是柏拉图的学生或同事，这决不是偶然的．
　　先说著作．除书札外，柏拉图的著作概用对话体裁．传世的有35篇《对话》和13封书札．《对话》中大多以苏格拉底为主角，常假托他的话来阐述柏拉图自己的哲学思想，行文优美，融哲学和文学为一体．关于这些著作的真伪和写作的先后，学者们的意见历来不太一致．比较公认的说法是大约20多篇对话出自柏拉图之手．其中经常为人们引用的名篇，按写作先后可大致排列为：《申辩(Apology)》，《克里托(Crito)》，《普罗塔戈拉(Protagoras)》，《高尔吉亚(Gorgias)》，《克拉底鲁(Cratylus)》，《美诺(Meno)》，《菲多(Phaedo)》，《会饮(Symposium)》，《理想国(Republic)》，《菲德罗(Phaedrus)》，《巴门尼德(Parmenides)》，《泰特托斯(Theaetetus)》，《智者(Sophist)》，《政治家(Statesman)》，《菲利布(Philebus)》，《蒂迈欧(Timaeus)》，《克里底亚(Critias)》，《法律(Laws)》等．其中《理想国》著于壮年，如日中天，包罗万方，堪称千古名作．在13封书札中，一般认为第六、七、八封是可信的．
　　柏拉图的认识论，通常被认为是客观唯心主义的．在哲学史上，是他试图论述诸如什么是知识、知识的来源、感觉与知识、理性与知识等基本问题的．因此，只有柏拉图才能称得上是认识论的真正创始人．柏拉图认识论的主要部分是理念论、回忆说、辩证法和灵魂转向说．
　　关于柏拉图构想理念论的原因，亚里士多德作过清楚的分析．柏拉图年轻时就和雅典人克拉底鲁相识．克拉底鲁信奉赫拉克利特(Heraclitus)的学说，认为凡可目睹的事物永远处于变化的状态，因而关于它们没有知识可言．柏拉图当时和以后都没有否认这一点，因此，为了继承和发展苏格拉底在道德领域内对永久不变的共相的探求，柏拉图把共相和可以感知的具体事物分离开来，使之成为独立的实在，并称之为理念(idea或form)．在他看来，具体事物是由于“分有”理念而得以存在的；当我们命名或说起这些具体事物时，我们所指的其实是同名理念．他把理念看做是可感事物的源泉，是正本；而把具体事物看做是模仿理念而成，是副本．他还设想在永恒不变的理念世界里，“善”理念具有太阳般崇高的位置，善是知识和真理的根源．并认为理念可以通过理性而不能通过感觉来认识．其实柏拉图的理念就是共相，是事物的本质属性．强调把事物的共相作为认识的起点，强调理性知识和感觉印象的区别，具有积极的一面．但是柏拉图在处理精神世界和现实世界的关系时，犯了本末倒置的错误．他的得意门生亚里士多德在《形而上学》里，对此提出了批评和纠正．亚里士多德完全否定在现实世界之外还有一个独立自存的理念世界，认为理念实际上就是共性，它只能寓于个性之中，存在于人们的抽象概念中．列宁指出：“亚里士多德对柏拉图的‘理念’的批判，是对唯心主义，即一般唯心主义的批判．”在哲学史上，黑格尔曾从哲学的辩证发展的角度，不无过誉地高度评价了师徒二人的贡献．他说：“哲学之作为科学是从柏拉图开始而由亚里士多德完成的．他们比起所有别的哲学家来，应该可以叫做人类的导师．”
9 Y* p9 s& Q. E/ z/ n+ j　　按照柏拉图的神话般的设想，理念是不死的灵魂所固有的．但在转世出生时遗忘掉了，只有后天通过感觉和学习，通过别人的询问，才能回忆起先天固有的知识．听到别人讲的道理而能理解，并非接受了别人的知识，乃是自己原有的知识经别人的提醒得以回忆起来．这就是他在《美诺》篇中提出的回忆说．因此，他主张教育应注重诱导和启发，应通过问答式的对话引导对方进行由近及远的层层推理．在《美诺》篇中，苏格拉底就是这样从一个未受过教育的男仆嘴里，引导出一道几何题的答案．这种采用对话来推求真理的方法，即所谓“理智助产术”，有时也被他称为“辩证法”．不过当他使用“辩证法“这一术语时，含义要更加广泛些，更着重于理念的推演和对立意见的辩析，更着重于对所谓“纯粹思想”的考察．黑格尔说：“柏拉图的研究完全集中在纯粹思想里，对纯粹思想本身的考察他就叫辩证法．他的许多对话都包含这样意义的辩证法．这些纯粹思想是：‘有’与‘非有’、‘一’与‘多’、‘无限’与‘有限’．这些就是他独立地予以考察的对象，——因此这乃是一种纯逻辑的、最深奥的研究”．柏拉图在他的后期对话《巴门尼德》、《智者》和《菲利布》等篇中阐述了他的辩证法．特别是《巴门尼德》篇，被黑格尔誉为“柏拉图辩证法最著名的杰作”．这篇对话的主题是假借巴门尼德和芝诺之口说出来的辩证法．但应注意，希腊哲学家芝诺和柏拉图所说的辩证法，与马克思主义所讲的辩证法是有实质性的区别的．
' A) ?9 s7 k% `* o4 X& A　　柏拉图在他的对话中多处提到知识和意见(有时称为信念)之间的区别．他认为知识必须建立在理性的基础上，必须是真实的．而处于意见状态，则是指依据权威或仅仅出于习惯就接受的关于事实和原则的判断．由于没有把握事物之间的因果联系，意见可真可假．如果把握了事物之间的因果联系，就能用因果锁链把它们缚住，人们的认识也就由意见转变成知识．按照理念论，掌握知识的人通晓理念，并能将特殊情形和理念联系起来(虽然柏拉图未能成功地解释这种联系是怎样发生的)；而仅满足于持有意见的人，却只能在半真实的特殊事物间徘徊．
5 V+ \* K3 t) E% B　　柏拉图在《理想国》第Ⅵ，Ⅶ两章中，通过三个有名的比喻：“日喻”、“线喻”和“洞喻”，在对认识过程进行深入分析的基础上，提出并阐释了他的“灵魂转向说”．所谓“日喻”，简言之，就是把理念世界中的善理念比作可感世界中的太阳．太阳是光的源泉，是万物生长和可感性的原因，并引发眼睛的视觉功能；而善理念是真理的源泉，是真实存在(理念)的可知性的原因，并引发灵魂的认识功能．至于“线喻”，是通过将一条直线划分为四段作为比喻以分析认识过程的．他将这四个部分比喻为四种等级的心理状态：最高等级是理性，第二等级是理智，第三等级是信念，第四等级是想象．这四种心理状态是根据认识的真实性与明确性来划分的，前二者是对可知世界认识的结果，后二者是对可感世界认识的结果．这四个等级其实代表着认识过程由初级到高级的四个阶段，只是柏拉图从理念论的唯心观点出发，把前后次序倒置了．第四等级想象，代表感性认识的初级阶段．处于对可感事物外表的模糊觉察．例如，对物体投在水中的影象留下的第二手印象．第三等级信念，代表对现象界的比较明确的感性认识．例如，对于自然界和日常生活中一般事物的印象或意见．第二等级理智，其对象是理念世界中的一些孤立的理念．常常要借助于图形等的帮助，根据某些假设进行逻辑推理．例如，从事数学研究时的心理状态就处于理智等级．第一等级理性，其对象是理念世界或所谓真实存在．凭借辩证法和纯粹思维，由理念到理念，直至达到终极真理．这就是以善理念为终极目标的纯哲学研究．而“洞喻”，是以在一个洞穴内面壁而居的囚徒走向光明的过程作比喻，形象地说明了从感性认识上升到理性认识的艰难历程．
　　然后，柏拉图十分自然地通过苏格拉底之口说：“每一个人在他的灵魂内部都隐藏着一种进行学习的能力，这种能力可比喻为知识之目．但正如必须转动整个身体，眼睛才能由黑暗转向光明一样，作为整体的灵魂也必须转移方向，知识之目才能离开变化的现象世界而朝向实在世界，并逐渐学会承受实在之光，直至看到最明亮、最美好的实在，换句话说，即看到善”．这就是柏拉图的“灵魂转向说”．他认为教育就是一种使灵魂转向的艺术，要研究用什么方式可使这种转向最易行、最有效．教育的目的不在于移植视力，因为灵魂本身已经有视力，而在于促使灵魂转移方向，转向该看的方向，让视力发挥作用．“转向说”不提知识是灵魂所固有的，而换成学习能力是灵魂所固有的．因此教育不是简单地唤起回忆，而是要采取确当的方式，引导灵魂转向，让学习能力向着正确的方向发展．虽然柏拉图没有宣布放弃“回忆说”，但是从《美诺》篇中的“回忆说”到《理想国》中的“转向说”，不能不说是他的认识论发展中的一大进步．
( q4 I7 ]! W* _6 z. I4 Y8 R4 Z　　我们从柏拉图的著作中，可以看到数学哲学领域的最初的探究．柏拉图的数学哲学思想是同他的认识论、特别是理念论分不开的．他认为数学所研究的应是可知的理念世界中的永恒不变的关系，而不是可感的物质世界中的变动无常的关系．因此，数学的研究对象应是抽象的数和理想的图形．他在《理想国》中说，“我所说的意思是算术有很伟大和很高尚的作用，它迫使灵魂就抽象的数进行推理，而反对在论证中引入可见的和可捉摸的对象．”他在另一处谈到几何时说：“你岂不知道，他们虽然利用各种可见的图形，并借此进行推理，但是他们实际思考的并不是这些图形，而是类似于这些图形的理想形象．…，他们力求看到的是那些只有用心灵之目才能看到的实在．”
　　如果说数学概念的抽象化定义始于毕达哥拉斯学派，那么，柏拉图及其学派则把这一具有历史意义的工作大大地向前推进了．他们不仅把数学概念和现实中相应的实体区分开来，而且把它和在讨论中用以代表它们的几何图形严格地区分开来．柏拉图是从理念论的角度去探讨数学概念的涵义的．在柏拉图的第七封信札里，他曾以圆为例进行分析．他说，“有四种圆：(1)被世人称为圆的某种东西；(2)圆的定义：在任何方向上的边界点到中心的距离都是相等的；(3)画出的一个圆，即旋转圆规所得出的圆；(4)实质性的圆，即圆的理念，它与其它圆的存在密切相关，但又不同于任何其它的圆．”柏拉图接着评论道：(1)名称是无关紧要的，它只是由习惯形成的．我们甚至可称圆为直线，并反过来称直线为圆；(2)定义其实也不具有真正的确定性，它是由名词、动词等词语组成的；(3)是画出来或旋转出来的具体的圆，这里难免掺杂其它东西：它甚至充满着和圆的本质相抵触的成分．例如，虽然数学圆和数学直线仅能相切于一个公共点，但这在画图时是无法做到的．因此，(1)，(2)，(3)都不是完善的圆，许多具体的数学圆其实介于这些不完善的圆与唯一的圆的理念之间．亚里士多德阐释说，柏拉图是将数学对象置于现实对象与理念之间的，数学对象因其常驻不变而区别于现实对象，又因其可能有许多同类对象而区别于理念．举例说，三角形的理念只有唯一的一个，但存在许多数学三角形，也存在相应于这些数学三角形的各种不完善的摹本，即具有各种三角形形状的现实物体．
, L, [$ v: V: b' R! C" M　　尽管柏拉图的数学理念带有唯心主义色彩，但从客观效果来看，这一词语的内涵和我们今天所说的数学概念的内涵是基本一致的．名称、定义和相应的图形都是用以描摹数学概念的，但是它们之中的任何一个都和数学概念自身有所区别．显然，定义要比名称和图形更能刻划一个数学概念的本质特征．事实上，柏拉图对数学定义极其重视．例如对偶数、图形、直线等定义，在其著作中都作过推敲．在某些方面，他继承了毕达哥拉斯学派的传统，但也常常提出自己的异议，并在他的学园内进行讨论．例如在谈到点的定义时，柏拉图对于毕达哥拉斯的“具有位置的单子(mo-naa)”这一定义明确地表示反对．事实上，“单子”并不比“点”更容易理解．虽经反复研究，但柏拉图也没有想出更好的定义来代替它．据亚里士多德说，柏拉图认为把点作为一类事物纯属“几何虚构”，他称点是“线段之端”，有时也用“不可分之线段”这一术语来表示同一意义．亚里士多德指出，即使不可分的线段也必然还有开端，因而这样解释于事无补；而把点定义为“线段之端”，则是不科学的．我们从这一段讨论中可以看出，柏拉图学派已接近于把点判为不可定义的原始概念了．
　　柏拉图在《理想国》第六卷中论及数学假设和证明．他说：“想必你知道，研究几何、算术以及这一类学问的人，首先要假定奇数、偶数、三种类型的角以及各学科中诸如此类的东西是已知的．这就是他们的假设，他们设想这些东西是任何人都知道的，因而认为无必要就此向他们自己或别人作任何说明．他们就从这些假设出发，并以前后一致的方式向下推，直至最后得出他们的结论．”这段话表明，从一些公认的假设出发进行演绎证明，这在当时的学园里已经是不争的事实，而且得到柏拉图的赞许．事实上，柏拉图十分强调脱离直观印象的纯理性证明，并严格地把数学作图工具限制为直尺和圆规．据普鲁塔克(Plutarch)的记述，当听说欧多克索斯和阿尔希塔斯应用机械工具来解决一个与立方倍积问题有关的几何作图时，柏拉图就愤愤地予以抨击．认为这样做“只能导致几何学的堕落，剥夺它的优点，因而使它可耻地背弃纯理智的抽象对象，倒退到感性，并求助于物质．”柏拉图的这种或许有点过激的主张，对于形成欧几里得几何的公理演绎体系，不无促进作用．但其副作用也是不可否认的：由于古希腊的实验科学和机械学受到哲学家的漠视，以致长期处于相对落后的状态．柏拉图也十分重视算术，但他是将算术和实用计算区分开来的．他所说的“算术”其实是指关于整数的学问．
3 j4 Z; q, Z$ o8 _3 X% I　　希腊数学评论家普罗克拉斯(Proclus)和历史学家 D．拉尔修(Laertius，公元3世纪)，把两类方法论归功于柏拉图．第一类是分析法，第二类是归谬法或间接法．关于第一类方法，T．L．希思(Heath)认为普罗克拉斯所指是柏拉图在《理想国》中使用的那种哲学方法，被误解为数学中的分析法．但是很可能为了强调逻辑严格性，柏拉图曾指出在分析法证明之后有加以综合的必要．至于归谬法，有人认为应归功于希波克拉底(Hippocrates)．关于这两种方法的发明权问题，至今尚无定论．
　　柏拉图在相当大的程度上继承了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的观点．他认为宇宙间的天体以至万事万物都是按照数学规律来设计的．依赖感官所感觉到的世界是混乱和迷离的，因而是不可靠的和无价值的．只有通过数学才能领悟到世界的实质．他因此逐渐对数学产生了强烈的兴趣．他对几何学如此崇拜，以至认为创造世界的神是一个“伟大的几何学家”．他甚至具体设想宇宙之初有两种直角三角形，一种是正方形的一半，另一种是等边三角形的一半．由这些三角形组成四种正多面体，构成四种元素的微粒．其中火微粒是正四面体，土微粒是正立方体，气微粒是正八面体，水微粒是正二十面体．至于各面为正五边形的正十二面体，则是构成天上物质的精英．后来，他特地对五种正多面体的特征和作图方法作了系统的论述，因而后人就把这五种正多面体统称为柏拉图体．他认为宇宙是活的，是运动的，而且是做的圆周运动，因为圆是完善的．他还认为万物都可以用一个数目来定名，这个数目体现其所含元素的比例，等等．这一切可以说明，柏拉图的宇宙观是数学化的宇宙观．这种宇宙观是形成柏拉图的数学教育观的思想基础．现代英国著名数学家B．罗素(Russell)评论说：“在认为没有数学就不可能有真正的智慧这一点上，他是一个十足的毕达哥拉斯主义者．”
( P# @5 c( ^/ U  v' Q) N　　自公元前387年开始，柏拉图就把创建和主持学园教育作为自己最重要的事业．虽然他认为学园的办学宗旨是培养具有哲学头脑的优秀政治人才，直至造就一个能够胜任治国重任的哲学王，但在具体课程设计上却继承和发展了毕达哥拉斯学派的以数学为主课的方针．在《理想国》第七卷中，他系统地论述了学园的教育方针．他批评了雅典人过早地以“辩论术”培训年轻人的传统做法，认为那样做“结果是损坏了自己和整个哲学事业在世人心目中的信誉”．他主张对20岁到30岁的学员进行长达十年的以数学为中心的教育．课程包括算术、平面几何、立体几何，天文学和谐音学．其中天文学不依赖对天象的观察，而主要凭借纯粹的数和图形来研究天体运动；谐音学不是凭借经验，而主要依据数本身的性质，去思考哪些数是和谐的，哪些数是不和谐的．因此，按照毕达哥拉斯学校的惯例，这两门课也被看成是数学学科．这些课程都是为学习辩证法作准备的．待30岁以后，花五年时间专心学习以辩证法为主的哲学，35岁以后方才出任公职．不过在上述五门课程中，主要是算术和平面几何，因为其它三门学科在当时发展得还很不成熟．柏拉图曾谈到立体几何没有得到发展的具体原因，并倡导人们对它进行研究．此外，他还讨论了关于选定哪些人去研习这些功课的问题．回答是要象选择统治者那样，“必须挑选出最坚定、最勇敢、在可能范围内也最有风度的人．此外，我们还得要求他们不仅性格高贵严肃而且还要具有适合这类教育的天赋．”接着还讨论了应有哪些天赋的问题．由此可见，柏拉图学园里实施的是一种英才教育．据F．拉瑟尔说，在柏拉图以及他的继任人斯标西波主持学园的共约46年期间，数学一直在学园内占据主导地位，柏拉图的数学大纲得到充分的贯彻．从公元6世纪以来广为流传的一则故事说，在柏拉图学院的大门口刻有“不懂几何者不得入内”的铭文．如果确有其事的话，这恐怕是有史以来从知识方面规定入学条件的最早记录．
, n/ @" i( E& i* R3 P, B9 @　　柏拉图为什么如此重视数学教育呢？这主要是根据他的教育目标和他的认识论学说确定的．柏拉图的教育目标是通过长期的严格训练，培养出一批精通辩证法、能凭借理性去把握永恒不变的实在(理念)、直至能把握善理念的人才．只有这样的人才有资格统治国家，只有把握了善理念的哲学家才能以善理念为模型和蓝图，来塑造人间的理想国．要实现这一目标，从认识论的角度看，其关键是要实现由第三等级信念状态到第一等级理性状态的转向．而从事数学思考的认识能力，正好处于信念和理性之间的理智状态，因此，对学员进行长期的数学教育，就成为完成这一极其重要的心灵转向的必要措施了．他在《理想国》第七卷中说：“对于那些将来要在城邦肩负重任的人们，尤其要力劝他们学习算术，且不可象常人那样浅尝即止，而必须潜心研习，直到能从纯理性上洞察数的本质．因为对他们来说，学习算术的目的不是象商贩那样为了去做买卖，而是为了它在军事上的应用，为了灵魂本身去学的，因为这是使灵魂由变化的现象世界转向真理和实在的捷径．”他接着讨论了几何，指出几何学“能帮助人们较为容易地把握善理念”．并以肯定的语气说：“因此，我的好朋友，几何学将把灵魂引向真理，将缔造哲学精神，使灵魂转向上升，而不是象现今那样可悲地转向下降．”由以上一些引语可知，柏拉图确实是把学园里的数学教育作为引导灵魂转向，培养哲学家和统治者的必经途径的．
　　柏拉图倡导多层次的数学教育．其最高层次就是在学园中推行的为培养“英才”服务的那种数学教育．第二层次是培养为“理想国”服务的各类知识分子．即所谓“要用算术来训练那些天赋聪颖的人，务必不要疏忽了这门学问．”这里的教育对象只须天赋聪颖，不必具备为选择统治者所制订的条件．第三层次是提高庶民的文化知识水平．即所谓“天性迟钝的人，倘能接受算术训练，即使无其它方面的益处，至少也可变得比以前伶俐些．”这种多层次的数学教育，在某种意义上也体现了一种因材施教的原则．柏拉图接着提出了全体居民学数学的建议：“应该严格规定贵城邦的全体居民务必学习几何．…，经验证明，学过几何的人在学习其它任何学问时，要比未学过几何的人快得多．”柏拉图在这里首次提出了普及数学教育的主张，并且点出了数学教育对于提高智力的功用．柏拉图还热心于教学方法的改进．他说，不应只向人们简单地灌输一堆知识，而应当让他们学会通过表面现象看到事物的深处，看到永恒的实在，看到藏在万物后面的“善”．为了启迪思维，柏拉图善于应用“理智助产术”，通过问答式对话，引导学生的思路向深层发展．他还鼓励学生提出一些问题来让大家进行讨论．这些教学方法即使在今天也还有一定的借鉴意义． 　　在柏拉图的指导下，学园的数学教育取得极大的成功．在公元前4世纪的希腊，绝大多数知名数学家都是柏拉图的学生或朋友．他们之间经常进行讨论或交流，而柏拉图学园则成为开展数学交流活动的中心场所．他们以柏拉图为核心形成一个学派，史称柏拉图学派．其中泰特托斯(约公元前415—前369年)是雅典人，在学园早期就是柏拉图的亲密助手．在他死后不久，柏拉图写了一篇以他命名的对话《泰特托斯》用以纪念他．泰特托斯对于数学的主要贡献有二．其一是继德俄多儒证

二次以及更高次的不尽根数，并讨论了一些有关性质．欧几里得《几何原本》第十卷中的某些定理据信出自他的成果．其二是在已知的三种正多面体的构造方法之外，加上自己发现的正八面体和正二十面体的构造方法，并且证明了在五种正多面体之外不可能有其它正多面体．欧多克索斯是尼多斯人，他年轻时就慕名去雅典学园聆听柏拉图的演讲．后来又带着自己的一些学生来雅典，并很可能一起加入了柏拉图学园．他对数学的最大贡献是创立了关于比例的一个新理论，从而克服了不可公度量的发现给几何学带来的危机．《几何原本》第五卷“比例论”主要采自欧多克索斯的工作．其次是建立了严谨的穷竭法，并用它证明了一些求积定理．虽然穷竭法起源于安蒂丰(Antiphon)，但只有到了欧多克索斯，穷竭法才真正成为一种合格的几何方法．此外他对天文学亦有重要贡献．门奈赫莫斯是欧多克索斯的学生，也是柏拉图学园中的一员．他最大的功绩是发现了圆锥曲线．他也研究过立方倍积问题，得到两种几何解法．很可能由此得到启发，导致圆锥曲线的发现．还有一些知名数学家也是属于柏拉图学派的，但关于他们的工作已无从查考．后来的大数学家欧几里得(Euclid)早年也曾在柏拉图学园里攻读过几何学．事实上，他的《几何原本》中的大部分内容都是来源于柏拉图学派数学家的研究成果．美国数学史家C．B．波耶(Boyer)评论说：“虽然柏拉图本人在数学研究方面没有特别杰出的学术成果，然而，他却是那个时代的数学活动的核心，…，他对数学的满腔热忱没有使他成为知名数学家，但却赢得了‘数学家的缔造者’的美称”．
　　关于柏拉图对数学之外的科学发展的影响，褒贬不一．H．尤斯纳(Usener)曾于1884年断言学园是已知的第一个科学研究机关．由此引起的争议迄今尚无定论．持反对态度的人将学园和现代的政治学院或法学院作比较，后者的方向完全是实用的．他们认为，柏拉图的本意并非进行百科全书式的科学教育，也不是为了促进科学的全面发展，学园也不是让一切科学都得以研究的场所；它只是出于智力训练的目的才选教一些学科，并作一些基础研究的，以便为哲学和制订法律服务．虽然在《蒂迈欧》篇中提供了柏拉图本人对于医学和生理学表现出浓厚的兴趣的证据，在《政治家》篇中表现了对制造工艺的关注，在《克里底亚》篇中提出了关于雅典地质的奇妙的纲要，在《法律》篇中表现了对欧多克索斯的天体学说的支持，等等．这些足以说明柏拉图对自然科学的广博知识和强烈爱好，但似乎还不足以证实学园已经成为一个科学研究机构的说法．这些争论恐怕难得有统一的时候，但人们似乎会同意当代著名数学家A．怀特海(Whitehead)的名言：“在柏拉图的宇宙设想的背后，始终闪耀着一个强烈的信念，即数学知识终将被证明是解开天地间种种联系的奥秘的钥匙．”