中外著名的数学家

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柯 西

北京工业大学 沈永欢

　　柯西，A．L．(Cauchy，Augustin－Louis)1789年8月21日生于法国巴黎； 1857年5月22日卒于法国斯科．数学、数学物理、力学．
7 n. _; k+ p; t7 Q& D) G1 L+ }9 L- A　　柯西之父路易-弗朗索瓦(Cauchy，Louis－Francois)，1760年生于鲁昂，年轻时学习出色，1777年获巴黎大学颁发的会考荣誉奖，毕业后任诺曼第最高法院律师，后任鲁昂总督C．蒂鲁(Thi-roux)的秘书．1785年蒂鲁出任巴黎警察总监，弗朗索瓦成为他的首席幕僚．1794年蒂鲁被处决，弗朗索瓦举家迁居阿尔居埃避风．1799年雾月十八政变中，他积极支持拿破仑，于次年被新设的上议院选为负责起草会议纪要和执掌印玺的秘书，并安家于卢森堡宫．
8 ]& u/ O; L# r" w! x0 ?% x　　弗朗索瓦亲自对长子柯西进行启蒙教育，教孩子语法、诗歌、历史、拉丁文和古希腊文．弗朗索瓦与P．S．拉普拉斯(Laplace)过从甚密，与J．L．拉格朗日(Lagrange)也交往颇多，所以柯西在童年时就接触到两位大数学家．
　　柯西从小喜爱数学，当一个念头闪过脑海时，他常会中断其他事情，在本上算数画图．这引起拉格朗日的注意．据说在1801年的一天，拉格朗日在弗朗索瓦办公室当着一些上议员的面说：“瞧这孩子！我们这些可怜的几何学家都会被他取而代之．” 但他也告诫弗朗索瓦，在柯西完成基本教育之前不要让他攻读数学著作．
　　1802年秋，柯西就读于先贤祠中心学校，主要学习古代语言．在校两年中，成绩优异，多次获奖．但他决心成为一名工程师．经过一年准备后，于1805年秋考入综合工科学校；1807年10月又以第一名的成绩为道路桥梁工程学校录取，并在1809年该校会考中获道桥和木桥大奖．
　　1810年初，柯西被派往瑟堡，任监督拿破仑港工程的工程师助理。在他的行囊中，装有拉格朗日的《解析函数论》 (Traité desfonctions analytiques)和拉普拉斯的《天体力学》(Mécanique cé-leste)。年底，他被授予二级道桥工程师职务，其工作受到上级嘉奖，然而他把绝大部分业余时间用于钻研数学．在拉格朗日建议下，他研究了多面体，于1811年2月向法兰西研究院递交第一篇论文(文献[1]，(2)1，pp． 7—18)，证明了包括非凸情形在内，只存在9种正多面体．1812年1月，又向巴黎科学院递交第二篇论文(文献[1]，(2)1，pp．26—35)，证明具有刚性面的凸多面体必是刚性的．A．M．勒让德(Legendre)对两文极为欣赏．两个月后，柯西成为爱好科学协会通讯会员．
　　1812年底，由于健康状况下降，柯西返回巴黎，不久向科学院递交了关于对称函数的论文．就在这时，他确定了自己的生活道路：终生献给“真理的探索”即从事科学研究．1813年3月，他被任命为乌尔克运河工程师．1814—1815年拿破仑一世的惨败中断了运河工程，使他有时间潜心研究．他在1814年向法兰西研究院递交的论文中，有关于误差论的研究和标志他建立复变函数论起点的关于定积分的研究．1815年底，他以关于无限深流体表面波浪传播的论文获科学院数学大奖．
　　1815年7月，路易十八重返巴黎．11月，政府禁止L．普安索(Poinsot)在综合工科学校授课；12月初，宣布由柯西以替补教授名义接任普安索，讲授数学分析．
　　1816年3月，王室发布了重组法兰西研究院和巴黎科学院的敕令，清洗了一批院士，L．卡诺(Carnot)和G．蒙日(Monge)也在其中；同时柯西被国王任命为力学部院士．9月被任命为综合工科学校分析学和力学正式教授，为一年级新生讲授数学分析．
　　柯西在综合工科学校的教学内容，集中体现在他写的《分析教程第一编·代数分析》(1821)、《微积分概要》(1823)、《微积分在几何学中的应用教程》(1826)和《微分学教程》(1829)中．这些论著首次成功地为微积分奠定了比较严格的基础．1823年，他出任巴黎理学院力学副教授，代替S．D．泊松(Poisson)讲授力学；1824年底出任法兰西学院代理教授，代替J．B．比奥(Biot)讲授数学物理．这些教学工作都持续到1830年．
　　柯西同时积极参加科学活动，经常出席科学院每周一召开的公开会议，在纯粹与应用数学的各种委员会中起重要作用．他在波旁王朝复辟时期写了大约100篇论文或注记．1826年起，他独自编辑出版定期刊物《数学演习》(Exercices de mathématiques)，专门发表自己的论著．
　　1830年7月革命再次推翻了波旁王朝，奥尔良公爵路易-菲力浦(Louis－Philippe)即位．一直激烈反对自由派的柯西，把此事看作国家的灾难．综合工科学校学生在起义中离开校园，率领民众战斗，对柯西刺激很大．内阁通过了公职人员必须宣誓效忠新国王的法令，而保王党人(柯西也在其中)认为宣誓就是背叛．起义中发生的一些暴烈行为，使柯西愤慨．所有这些因素，促使柯西下定决心离开法国．
- c) Y! ~& |( R6 f- L　　柯西先去瑞士的弗里堡，试图筹建瑞士科学院，但未成功．1831年夏迁居都灵，10月在拉格朗日组建的都灵科学院露面．次年初撒丁国王特为柯西在都灵大学重设高级物理即相当于数学物理的教席．在都灵期间，柯西主要从事教学工作．
. i# }) x: C+ d　　1833年7月，柯西前往布拉格，担任查理十世(路易十八之弟)之孙博尔多公爵(Le duc de Bordeaux)的宫廷教师，每天讲授数学、物理和化学．他尽心尽力，甚至重新编写了算术与几何教本．但王子对数学缺乏兴趣，与柯西关系不甚融洽．1838年10月，公爵年届18，教育告一段落，柯西在家人和朋友劝说下重返巴黎．查理十世授予他男爵封号，柯西对此十分看重．
　　宫廷教学使柯西研究进度放慢，他在布拉格以《数学新演习》(Nouveaux exercices de mathématiques)为题继续出版他的《演习》，撰写了关于光和微分方程的一些论文，以石印形式在小范围内流传．回巴黎后，他首先去科学院，发表了关于光的研究成果．
　　F．J．阿拉戈(Arago)于1836年创办了《巴黎科学院通报》，(Comptes rendu Acad． Sci．Paris)，使院士们能迅速发表成果．柯西充分利用这个有利条件，几乎每周在《通报》上发表一篇论文或注记。不到20年，他在《通报》上发表了589篇文章．他的多产使科学院不得不限制其他人送交论文的篇幅不得超过4页．可是柯西还不满足，1839年9月起又以《分析与数学物理演习》(Exer－cices d'analyse et de physique mathématique)为题继续出版他的《演习》．
" Z0 v3 P1 J" R1 M1 y　　1839年7月，M．普鲁内(Prony)的去世使天文事务所(与法兰西研究院齐名，事实上的天文科学院)出现一个空缺．柯西于11月当选，但由于他拒绝向路易-菲力浦宣誓效忠而未获任命书．
& ^+ D  k/ A& K: _! i6 H: Z" x' C　　回巴黎后，柯西同耶稣会士一起，参与创建天主教学院，热衷于宣传天主教．这使他与一些同事关系尴尬．
+ e+ ^) k( c$ C0 C- u. G) I　　1843年5月，柯西竞选由于S．F．拉克鲁瓦(Lacroix)逝世而空缺的法兰西学院数学教席，但得票极少，败于G．利布里(Libri)．年底在天文事务所新的几何学部委员选举中，他又败于他的对手普安索．这两次失利对他是沉重的打击．他开始离群索居，但仍勤奋工作．
/ ~# E# `4 e7 C  }( I　　1848年2月革命后，宣誓不再成为任命的障碍．1849年3月，柯西被委任为巴黎理学院数学天文学教授．
6 i4 d/ }) m8 L. P) Q  q& M2 G　　1850年6月，利布里被缺席判处10年徒刑，法兰西学院又出现空缺教席．柯西再次竞选，败于J．刘维尔(Liouville)．
' r4 [/ C' D/ ?; o　　1851年12月政变后，新政权要求公职人员宣誓效忠．柯西仍不妥协，致使他在理学院的教学工作停止一年多．1853年，拿破仑三世同意柯西可以例外，使他得以重登理学院讲坛，直至去世．
% u" X* s0 ]3 r- G　　1848年后，他的发表节奏放慢，1853年停止出版《演习》；但继续审读论文，并从事宗教活动．
　　1857年5月12日，柯西患重感冒，21日病情突然恶化，次日与世长辞，享年68岁．
　　除巴黎科学院外，柯西还是18个科学院或著名学术团体的成员，其中有英国皇家学会、柏林科学院、彼得堡科学院、爱丁堡皇家学会、斯德哥尔摩科学院、哥本哈根皇家科学学会、格丁根皇家科学学会、波士顿科学院等．

　

数学分析严格化的开拓者

　

　　分析严格化的需要
8 G( @* c7 f1 P# D8 t　　18世纪的分析学家致力于创造强有力的方法并把它们付诸应用，分析中的一些基本概念，则缺乏恰当的统一的定义．由于没有公认的级数收敛概念，导致了许多所谓“悖论”，其实只是由于概念含混而出现的错误．数学家逐渐认识到，分析基本原理的严格检验，不能依赖于物理或几何，只能依靠它自身．当时的法国——欧洲数学中心的数学家们集中在几个大学教书．教学和写作教材特别要求澄清基本概念，阐明基本原理．
　　已有一些数学家对当时分析的状况不满．C．F．高斯(Gauss)批评J．L．达朗贝尔(d'Alembert)关于代数基本定理的证明不够严格，还说数学家们“未能正确处置无穷级数”．N．H．阿贝尔(Abel)说得更加明确：“人们在今天的分析中无可争辩地发现了多得惊人的含混之处……．最糟糕的是它还没有得到严格处理．高等分析中只有少数命题得到完全严格的证明．人们到处发现从特殊到一般的令人遗憾的推理方式．”(Oeuvres，2，pp．263—265．)
　　正是柯西，怀着严格化的明确目标，在前述4个教材中为数学分析建立了一个基本严谨的完整体系．在《分析教程》前言中，他说：“至于方法，我力图赋予……几何学中存在的严格性，决不求助于从代数一般性导出的推理，这种推理……只能认为是一种推断，有时还适用于提示真理，但与数学科学的令人叹服的严谨性很不相符．”他说他通过分析公式成立的条件和规定所用记号的意义，“消除了所有不确定性”，并说：“我的主要目标是使严谨性(这是我在《分析教程》中为自己制定的准绳)与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致．”
1 a8 S$ T+ J* V! s" I　　极限与无穷小
! l. F! g2 ~9 l; j- W4 a　　柯西规定：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限．”“当同一变量相继取的数值无限减小以至降到低于任何给定的数，这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量．这类变量以零为其极限，”“当同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数，如果它是正变量，则称它以正无穷为其极限，记作∞；如果是负变量，则称它以负无穷为其极限，记作-∞．”［2］从字面上看，柯西的定义与在此以前达朗贝尔、拉克鲁瓦所给的定义差别不大，但实际上有巨大改进．
; a6 X+ o& B# E  F# p5 f9 `9 ~1 t) K　　　
: b6 w# @- S- V/ Z3 X1 D个数”开始，写出一系列不等式来最终完成证明．在讨论复杂表示式的极限时，他用了ε-δ论证法的雏型．由于有明确的把极限转述为不等式的想法，他就能从定义出发证明关于极限的一些较难命题．
/ }8 ~4 G6 j% q1 M# N) }( D　　其次，他首次放弃了过去定义中常有的“一个变量决不会超过它的极限”这类不必要的提法，也不提过去定义中常涉及的一个变量是否“达到”它的极限，而把重点放在变量具有极限时的性态．
　　最后，他以极限为基础定义无穷小和微积分学中的基本概念，建立了级数收敛性的一般理论．
　　函数及其连续性
8 ~) h8 f% b% X+ U) I) N! y" u　　柯西以接近于现代的方式定义单元函数：“当一些变量以这样的方式相联系，即当其中之一给定时，能推知所有其他变量的值，则通常就认为这些变量由前一变量表示，此变量取名为自变量，而其余由自变量表示的变量，就是通常所说的该自变量的一些函数．” 他以类似方式定义多元函数，并区别了显函数和隐函数，用他建立的微分方程解的存在性定理在较强条件下证明了隐函数的局部存在性．
% \, W3 x: t4 E- H　　柯西给出了连续的严格定义：“函数f(x)是处于两个指定界限之间的变量x的连续函数，如果对这两个界限之间的每个值x，差f(x+a)-f(x)的数值随着a无限减小．换言之，……变量的无穷小增量总导致函数本身的无穷小增量．” 在一个附录中，他给出了闭区间上连续函数介值性质的严格证明，其中用到了“区间套”思想．
　　在柯西之前，B．波尔查诺(Bolzano)于1817年给出连续的定义，并利用上确界证明了介值定理．但他的工作在很长时间内未引起人们的注意．有人认为柯西读到了波尔查诺的著作，采用了他的思想，但故意不加声明．这种看法缺乏佐证材料．
　　微分学
　　柯西按照前人方式用差商的极限定义导数，但在定义中多了一句：“当这个极限存在时，……用加撇符号y′或f′(x)表示．” 这表明他已用崭新的方式考虑问题．他把导数定义转述为不等式，由此证明有关的各种定理．例如他给出了用不等式陈述的微分中值定理，首次给出了ε-δ式(所用符号也是ε，δ)的证明，由此推出拉格朗日中值定理．他还得到了“柯西中值定理”

　　柯西关于微分的一种定义也富有独创性．他称f(x)的微分是“当变量α无限趋于零而量h保持不变时方程

　　的左端所收敛的极限”．
　　柯西以割线的极限位置定义切线，用中值定理证明极值点处切线的水平性．他证明了f′(x0)=…=f(n-1)(x0)=0时用f(n)(x0)的符号判断极大、极小的命题．他由自己的中值定理推导出洛必达法则．这样，他就为微分学的应用奠定了严格的理论基础．
2 `# N* @8 w. M' `0 u0 W　　积分学
　　18世纪绝大多数数学家摒弃G．W．莱布尼茨(Leibniz)关于积分是无穷小量的无穷和的说法，只把积分看作微分之逆．柯西则不同，他假定函数f(x)在区间[x0，X]上连续，用分点x1，x2，…，xn-1把该区间划分为n个不必相同的部分，作和

S=(x1-x0)f(x0)+(x2-x1)f(x1)

+…+(X-xn-1)f(xn-1)，

8 _- N$ g: r6 g0 ]1 E$ o9 ]. {6 t2 a　　并证明(实际上隐含地用了“一致连续性”)“当各个部分长度变得非常小而数n非常大时，分法对S的值只产生微乎其微的影响”，因而当各个部分长度无限减小时 S具有极限，它“只依赖于f(x)的形式和变量x的端值x0，X0．这个极限就是我们所说的定积分．” 这样，他既给出了连续函数定积分的定义，又证明了它的存在性．他还指出这种定义对于不能把被积函数转化为原函数的一般情形也适用．他给出了现在通用的广义积分的定义．
7 t& |* C& x+ G/ D# h1 z8 w　　 柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿-莱布尼茨公式．他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式． 柯西的定义是从仅把积分看作微分逆运算走向现代积分理论的转折点，他坚持先证明存在性则是从依赖直觉到严格分析的转折点．
　　级数论
8 V% n- G" R4 G9 ~+ f' W, @　　柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立其完整理论的数学家．他以部分和有极限定义级数收敛并以此极限定义收敛级数之和．18世纪中许多数学家都隐约地使用过这种定义，柯西则明确地陈述这一定义，并以此为基础比较严格地建立了完整的级数论．他给出所谓“柯西准则”，证明了必要性，并以理所当然的口气断定充分性．对于正项级数，他严格证明了比率判别法和他创造的根式判别法；指出∑un与∑2nu2n同时收敛或发散，由此推出一些
ukun-k)对于一般项级数，他引进了绝对收敛概念，指出绝对收敛级数必收
对于幂级数，柯西得到了收敛半径公式 [后来J．阿达玛(Hadam
一个函数可为它的泰勒级数代替只当后者收敛且其和等于所给函数(文献［1］，(2)2，pp．276—282)．
　　影响
+ k2 K: W- g4 p8 f: T5 l( j　　在柯西手里，微积分构成了由定义、定理及其证明和有关的各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系．他的分析教程成为严格分析诞生的起点．无怪乎阿贝尔在1826年说，柯西的书应当为“每一个在数学研究中热爱严谨性的分析学家研读”．柯西的级数论对拉普拉斯的触动是众所周知的：后者读了柯西的论文后，赶快逐一检查他在《天体力学》中所用的级数．柯西对P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)都有直接影响．
, D9 ~+ ?4 x2 q" g　　缺陷
- E: f* Z% i+ d6 B" ?8 A9 b5 y　　柯西没有系统使用ε-δ方法，通常更多依赖“充分接近”、“要多小就有多小”这类比较模糊的语言，未能区别逐点收敛与一致收敛(但晚年时已有所觉察)、逐点连续与一致连续，有时不能恰当处理累次极限，因而出现了一些错误的断言及“证明”．例如：连续函数项收敛级数具有连续和并可逐项积分；多元函数对每个自变量分别连续则整体连续；函数f(x，y)在过点(x0、y0)的每条直线上取到极大值则它在该点取到极大值．
　　柯西在证明一些定理时，实际上用了实数系的完备性，例如有界单调数列必收敛，但就像在谈到收敛准则充分性时那样，他认为这些都是不言自明的，未能意识到建立实数理论的必要性．
　　总之，柯西在分析的严格化方面做出了卓越贡献，但尚未完成分析的算术化．

　

复变函数论的奠基人

　

　　19世纪，复变函数论逐渐成为数学的一个独立分支，柯西为此作了奠基性的工作．
( C4 r* f+ K' I+ y- l　　复函数与复幂级数
　　《分析教程》中有一半以上篇幅讨论复数与初等复函数，这表明柯西早就把建立复变函数论作为分析的一项重要工程．他以形式方法引进复数(“虚表示式”)，定义其基本运算，得到这些运算的性质．他比照实的情形定义复无穷小与复函数的连续性．
5 s7 L% f) z( [7 b2 l3 ~　　 柯西利用实级数定义复值级数的收敛性并证明了一些收敛判别
“按虚表示式z的模小于或大于R而收敛或发散”．他把1/R刻画为“当n无限增加时an的数值的n次根所收
指数函数和三角函数，并讨论了对数函数和反三角函数的多值性．他利用函数方程求出了复二项级数之和．
　　在很长时间中，柯西坚持对复数的形式看法．1847年，他提出用同余等价观念看待复数，把复数的运算解释为模i2＋1的运算，而把i看作“一个实在但不定的量”(文献[1]，(1)10)．到了晚年，他采纳了复数的几何表示(文献[1]，(1)11)．
　　复积分
  q& X- d. j; t3 Q6 v/ \　　柯西写于1814年的关于定积分的论文(发表于 1827年)是他创立复变函数论的第一步．他在文中批评欧拉、拉普拉斯、泊松和勒让德都用了“基于实过渡到虚的归纳法，……这类方法，即使在使用时十分谨慎，多方限制，仍然使证明显得欠缺”．他宣布自己的目标是“用直接的严格的分析方法建立从实到虚的移植”．文中给出了所谓柯西-黎曼方程(实际上达朗贝尔于1752年，欧拉于1776年即已写出这个方程组；柯西于1841年得到了这个方程组的极坐标形式)；讨论了改变二重积分的次序问题，提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念并计算了许多广义积分．
6 u, k7 r3 b# q4 ~% h. }9 i　　柯西写于1825年的关于积分限为虚数的定积分的论文，是一篇力作．奇怪的是他本人似乎没有充分看出此文的价值，生前一直未发表．文
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当x保持介于界限a与c之间，y保持介于界限b与d之间时为有限且连续，……我们能容易地证明上述积分的值即虚表示式 A＋iB不依赖于函的“柯西积分定理”．柯西本人用变分方法证明了这条定理，证明中曲线连续变形的思想，可以说是“同伦”观念的萌芽．文中还讨论了被积函数出现一阶与m阶极点时广义积分的计算．
　　应当指出，高斯于1811年致F．W．贝塞尔(Bessel)的一封信中已表述了积分定理，称它为“一条非常美妙的定理”，说他“将在适当时候给出它的一个不难的证明”，但他一直没有发表．
　　柯西于1831年得到关于圆的积分公式

　　由此证明复函数可局部展开为幂级数，并在实际上指明了后者的收敛半径是原点到所给函数最近极点之间的距离(文献［1］，(2)12， pp． 60—61)．他还得到了所得幂级数通项和余项的估计式，后来发展为他独创的“强函数法”．
　　残数演算
　　术语“残数”首次出现于柯西在1826年写的一篇论文中(文献[1]，(2)15)．他认为残数演算已成为“一种类似于微积分的新型计算方法”，可以应用于大量问题，“例如……直接推出拉格朗日插值公式，等根或不等根情形下分解有理函数，适合于确定定积分值的各种公式，大批级数尤其是周期级数的求和．具有有限或无限小差分和常系数、末项带或不带变量的线性方程的积分，拉格朗日级数或其他类似级数，代数或超越方程的解，等等．”
　　他给出了m阶极点x1处的残数公式

　　他先后得到关于矩形、圆和一般平面区域的残数定理

∫f(z)dz=2πiEf(z)，

　　其中E表示“提取残数”即求f(z)在区域内所有极点处残数之和．他还详细讨论了极点位于矩形边界时如何适当修正系数2πi(文献[1]，(2)6，pp．124—145)．
　　1843年，柯西向科学院递交了很多短论，表明残数演算可用于椭圆函数论．次年刘维尔发表了有界双周期函数恒等于一常数的定理后，柯西立即指出它可以从残数理论推出并可推广到一般情形．1855年，他证明了

4 p# h# s6 z3 I; ~8 W4 _　　其中Z(z)是在区域S中只有孤立极点的函数，积分沿S的边界，N，P分别为Z(z)在S中零点和极点的个数(文献[1]，(1)12，pp．285—292)．他对残数演算的兴趣终生不减，去世前三月还发表题为《残数新理论》(Théorie nouvelle des residues，见文献［1］，(1)12)的论文．残数演算很快引起了同时代数学家的注意，越出了法国国界．1834与1837年在意大利和英国分别出现了有关的综述．M．P．H．洛朗(Laurent)于1865年出版了专著《残数理论》(Théorie des residues)．俄国第一篇关于复变函数的论文是Ю．索霍茨基(Сохоцкий)1868年发表的关于残数及其应用的学位论文．
2 J# S* G. Z" U- D$ p' z　　复变函数论的建立
7 Z' N; a! H! L　　柯西对复变函数的研究也有不足．首先，对于这一理论的对象，他一直未能明确界定，实际上未能明确建立作为复可微性的解析性概念．其次，他没有区分孤立奇点的不同类型，只注意了极点．最后，他没有区别极点和分支点，未能认识多值函数的本质．在法国，洛朗、刘维尔、V．皮瑟(Puiseux)和C．埃尔米特(Her－mite)紧接着进行了许多研究．C．A．布里奥(Briot)和J－C．布凯(Bouquet)于1859年出版了《双周期函数论》(Théorie desfonctions doublement périodiques et，en particulier，des fonc－tions elliptiques)，阐明了柯西理论的对象，系统阐述了复变函数论，对于把柯西的观念传播到全欧洲起了决定性作用，标志着单复变函数论正式形成．
; O1 k* ]6 ^7 C  A% w; P　　J．H．庞加莱(Poincaré)在谈论复变函数论的四位奠基人——高斯、柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯时说：“柯西早于后两位，并为他们指明了道路．” E．皮卡(Picard)在比较高斯与柯西对这一领域的贡献时说：“人们不大可能认为高斯没有抓住高度重要的事物；然而，忠于他的‘少而精’的格言，他无疑一直在等待以使他的作品更加成熟，而柯西这时却公布了自己的发现．因而应当把柯西看作这一开辟了远大前程的理论的真正奠基人．”

　

弹性力学理论基础的建立者

　

　　柯西之前的研究
' w( L: ^" h! F: }: Q* \+ @　　18世纪，理性力学迅速发展，成为微积分学应用的一个特殊领域． 1788年，拉格朗日的《分析力学》(Mécanique analytique)出版．书中不借助几何图形，只从虚位移原理出发推导出全部质点系力学．W．R．哈密顿(Hamilton)曾说这本书是“科学诗篇”．在 1811年的增订第 2版中，拉格朗日通过把固体或流体看成无穷多个质点组成的系统，进一步研究了连续固体和流体力学．在此之前，欧拉已建立了流体力学基本方程组．但在当时，固体力学还局限于不可变形的物体．
5 o& c7 Z; d8 Q$ l: o　　19世纪初，数学家们开始研究弹性面的平衡和运动．S．热尔曼(Germain)和泊松于1815年各自独立地得到了各向同性的可挠弹性表面的方程．稍后，C．L．M．H．纳维尔(Navier)于1820年向科学院递交了引人注目的论文，应用拉格朗日和J．B．J．傅里叶(Fourier)的分析方法，研究有负载的弹性板在不忽略其厚度时的微小变形．但他把由伸缩引起的弹性力与由弯曲引起的力完全分开，假定前者总沿它所作用的截面的法向，而这在一般情况下是不成立的．他于1821年写的论文，使用了分子模型，是弹性论中极富创造性的研究，但此文直到1827年才发表．
　　当时应力和应变概念尚未建立，其特性更未得到数量刻画．由于未能把应力表示为变形的函数，连续介质力学的基本方程难于应用到弹性体上。柯西于1822—1830年间发表的一系列论文，使用连续物质和应力-应变模型，成功地解决了这些问题．
8 h7 E: t- ^" d" {$ U　　应力柯西把应力规定为由外力和物体变形等因素引起的物体内部单位面积截面上的内力．他认为，对物体内任一闭曲面S，在研究S的外部对内部的作用时，可以忽略物体各部分的相互体力，等价地用定义在S上的应力场来代替．这可使计算大为简化，并为实验证实．由于欧拉已有类似想法，所以现代称它为欧拉-柯西应力原理．
　　对于物体中任一点P，柯西通过点P处三个分别平行于坐标面的截面上的应力来描述该点处任一截面上的应力．分射以σ，σxy，σxz(σyx，σyy，σyz；σzx，σzy，σzz)表示点P处平行于yz(zx，xy)坐标面的截面上的应力的x，y，z分量，柯西得到点P处法向量方向余弦为vx，vy，vz的截面上应力σvy的分量为

σvx=vxσxx＋vyσyx+vzσzx，

σvy=vxσxy＋vyσyy＋vzσzy，

σvz=vxσxz＋vyσyz＋vzσzz，

　　现称为柯西斜面应力公式．由于σxy=σyx，σyz=σzy，σxz=σzx，9个量σxx，…，σzz中只有6个是独立的．用现代语言，这9个量构成一个2阶对称张量——应力张量．σvy沿截面法向的分量为

% l+ b( P3 W1 A: M; I　　在点P取所有可能的截面，沿法向取长度为σvn的向径，则其端点构成一个二次曲面，现称为柯西应力二次曲面．在以此二次曲面三个互相垂直的轴为法向的截面上，应力垂直于截面．这就是柯西引入的主应力．以这3个轴作为坐标轴，应力矩阵成为对角矩阵．于是，求一点处的应力状态归结为求3个主应力．
　　应变与几何方程
6 C! @* R* U6 ?: F　　柯西把应变规定为在外力作用下物体局部的相对变形．对于微小变形，他用类似于研究应力的方法研究一点处的应变状态，指出它可用6个分量εxx，εyy，εzz，εxy，εyz，εzx描绘，现称为柯西应变张量或小应变张量．设ξ，η，ρ分别为x，y，z方向的位移分量，他用略去高阶无穷小的方法得到反映应变与位移之间关系的几何方程

　　对于应变，同样可构造应变二次曲面，建立主应变概念．
　　应力与应变之间的关系
　　对于微小变形，柯西假定主应力分别沿主应变方向．起初他考虑各向同性情形，此时3个主应力与主应变成等比例，由此得到用ε线性表示σ或用σ线性表示ε的公式，其中有两个常数．后来他进而研究各向异性情形，此时用ε线性表示σ的公式中有34=81个分量即81个弹性常数．由对称性，他推出其中只有36个是独立的(文献[1]，(2)9，pp． 342—372)．这些公式是胡克定律的推广，现在通称为广义胡克定律．
　　弹性体运动和平衡方程
　　在1828年关于弹性体与非弹性体内部运动和平衡的论文中，对各向同性物体内任何一点，柯西得到

　　度，他还写出了非各向同性的弹性体的运动和平衡方程．
　　总之，柯西确定了应力和应力分量、应变和应变分量概念，建立了弹性力学的几何方程、运动和平衡方程、各向同性及各向异性材料的广义胡克规律，从而奠定了弹性力学的理论基础，成为19世纪继拉普拉斯之后法国数学物理学派最杰出的代表．

　

多产的科学家

　

) Z8 m; R, _5 M4 R: k( }: F+ ~6 [　　柯西全集
( I: E. ]* m- |( c' H　　柯西是仅次于欧拉的多产数学家，发表论文800篇以上，其中纯数学约占65％，几乎涉及当时所有数学分支；数学物理(力学、光学、天文学)约占35％．1882年起，巴黎科学院开始出版《柯西全集》，把他的论文按所登载的期刊分类，同一种期刊上的则按发表时间顺序排列．
  U' G% J6 d6 q1 a3 \　　《全集》凡27卷，分两个系列．第一系列共12卷，发行于1882—1911年，包括发表于巴黎科学院刊物上的论文．第二系列共15卷．第1，2两卷是发表于其他科学期刊上的论文；第3，4，5卷是他写的教材；第6至14卷是他个人出版的刊物——51期《数学演习》， 5期《分析概要》(Resumés analytiques)， 8期《数学新演习》和48期《分析和数学物理演习》．第15卷于1974年问世，主要包含他以小册子或石印形式发表的著作．
　　《全集》中有8篇文章谈及教育、犯罪和宗教信仰问题；其他非科学著作未收入《全集》．柯西1824年在综合工科学校讲授第二学年分析的讲义已由C．吉兰(Gilain)编辑出版．他的大部分手稿和信件存放于巴黎科学院档案馆．
　　在柯西生前和身后，不断有人批评他发表过多；事实上他也确实发表了一些价值很小或内容重复的文章，然而他的绝大多数论著都显示了一位多才多艺的学者对科学的卓越贡献．下面介绍他在前述三个领域外的主要工作．
/ `! f. Z5 P# }  v8 X　　常微分方程柯西在历史上首次研究了常微分方程解的局部性态．给定微分方程y′=f(x，y)及初始条件y(x0)=y0，在f连续可微的假定下，他用类似于欧拉折线的方法构造逼近解，利用微分中值定理估计逼近解之间差的上界，严格证明了在以x0为中心的一个小区间上逼近解收敛，其极限函数即为所提问题的解．他指出这个方法也适用于常微分方程组．柯西还给出了具有非唯一解的初值问题的例子，表明他已洞察到微分方程论的本质．
/ _8 l" U* n# _- X　　柯西的另一贡献是他所称的“界限演算”即现在通称的“强函数法”或“强级数法”．他指出，对以前所用的微分方程积分法，“只要人们不提供保证所得级数收敛且其和是满足给定方程的函数的手段，就往往是虚幻的”．在研究f(x，y)在点(x0，y0)的邻域内可展开为幂级数的微分方程y′=f(x，y)时，他用y′=F(x，y)与之比较，其中F满足：如果

f(x，y)=∑ckj(x-x0)k(y-y0)j，

F(x，y)=∑Ckj(x-x0)k(y-y0)j，

$ L5 W# s( g. u$ z' T　　则对一切k，j有|ckj|≤Ckj．他证明，如果y′=F(x，y)在x0的邻域内有可展开为幂级数的解，则y′=f(x，y)在该邻域内也有可展开为幂级数的解；他并且给出了选取强函数的一般方法(文献［1］，(1)2，6，7)．
  }7 U/ M3 X' m3 t) i8 @" h　　
' k5 h8 s4 v0 h, U! n* f9 r3 ^' V　　得到

, w& t% W5 ~) c　　其中C是任一包围F所有零点的围道，φ是任一多项式(文献[1]，(1)4，p．370)．
& t4 C3 b, M+ f* b$ D' Q  n0 l% r( S　　n维向量，A是给定的n阶矩阵)，他引进S(s)=det(A-sI)(I是单位矩阵)，得到所给方程组在初始条件x(0)=α下的解(文献［1］，(1)5，6)．
　　偏微分方程
9 w, `$ V" U* W9 x4 h$ y8 U　　柯西与J．F．普法夫(Pfaff)同时(1819年)发现了一阶偏微分
  }  j' y  k! U) R' L　
" ?, i+ D5 b2 J
PP．399—465)．
6 B1 I7 |) K8 B2 K& @# r　　柯西把傅里叶变换应用于他在研究流体力学、弹性论和光学中遇到的常系数线性偏微分方程．他在 1815年的论文中已正确写出了傅里叶变换的反演公式(傅里叶于1807和1811年已得到这些公式，但直到1824至1826年才发表)．他还引进了积分号下的收敛因子和奇异因子(相当于δ函数)．在大量使用傅里叶变换方面，柯西超过了泊松以至傅里叶本人．
　　1821年后，柯西考虑了写成算子形式的线性偏微分方程

8 B5 g8 Y1 B6 @　　其中F是n＋1元多项式．他发现，对于满足F(w1，…，wn，s)这类指数形式的解迭加，以便用傅里叶变换得到通解．对于波动方程，这就是平面谐波的迭加．当给定初始条件

　　时，他得到了写为围道积分形式的解(文献［1］，(2)1，2)．
　　柯西于1842年考虑了一阶线性偏微分方程组的初值问题：

　　　
　线性的，wk在该邻域内也解析，则所给问题存在唯一解，并可展开为局部收敛的幂级数(文献［1］，(1)6，pp．461—470)．后来C．B．科瓦列夫斯卡娅(Ковалевская)于1875年重新发现和证明了这个结果．
　　群论
) M$ s) g) j5 g　　E．伽罗瓦(Galois)使代数研究的性质起了根本的变化，而柯西是伽罗瓦的先驱者之一．他在 1812年关于对称函数的论文中证明，n元有理函数能取的不同值的数目，或者不大于2，或者不小于包含于n中的最大素数p．
　　柯西与拉格朗日、P．鲁菲尼(Ruffini)同为最早研究代换群的数学家．柯西定义了代换之积，引进单位代换、逆代换、相似代换、代换的阶以及共轭代换系等概念，证明P与Q相似当且仅当存在代换 R满足Q=P-1RP；任一代换群的阶可被群中任一代换的阶整除；n个变量的代换构成的任何群的阶是n！的—个因子(此点其实已为拉格朗日证明)；当n＞4时，n个变量的一切代换构成的群Sn的子群H在Sn中的指数或者是2，或者至少是n；如果素数p整除一有限群的阶，则在群中存在p阶元．刊载这些结果的论文发表于1845—1846年(文献［1］，(1)9，10及文献[13])，当时即得到广泛传播，对群论的发展有相当大的影响．
　　行列式
　　莱布尼茨、拉格朗日、拉普拉斯等人都研究过行列式．在19世纪，很大程度上是柯西使它得到持续发展．事实上，détermi－nant(行列式)这个术语就是他引入的．与现在通常的做法不同，柯西于1812年从n个元或数a1，…，an出发，作所有不同元之差的积a1a2…an(a2-a1)(a3-a1)…(an-a1)…(an-a2)…(an-an-1)；对于这个积中各项所把这样改写后得到的表示式定义为一个行列式，记作S(±a1·1a2·2…an·n)．然后他把所得式中n2个量排成正方形表

a1·1 a1·2… a1·n

a2·1 a2·2…a2·n

……

an·1an·2…an·n

) O, p' R- ?- L6 j　　称这n2个量构成一个“n阶对称系”，并用循环代换给出确定各项符号的法则．他引进共轭元、主元等概念，导出行列式的许多性质．他还把行列式用于几何与物理问题，例如求平行六面体体积．在与波有关的问列式．
! E# k9 V  e$ G9 _, M　　数论
　　柯西在数论中也得出不少结果或给出一些已有结论的新证明．1813年，他给出P．de费马(Fermat)关于每个正整数是m个m角数之和这一论断的第一个证明；他还得到，除4个数外，所有其余的m角数均可取0或1(文献［1］，(2)6，pp．320—353)．1840年，他证明若p是形如 4l＋ 3的素数， A是p的二次剩余， B是p的二次

! N+ L7 m4 I+ n2 i( Y　　其中 B为伯努利数(文献[1]，(1)3，p．172)．他还得到，如果
余的数目，则

　　其中 a，b大于0小于n且(a/n)=1，(b/n)=-1．对n=4l＋1也有类似公式．他由此得到，对n=4l＋3，

: g; w* _& P: }6 h  A* @2 b. I　　其中h(-n)是真本原类的个数．该式称为柯西类数公式(文献[1]，(1)3，p．388)．
. e$ T# }+ N! f( w* p. _- U- ^　　解析几何
& i7 V; I; N% D& X　　柯西有效地应用了直线和平面的法式方程，给出了空间直线方程的参数形式

8 d6 L% y" _+ h/ W) s　　他研究了二次曲面的分类，完整地讨论了径面和中心问题，完善了欧拉、蒙日和J．N．P．阿歇特(Hachette)的有关工作．他在本质上给出了现在教科书上通用的由标准型二次项系数的符号来分类的结果．他还研究了单叶双曲面的母线(文献［1］，(2)5，8)．
5 K" G' ^2 Z/ f7 m# _3 i  C0 ?　　微分几何
! i) B: m) ~! G9 Q　　欧拉给出了空间曲线的弧微分公式，柯西进一步用弧长作为参数，使x，y，z的作用对称化．他定义了位于密切平面上的主法线，指出其

　　于1847年，J．A．塞雷(Serret)于1850年独立于柯西给出了通称的弗雷内-塞雷公式．
8 O/ z) Y( b8 C% n　　柯西证明曲面上通过某点的所有曲线在该点的切线位于同一平面上，此即切平面．设曲面方程为u(x，y，z)=0，他写出点(x，y，z)处的切平面方程为

9 s  h% f3 z8 I　　误差论
　　拉普拉斯研究了如何使n个观察数据(xk，yk)(k=1，2，…，n)拟合于直线 y=ax+b．柯西在拉普拉斯建议下用类似方法研究了三维数据拟合 z=ax＋by＋c的问题(文献［1］，(2)1，2)，他提出使一组观察数据拟合于多项式 u=ax＋by＋cz＋…，其中项数依赖于拟合的优度，在计算过程中确定．他假定误差εk=uk-axk-byk-czk-…具有概率密度f，并采用了一些不大可靠的假设，结果得出一个著名的概率密度：若f满足他所作的假设，则它具有傅里叶变换φ(ξ)=eαξN，α，N为常数．当N=1时，就得到通称的柯西概率密度

9 h+ r/ h  [8 _, V2 n9 J0 m, `0 d　　(文献[1]，(1)2，pp．5—17)．
　　数值分析
. y8 g/ u" J( g5 J& t. W　　象许多同时代数学家一样，柯西也热衷于数值逼近．他计算e到小数点后7位，并估计了取e的级数展开前n项时所产生的误差．他描述了解方程的迭代方法，并在具体例子中给出误差估计．对于微分方程和差分方程，他也给出了许多近似解的误差估计．他首次表述了牛顿求方程根的方法在何种条件下收敛，并借助现称的柯西-施瓦兹不等式推广到复函数情形，给出了数值例子．他把拉格朗日插值公式推广到有理函数，并得到了与高斯、埃尔米特所得结果类似的三角插值公式(文献［1］，(1)5，(2)3)．
　　光学
' \( Q, m% Z7 G% H: H1 i　　柯西在两个方面改进了A．J．菲涅尔(Fresnel)的理论．第一，他从以太-分子作用的更一般的理论出发，预言了3条偏振光线的传播，而菲涅尔认为只有2条．第二，柯西指出菲涅尔关于光线中以太分子的振动垂直于偏振平面的看法不对，认为偏振平面平行于光线和以太振动的方向．
　　柯西还对光的反射和折射提出了自己的看法，并相当成功地解释了双折射．他还试图在分子基础上解释光速对波长的依赖问题．(文献[1]，(1)2，4，5；(2)2．)
2 Y$ x1 w3 `3 v5 n& _. `　　天体力学
/ f5 h1 ]) v6 d  x& \$ _- B: {" Z　　柯西证明了天文学中出现的一些级数的收敛性并做了详细的计算，特别对开普勒方程的解和摄动函数的展开进行了细致的讨论，其中有现在天文学教材上仍提到的柯西系数．柯西关心U．J．J．勒威耶(Le Verrier)的工作，后者于1845年对智神星平均运动中的大不等式做了冗长的计算，柯西随即用简单得多的方法加以检验．他使用的工具是偏近点角到平近点角的过渡公式以及所谓“柯西混合法”，即在计算摄动函数的负幂时把数值积分与有理积分结合起来，并按平近点角展开摄动函数，对某项后的各项进行渐近估计．(文献［1］，(1)5．)

　

复杂的人

　

5 q5 H2 L  I8 n& u! ^　　从柯西卷帙浩大的论著和多方面丰硕的成果，人们不难想象他一生怎样孜孜不倦地勤奋工作．但是，如果不了解柯西的另一些侧面，对他的认识就会是不完整的．
! |! Y; X( |+ F8 x5 f' c- w　　忠诚的保王党人
! {# R* f+ N$ C. M& V/ g　　柯西属于波旁有产阶层，毕生忠于波旁王室．他于1808年加入圣会，该会成立于1801年，发展很快，逐渐由初创时的宗教团体演变为具有强烈保王党色彩的政治团体，在波旁王朝复辟时代举足轻重，能左右政局．
3 P) p. u& v0 Q) P　　如前所说，1830年革命后，柯西离开法国．他在1835年对此事作了如下解释：“人们非常清楚地知道是什么事件使我正式放弃我在法国拥有的三个席位，只有何种庄严的召唤才能使我放弃撒丁国王屈尊授予我的数学物理教席．无庸置疑，我确信我能为路易十六近裔……的进展做出贡献．”(文献［1］，(2)10，pp．189—190．)这里的“事件”当然指波旁王朝再次倾覆，而“庄严的召唤”当指查理十世聘请他担任其孙的宫廷教师．1852年5月，柯西为拒绝宣誓效忠拿破仑三世致信巴黎理学院院长，声明他继续忠于波旁王室．
4 f4 \; m; {% q　　具有讽刺意味的是，正是推翻了波旁王朝的法国大革命，为科学进步、也为柯西天才的发挥创造了十分有利的条件．革命后科学家和工程师享有的崇高荣誉，综合工科学校的建立，以及许多科学机构的积极活动，都是对年轻有为者从事科学工作的巨大吸引和鼓舞．另一方面，柯西在科学中的卓越贡献，也是对社会革命的促进．情形多少有点像巴尔扎克：他也是保王党人，但《人间喜剧》(La comédie humaine)描绘的却正是贵族阶级只配落得破产的命运．
1 \1 w7 t" F* {　　热心的天主教徒
　　柯西的父亲从小对柯西进行宗教教育，因而柯西童年时即已熟读《圣经》．1816年后，柯西积极参加圣会的慈善活动，访问医院和监狱，宣传教义．1824年，他参与筹组天主教协会，为5名理事之一．他多次在科学院会议上颂扬宗教，司汤达尔(Stendhal)称他为“法兰西研究院中穿短袍的耶稣会士”．1839年，柯西参与创建天主教学院，1842年任该院秘书，热心于院里的教学．1850年曾在《宗教之友》(L′Ami de La Religion)上发表两封长信，对反耶稣会的人进行攻击．
' ^# @' ^4 p6 ?0 q" ]3 B, F　　柯西的天主教宗教活动与保王党政治态度是紧密相联的．正如他自己所说：“天主教事务由正统派独揽”，这里“正统派”就是拥戴波旁王室的政治派别．
　　落落寡合的学者
/ v7 _. d' L( }6 P2 v1 E- Z0 z　　尽管柯西彬彬有礼，但与科学院中的同事关系冷淡．19世纪20年代的一篇文章这样评论柯西：“他的呆板苛刻以及对刚踏上科学道路的年轻人的冷漠，使他成为最不可爱的科学家之一．”
　　科学界对复辟的王朝于1816年清洗卡诺和蒙日很反感，因为两人都是受人尊敬的科学家．柯西却毫不犹豫地接受了国王令他接任院士的任命．以柯西的才华和贡献而不通过选举成为院士，实在不是什么光荣．
0 I. s- R, r7 u　　柯西在科学院会议上宣扬宗教，加之他性格孤僻，很不欣赏具有自由派色彩的科学家如普安索和阿拉戈，就使他在会议中常处于孤立状态．正如有人回忆的：“他的天主教狂热和多疑的性格，使他在这样的集会上与周围的人很不协调，显得怪诞．”
1 z- _' k! c+ L. D: B　　作为教师和导师的柯西
　　虽然柯西写下了伟大的分析教本，但似乎算不上一位出色的教师，在综合工科学校讲授分析时，由于内容过于抽象，曾多次受到校方和学生的批评．在都灵大学讲课时，开始报名听课的人很多，而其讲课情形，据L．F．梅纳勃劳(Menabrea)回忆说：“非常混乱，突然从一个想法跳到另一个公式，也弄不清是怎么转过去的．他的讲授是一片乌云，但有时被天才的光辉照亮；对于青年学子，他令人厌倦．” J．贝特朗(Bertrand)曾这样回忆柯西在巴黎理学院的讲课：“应当承认，他的第一堂课使听众(他们都是优秀学生)的期望落空，他们不是陶醉而是惊讶于他涉及的有点混乱的各式各样的主题．” 不过，他在讲课时所表现出的天才仍使不少人受益，包括后来成为优秀数学家的埃尔米特、皮瑟、布里奥、布凯和C．梅雷(Méray)．
) i8 w! ~8 \- S) L# w) X* A# M! V　　当时巴黎是欧洲数学中心，年轻学子从各地赶来，在巴黎理学院和法兰西学院听课，拜会久负盛名的科学泰斗．同时，法国本土也不断产生年轻的天才．所有这些人都需要得到鼓励和指导．柯西本人起步时也得到过拉格朗日、拉普拉斯和泊松的帮助，但他对后起之秀却不甚热心，有时甚至冷漠无情．在对待J．V．庞斯列(Poncelet)、阿贝尔和伽罗瓦的态度上，柯西为人的欠缺至为明显．
　　庞斯列关于射影几何的研究招致柯西严厉的批评，说它缺乏严格性．许多年后，庞斯列在回忆柯西于1820年6月的一天打发他走时，仍然充满怨气和辛酸，说从柯西那里“没有得到任何指点，任何科学评价，也不可能获得理解”．是不是由于庞斯列参加了1812年的远征并在俄国被俘而导致作为保王党人的柯西的反感，就不得而知了．
　　阿贝尔写道，对于柯西，“没法同他打交道，尽管他是当今最懂得应当如何搞数学的数学家．”“我已完成了一篇关于一类超越函数的大文章，……我把它给了柯西，但他几乎没有瞟一眼．” 这就是那篇在椭圆函数论中具有划时代意义的论文．傅里叶于1826年10月30日把此文送交勒让德和柯西，并让后者写审定结论．柯西把稿子扔在一边，只是当雅可比注意到此文并通过勒让德征询其下落时，柯西才于1829年6月29日把该文连同他写的一篇颇有保留的评论提交科学院，而这时阿贝尔已去世．此文直到1841年才发表．
　　1829年5月，伽罗瓦把他关于代数方程解的两篇论文呈递科学院．6月1日的科学院会议决定让柯西进行审查，但他没有作出任何结论，他把这两份手稿丢失了！这两份珍贵的手稿迄今仍未找到．

extras

雅可比

中国科学院数学研究所 井竹君

$ y4 P' B) w' @' X& y, s　　雅可比，C．G．J．(Jacobi Carl Gustar Jacob)1804年12月10日生于德国波茨坦；1851年2月18日卒于柏林．数学．
　　雅可比是犹太银行家西蒙·雅可比(Simon Jacobi)和他的妻子莱曼(Lehmann)的第二个儿子．雅可比有一个长他三岁的哥哥莫里茨(Moritz)，后来在彼得堡成为著名的物理学家．弟弟爱德华(Eduard)在其父去世后掌管了银行．他还有个妹妹雷泽(Therese)．
" W( X2 K- t2 ]' s+ W　　雅可比自幼聪敏，幼年随他舅舅学习拉丁文和数学．1816年11月进入波茨坦大学预科学习．1821年春毕业．当时他的希腊语、拉丁语和历史的成绩都很优异；尤其在数学方面，他掌握的知识远远超过学校所教授的内容．他还自学了L．欧拉(Euler)的《无穷小分析引论》(Introductioin analvsin infinitorum)，并且试图解五次代数方程．
( z& B; h+ t0 S6 {% x; W) a　　1821年4月雅可比入柏林大学．开始两年的学习生活，他对哲学、古典文学和数学都颇有兴趣．该校的校长评价说，从一开始，雅可比就显示出他是一个“全才”．像C．F．高斯(Gauss)一样，要不是数学强烈地吸引着他，他很可能在语言学上取得很高成就．雅可比最后还是决定全力投身于数学．1825年8月，他获得柏林大学理学博士学位．之后，留校任教．1825年到1826年冬季，他主讲关于三维空间曲线和曲面的解析理论课程．年仅21岁的雅可比善于将目己的新观点贯穿在教学之中，启发学生独立思考，是当时最吸引人的数学教师．他的成功引起普鲁士教育部的注意．
　　1826年5月，雅可比到柯尼斯堡大学任教．在那里他结识了物理学家F．诺伊曼(Neumann)和H．多费(Dove)、数学家F．贝塞尔(Bessel)．一年之后，发表了几篇关于数论中有关互反律(后人称为“雅可比符号的互反律”)的论文，受到高斯的赞赏．由此开始数学创作的黄金时代．1827年12月获得副教授职位，这次提升与高斯、A．M．勒让德(Legendre)对他早期工作的赞扬有关(而高斯不是一个轻易表态的人)．1829年发表了他的第一部杰作《椭圆函数理论新基础》(Fundamenta Nova Theoriae Funcctionurn Ellipticaram，1829，见《雅可比全集》第一卷)．同年夏天雅可比去巴黎旅行，途中访问了在格丁根的高斯，并结识了勒让德、J．B．J．傅里叶(Fourier)、S．D．泊松(Poisson)和其他法国数学家．1832年7月被提升为教授．在此前一年，即1831年9月11日与玛丽·施温克(Marie Schwinck)结婚，他们生有5个儿子和3个女儿．1842年7月受普鲁士国王的派遣，和贝塞尔参加在曼彻斯特举行的不列颠科学促进协会(British Associationfor the Advancement of Science)的年会，回国途中在巴黎科学院作了报告．
　　在柯尼斯堡大学的18年间，雅可比不知疲倦地工作着，在科学研究和教学上都做出惊人的成绩．他对椭圆函数理论的透彻研究在数学界引起轰动，从而与N．H．阿贝尔(Abel)齐名．雅可比在椭圆函数理论、数学分析、数论、几何学、力学方面的主要论文都发表在克雷勒的《纯粹和应用数学》杂志(Crelle’s Journal fürdie reine und angewardte Mathematik)上，平均每期有三篇雅可比的文章．这使他很快获得国际声誉．他孜孜不倦的研究工作并没有影响他的教学活动．每周要用8—10小时给学生讲解他喜爱的课程——椭圆函数理论，并将自己的研究精髓教给学生，使学生受到科研的熏陶，打破了常规的教学方法．他还开创了学术讨论班，这在当时数学界还是很新奇的事物．当时，他同数学家贝塞尔、物理学家F．诺伊曼三人成为德国数学复兴的核心．
: j! g$ C8 ]; C/ }! h! x　　1843年初雅可比患了严重的糖尿病．在得到普鲁士国王的捐款之后去意大利休假数月．1844年6月底回到柏林，开始接受普鲁士国王的津贴，在柏林大学任教，并被选为柏林科学院院士、伦敦皇家学会会员．
　　1848年革命期间，由于他在一次即席演讲中得罪了王室而失去津贴．当维也纳大学决定聘请他时，普鲁士当局意识到他的离开将会造成的损失，因而恢复了他的待遇．
　　1851年初雅可比在患流行性感冒还未痊愈时，又得了天花，不久去世．他的密友P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)在柏林科学院发表纪念讲话，总结了他在数学上的杰出贡献，称他为J．L．拉格朗日(Lagrange)以来科学院成员中最卓越的数学家． 　　雅可比最重要的贡献是和挪威数学家N．H．阿贝尔(Abel)相互独立地创立和发展了椭圆函数理论；引入并研究了θ函数和其他一些超越函数的性质；大胆地使用复数，发展了复变量椭圆函数．他的第一部杰作《椭圆函数理论新基础》成为该领域的经典著作．该著作的第一部分研究变换问题，第二部分给出椭圆函数的表示．在第一部分中，雅可比从第一类椭圆函数的微分出发，用二次变换将它化简为勒让德的标准
% T' S+ q' U7 M+ M" H! Q出了三次和五次变换的例子和有关模方程的例子．经组合两个变换，他
圆积分
' z  ]8 U, |; {# u; k

( [1 n- U& r. _4 n! @

% h6 ~3 ^6 J' f" g- O) t

sinam(iu，k)=itan am(u，k′)，

　　这里模数k和k′满足方程k2+k′2=1．这样，他得到椭圆函数的双周期性、零点、极点．他还证明当对第一个模数和第二个模数应用同样变换时模方程的不变性．第一部分工作的最后，他研究了满足所有变换模数的三阶微分方程．
& h0 I2 W8 M0 I: g　　这著作的第二部分集中研究椭圆函数用无穷级数乘积和傅里叶级数的表示问题．椭圆函数sin amu，cos amu，△amu的第一种表示是用无
　　穷乘积的商形式给出．记q=e-πk′/K，雅可比用q来表示模和周期，例如

& m8 x, p& E+ r8 a　　椭圆函数还可用傅里叶级数展开式来表示．
　　雅可比引进函数

6 i* j: ?2 z% o2 Y　　来讨论第二类椭圆积分．他将第三类椭圆积分化简成第一类和第二类椭圆积分，而第三个超越函数仅依赖于两个变量．他又引入“雅可比函数”

, K& e  P0 H1 {. g: b  T" L　　　
　　　
　　公式

　　雅可比又将这工作应用于数论．从恒等式

　　断，即任何整数可以表示成至少四个整数(零也是整数)的平方和．
; g7 v+ g( D9 {* v* y% q" Y! ~3 l　　雅可比证明了以e-(an+b)/2为通项的级数的收敛性，这是整个椭圆函数理论发展的基础．
. u6 Y6 @! i; Q0 h. J; r7 I( |# [( \7 t　　1829—1830年冬季，雅可比第一次作椭圆函数理论的报告，他强调双周期性是椭圆函数的基本性质．他用θ函数理论来建立椭圆函数理论．1835—1836年，他证明有关四个θ函数乘积之和的著名定理，并且将各类椭圆函数定义为θ函数之商，从而第一个创立了θ函数理论．1839—1840年期间，他继续这些研究，这部分工作收集在《雅可比全集》的第一集、第二集中，包括了对椭圆函数历史的概述．
. Z! j, V, q6 q" e( R3 R7 V　　关于复变量椭圆函数理论，他研究了超椭圆积分等问题，其中有关双周期函数的论文(1835年)成为现代复变函数理论中的经典著作．他对阿贝尔函数也作过研究，发现了超椭圆函数．
" G$ i) j5 J# Y1 ?) G7 S　　在椭圆函数理论的整个发展过程中，高斯、勒让德、阿贝尔、雅可比他们对其理论都作过精心研究．阿贝尔和雅可比的许多发现同高斯年青时(1798年)作过的但没有发表的工作(高斯从来不太在乎他的研究论文的发表)相交迭．勒让德自1786年以来用了40年时间对椭圆积分作了系统的研究，并将其分为三类．但阿贝尔和雅可比看到了问题的实质．他们把勒让德的思路颠倒过来，研究椭圆积分的逆，即椭圆函数，这样就大大地简化了整个问题，使得椭圆函数理论迅猛地发展起来．
　　椭圆函数理论在19世纪数学领域中占有十分重要的地位．它为发现和改进复变函数理论中的一般定理创造了有利条件．如果没有椭圆函数理论中的一些特例为复变函数理论提供那么多的线索，那么复变函数理论的发展就会慢得多．
　　雅可比第一个将椭圆函数理论应用于数论的研究，得到同余式和型理论中的一些结果，这一思想为后继数学家所沿用．他这方面的研究结果是通过J．G．罗森海因(Rosenhain)的听课笔记流传下来的．他还给出元根的“标准算法”，该文章于1839年发表．
　　雅可比研究工作的特点是将不同的数学分支联系起来．他将椭圆函数理论用于积分理论、微分方程理论，其中尾乘式原理就是他提出的．他又将椭圆函数理论用于动力学和分析力学，创立了哈密顿-雅可比方程．他寻找最一般的代换，得到哈密顿-雅可比方程积分的新理论．这一方法解决了力学和天文学中一些十分重要的问题，并使微分方程的研究进入一个新的发展时期．后来，A．克莱布什(Clebsch)改进了雅可比的工作；10年之后 H．L．F．亥姆霍兹(Helmholcz)把雅可比的力学原理全部用到一般物理学中．
　　雅可比对行列式理论也做了奠基性的工作．1841年初他系统地研究了行列式理论，推广了代数行列式的应用，建立了函数行列式(后来称之为雅可比行列式)，并将其应用到函数组的相关性、多重积分的变量变换和偏微分方程的研究中．
) T/ u# O, a% c  N　　有关一阶偏微分方程和分析力学的大部分研究工作是他去世之后以“动力学讲义”(Vorlesungen über Dynamik)为题发表的(1866年由克莱布什发表)．
　　雅可比在数学物理方面也做过实质性的贡献．他将椭圆函数理论应用于椭球吸引力的研究和有关旋转流体物质结构理论研究中．C．麦克劳林(Maclanrin)、J．R．达朗贝尔(d′Alembert)、P．S拉普拉斯(Laplace)和J．L．拉格朗日(Lagrange)证明当均匀流体取旋转椭球形状且绕固定轴均匀旋转时，其形状不会改变．而雅可比发现即使流体形状是一般椭球体时，也满足平衡条件．
: R: F$ s2 i9 c. L) o$ Y3 L% ]　　雅可比对数学史的研究也感兴趣．1846年1月作过关于R笛卡儿(Descartes)的通俗演讲，对古希腊数学也作过研究和评论．1840年他制订了出版欧拉著作的计划(因欧拉的孙子发现欧拉有许多文章未发表)．
( f4 N3 q! h, C* V3 C　　有趣的是雅可比关于椭圆函数理论的研究工作同他强大的竞争者阿贝尔的工作保持着平行，他们独立地创立了椭圆函数理论．同时，雅可比有一颗高贵没有偏见的心灵．由于具有慷慨的天性，他毫不妒忌地赞扬了阿贝尔有关证明不能用代数方法得到一般五次方程的解的结果，尽管他对此问题作过探讨而未能得到这样的结论．
　　雅可比在数学和其他学科的许多领域中辛勤地工作过，是数学史上最勤奋的学者之一．他和欧拉对待数学创作具有同样的态度，两者都是多产的作者．就处理繁复的代数问题能力而言，除了20世纪印度数学天才S．拉马努金(Ramanujan)以外，他们两人是无人可匹敌的．他们俩在处理确定问题时都能从巨大的数学方法兵工厂中找到能够解决问题的最好武器．欧拉在纯粹和应用数学之间花费的时间几乎相等，而雅可比更倾向于研究它们内在有关的数学问题．他所理解的数学，有一种强烈的柏拉图(Platonic)格调．
$ R. i8 F1 B/ |　　现代数学中的许多定理、公式和函数恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式以及许多数学符号都冠以雅可比的名字，可见雅可比的成就对后人影响之深．1881—1891年普鲁士科学院陆续出版了由C．W．博尔夏特(Borchardt)等人编辑的七卷《雅可比全集》和增补集，这是雅可比留给世界数学界的珍贵遗产．

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狄利克雷

中国科学院数学研究所 袁向东

　

% e- _. [$ Q$ K9 s4 |1 X9 s  a　 狄利克雷，P．G．L．(Dirichlet，Peter Gustav Lejeune)1805年2月13日生于德国迪伦；1859年5月5日卒于格丁根．数学．
, g+ D% u) I, L/ B" w, ~7 t; o　　狄利克雷生活的时代，德国的数学正经历着以C．P．高斯(Gauss)为前导的、由落后逐渐转为兴旺发达的时期．狄利克雷以其出色的数学教学才能，以及在数论、分析和数学物理等领域的杰出成果，成为高斯之后与C．G．J．雅可比(Jacobi)齐名的德国数学界的一位核心人物．
　　狄利克雷出身于行政官员家庭，他父亲是一名邮政局长．狄利克雷少年时即表现出对数学的浓厚兴趣，据说他在12岁前就自攒零用钱购买数学图书．1817年入波恩的一所中学，除数学外，他对近代史有特殊爱好；人们称道他是个能专心致志又品行优良的学生．两年后，他遵照父母的意愿转学到科隆的一所教会学校，在那里曾从师物理学家G．欧姆(Ohm)，学到了必要的物理学基础知识．
  m  b8 Y9 n0 h  [8 R/ W8 D2 U　　16岁通过中学毕业考试后，父母希望他攻读法律，但狄利克雷已选定数学为其终身职业．当时的德国数学界，除高斯一人名噪欧洲外，普遍水平较低；又因高斯不喜好教学，于是狄利克雷决定到数学中心巴黎上大学，那里有一批灿如明星的数学家，诸如P．S．拉普拉斯(Laplace)、A．勒让德(Legendre)、J．傅里叶(Fourier)、S．泊松(Poisson)、S．拉克鲁瓦(Lacroix)、J．B．比奥(Biot)等等．
- f2 ^+ E: E+ q5 E! J　　1822年5月，狄利克雷到达巴黎，选定在法兰西学院和巴黎理学院攻读；其间因患轻度天花影响了听课，幸好时间不长．1823年夏，他被选中担任M．法伊(Fay)将军的孩子们的家庭教师．法伊是拿破仑时代的英雄，时任国民议会反对派的领袖．狄利克雷担任此职，不仅收入颇丰，而且受到视如家人的善待，还结识了许多法国知识界的名流．其中，他对数学家傅里叶尤为尊敬，受其在三角级数和数学物理方面工作的影响颇深．另一方面，狄利克雷从未放弃对高斯1801年出版的数论名著《算术研究》(Dispui-sitiones arithmeticae)的钻研．据传他即使在旅途中也总是随身携带此书，形影不离．当时还没有其他数学家能完全理解高斯的这部书，狄利克雷是第一位真正掌握其精髓的人．可以说，高斯和傅里叶是对狄利克雷学术研究影响最大的两位数学前辈．
# P; w3 H" U) E2 l" A- |2 ~　　1825年，狄利克雷向法国科学院提交他的第一篇数学论文，题为“某些五次不定方程的不可解”(Mémoire sur L'impossibilite de quelques équations indéterminées du cinquieme degré)．他利用代数数论方法讨论形如x5+y5=A·z5的方程．几周后，勒让德利用该文中的方法证明了xn+yn=zn当n=5时无整数解；狄利克雷本人不久也独立证明出同一结论．(后来狄利克雷再次研究费马大定理时，证明n=14时该方程无整数解．)
6 Z0 p% g8 Y8 P* T' J4 S6 U8 M  A　　1825年11月，法伊将军去世．1826年，狄利克雷在为振兴德国自然科学研究而奔走的A．洪堡(von Humboldt)的影响下，返回德国，在布雷斯劳大学获讲师资格(他在法国未攻读博士学位，而由科隆大学授予他荣誉博士头衔，这是获讲师资格的必要条件)，后升任编外教授(extraordinary professor，为介于正式教授和讲师之间的职称)．
　　1828年，狄利克雷又经洪堡的帮助来到学术空气较浓厚的柏林，任教于柏林军事学院．同年，他又被聘为柏林大学编外教授(后升为正式教授)，开始了他在柏林长达27年的教学与研究生涯．由于他讲课清晰，思想深邃，为人谦逊，谆谆善诱，培养了一批优秀数学家，对德国在19世纪后期成为国际上又一个数学中心产生了巨大影响．1831年，狄利克雷成为柏林科学院院士．同年，他和哲学家M．门德尔松(Mende1ssohn)的外孙女丽贝卡·门德尔松-巴托尔特(Rebecca Mendelssohn-Bartholdy)结婚．
! ^) K% ]. v% C　　1855年高斯去世，狄利克雷被选定作为高斯的继任到格丁根大学任教．与在柏林繁重的教学任务相比，他很欣赏在格丁根有更多自由支配的时间从事研究(这一时期主要从事一般力学的研究)．可惜美景不长，1858年夏他去瑞士蒙特勒开会，作纪念高斯的演讲，在那里突发心脏病．狄利克雷虽平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中风身亡的打击，病情加重，于1859年春与世长辞．　　
; Q9 K% N+ z4 G　　狄利克雷的主要科学工作如下．
　　数论
( r  Q" O7 W# N+ [* W" @　　狄利克雷在柏林的早期数论工作，集中在改进高斯在《算术研究》及其他数论文章中的证明或表述方式．如高斯给出的二次互反律的第一个证明相当烦琐，需对8种情形作分别的处理；狄利克雷简化了这一证明，把全部情形归结为2种．其后，他在高斯的理论中引入了一些更深入的问题和结果．如为解二元型理论中的某些困难问题，他开始讨论三元型的课题，提出了一个富有成果的新领域．1837年7月27日，狄利克雷在柏林科学院会议上，提交了对勒让德的一个猜想的解答，他证明任一形如

an+b，n=0，1，2，…

　　的算术级数，若a，b互素，则它含有无穷多个素数(即算术级数的素
是复数)和二元二次型类数的计算等分析学工具和方法，成为解析数论的开创性工作．
4 f* e0 b, [& L' q8 X* x: F　　1842年，狄利克雷开始研究具有高斯系数的型，首次运用了“盒子原理”——若将多于n个的物体放入n个盒子，则至少有一个盒子含有多于一个的物体，它在现代数论的许多论证中起重要作用．1846年，他在属于代数数论的单元理论的文章“复单元理论(Zur Theorie der complexen Einheiten)中，获得了一个漂亮而完整的结果，现称狄利克雷单元定理：对由一个不可约方程及其r个实根和s对复根定义的代数数域 K=Q(α)，一切单元构成的阿贝尔群的秩为r+s-1，其有限阶元部分由域中单位根组成．
6 n" z/ c; X# w3 D4 F; I% }　　1863年，狄利克雷的《数论讲义》(Vorlesungen über Zahlen-theorie)由他的学生和朋友R．戴德金(Dedekind)编辑出版，这份讲义不仅是对高斯《算术研究》的最好注释，而且融进了他在数论方面的许多精心创造，之后多次再版，成为数论经典之一．
5 m9 b, W) G. h4 F! F' k　　分析狄利克雷是19世纪分析学严格化的倡导者之一．1829年，他在克雷尔(Crell)杂志发表了他最著名的一篇文章“关于三角级数的收敛性”(Sur la convergence des séries trigonométri-ques)．该文是在傅里叶有关热传导理论的影响下写成的，讨论任意函数展成形如

1/2a0+(a1cosx+b1sinx)+(a2cos2x+b2sin2x)+…

　　的三角级数(现称傅里叶级数)及其收敛性．早在18世纪，D．伯努利(Bernoulli)和L．欧拉(Euler)就曾在研究弦振动问题时考察过这类级数．傅里叶在19世纪初用它讨论热传导现象，但未虑及其收敛性．A．L．柯西(Cauchy)在1823年开始考虑它的收敛问题．狄利克雷在文中指出柯西的推理不严格，其结论也不能涵盖某些已知其收敛性的级数．他进而考虑形式上对应于给定函数f(x)的三角级数的前n项的和，检验它跟f(x)的差是否趋于零，后成为判断级数收敛的经典方法．狄利克雷证明：若f(x)是周期为2π的周期函数，在-π＜x dx有限，则在f(x)所有的连续点处，其傅里叶级数收敛到f(x)，在函数的跳跃点处，它收敛于函数左右极限值的算术平均．这是第一个严格证明了的有关傅里叶级数收敛的充分条件，开始了三角级数理论的精密研究．
0 ]% r) K% M) E1 o3 h& M$ s　　1837年，狄利克雷再次回到上述课题，发表题为“用正弦和余弦级tionen durch Sinus-und Cosinusreihen)的文章，其中扩展了当时普遍采用的函数概念(即由数学符号及运算组成的表达式为函数的概念)，引入了现代的函数概念：若变量y以如下方式与变量x相关联，即只要给x指定一个值，按一个规则可确定唯一的y值，则称y是独立变量x的函数．为说明该规则具有完全任意的性质，狄利克雷举出了“性状极怪”的函数实例：当x为有理数时，y=c；当x为无理数时，y=d≠c 现称狄利克雷函数)．但狄利克雷的连续函数概念仍是直观的，并根据等距取函数值求和的方法定义其积分．在此基础上，狄利克雷建立了傅里叶级数的理论．
* P: B8 d8 J& C( s6 S　　数学物理
0 [% I% C# _$ O7 e: S　　1839年，狄利克雷发表了3篇涉及力学的数学论文，讨论多重积分估值的方法，用于确定椭球体对其内部或外部任意质点的引力，开始了他对数学物理问题的研究．这方面最重要的文章发表于1850年，提出了研究拉普拉斯方程的边值问题(现称狄利克雷问题或第一边值问题)：求满足偏微分方程

' ~. u" }) ?4 a7 x( `　　的位势函数V(x，y，z)，使它在球面边界上取给定的值．这一类型的问题在热力学和电动力学中特别重要，也是数理方程研究中的基本课题．狄利克雷本人曾用所谓的狄利克雷原理给出了问题的解．1852年，他讨论球在不可压缩流体中的运动，得到流体动力学方程的第一个精确解．

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高 斯

中国科学院数学研究所 袁向东

　

　　高斯，C．F．(Gauss，Carl Friedrich) 1777年4月30日生于德国不伦瑞克；1855年2月23日卒于格丁根．数学、天文、物理、大地测量．
, o7 _5 K% X6 n7 B　　高斯出生在一个普通城市工人家庭．其父格布哈德·迪特里希·高斯(Gebhard Dietrich Gauss)受教育不多，但能写会算，为人勤奋，靠手艺维持家庭生计，做过园林工人、运河工人、街道小贩，还出任过丧葬机构的会计．据说迪特里希·高斯虽忠厚却性情暴躁，在家尤为专制．小高斯是他第二个妻子的独子．高斯的母亲多罗西娅·本茨(Dorothea Benze)出身石匠家庭，聪慧而善良，能读但不会写，婚前在一个贵族家当女仆，在其夫去世后长期随高斯生活，母子相伴，直至96岁谢世．多罗西娅的弟弟天份颇高，是高斯长辈中智力最突出的一位，他靠自己钻研成为艺术锦缎的著名织匠．
　　高斯幼年时的生活跟当时一般市民家的孩子雷同．有一个故事说因父母为生计奔波，小高斯有时无人照料，大约在3或4岁时，曾堕入离家不远的运河，几乎溺死．另一个故事说高斯自幼对数字有特殊的敏感，在3岁时就发现过父亲算账时的计算错误。这些故事大都是高斯晚年对人谈起的．高斯成年后还常对人说，他在学会说话前就会计算了．
/ l- R$ [/ T; l( N% Q　　高斯接受教育的状况受制于当时德国的社会背景．他出生的城市不伦瑞克是座古城，在17世纪初仍是能跟汉堡和阿姆斯特丹相媲美的贸易中心．后因城市民众暴动和欧洲30年战争的破坏而衰落．1671年它失去政治独立地位，并入不伦瑞克-沃尔芬比特尔(现德国下萨克森州)公爵领地；1673年成为该领地的首府．在18世纪，它像其他德国城邦一样，经济政治状况落后于资本主义蓬勃发展中的英国和法国．高斯降生时不伦瑞克的统治者是 C． W．费迪南德(Carl Wilhelm Ferdinand)公爵，一位久经沙场的贵族；他按传统的封建方式管理他的领地：典型的特征是以农业为其财政的主要来源，并保护组织起来的个体织匠抵制纺织机械的使用．他在教育方面虽未实行义务教育，但他的大多数臣民都能识字并掌握一些初等算术知识．至于社会下层有天赋的儿童要想获得较高等的教育，则非有贵族、富商或其他有影响的保护人的资助不可．
　　1784年，高斯像普通市民的孩子一样入小学读书．他进的圣·凯瑟琳小学给他带来了好运．该校教师 J．G．比特纳(Büttner)称职而热心，他教的班由50多名年龄各异、原有知识参差不齐的学生组成；比特纳发现高斯才智出众，特意从汉堡弄来一本算术教科书给高斯读．一个故事说，一次高斯在班上几乎不加思索就算出了1+2+3+…+100的和，令比特纳惊讶不已．当时任比特纳助手的 M．巴特尔斯(Bartels)只比高斯大8岁，酷爱数学(后到俄国喀山大学任教授，是非欧几何创立者之一罗巴切夫斯基的老师)，对高斯的数学才能特别器重，他们常在一起讨论算术和代数问题．
　　高斯的父亲不希望儿子继续升中学读书．让子女多读书并非当地工人阶层的风尚；读小学时，高斯晚上经常秉父命上织机织布．经老师们的帮助，高斯于1788年进入预科学校(相当于现在的中学)，这里班级的编排较正规，但课程颇显陈旧，而且过份强调古典语言特别是拉丁语的教学．高斯的目标是学术上的深造，当时的人文学科特别是科学经典都是拉丁文写的，于是他充分利用学校的条件攻读拉丁语，不久成绩就名列前茅．他还学会了使用高地德语(路德翻译圣经用的那种德语，即现在的标准德语)，高斯原来只会使用本地方言．至于他的数学程度，教师在看了他的第一次数学作业后便认为，高斯已没有必要上该校的数学课了．
　　1791年，位于不伦瑞克的卡洛琳学院的教授 E．A．W．齐默尔曼(Zimmermann)向费迪南德公爵引介了14岁的天才少年高斯．公爵接见高斯时为他的朴实和腼腆所动，欣然应允资助高斯的全部学业．此后，高斯在经济上便独立于父母，父亲也不再反对儿子的继续深造．
　　1792年，高斯入家乡的卡洛琳学院(Brunswick Collegium Carolinum)学习，开始脱离家庭的独立生活．这所学校不同于普通的大学，它由政府直接兴办和管理，目标是培养合格的官吏和军人，在德国各城邦的类似学校中属于最优秀之列，其教学强调科学方面的科目．高斯在校的三年间，全身心地投入学习和思考，获得了一系列重要的发现：入学前他就研究算术-几何平均(1791)，此时发现了它和其他许多幂级数的联系(1794)；发现最小二乘法(1794)；考虑了几何基础问题，即平行公设在欧几里得几何中的地位(1792)；由归纳发现数论中关于二次剩余的基本定理，即二次互反律(1795)；研究素数分布，猜想出素数定理(1792)．在这一时期，贯穿高斯一生的研究风格的一个重要方面已趋成熟：不停地观察和进行实例剖析，从经验性质的研究中获得灵感和猜想．高斯在学院学习期间还开始了对数学经典著作的钻研，阅读了I．牛顿(Newton)的《自然哲学的数学原理》(Philosophiae naturalis Principia mathematica)、 L．欧拉(Euler)的代数与分析著作和J．L．拉格朗日(Lagrange)的若干论著，以及雅格布·伯努利(Jacob Bernoulli)的《猜度术》(Ars conjectandi)等．
! x3 N' Y- S8 T2 N) n! t　　高斯的志向不是谋取官吏的职位，而在于他最喜好的两门学问：数学和语言．1795年，他离开费迪南德公爵管辖的领地，到格丁根大学就读．格丁根大学的办学方式追随英国的牛津和剑桥大学，资金较其他德国大学充裕，较少受政府和教会的管理和干涉．高斯选中这所大学另有两个原因．一是它有藏书(尤其是数学书)极丰的图书馆；二是它有注重改革、侧重科学的好名声．当时的格丁根对学生可谓是个“四无世界”：无必修科目，无指导教师，无考试和课堂的约束，无学生社团．高斯完全在学术自由的环境中成长，将来从事什么职业完全由他自己抉择．入学初期，语言学家 G．海涅(Heyne)对高斯作数学家还是语言学家可能曾在高斯脑际徘徊．有两个支持这种看法的旁证：高斯到校第一年所借阅的25本书中，仅有5本科学著作，其余皆属人文学科，而且高斯终其一生始终未改对语言和文学的爱好；那个时代以数学为职业者收入不丰，高斯当时仍在靠公爵的补贴生活，寻找有较高收入的职业是高斯一生中经常考虑的问题．
　　1796年是高斯学术生涯中的第一个转折点：他敲开了自欧几里得时代起就搅扰着数学家的尺规作图这一难题的大门，证明了正十七边形可用欧几里得型的圆规和直尺作图．这一成功最终决定了他走科学之路而非文学之路，高斯真正认识了自己的能力之所在．在注明3月30日的“科学日记”中，高斯写道：“圆的分割定律，如何以几何方法将圆分成十七等分”．所谓“科学日记”是1898年偶然在高斯的孙子的财产中发现的一本笔记；高斯在上面记录他的众多科学发现，并称之为 Notizen journal(日志录)．日记中简要记载着他自1796年至1814年间的共146条新发现或定理的证明．由于高斯的许多发现终身没有正式发表，这本日记成了判定高斯学术成就的重要依据．
/ `6 c% E# Z6 y+ U) x. k　　在格丁根学习期间，高斯在日记中记录了许多重要信息：
　　1796年4月8日，得到数论中重要定理二次互反律的第一个严格证明；
$ F; X" k9 K: x　　1797年1月7日，开始研究双纽线；
, c( k7 M; H  |8 s# s　　1797年3月19日，认识到在复数域中，双纽线积分具有双周期；
9 @+ t, {  G" b. d# e/ L　　1797年5月，由实例计算得到算术-几何平均和双纽线长度间的一些关系(双纽线函数是椭圆函数的一种)；
/ p8 U$ `: {6 y* P/ u9 f　　1797年10月，证明了代数基本定理．
　　1798年秋，高斯突然离开格丁根回到故乡，原因不详，很可能是费迪南德公爵不愿由他资助的学生在他所辖的领地之外的大学获取文凭．正是在公爵的要求下，高斯于1799年接受了海尔姆斯台特(Helmstedt)大学的博士学位，名义上的导师是 J．F．普法夫(Pfaff)，当时德国最负盛名的数学家，高斯在格丁根求学期间曾访问过他，但尚不知他们之间有无学术上的联系．[有一则故事表明他们二人在数学界的地位．在高斯成名后，他的好友 A．洪堡(Humboldt)曾询问法国大数学家、力学家 P．S．M．拉普拉斯(Laplace)谁是德国最伟大的数学家．拉普拉斯答是普法夫，洪堡惊鄂之余追问道：那么高斯呢？拉普拉斯戏谑地说：高斯是全世界最伟大的数学家！]高斯博士论文的题目很长：“单变量有理整代数函数皆可分解为一次或二次式的定理的新证明”(Demo-nstratio nova theorematis omnem functionem algelraicam rati-onalem integram unius variabilis in factores reals primi vel secundi gradus resolvi posse，1799年8月在公爵资助下出版)．高斯在给他大学时的同学 W．波尔约(Bolyai)的信(1799年12月16日)中说：“题目相当清楚地讲明了文章的主要目的，虽然它只占篇幅的三分之一，其余是讲述历史和对其他数学家[J．R．达朗倍尔(d’Alembert)、L．A．de 布干维尔(Bougainville)、欧拉、拉格朗日等]相应工作的批判，以及关于当代数学之浮浅的各种评论．”此文反映了高斯研究风格的另一个方面：强调严密的逻辑推理，这是区别于18世纪大部分数学家的高斯风格的主要特征．在此论文中，他并未具体构造出代数方程的解，而是一种纯粹的存在性证明．这类证明此后便在数学中大量涌现．还应指出，他的证明虽然必须依赖复数，但因当时的数学家仍在为虚数的本质争论不休，所以高斯尽量避免直接使用虚数．他预先假定了直角座标平面上的点与复数的一一对应。而将论及的函数分为实部和虚部分别加以讨论．高斯的证明也并非在逻辑上完美无缺，如他视连续函数的一些性质自然成立而未加证明[这些性质后来为捷克数学家 B．波尔查诺(Bolzano)首先证明]．高斯可能认识到这一问题，此后又给出了代数基本定理的另外三个证明(1815，1816，1849)，最后的证明是为庆祝他获博士学位50周年而作，方法跟博士论文基本一致，只是“现在大家都认清了复数是什么”，所以他直接运用了复数．
　　自1796年解决正十七边形的作图到1801年，是高斯学术创造力最旺盛的时间．按数学史家 O．梅(May)统计，在这6年间(19岁—24岁)高斯提出的猜想、定理、证明、概念、假设和理论，平均每年不少于25项，其中最辉煌的成就是1801年发表的《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae)，它把过去一直是零星成果堆砌成的数论，织成一张结构紧凑、自成系统的网；以及在1801年中根据少量观测数据准确预报小行星“谷神星”的运行轨道．天文学是当时科学界最关注的课题，高斯的这项预报引起了轰动．上述两项成就使他不仅在数学界而且在科学界一举成名．
　　1802年初，圣彼得堡科学院聘高斯为外籍院士；同年9月又邀请他出任圣彼得堡天文台台长，这是极崇高的荣誉．高斯出于对公爵的忠心，也因公爵打算为他创造更好的工作条件(计划专为高斯在不伦瑞克修建小天文台)并给他提薪，高斯最终决定留在家乡．
2 x* H* l% w# t# E8 n0 x% W3 I- H　　此后，高斯虽从未完全放弃对数论、代数、几何及分析学的研究，但其主要精力和时间逐步转向更有实际效用的科学，如天文学、测地学、物理学和应用数学．学术研究重点的转移也带来了高斯结交朋友方面的转折．高斯在纯数学的研究中是相当孤独的，没有同事和助手，即使在他创作高峰期也几乎未进行过直接的学术交流．W．波尔约虽是跟高斯有过长达50年通信联系的数学家，但未见他们在数学思想上的深入讨论．唯一的例外是法国女数学家 S．热尔曼(Sophie Germain)，她曾化名男子和高斯通信(1804—1805)讨论数论问题，二次互反律的一个证明就跟她的想法有关．但是，在天文学界和物理学界，高斯却有不少挚友，他们不仅切磋学术，而且过往甚密．现存的7000多封高斯的通信中，跟这些人的信件占极大比例．
　　1802—1803年间，高斯先后访问了 W．奥尔伯斯(Wilhelm Olbers)博士[医生兼天文学家，1802年发现了小行星“小惑星”(Pallas)]和著名天文学家F．察赫[Zach，为当时德国最著名的塞堡(Seeberg)天文台的台长，1801年12月7日晚第一个在高斯预报的位置上重新观测到谷神星]，讨论了天文和大地测量问题，从此高斯开始了天文观测和野外测量．奥尔伯斯为堵绝圣彼得堡良好的工作条件对高斯的引诱，提议由高斯出任正在筹备中的格丁根新天文台的台长(1804年此建议得到格丁根方面的确认)．1804年底，高斯又开始跟年轻的 F．W．贝塞尔(Bessel，后成为一流的理论及实用天文学家)进行维持终身的通信．据现存信件可知，高斯的长期通信者还有 C．L．格林(Gerling，物理学家，高斯的学生)，H．C．舒马赫(Schumacher，高斯的学生，天文学家)和J．G雷普索尔德(Repsold，仪器制作家，曾和高斯探讨消色差双物镜镜片的设计等问题)．
　　1805年，高斯跟制革商的独生女约翰娜·奥斯多夫(Johanna Osthoff)结为伉俪．此次婚姻颇为美满，得二子一女，高斯分别以三个小行星发现者的名字为他们的教名．跟宁静的家庭生活相悖的是政治环境的骤变．自1789年法国大革命后，德法之间爆发了多次短期战争．为扼制拿破仑在中欧的扩张，德国最主要的部分普鲁士决定加强跟法国的对抗．1806年，曾任普鲁士将军的费迪南德公爵率部与法军决战，70多岁的沙场老将在战斗中负了致命伤，同年11月死于阿尔唐纳(Altona)，这意味着高斯失去了经济来源，从此必须完全靠自己的努力维持生计．
　　1807年，高斯携全家迁往格丁根，出任格丁根天文台台长(实际上新天文台尚在建设中，他需亲自为其购置仪器设备)，同时担任格丁根大学天文学教授．高斯选择台长为其主职，教授只为次职，这跟他不喜欢当时的教学有关．1802年高斯在致奥尔伯斯的信中说过：“我真的不喜欢教课……对真正有天赋的学生，他们绝不会依赖课堂上的传授，而必是自修自学的……做这种不值得感谢的工作，唯一的代价是教授浪费了宝贵的时间．”在以后的通信中，可看出他对当时大多数学生无钻研兴趣、很少或根本没有学习动力，甚至有的学生缺少必要的常识不满．至于对禀赋好的学生，高斯愿意“偶尔给他一点提示，以便他找到最近的路．”
, }9 B& j8 R' D! o+ Z8 N　　格丁根原属汉诺威公国，此时已划归法国控制下的西伐利亚王国(1814年汉诺威公国复辟后，格丁根才摆脱法国统治)．法国政府征收的高额赋税给了高斯当头一棒，他无力筹足大学教授需交的2 000法币．德、法两国的多名学者闻讯主动伸出援助之手，均遭高斯婉拒；最后是一位匿名者替他交纳了全部税金[后知此人是法兰克福的大主教达尔贝格(Dahlberg)伯爵，曾任罗马帝国的重臣]．法国入侵，费迪南德伯爵战死，加上此次征税，无形中加深了高斯在政治上的保守倾向，纵观其一生，他对政治上的变革或激烈行为都持旁观或反对的态度．高斯到格丁根后所受的第二次打击是爱妻在生第三个孩子时难产，不久便去世了(1809年10月)．时隔不到半年，新生儿也夭折而去．高斯以独有的克制精神和毅力，很快从精神沮丧中复原．为了正常的生活和工作，为让不满4岁的儿子和刚2岁的女儿得到照顾，高斯于1810年8月跟格丁根大学法学教授的小女儿米纳·沃尔德克(Minna Waldeck)成婚．第二次婚姻也得二子一女：欧根纳(Eugene)、威廉(Wilhelm)和女儿特雷泽(Therese)．在这一非常时期，高斯完成并发表了他的理论天文学方面的名著《天体沿圆锥曲线的绕日运动理论》(Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis So-lem ambientium)，阐述他预测天体轨道的方法，首次发表他的最小二乘法，提出现称高斯分布的著名统计规律．
$ H  J( n- }5 a1 W1 v# _　　1814年，格丁根天文台新址基本建成．为配置最好的望远镜等设备，高斯多方奔走，如于1816年赴巴伐利亚会见光学仪器制造家 G．von 赖兴巴赫(Reichenbach)等，买到了他最中意的装备．1818年，高斯发表了“确定行星对任意点的引力，假定行星质量按下述比例均匀分布在它的整条轨道上，即每一部分轨道上的质量正比于行星通过该段轨道所用的时间”(Determinatio attra-ctionis quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta si eius massa per totam orbitam ratione temporis，quo singulae partes describuntur， uniformiter esset dispertita)，文中利用椭圆积分、算术-几何平均等工具探讨了困难的天体摄动问题．该文是高斯结束其理论天文学研究的标志，此后他的天文研究主要在天文观测，记录特殊天象，计算并报告他对观测数据的分析，亲自调试仪器以达到最佳观测条件，一直到1854年他最后病倒为止．
7 o6 J9 V, n: m2 ?　　高斯退出理论天文学研究的一个原因是大地测量工作引起了他的兴趣．1815年前后，中欧各重要国家出于经济和军事目的，纷纷开始大规模的大地测量．1816年，舒马赫应丹麦政府之请，测绘全丹麦的地理形状，他请高斯协助．在一系列准备之后，高斯于1818年正式同意担负将丹麦的测地工作向南延伸，并开始参加艰苦的夏季野外测绘，冬季则对所获数据进行分析整理．1820年，汉诺威政府正式批准高斯对汉诺威全境作地理测量的计划，任命高斯为实施计划的负责人．1818至1825的八年间，高斯请他前妻所生之子约瑟夫(Joseph)和若干军人为野外考察的助手，工作井然有序，表现了高斯的组织才能．高斯动用军人的理由是“农夫们尊敬军官”，“军队管理中的纪律和秩序对任何事情都有益而无害”．为提高测量精度，高斯发明了“日光反射信号器”(1820)和光度计(1821)．至于实测数据汇集后的计算，几乎由高斯一人承担．他每年撰写的测地报告后汇集于《利用拉姆斯登(Ramsden)仪观测所确定的格丁根与阿尔唐纳两天文台之经度差》(Bestim-mung des
ch Beobachtungen am Ramsdenschen Zenithsector，1828)．长年的劳累损伤了高斯强壮的体魄；1825年医生诊断他患有气喘病和心脏病，迫使他停止了野外作业．此后高斯仍指挥整个计划的执行，并于1847年完成汉诺威全境的测量．
　　高斯全力关注测地工作的十年(1818—1828)，是他创造活动的又一个高峰期．高斯在1825年致奥尔伯斯的一封信中说，他这些年未能把充斥脑际的许多思想加以实现．尽管如此，他的两项理论成果已成永垂青史之作．1822年，丹麦哥本哈根科学院设奖征答地图制作中的难题，高斯以“将给定凸面投影到另一面而使
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获头奖．此文在数学史上首次对保形映射作了一般性的论述，建立了等距映射的雏形．1827年，高斯写成《曲面的一般研究》(Disquisitiones generales circa supe-rficies curvas，1828年出版)，这是他积10多年思考测地问题所得之精萃，提出了内蕴几何的新观念，成为此后长达一个多世纪微分几何研究的源泉．测地问题中的大量计算也推动高斯完善他的最小二乘法和对统计规律的严格研究，如他的《与最小可能误差有关的观测值的组合理论》(Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae Ⅰ＆ Ⅱ，1823)，以数学的严格性推广最小二乘法，使它在任何概率误差的假设下，都以最适当的方法来组合观测值．
　　在第二次创造高峰期的后期，高斯因测地工作得到额外的津贴(1825年开始领取．此前的1807—1824年间，高斯的薪金一直固定未动，而家庭负担有增无减)，他的经济状况有了根本好转；但高斯却在为他自我感觉到的创造力开始下降担忧．在1826年2月19日致奥尔伯斯的信中，他抱怨自己不能再如此努力而成果不佳，觉得应该去搞有别于数学的其他领域．
　　1828年高斯到柏林参加了他一生中唯一的一次学术会议：柏林自然科学工作者大会．洪堡希望他到柏林科学院工作以发挥更大的影响，并答应为他提供磁学研究的仪器．高斯当时对磁学的兴趣确实在增长，但对到柏林就职并不热心．在1822—1825年间，柏林方面曾和高斯谈判他来柏林的条件，高斯发现这个大都市的办事效率很低，要他担负的领导或顾问方面的责任也过多，因此高斯宁肯留在格丁根．高斯此次柏林之行最大的收获是结识了年轻的、才华横溢的实验物理学家 W．韦伯(Weber)．高斯正准备全力投入的物理学各学科原非他熟悉的领域，他正需要一个象韦伯这样的合作者．
. ?* V9 O, r3 K7 t　　高斯一旦决定转变研究方向，他进入新课题的加速度是惊人的，他发表的下述文章和发明就是明证：
　　
s allgemeines Grundgesetz der Mechanik)；
　　1830年，发表了《论平衡状态下流体性质的一般理论原则》(Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequ-ilibrii)；
　　1832年，发表了《以绝对单位测定的地磁强度》(Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata)；1833年，又与1831年到格丁根工作的韦伯合作发明了电磁电报．
" {! I( r" C! Z$ t: M; e3 M　　高斯跟韦伯的合作对他深入磁学研究影响颇大，1833年他们在格丁根兴建了地磁观测站．洪堡曾设想建立全球的地磁测量网，高斯和韦伯的参与加速了这项计划的实施．为使测量准确，他们精心设计以铜材代替铁材，以免磁针受其他铁器的干扰．不久，格丁根的观测站成了地磁测量的中心，各国纷纷仿照他们的设计建站，到1834年欧洲已建起了几十处磁观测站．为促进交流，高斯和韦伯组织了磁学会(Magnetisch Verein)，出版年刊《磁学会年度观测成果》(Resultate aus den Beobachtungen des magne-tischen Vereins，1836—1841年间共出版6卷，其中有高斯的15篇和韦伯的23篇文章)．1837年，他们改进了测量地磁强度的仪器，发明了双线地磁仪．1839年，高斯发表《地磁的一般理论》(Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus)，澄清、简化并发展了已有的地磁理论．1840年，除和韦伯合作出版了不朽的《地磁图》(Atlas des Erdmagnetismus)，高斯还发表了《与距离平方成反比而发生作用的引力
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地磁学之余，高斯还探讨了若干光学问题．
　　在高斯全力投入物理研究的时期，他的家庭生活和人事关系屡屡出现麻烦．夫人米纳在生育特雷泽后身体虚弱，经常卧床不起；儿子欧根纳在选择学业上跟高斯意见相悖．欧根纳是高斯所有孩子中最富语言和数学才能的一个，他想选读科学方面的学科，但终拗不过父亲的威严，不得不进大学去读法律；于是在大学他常放纵自己，时因赌博而负债．父子间的不睦最终导致欧根纳于1830年出走，远度重洋移居美国．米纳不堪这一打击，次年便病故了．高斯的另一个儿子威廉热衷务农，这在父亲眼里是无前途的职业，他因在德国生活不如意，于1832年征得高斯的同意，携妻去了北美．此后父子们再未见面．高斯的第二次婚姻不能说美满，对高斯唯一的安慰是女儿特雷泽十分孝顺，在米纳去世后担起了全部家务，直到高斯去世后才出嫁．在30年代初期，高斯还因一个地磁实验方案而对德高望重的洪堡进行严厉的抨击，造成两人感情上的疏远．
; M( w8 E+ L5 W! @( W* d　　纵观高斯一生，他待人接物都极力避免感情用事，而且厌恶争吵，即使在有人议论他有剽窃他人成果的嫌疑时也能泰然处之，如高斯正式发表最小二乘法在法国数学家勒让德之后，因而招来非议，高斯对此并未拍案而起，只是在给友人的信中摆明事情的原委．前述争吵是发生在米纳长期患病之后，足见它对高斯造成的心理压力之重，使他无法控制自己的感情．
1 s% f4 E( p9 b  Q& ^　　这一时期的另一不测事件是由汉诺威的新君主压制民主引起的．受1830年法国资产阶级革命的影响，汉诺威公国曾于1831年通过了一部较为民主和自由的宪法．1837年11月，新国王 E．奥古斯特(August)取消这部宪法，要求公职人员(包括大学教授)对他本人宣誓效忠．遂有格丁根大学7位教授奋起抗议，其中有高斯最亲密的合作者韦伯，以及高斯的大女婿、东方学专家 G．H．A．von．埃瓦尔德(Ewald)．人们期待高斯采取公开的行动，以其崇高的威望声援他的同事．但高斯保持了沉默．七教授被解760职，其中三人被逐出境外．此时高斯除私下请洪堡为韦伯说情外，未对政府的行动表示异议．实际上高斯不赞成政治上的任何激进行为，倾向于维持王室的统治．况且，时年高斯的母亲已95岁高龄，他本人也年过6旬；高斯不愿因为这一事件改变习惯的生活方式(1848年德国爆发革命时，高斯也是站在保守的保皇分子一边的)．韦伯的离去中断了高斯一生中最成功的合作研究，对他后期的物理研究带来了无法弥补的损失．
　　从19世纪40年代初期开始，高斯几乎完全退出了物理学的创新研究，只从事例行的天文观测，计算汉诺威测地工作中遗留下的问题，对老的研究课题、发表过的评论或报告作些修饰，解决一些小的数学问题．此后的出版物正反映了他的这种状态．他对E．E．库默尔(Kummer)新创立的理想论(1845)没有强烈的反应，对海王星的发现(1846)亦很漠然．C．G．雅可比(Jacobi)在参加纪念高斯获博士学位50周年大会后说，跟高斯谈数学问题时，他总是把话题叉开而谈些无聊的事．在40年代，高斯对格丁根大学的事务有了较多关注，担任过教授会的负责人；花了几年时间，将大学丧偶者基金会的财务预算奠基于可靠的统计规律之上；他对教学的兴趣也比以前浓厚了．(我们注意到，高斯在大学开的课，大部分是天文学方面的，唯有在当教授的第一年讲过一次数论，他最常讲的课是最小二乘法及其在科学中的应用．)
　　晚年的高斯在学术圈子以外的人眼里是位科学奇人，而高斯本人却极端热衷于从报纸、书本和日常生活中收集各种统计资料．在1848年革命时期，他几乎每天到学校守旧派成立的文学会(高斯是会员)附属的阅览室寻觅各种数据．如果某个学生正在看的报是他所寻找的，高斯会一直瞪着他直到对方递过来这份报纸．他因而被学生戏称为“阅览室之霸”．据说这一习惯对他从事投资活动(主要是买债券，包括德国以外发行的债券)大有裨益，他身后留下的财产几乎等于其年薪的200倍，说明他是个理财的好手．
　　高斯生命的最后几年仍保持学者风度，没有间断过阅读和参加力所能及的学术活动：
　　1850年，心脏病加重，行动受到限制．
　　1851年7月1日有日蚀，高斯作了他最后一次天文观测．
　　1851年，核准 G．F．B．黎曼(Riemann)的博士论文，给予高度评价．
2 U' _2 X: @. N, N; ]4 v　　1852年，改进傅科摆，解决一些小的数学问题．
! m- C" S$ k3 H1 A　　1853年，为黎曼选定为获讲师资格需作的答辩题目(几何基础)．
0 B4 {8 {5 w4 n6 a+ f/ x* o! B　　1854年1月，全面体检诊断高斯心脏已扩大，将不久于人世．但病情奇迹般地得到缓解．
3 \( w  H- f8 Y2 U# X4 M2 y　　1854年6月，听了黎曼关于几何基础的答辩报告，出席格丁根到汉诺威间铁路的开通仪式．
　　1854年8月，病情恶化，下肢水肿．
　　1855年2月3日清晨，高斯在睡眠中故去．
2 \0 J- {, B- v　　高斯的葬礼有政府和大学的高级官员出席，他的女婿在悼词中赞扬高斯是难得的、无与伦比的天才．送葬抬棺者中有24岁的J．W．R．戴德金(Dedekind)，他曾选修高斯的最小二乘法课．
3 q# u3 Q2 Q" H　　高斯的大脑有深而多的脑回，作为解剖标本收藏于格丁根大学．
　　《高斯全集》(Carl Friedrich Gauss'Werke)的出版历时67年(1863—1929)，由众多著名数学家参与，最后在 F．克莱因(Klein)指导下完成．全集共分12卷．前7卷基本按学科编辑：第1，2卷，数论；第3卷，分析；第4卷，概率论和几何；第5卷，数学物理；第6，7卷，天文．其他各卷的内容如下：第8卷，算术、分析、概率、天文方面的补遗；第9卷是第6卷的续篇，包括测地学；第10卷分两部分：Ⅰ，算术、代数、分析、几何方面的文章及日记，Ⅱ，其他作家对高斯的数学和力学工作的评论；第11卷也分两部分：Ⅰ，若干物理学、天文学文章，Ⅱ，其他作家对高斯测地学、物理学和天文学工作的评论；第12卷，杂录及《地磁图》．
　　以下介绍高斯最主要的学术贡献．

　

数 学

　

' z) H& q3 s6 \3 ^8 ?- j8 ^- P% o　　高斯被后人誉为“数学王子”．这种赞誉恰如其分，他是数学史上一个转折时期的杰出代表人物，起着承上启下的作用．18世纪的数学处于由微积分的创立而促成的分析学蓬勃发展的时代，它的代表人物往往毫不顾及推理的严格性，而得到大量跟天文学、力学等自然科学有联系的分析学成果．数论、代数和综合几何方面只有较零散的结果．高斯强调数学作为一门严谨的科学，必须要追求明确的定义、清晰的假设、严格的证明以及成果的系统化，倡导了至今已延续近200年的现代数学传统．
　　《算术研究》是高斯最具代表性的著作．该书共分七节．第一节：一般同余．定义有理整数模一个自然数同余的概念；证明同余的基本性质(包括除的算法)．第二节：一次同余．证明整数分解成素数的唯一性；定义最大公因子和最小公倍数；导入同余的符号a≡bmodc，转而它代表比m小且和m互素的整数的个数)，实质上研究了素剩余的乘法性质．第三节：幂剩余．研究给定数的幂模(奇)素数的剩余，其基础是费马小定理(ap-1≡1(mod p)，p是素数且非a的因子)，高斯给出费马小定理的两个证明，由此导出素根的概念．(a称为素根，若a，a2，a3，…(模p)可产生所有与p互素的整数)，进而利用公式ae≡b(modp)定义一个数b关于a的指标e及相关的运算；以指标表示法导出一个数的二次特征的判别准则(即判别一个数是否为模p的二次剩余)，该准则欧拉已经知道，而高斯的推导和证明更完全和确切；导出了威尔逊(Wilson)定理．以上三节是高斯为读者阅读书的主要部分而首次系统表述的初等数论知识．第四节：二次剩余．在给出定义后证明了他的“基本定理”：若p是形如4n+1的素数，则当任一正素数是p的(非)二次剩余时，p也是它的(非)二次剩余；对于形如4n+3的素数，类似的结论对-p成立．此即著名的二次互反律，

　

　　这一被誉为数信纸中的“酵母”的定理最早为欧拉提出，勒让德作过繁杂的讨论，但都未给出正确的证明．高斯在证明中首先论证定律对某些素数成立，然后通过对素数的完全归纳法证明之．高斯一生中给出过二次互反律的六个不同的证明．1817年高斯就其证明之一发表评论时说：“高级算术的特点是，通过归纳愉快地发现许多最漂亮的定理，但要证明它们……常常要经过多次失败，最终的成功依赖于深刻的分析和有幸发现的某种结合，数学这一分支中不同理论间的奇妙结合．”他认为寻找定理的新证明“绝非多余的奢侈品，有时候，你开始并没有得到最美和最简单的证明，而恰是这种证明才能深入到高级算术的真理的奇妙联系中去．这是吸引我们去研究的主要动力，并常能使我们发现新的真理．”这反映了高斯对纯数学研究的看法．第五节：二次型．讨论二元二次型f(x，y)=ax2+2bxy+cy2(a，b，c为给定的整数)．该节主要部分的基础来源于拉格朗日，高斯从他的工作中抽象出型的基本性质、型的变换及等价概念，将型的理论系统化并加以发展，如对给定判别式的型的各个类，皆可选取一个型为其代表，高斯给出了选择最简单的代表的准则；他证明了有关型的复合的重要定理，讨论了用型表示数的问题．第六节：应用．提出了上节引入的概念的重要应用，主要涉及部分分数、循环小数、解同余方程以及区分合成数和素数的准则等．第七节：分圆问题．这是高斯于1896年宣布已完成正十七边形作图后首次公开它的理论基础，高斯证明的结论是：一个正多边形，其边数为奇数p时，可尺为任意非负整数)．《算术研究》系统总结了前人的工作，解决了一批最困难的著名问题，系统地形成了一批概念和问题，它直接影响了其后一个世纪的研究模式，实为现代数学史上第一部结构严谨的数论巨著．
　　高斯曾称“数论是数学中的女皇”，足见他对数论的重视．在他的科学日记及手稿中，还记载着他的其他数论发现，重要的有： 　　(1)根据瑞士数学家 J．兰伯特(Lambert)的素数表和他自制的素数表，对素数的分布作出如下猜测，小于x的素数个数π(x)～
分式差
　　(2)通过实例找到双纽线函数的周期与算术-几何平均的关系，并给出了证明，实际上早于 N．H．阿贝尔(Abel)和 C．G．J．雅可比(Jacobi)的椭圆函数研究．他将双纽线函数表成两个整函数 P，
7 V" C7 g! x$ IQ本质上是雅可比的θ函数的特例．
9 J7 ~) g/ y8 C7 I! X' b　　(3)写于19世纪早期的一些手稿表明，高斯已熟悉了最终由F．克莱因等人完成的一种模函数的理论的基本要领．他是从二次型的约化理论出发到达模函数论的．高斯还掌握了模函数的几何表示．
  Y. l7 i- ?. s0 H　
6 t0 l8 ^0 h- y7 l3 R的高斯和(1811)，后在数论发展中变得十分重要．
　　(5)在研究四次剩余的理论时，将整数概念推广到复域；即形如a+ib(a，b为整数)的所谓高斯整数．他还对几种特殊情形证明了四次互反律．
$ D$ i: M- Y$ B% w　　(6)提出二元和三元二次型的代数理论有相应的几何模拟(1830)，这是数的几何理论的一个发端．
0 O0 ?0 F' B" @: s( W5 P　　高斯是19世纪分析严格化的先躯之一．他在1813年发表了“无穷级数……的一般研究”(Disquisitiones generales circa seriem infinitam…)讨论超几何级数

　　(欧拉曾研究过它)，高斯对它的兴趣在于他发现当取不同的α，β和γ时，几乎可以导出所有当时已知的初等函数和许多诸如贝塞尔函数、球函数那样的超越函数，具有极大的普遍性．高斯在文中给出了该级数收敛的具体判据，使它成为数学史上最早讨论无穷级数收敛问题的文献．高斯还在实质上建立了该级数与Γ函数
　　在上文发表前两年，高斯对复函数论也作出了开创性的贡献．在给贝塞尔的一封信(1811年12月)中，他描述了复函数沿复平面上的曲
( q1 f8 @/ S' g5 r- E& _8 c% i以及复函数基本定理(若复函数f(z)在曲线c及其内部解析，则其沿c的积分为零)．因高斯未公开发表他的成果，而 A．L．柯西(Cauchy)的表述较为完整，现称此定理为柯西积分定理．高斯在复分析方面的另一重要成果是获丹麦哥本哈根科学院奖的那篇文章．它实际上解决了任一曲面保形变换到任何另一曲面上的解析条件问题．
0 i( X# Z/ H# U) j6 p: Y1 L　　高斯的几何学研究，使他实现了19世纪最富革命精神的两项几何创造：非欧几何和内蕴微分几何．
　　关于非欧几何，高斯生前从未正式发表他的成果，但从其通信、科学日记及手稿中，可清晰看到他的思想发展脉络，证明他是最早认识到存在非欧几何的数学家．
5 W' j8 j2 _. ^/ X; d　　(1)1799年9月，他在科学日记中记道：“在几何基础的问题上，我们获得了很好的进展．”
　　(2)同年，W．波尔约在给高斯的信中自称能从欧几里得的其他公理公设推出平行公设．高斯在12月17日的回信中婉言否定了波尔约的结论，并说“我可以从存在面积为任意大的直角三角形的假设，严密地导出平行公设．大多数人肯定会把它当作公理．但我不这样做，因为我相信不管三角形三个顶点离得多么远，其面积可能永远在某个限度以内．”
; B' P; r. D$ S　　(3)在19世纪初，数学家们已经知道如平行公设不成立，则可导出存在绝对长度单位．但因无法找到这样的单位，勒让德于1794年认定这反而是使人相信平行公设的理由．高斯在给天文学家 C．L．格林(Gerling)的信(1816)中表示，绝对长度单位的存在固然值得怀疑，但他无法从存在绝对单位推出任何矛盾．他觉得有一绝对长度单位反而更好，并说：“人们可以取角度为59°59′59″9999 的等边三角形的边长为单位长度．”
　　(4)1824年，高斯在回答 F．A．陶里努斯(Taurinus)“证明”平行公设的来信时写道：“由三角形的内角和小于180°的假设可导出一种奇异的几何，它跟欧几里得几何大相径庭，但其本身却是相容的．”高斯接着说此类几何由某一常数所确定，“这常数越大，这几何就越接近欧氏几何，当它变成无穷大时，两种几何就一致了．”高斯当时未指出这常数(即绝对单位)的值．实际上它可通过空间曲率K来表示，即
理论一直众说纷纭．我们知道高斯一直认为几何是和力学一样应能以实践检验的科学，他又十分熟悉测量时的误差估计，而在当时的条件下尚不可能对非欧几何进行有说服力的检验，高斯可能是不愿意公布会引起争论而无法作出最终判决的理论．
　　关于高斯的内蕴微分几何思想，集中体现在《曲面的一般理论》中．其主要内容为：
　　(1)以曲面的参数方程x=x(u，v)，y=y(u，v)，z=z(u，v)为研究的出发点，定义弧长元素为

ds2=E(u，v)du2+2F(u，v)dudv+G(u，v)dv2

9 N2 b; L3 B( X* s" @" p$ T　　其中 E，F，G 为 x，y，z 对参数的偏导数的有理式组成；并给出曲面上曲线间夹角的定义．
　　(2)推广 C．惠更斯(Huygens)和 A．C．克莱罗(Clairaut)关于平面曲线曲率的概念，定义了一个曲面在曲面上一点处的曲率 K=种坐标系(曲线坐标和直角坐标)中给出了曲率用曲面的偏导数表示的公式，证明曲率K完全跟曲面是否在三维空间中或曲面在三维空间中的形态无关．因此当曲面无伸缩地弯曲时，ds保持不变，曲面的所有性质(包括曲率)亦保持不变．这就提出了几何史上一个全新的重要概念，即一张曲面本身就是一个空间．
　　(3)研究了曲面上的测地线，证明了测地线构成的三角形的著名
　　角形A上的积分，则有

　　其中α1；α2，α3为测地三角形的三个内角的值．高斯认定这是“最精美的定理”[即现称的高斯-博内(Bonnet．)公式]．

　

天文学

　

　　高斯曾在给 W．波尔约的信中说，天文学和纯粹数学是他灵魂的指南针永久指向的两极，表明天文学在高斯心目中的地位．高斯是在天文学史上的一个重要时期介入这一领域的．在1800年前后，由于技术和光学仪器的进步，以及观测资料的系统积累，已编制出西方天文学界的第一部可靠的天象图，这对发现新天体大有裨益；又由于外行星的发现(1781年发现天王星)，为理论天文学提出了更精确计算行星摄动的问题．
　　1801年1月1日，意大利天文学家 J．皮亚奇(Piazzi)新发现一颗亮度为8等的星，到同年2月11日，人们仅观测到它在其轨道上运行了9°，它便行至日光中而无从继续观测．全欧洲的天文学家都期待重新发现这颗现定名为谷神星的小行星．高斯根据拉普拉斯的方法和他在算术-几何平均方面的知识，详细计算了谷神星的星历表，预测了它再次出现的时间和位置．高斯的方法载于《天体沿圆锥曲线的绕日运动理论》，其新思想是充分利用半径向量扫过的扇形面积与相应三角形的比值．高斯不必事先假设被观测天体的运行轨道是椭圆还是双曲线，只要根据三次完全观测(即包含时间、赤经和赤纬的观测)就能算出运行轨道的特性．高斯方法的普适性使得整个计算比前人针对不同天体使用不同的特殊方法要复杂，但它对新发现的星体轨道的计算有本质的优越性，特别是当观测资料像初次发现谷神星那样十分匮乏时(此时很难区分该星是彗星还是行星)．高斯的方法遂成为计算天文学的经典．
　　在上述著作中，高斯首次发表他的最小二乘法，这是他整理观测数据必不可少的工具．1812年他在致拉普拉斯的信中称，自1802年起几乎每天用最小二乘法计算新的行星轨道．在1803年他还和阿尔伯斯讨论过这种方法，高斯的遗稿证实了上述说法．可见高斯和勒让德同为此方法的独立发明者，不存在剽窃问题．
6 u( [; T, D/ @- \' l　　高斯在“确定行星对任意点的引力……”以及一些手稿中，继牛顿和拉普拉斯创立天体摄动学说后，提出了一种分析摄动问题的具体模型，即将行星质量假想为按一定方式分布于整个运行轨道上，据此计算星体间的互相影响，探讨了长年摄动问题，对摄动理论做出了基础性贡献．
　　高斯对实用天文学的贡献除积累了几十年的观测资料，预报新发现的小行星轨道外，还自制天文仪器六分仪，为提高观测精度而从事几何光学研究，改进了望远镜的质量．

　

测地学

　

' P! p0 e9 j/ \. Q, a　　高斯在实施汉诺威公国的测地计划的实测工作中，使用传统的三角测量法，即从长度精确测定的基线出发，选定一个三角形网络将所测的地域覆盖．各三角形的顶点的选取，至少应能保证从两个方向上对其进行目力观测．测出各三角形内角的精确值是提高测地精度的关键．由于地形千变万化，仪器精度不高，使实测工作费时费力；测量时不可避免的随机误差也给数据处理提出了新课题．高斯首先设计了日光反射信号器以提高观测精度．该仪器的主要部件是一面能旋转的镜子，配以必要的光学仪器(如小望远镜)，它在测量时既可作为发光的被测目标，又可用于传递信息，成为三角测量的标准仪器．借助这一发明，高斯能进行远距离的观测(反射光在15英里远处仍相当于一等星的亮度)，即使在天空有云，无直射阳光照射的条件下仍能保证观测继续进行．这一仪器到1840年才为其他人改进．高斯还曾设想用100个平面镜(每个为 1.5×1.5平方米)制作巨大的反射器，它可将日光反射到月球表面，如果能把天文学家送上月球，他们就能根据反射光轻而易举地决定经度差．
7 E3 @; y6 V! L' R! T　　在测地的理论工作方向，高斯依据前述保形变换的一般理论，给出了平面到平面、球面到平面和旋转椭球面到球面的保形映射实例．他还在《……格丁根与阿尔唐纳两天文台之经度差》一文中，首次提出可将地球表面视为在其上每点与重力方向相垂直的几何面，以后发展出他的位势理论．高斯的测地工作总结于他的论文“高等测地学研究”(Untersuc
　　高斯的工作后为德国测地学家所发展，著名的高斯-克吕格尔(Krueger)投影即是其一，它是横向墨卡托(Mercator)投影的推广．
　　曾有人对高斯花费巨大精力于野外测量表示婉惜．贝塞尔于1823年就劝告他放弃实地观测，以免虚度年华．高斯回信说：“世上所有的测绘与度量，确实比不上哪怕是将科学真理向前推进一步来得有份量．”但他觉得“不可能凡事都用一种绝对的标准去衡量”，还“应该考虑相对的价值．”无论如何，高斯觉得他为国家做了一件实际有效的工作而感到宽慰，况且因此而获得的津贴彻底改善了他的经济状况．

　

物理学

　

! R! R' O& r2 n! V* j5 ~) N5 E  N8 u　　高斯在物理学方面的第一项成果是于1829年提出的力学中的最小约束原理：一个系统的运动将尽可能少地偏离其自由运动的状态，偏离的程度由各部分质量乘其偏离自由运动路径的距离平方的总和来度量．这是著名的达朗倍尔原理的一种新的等价形式，它明显跟最小二乘法有关，高斯则自称这项成果受益于对毛细现象的研究．后者的成果总结于1830年那篇“论平衡状态下流体性质……”的文章，其中有涉及重积分、边界条件和可变积分界限的变分问题的漂亮解答，给出了平衡流体理论的一个基本定理．高斯说他对流体性质的研究是纯理论性的，属于理论物理学的一种练习，是想看看到底有哪些数学能用于说明自然现象．
% g6 H+ V7 o" P+ G( k, x  ~8 I% {　　高斯在物理学上的惊人之举是和韦伯合作发明了世界上首例电磁电报．其理论依据来自 H．C．奥斯特(Oersted)发现的电流会使磁针偏转(1820)和 M．法拉第(Faraday)发现的感应电流．他们的电报装置，一端(发报机)是可沿磁棒移动的感应线圈，另一端(收报机)是线圈及用细线悬挂的磁针，中间以导线将两端线圈联成回路(带开关)．利用感应线圈的移动和开关的开断，可产生磁针朝两个方向(向左←或向右→)的偏转，即传递两种信号．高斯和韦伯规定了字母与偏转方向间的对应关系．如G对应于←，→，→；N对应于→，←；S对应于←，←，→等等．1833年的第一份电报内容是“Michelmann Kommt”(“米舍尔曼来了”，此人是协助他们架设电报装置的机工)，共使用了40次磁针偏转，通报距离约1公里．高斯和韦伯在1833—1845年间常用这部电报机在天文台和物理实验室间互通短小的信息．电报机于1845年毁于雷击．高斯认识到电报在战争及经济活动中的重要性，曾建议政府广泛使用，但未获成功．
　　高斯和韦伯合作的地磁学研究达到了更深的理论层次．洪堡的全球地磁观测计划，目标是测定地磁强度、磁偏角和磁倾角随时间和地点的变化，以建立令人满意的地磁理论．高斯首先为磁的度量确立了一套“绝对单位制”(1832)．他的基本想法是磁(他称作磁流)能够而且应该以其效应来度量，他定义单位“磁流”为如下强度的力：以单位磁强排斥相隔一单位距离的另一单位“磁流”．他选定力学中度量长度、质量和时间的惯用单位毫米、毫克和秒为基本单位，借助库仑定律将它们引伸到磁学(以至静电学)中，确立了度量磁场强度的标准，韦伯运用这一思想建立了电动力学的绝对单位制．他们的这套单位制在1881年经适当修改后为国际物理学界所接受，即所谓的厘米·克·秒单位制，高斯的名字被选作磁场强度和磁感应的单位名称．
8 A/ [- K4 a; M# D5 a: J3 L　　在《地磁的一般理论》中，高斯进一步定义了磁位势，若以μ代表
证了为什么只有两个磁极，并讨论了磁场线的解析定义．高斯提出的一种新的确定磁力的水平分量的强度和倾角的方法成为实验家的有力武器．在计算磁位势时，高斯用球函数的一个无穷级数表示地球表面上任一点处的磁位势，并利用世界各地磁观测站提供的数据对级数前24项系数进行估值，由此不难算出在任意点处的磁位势．高斯的地磁学研究是他的测地工作的补充，为当时正兴起的对地球进行科学的描述提供了数学的理论和方法．
( G# W- N  Q0 M5 B( |　　高斯一生中多次关注过几何光学的理论问题，为消除光学仪器的色差，他提出将不同质地的凸透镜与凹透镜组合使用，即所谓的高斯物镜，它不仅可用于望远镜，也可用于显微镜．《光的折射研究》(Dioptrische Untersuchungen，1840年完成，1843年出版)是高斯主要的光学著作，他分析了光通过一组镜片的路径，证明了任一组镜片可等价于适当选择的单个镜片．

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格 林

中国科学院数学研究所 李文林

& H' M) m6 P1 o# R! p　　格林，G．(Green，George)1793年6月或7月生于英国诺丁汉郡；1841年5月31日卒于诺丁汉郡．数学．
　　1793年7月14日，英国诺丁汉郡圣玛丽教堂的命名登记簿上增加了当地面包师G．格林(Green)与其妻莎拉(Sarah)新生男婴的名字——与父亲同名的乔治．格林的具体生日不详，据命名日估计应在当年6月1日与7月14日之间．格林8岁时曾就读于R．古达克尔(Goodacare)私立学校．
& R$ A/ e; z2 P  O5 |　　据格林的妹夫W．汤姆林(Tomlin)回忆，格林在校表现出非凡的数学才能．可惜这段学习仅延续了一年左右．1802年夏天，格林就辍学回家，帮助父亲做工．19世纪初的诺丁汉郡正处于上升时期．编织业的发达，造成了人口的密集，与拿破仑的战争又促使小麦生意兴隆．1807年，格林的父亲在诺丁汉近郊的史奈登(Sneiton)地方买下一座磨坊，从面包师变成了磨坊主．父子二人惨淡经营，家道小康．但格林始终未忘他对数学的爱好，以惊人的毅力坚持白天工作，晚上自学，把磨坊顶楼当作书斋，攻读从本市布朗利(Bromley)图书馆借来的数学书籍．布朗利图书馆是由诺丁汉郡有影响的知识界与商业界人士赞助创办的，收藏有当时出版的各种重要的学术著作以及全套《皇家学会哲学学报》(Philosophical Transactions of Royal Society)．对格林影响最大的是法国数学家P．S．拉普拉斯(Laplace)、J．L．拉格朗日(Lagrange)、S．D．泊松(Poisson)、S．P．拉克鲁阿(Lacroix)等人的著作．通过钻研，格林不仅掌握了纯熟的分析方法，而且能创造性地发展、应用，于1828年完成了他的第一篇也是最重要的论文——“论数学分析在电磁理论中的应用”(An essay on theapplication of mathematical analysis to the theories of electri－city and magnetism)．这篇论文是靠他的朋友们集资印发的，订阅人中有一位E．F．勃隆黑德(Bromhead)爵士，是林肯郡的贵族，皇家学会会员．勃隆黑德发现了论文作者的数学才能，特地在自己的庄园接见了格林，鼓励他继续研究数学．
; {2 a+ X, l" s6 l　　与勃隆黑德的结识成为格林一生的转折．勃隆黑德系剑桥大学冈维尔-凯厄斯(Gonville－Caius)学院出身，同时又是剑桥分析学会的创始人之一．他建议格林到剑桥深造．1829年1月，格林的父亲去世，格林获得了一笔遗产和重新选择职业的自由，遂将磨坊变卖，全力以赴为进入剑桥大学作准备．这期间他又完成了三篇论文——“关于与电流相似的流体平衡定律的数学研究及其他类似研究”(Mathematical investigations concerning the lawsof the equilibrium of fluids analogous to the electric fluidwith other similar research，1832．11)、“论变密度椭球体外部与内部引力的计算”(On the determination of the exterior andinterior attractions of ellipsoids of variable densities，1833．5)和“流体介质中摆的振动研究”(Researches on the vibration ofpendulums in fluid media， 1833．12)，均由勃隆黑德爵士推荐发表．1833年10月，年已40的格林终于跨进了剑桥大学的大门，成为冈维尔-凯厄斯学院的自费生．经过4年艰苦的学习，1837年获剑桥数学荣誉考试(Mathematical Tripo)一等第四名，翌年获学士学位，1839年当选为冈维尔-凯厄斯学院院委．正当一条更加宽广的科学道路在格林面前豁然展现之时，这位磨坊工出身的数学家却因积劳成疾，不得不回家乡休养，于1841年5月31日在诺丁汉病故．
　　格林生前长期与磨坊领班W．史密斯(Smith)的女儿简(Jane)同居，但始终未正式结婚．最初可能是由于他父亲反对这门婚事，后来则因剑桥冈维尔-凯厄斯学院院委资格只授予单身汉，格林为了事业只好放弃正式结婚的打算．格林去世后，简被承认为其合法遗孀，人们都称她为“格林夫人”，他们生有两个儿子、五个女儿．
　　格林短促的一生，共发表过10篇数学论文，这些原始著作数量不大，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想．
4 K7 H( G6 [* D6 K- G, S7 T　　格林是现代位势理论的先驱与奠基人之一．拉普拉斯在引力计算、泊松在电磁问题中都曾用过这样的函数V，它同力场分量(X，Y，Z)的关系为

　　拉普拉斯同时指出函数V满足方程

1 V0 b. Z9 j7 X9 ^( v, o　　并采用球调和方法来解此方程．但拉普拉斯和泊松的方法都仅适用于特殊的几何形体，因此有必要发展更一般的理论，这正是格林的工作与前人不同的地方．
1 P. y$ P1 Y6 V' ^　　格林认识到函数V的重要性，并首先引进了“位势函数”这一名称，他在第一篇论文“论数学分析在电磁理论中的应用”中写道：
/ `- y9 b: v0 L& B% Z' q　　“这样的函数以如此简单的形式给出电荷基元在任意位置受力的数值．由于它在下文中频繁出现，我们冒昧地称其为属于该系统的位势函数，它显然是所考虑的电荷基元P的座标的函数”．
8 Z9 ^; A* o3 q' L% F' r　　格林接着便发展了位势函数V的一般理论，特别是建立了许多对于推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中尤以现用他的名字命名的“格林公式”与“格林函数”最为著名．设有函数U与V，在以曲面σ为边界的区域τ内充分光滑．格林从体积分

" `/ t0 C; V, W7 F9 j# Z; ]6 f0 L　　出发，应用分部积分法推导得

　　以上采用的是格林的原始记号，其中dσ为曲面σ的微元，dω为σ的内法线段微元，而

　　
2 i$ b! V; ~2 u　　公式(或称格林定理)．用现代记号表示则相当于

8 G8 a3 R2 {: g( A　　格林还进一步探讨了U，V在τ内有奇点的情况，提出格林函数的概念．这是一种带奇性的特殊位势U，满足方程δU=0，且“仅在曲面
的距离”．格林同时假设U在曲面本身上恒等于零．用现代记号表示，格林函数G(r，r′)满足条件：

0 u8 X  k/ ]( U: r' F　　且有

5 d$ T0 i! o( h　　以及

G(r，r′)= 0(当r∈σ)．

1 b5 W, h4 q, U) u( j　　格林未给出函数U的存在与唯一性证明，但却阐述了其物理意义：“为了说明确实存在所述函数U，我们设想曲面是一个接地良导体，在点p′上置一单位正电荷，则由p′及其在曲面上引发的电荷所产生的总位势将等于所要求的U的值”，而“U满足前述论证中所赋予的一切性质”．
. H5 U$ s/ s' T: p　　格林公式与格林函数已成为现代分析的基本工具，格林函数更被日益广泛地应用于现代物理的许多领域，如量子碰撞、基本粒子理论与固体物理等．
5 Z7 m1 z# p6 w% A1 x: |  y" w　　格林对于波动的数学理论有浓厚的兴趣并发表了多篇论文，其中最重要的是关于光波的研究．光的波动的数学描述，在19世纪数学家中一直是一个时髦的课题．在格林时代，科学界所持的一种普遍意见是把光看作弹性固体以太的振动，例如A．L．柯西(Cauchy)在光以太研究中采用了吸引与排斥形式相互作用的机械模型．格林对柯西和其他学者对以太中力的性质作特殊假设的做法持批判态度，他在论文“论光在两非晶介质公共面上的反射与折射定律”(On the laws of reflexion and refraction of light at the common surface of two noncrystallized media，1837)中深刻地指出：
, q+ l1 X+ F) o2 D- Y2 Z　　“我们对于发光以太元之间相互作用的方式知道得如此少，因而最可靠的办法还是以某种一般的物理原理作为推理的基础，而不要去作特殊的假设．”
　　格林接着表述他所说的“一般原理”如下：
　　“任一物质系统的元素间不论以何种方式相互作用，若以所有的内力分别乘以相应的方向元，则对该物质系统的任一指定部分，此乘积的和永远等于某函数的恰当微分．”
6 q1 f4 R4 _  G) I3 z　　这实质上相当于能量守恒原理．格林是第一个将这种一般形式的守恒原理引入弹性力学的学者．他由此出发导出了描述光媒质振动规律的偏微分方程．在格林写成他的光学论文时，M．法拉第(Faraday)的电磁感应刚发现不久，格林关于光波的数学研究还不具备突破机械以太观的条件，但他选择一般数学原理作为推导光媒质运动方程的基础而避免对以太的力学性质作人为的假设，说明他在这方面比同时期的其他数学物理学家要高出一筹．格林的光波研究对弹性力学的发展亦有重要意义．现代弹性理论中的一种应变张量就被称为“格林张量”．
　　格林关于水波的研究也引起人们的注意．1337年，英国工程师 S．罗素(Russell)首先观察到一种叫“孤立波”(solitarywave)的现象．罗素于1844年第二次在不列颠科学协进会上作浅水波问题报告时，曾埋怨数学家们未能预报与描述他所观察到的现象．然而在此之前，格林已发表了两篇这方面的论文，其中第一篇“论具有较小深度与宽度的可变渠道中波的运动”(On themotion of waves in a variable canal of small depth andwidth，1837)几乎是与罗素的第一份报告同时发表，格林在其中导出浅水波方程为：

. \! X, E5 h+ g7 ^4 n# ?( Z　　其中φ为水平面对平衡位置的位移，2β，2γ分别表示矩形截面渠道的宽与深，它们是x的函数．为了解上述方程，格林作变换：φ=Af(t+X)(A和X均为x的函数)．将 A，β，γ写成 ωx的函数，设含ω2的项可忽略不计，则变换后原方程化为两个方程：一个是关于函数A的方程，另一个是关于函数X的方程．分别解出这两个方程，得到浅水波方程的解为：

: B) _/ x4 q8 Z# B　　其中f与F是任意函数．经过比较不难看出，格林的上述方法与现代孤立波理论中普遍使用的所谓WKB方法是一致的．
　　格林在他的第二篇浅水波论文“关于渠道中波的运动的注记”(Note on the motion of waves in canals，1839)中，利用前述理论讨论深度为c的渠道波的速度，获得了与实验数据相符合的近似公式．
: K  g* m8 _  W8 V2 }　　目前所知的第一个非线性孤立波方程是由D．J．科特维克(Kotteweg)与G．德 弗里斯(De Vries)在1895年给出的．但如果调查一下19世纪水波方面的文献，可以清楚地看出一条线索，说明科特维克与德弗里斯的理论是前人一系列研究的结晶，而格林的工作则处于这条线索的开端．格林无疑是历史上最早试图从数学上描述孤立波现象的数学家．
- e0 C/ }( W+ i" t) w5 e+ j　　格林的著作中还包含许多其他的贡献，它们的意义与影响还有待进一步探讨．n维空间的概念是H．格拉斯曼(Grassmann)于1844年首先提出的．但在格林著作中已出现高维几何的思想．格林1833年完成的论文“论变密度椭球体外部与内部引力的计算”，率先发展了n元函数分析，其中使用s个坐标{x1，x2，…，xs}来代替通常的三维欧氏坐标，并使用s维球体与椭球体作为相应的三维图形的推广．
$ I7 x( t6 U# A1 t4 ^5 g" n8 J　　现代分析中扮演重要角色的所谓狄利克雷(Dirichlet)原理，溯其源亦为格林首创．在上述同一篇论文中，格林假设积分(用格林的原始记号)

( T- O7 ]! m( j( b# Z# X, k　　存在一个极小化函数V0，并指出V0满足方程

$ F; V# v" Z  @& Z$ C( z　　这正是s维情形的狄利克雷原理．W．汤姆生(Thomson，即后来的凯尔文勋爵)在1847年也阐述了同样的原理，而他对格林的工作是十分熟悉的．
5 b! d2 _3 V( k# z　　格林的工作孕育了以汤姆生、G．G．史托克斯(Stokes)和J．C．麦克斯韦(Maxwell)等人为代表的剑桥数学物理学派．现代数学物理仍然可以从格林著作中汲取营养．然而这位靠自学成才的数学家生前却默默无闻．他的第一篇论文因未正式发表几乎濒于失传．汤姆生在剑桥当学生时，从一篇论文的文献索引中了解到格林这篇文章的题目，四处寻觅原作而不得．1845年，汤姆生从剑桥毕业，在行将离校的前夕将此事告诉了一位叫霍普金斯(Hopkins)的私人数学教师．出乎他的意料，霍普金斯细心收藏着格林这篇著作的传本．汤姆生带着这篇著作踏上了赴法国考察的旅途，并在巴黎向 J．刘维勒(Li ouville)和C．F．斯图姆(Sturm)介绍了格林的论文，二者阅后立即意识到该文的价值，认为格林已为位势论及其应用奠定了完整的基础．后来，在德国数学家 A．L．克勒尔(Crelle)赞助下，格林这篇论文终于在他去世十年后在克勒尔主编的《纯粹与应用数学杂志》(Jour．für Rei．undAug．Math．)上正式发表(1850)，汤姆生并为此撰写了介绍格林生平与工作的导言．1871年，剑桥冈维尔-凯厄斯学院院委N．M．费勒(Ferrers)编辑的《格林数学文集》(Mathematical papers ofthe late George Green)在伦敦出版，格林的工作受到了越来越多的重视．今天，格林度过他艰苦自学岁月的磨坊依然存在，到诺丁汉访问的人，很远就可以看到它耸立的风轮．诺丁汉市决定维护好格林遗址，作为对这位磨坊工出身的数学家的永久纪念．

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李

许以超

(中国科学院数学研究所)

　　李， M． S．(Lie，Marius Sophus)1842年12月17日生于挪威努尔菲尤尔埃德；1899年2月18日卒于挪威克里斯蒂安尼亚(今奥斯陆)．数学．
　　李在家中是六个孩子中最小的一个，小学和中学毕业后，从1859年到1865年就读于克里斯蒂安尼亚大学，学习数学和科学．毕业后，担任家庭教师，这时他对天文有些兴趣，又想去学机械，直到1868年，在一个极偶然的机会，他看到了J．V．彭赛列(Pon－celet)和J．普吕克尔(Plücker)的论文，才使他走上了数学工作的道路．普吕克尔提出了射影空间的概念，即打破了传统，不用空间中的点而用空间中直线为元素，构成新的空间，研究它们的几何性质．在当时，这种新的思想，深深地吸引了他，使得他去考虑其他类型的空间，从而成为李群这个学科的创始人．所以他虽然从来也没有见过普吕克尔，但总是声称自己是普吕克尔的学生．
7 L8 K9 c' ~0 G0 }( J5 _/ J　　李的早期工作属于微分几何范畴．他的第一篇论文，使得他获得了国外的奖学金．在1869年秋，他来到柏林．在那里，他和F．克莱因(Klein)交上了朋友．(克莱因比李小7岁，和李一样，也是受了普吕克尔的影响而对几何感兴趣，但是普吕克尔是克莱因的老师．)他们两人具有迥然不同的风格．克莱因是一个代数学家，他常常被迷人的问题的特殊性所倾倒，而李却是一个分析学家，他常常撇开特殊情况，而力图用适当的一般性来理解问题．然而他们两人之间的友谊，对他们两人在数学上的进步却是非常关键的．
　　1870年夏天，李和克莱因一同到了巴黎，他们结识了G．达布(Darboux)和C．若尔当(Jordan)．这时，李受法国analla-gmatic学派思想的影响，发现了他的著名的接触变换．应用于曲面情形，这种变换将直线映为球，将主切曲线映为曲率线．
7 Y. m1 G" M  U' ?/ u/ ~　　这年7月，法国和普鲁士间爆发了战争．8月，他决定步行到意大利，但是在枫丹白露附近，他被误会为间谍而抓了起来，过了一个月，才被达布营救出狱，他转道意大利，再回到德国．
8 {; X+ G9 H6 A" t% ?: |　　1871年，李得到了克里斯蒂安尼亚大学的奖学金，同时在中学母校中做兼职教员．1872年，他在克里斯蒂安尼亚大学获得了博士学位．这期间，他和A．迈耶(Mayer)同时独立地建立了偏微分方程的积分理论，这个理论现在已经成为普通教科书的内容之一，在李获得博士学位后，他在克里斯蒂安尼亚大学主持了一个数学讲座．
　　大概在1870年左右，群论成为当时数学研究的主流之一．到1872年，克莱因发表了他的著名的埃朗根纲领，即几何学是研究空间中图形在一已知变换群之下不变的性质的学科．受他的影响，李从1873年开始，从研究接触变换的不变量转向了研究变换群理论．这是他最有成就的研究领域．他考虑n维空间中依赖于r个参数的光滑映射所构成的群，他命名为有限连续群(有限是指依赖于有限个参数，连续实际上是指光滑)，这个理论在19世纪70年代已经做好了奠基工作，但是发表得比较迟．
5 u/ ]5 J9 p7 j  f: C0 m5 J& D3 E0 D　　在1873年，李还和P．L．M．西罗(Sylow)一起，担任了N．阿贝尔(Abel)遗著的编辑工作．
　　李在1874年和安娜·伯奇(Anna Birch)结婚，婚后生有二子一女．
　　直到1876年，他又回到微分几何方面的研究，同年他和GO．萨斯naturvidenskab”．
　　在1882年，由于G．H．阿尔方(Halphen)和利格尔(Legu-erre)在微分不变式方面的文章，促使他再次转向变换群的研究．
　　在克里斯蒂安尼亚大学的十多年中，李非常孤立，学生们对他的研究工作不感兴趣．在国外，除了克莱因、迈耶和C．E．皮卡(Picard)外，也没有人注意他的工作，例如，在《进展》(Fortschri-tte)杂志中关于李的工作的报道是由李本人写的，这实际上是一种反常现象．直到F．恩格尔(Engel)的到来，才逐渐打破了这种状态．其原因在于，李的思想被隐藏在他的极复杂的表达和算式中，李不善于抽象提炼，也是受了当时时代潮流的影响太深之故．
　　1884年，恩格尔刚拿到博士学位，于是克莱因和迈耶劝他到克里斯蒂安尼亚大学向李学习变换群，并且帮助李写一本关于变换群方面的综合性著作．恩格尔在李处工作了9个月，由于恩格尔的努力，这部巨著终于完成了，后来，从1888年到1893年分三卷出版．
　　到1886年，克莱因回到格丁根大学任教，在他的推荐下，李受聘去德国莱比锡继任讲座职务．在这里，李的工作的影响扩大了．而克莱因和J．H．庞加莱等人不断地鼓励学生到莱比锡学习这种新数学．所以继恩格尔后，又有了一批学生，其中之一为G舍费尔斯(Scheffers)．李和他一起出版了有关变换群、微分方程和接触变换的局部几何方面的教科书．这时，李的工作方向为亥姆霍兹空间问题．这是1868年由H．von亥姆霍兹(Holmholtz)提出来的．1890年，李发现了亥姆霍兹的文章有问题，经过改进，成了现在的所谓亥姆霍兹-李空间问题．
　　不幸的是，李在1889年得了当时称之为神经衰弱的病，在精神病医院治疗后，从1890年开始继续工作．但是他的性格有了很大的变化，尽管他的名望甚高，他仍然变得很多疑和敏感．
  X( ?. B9 T5 W+ j/ ?1 Z* B　　直到1898年，他的挪威朋友劝他回祖国工作，他毅然放弃他在当时世界数学中心——德国的第一流的讲座职务，在9月回到了克里斯蒂安尼亚大学作一个普通教授．在那里，专门为他设立了一个数学讲座．1899年，他因恶性贫血而去世，享年55岁．他的所有著作由恩格尔和P．希加德(Heegaard)编辑成册，并且加上了很好的注解．
　　李群及其李代数是20世纪重要学科之一．李群是一个群，又是一个光滑流形，且乘法运算和取逆运算关于流形结构而言是光滑的．李代数是一个具有换位运算(记作[，])的线性空间，它适合条件[a，b］=－[b，a]，[λa+μb，c]=λ[a，c]+μ[b，c]，[[a，b]，c]+[[c，a]，b]+[[b，c]，a]=0，其中a，b，c为向量，λ，μ为数．
2 ]- V$ Q( w, L- |4 ~6 H2 a　　由于在1935年H．外尔(Weyl)给出流形的严格定义前，不可能用别的办法理解李群，实际上，李发现的是局部李群，他首先建立了局部李群和它的李代数间的三个基本定理和逆定理．记U为n维立方体，U中点x和y间可定义乘法x·y=f(x，y)，只要f(x，y)∈U．在容许情况下有结合律，又原点为单位元素，且对x∈U，存在y∈U使
　　理说乘法函数f(x，y)适合普法夫(Pfaff)方程组

　

　　

　　则有泊松(Poīsson)括号

　

　

　　　

　

　　

　

　　此即以X1，…，Xn为基之n维线性空间在柏松括号下构成李代数．于是李引进了局部李群U的李代数．反之，三个基本定理之逆是极其出人意料之外的．它告诉我们，随便给出一个有限维李代数，即给出适合条
　　普法夫方程组(1)，且f(x，y)定义了一个局部李群．所以李的基本定理给出了局部李群和李代数间的充分必要关系．用现代语言来说，李代数完全决定了李群的局部性质．从这个基本定理出发，就把局部李群的问题，化为纯粹且相对简单的代数问题．
3 v; c; j9 X# n1 [　　实际上，李群理论的第一步就是弄清和它的李代数的关系，引进单参数子群．所以李的奠基性工作，使得这个学科能够建立起来．李的另一个工作是希望建立微分方程求解的伽罗瓦(Galois)理论，虽然他未能成功，但是他给出了著名的李定理：线性可解李代数的任一表示有公共特征向量．
2 C! }8 w! l% i/ S$ ]2 y9 q　　李实际上是微分几何和偏微分方程学家．他具有几何直觉的天赋．李在李变换群方面的工作，给数学展开了一个新的天地．从一开始，李群就和分析、代数及几何密切相关．
% s+ L( ~/ ^* q3 s+ [1 a　　李在李变换群方面的工作，由他的学生恩格尔，W．基灵(Killing)，舍费尔斯，舒尔(Schur)，E．嘉当(Cartan)继承和发展．特别是嘉当，继承了李的各个方向，成为20世纪最著名的几何学家之一．到1922—1923年，韦尔在紧李群方面的系统工作，以及在韦尔明确提出流形的概念后，李群才发展成当代重要的学科之一．它在数学的各个分支，在理论物理及其他众多学科中，都得到了大量的应用．

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康托尔

* o) |% \3 \3 M) e  X0 {" f　　康托尔， G．F．L．Ph．(Cantor，Georg FerdinandLudwig Philipp)1845年3月3日生于俄罗斯圣彼得堡；1918年1月6日卒于德国萨克森的哈雷．数学、集合论．
　　康托尔的祖父母曾居住在丹麦的哥本哈根，1807年英国炮击哥本哈根时，他们家几乎丧失了一切，随后迁往俄罗斯的圣彼得堡，那里有康托尔祖母的亲戚．康托尔的父亲乔治·魏特曼·康托尔(George Woldemar Cantor)年轻时，曾在圣彼得堡经商．后来，在汉堡、哥本哈根、伦敦甚至远及纽约从事国际买卖．1839年由于某种原因破产了．但不久，他又转到股票交易上，并很快取得了成功．1842年4月21日，魏特曼与们婚后有六个孩子，康托尔是他们的长子．1856年，康托尔随同全家移居德国的威斯巴登，并在当地的一所寄宿学校读书．后来在阿姆斯特丹读六年制中学．1862年，开始了他的大学生活．他曾就学于苏黎世大学、格丁根大学和法兰克福大学．1863年，他父亲突然病逝，为此，康托尔回到了柏林，在柏林大学重新开始学习．
　　在那里，他从当时的几位数学大师K．W．T．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、E．E，库默尔(Kummer)和L．克罗内克(Kro-nechen)那里学到了不少东西．特别是受到魏尔斯特拉斯的影响而转入纯粹数学．从此，他集中全力于哲学、物理、数学的学习和研究，并选择了数学作为他的职业．可是，最初他父亲并不希望他献身于纯粹科学，而是力促他学工．但是，康托尔越来越多地受到数学的吸引．1862年，年轻的康托尔做出了准备献身数学的决定．尽管他父亲对他的这一选择是否明智曾表示怀疑，但仍以极大的热情支持儿子的事业．同时还提醒康托尔要广泛学习各科知识，他还极力培养康托尔在文学、音乐等方面的兴趣．康托尔在绘画方面表现出的才能使整个家庭为之自豪．
* q( N4 `' _* G5 E　　由于康托尔一开始就具有献身数学的信念，这就为他创立超穷集合论，取得数学史上这一令人惊异的成就，奠定了基础．尽管19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责，但是他不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫了超穷集合论．也正是这种坚定、乐观的信念使康托尔义无反顾地走向数学家之路并真正取得了成就．
2 x7 W0 t8 ~' h( C4 j, `, z1 E) ~　　1866年12月14日，康托尔的第三篇论文“按照实际算学方法，决定极大类或相对解”(In re mathematica ars proponendlpluris facienda est quam solvendi)使他获得了博士学位．这时，他的主要兴趣在数论方面．1869年，康托尔在哈雷大学得到教职．他的授课资格论文讨论的是三元二次型的变换问题．不久，任副教授，1879年任教授，从此一直在哈雷大学担任这个职务直到去世．1872年以后，他一直主持哈雷大学的数学讲座．
1 D8 L3 @" [0 E! B2 j2 d8 y　　在柏林，康托尔是数学学会的成员之一．1864—1865年任主席．他晚年积极为一个国际数学家联盟工作．他还设想成立一个德国数学家联合会，这个组织于1891年成立，康托尔是它的第一任主席．他还筹办了1897年在苏黎世召开的第一届国际数学家大会．1901年，康托尔被选为伦敦数学会和其他科学会的通讯会员或名誉会员，欧洲的一些大学授予他荣誉学位．1902年和1911年他分别获得来自克里斯丁亚那(Christiania)和圣安德鲁斯(St．Andrews)的荣誉博士学位．1904年伦敦皇家学会授予他最高的荣誉：西尔威斯特(Sylvester)奖章．
( N+ F/ E4 ?" C! _- y% V* o, s. ^# \　　1874年初，康托尔经姐姐G．索菲(Sophie)介绍，与瓦雷·古德曼(Vally Guttmann)订婚，并于同年仲夏结婚．他们共有五个孩子．那时，哈雷大学教授的收入很微薄，康托尔一家一直处在经济困难之中．为此，康托尔希望在柏林获得一份收入较高、更受人尊敬的大学教授的职位．
　　然而在柏林，康托尔的老师克罗内克几乎有无限的权力．他是一个有穷论者，竭力反对康托尔“超穷数”的观点．他不仅对康托尔的工作进行粗暴的攻击，还阻碍康托尔到首都柏林工作，使康托尔得不到柏林大学的职位．由于他的攻击，还使数学家们对康托尔的工作总抱着怀疑的态度，致使康托尔在1884年患了抑郁症．最初发病的时间较短，1899年，来自事业和家庭生活两方面的打击，使他旧病复发．这年夏天，集合论悖论萦绕在他的头脑中，而连续统假设问题的解决仍毫无线索．这使康托尔陷入了失望的深渊．他请求学校停止他秋季学期的教学，还给文化大臣写信，要求完全放弃哈雷大学的职位，宁愿在一个图书馆找一份较轻松的工作．但他的请求没有得到批准．他不得不仍然留在哈雷，而且这一年的大部时间是在医院度过的．同时，家庭不幸的消息也不断传来．在他母亲去世三年后，他的弟弟G．康士坦丁(Constantin)从部队退役后去世．12月16日，当康托尔在莱比锡发表演讲时，得到了将满13岁的小儿子G．鲁道夫(Rudolf)去世的噩耗．鲁道夫极有音乐天赋，康托尔希望他继承家族的优良传统，成为一个著名的小提琴家．康托尔在给F．克莱因(Klein)的信中不仅流露出他失去爱子的悲痛心情，而且使他回想起自己早年学习小提琴的经历，并对放弃音乐转入数学是否值得表示怀疑．到1902年，康托尔勉强维持了三年的平静，后又被送到医院．1904年，他在两个女儿的陪同下，出席了第三次国际数学家大会．会上，他的精神又受到强烈的刺激，他被立即送往医院．在他生命的最后十年里，大都处在一种严重抑郁状态中．他在哈雷大学的精神病诊所里度过了漫长的时期．1917年5月他最后一次住进这所医院直到去世．
　　康托尔的工作大致分为三个时期，早期，他的主要兴趣在数论和经典分析等方面；之后，他创立了超穷集合论；晚年，他较多地从事哲学和神学的研究．康托尔的成就不是一直在解决问题，他对数学最重要的贡献是他询问问题的特殊方法，从而开创了大量新的研究领域．这使他成为数学史上最富于想象力，也是最有争议的人物之一．
　　1874年，29岁的康托尔就在《克雷尔数学杂志》(Crelles Jo-urnal für Mathematik)上发表了关于超穷集合理论的第一篇革命性文章，引入了震憾知识界的无穷的概念．这篇文章的题目叫：“关于一切代数实数Zahlen)．尽管有些命题被指出是错误的，但这篇文章总体上的创造性引起了人们的注意．康托尔的集合论理论分散在他的许多文章和书信中，他的这些文章从1874年开始分载在《克雷尔数学杂志》和《数学年鉴》(Mathemati-sche Annale)两种杂志上．后被收入由E．策梅罗(Zermelo)编的康托尔的《数学和哲学论文全集》(Gesammelte Abhandlangenmathematischen und philosophischen Inhelts)中．1879年至1884年间，康托尔相继发表了六篇系列文章，并汇集成《关于无穷线性点集》四篇直接建立了集合论的一些重要的数学结果．1883年，康托尔认识到，要想对无穷的新理论作进一步推广，必须给出较前四篇系列文章更为详尽的阐述．随后他又发表了第五和第六两篇文章，简洁而系统地阐述了超穷集合论．他在第五篇文章里，还专门讨论了由集合论产生的数学和哲学问题，其中包括回答反对者们对实无穷的非难．这篇文章非常重要，后来曾以《集合通论基础，无穷理论的数学和哲学的探讨》(Grundlageneiner allgemeinen Mannigfaltigkeits lehre，ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen)(以下简称《集合通论基础》)为题作专著单独出版．康托尔最著名的著作是1895—1897年Mengenlehre)(共两卷)．
　　下面分述康托尔的主要工作．
　　1．三角级数
* B1 B& S, d, U7 U, L6 R4 S　　康托尔早年对数论、不定方程和三角级数极感兴趣．似乎是微妙的三角级数激发他去仔细研究分析的基础．与三角级数和傅里叶级数唯一性有关的问题，促使他研究E．海涅(Heine)的工作．康托尔从寻找函数的三角级数表示的唯一性的判别准则开始了他的研究．
　　后来，他在H．施瓦兹(Schwarz)的启发下证明了：假定对同一函数f(x)，存在两个对每个x都收敛到同一值的三角级数表达式，将两式相减，得到一个0的表达式，同样对所有x的值收敛：

0=C0+C1+C2+…+Cn+… (1)

　　
　　1870年3月，康托尔发表了一个关于唯一性定理所需要的初步结果．后来，人们把它叫康托尔-勒贝格(Lebesgue)定理．同年4月，康托尔证明了(pp．80—83)：当f(x)用一个对一切x都收敛的三角级数表示时，就不存在同一形式的另一级数，它也对每个x收敛并且代表同一函数f(x)．在另一篇论文(pp．84—86)中，他给出了上述结果的一个更好的证明．
4 `8 r" U, ~* k* w　　康托尔还证明了唯一性定理可以重新叙述为：如果对一切x，有一个收敛的三角级数

　

　　等于零，则系数an和bn都是零．
- z1 U/ N5 H. i　　1871年，康托尔将这个结果推广到可以存在着有穷多个例外的点．到了1872年，他又将结果进一步推广到无穷多个例外的点([8]，pp．92—108)．
- t8 Q. G/ W3 F7 Z2 c7 o2 w　　为了描述这种点所构成的集合，他引进了点集的导出集的概念．为了说明这些无穷例外点的性质，他以一集合的导出集的性质为标准，对无穷集作了一次分类．
2 ^+ b& N; p- A7 J' e　　2．无穷集的分类(Ⅰ)
　　设给定一集合P，P的一阶导出集为P＇，二阶导出集为P″，…，v阶导出集为P(v)．P为第二种集合，如果

P′，P″…P(v)，…

　　皆为无穷．此处，P′可不包含于P，但P″，，…中的点皆属于P′．P为第一种集合，如果P(v)只含有有穷多个点．
* q! _+ v* R1 z" k　　在第二种集合的情况下，P＇可含有不属于P的点，而高阶导出集并没有引入新点．他还定义P(∞)为包括那些属于一切P(v)的点集，称为“p的∞次导出集”．
0 t4 x; o8 F& O7 y6 V- |　　3．无理数理论
　　由于定义导出集要用到极限的概念，而极限的存在又必须以实数系为前提，因之，康托尔在不预先假定无理数存在的条件下，利用有理数，建立了一个令人满意的无理数理论．他通过“基本级数”(现在我们叫做基本序列或柯西序列)引入了无理数．他的作法与R．戴德金(Dedekind)从几何方面作的处理截然不同．对于有理数，他在1883年的一篇文章([8]，pp．165—204)中说，巳经没有必要去讨论它，因为这方面的工作已经由H．G．格拉斯曼(Grassmann)在他的《算术教本》 (Lehrbuch der Arithmetik，1861)和J．H．T．缪勒(Müller)在他的《一般算术教程》(Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik，1855)中完成了．
+ R1 t  S  k* }2 E　　康托尔在他的《关于无穷线性点集(5)》中，给出了无理数理论较详细的内容．他引进一个新的数类——实数，它既包含有理数又包含无理数．他从有理数序列｛an｝开始研究，这种序列满足：对于任何一个给定的正有理数ε＞0，序列中除去有限个项以外，彼此相差都小于ε，亦即对于任意的正整数m一致地有lim(an+m-an)=0成立．这样的序列叫基本序列．每个这样的序列定义一个实数，记作b．在这篇文章里，康托尔还定义了实数的四则运算和两个实数的不等关系，证明了：实数系是完备的．
　　康托尔进一步得到：任意的正实数r可以通过如下形式的级数来表示：

　　其中系数cr，满足不等式：0≤cr≤r-1．(2)式现在叫做康托尔基数．
" i8 ]; v5 O$ @+ i/ e7 C　　实数系建立以后，可知直线上每一点都有对应的实数．但是，对每一实数，是否直线上都有一相应的点？这必须通过公理才能保证．康托尔在这篇论文里把它作为公理提了出来．因此这条公理又被称为康托尔公理．据此，实数集与直线上的点集就有了一一对应．
　　4．无穷集的分类(Ⅱ)
　　康托尔对无穷集的第二种分类标准是建立在集合论中的．他的这种思想出自1873年11月他给在布伦兹维克的伙伴戴德金的一封交流信中，并在1874年的论文“关于一切代数实数的一个性质”里正式提出．他以“一一对应”为标准，对于凡能和正整数构成一一对应的集合都称为可数集．这是最小的无穷集．不久，康托尔证明了：有理数是可数的；而全体实数是不可数的．
0 b+ o  K* l& E! v/ K　　1873年11月他给出了有理数集合可数的第一个证明([8]，pp．115—118)；但他的第二个证明([8]，pp．283—356)是现在常采用的．康托尔把有理数排列成如下的形式(下图)：在一个半平面上，最上面一排称为第一行，标以数1，从上而下，分别称为第二行，第三行，…，顺次标以数2，3，…．每行正中间为0列，标以数0．从中间开始向右，顺次为1列，2列，…，从0列向左，顺次为－1列，－2列，…等等．在m行n列相交处放置有理数

2 O; o$ P6 q. d& O6 ]0 E/ k　　
集与正整数集构成一一对应．这就证明了有理数集可数．
　　更让人惊讶的是，康托尔还证明了所有代数数的全体所构成的集也是可数的．这里所谓代数数就是满足下面代数方程

a0xn+a1xn-1+…+an=0

: o; {5 Q- I* {& U+ N　　的数，其中ai(i=0，1，2，…，n)都是整数．
6 q4 z' F. i1 `, U7 r$ S　　为了证明这一点，康托尔对任一个n次代数方程指定一个数(叫高)N如下：

N=(n-1)+|a0|+|a1|+…+|an|．

# m+ v2 r% v; ], R2 B  R, A3 ?$ A$ M　　其中ai(i=0，1，…，n)都是这个方程的系数．数N是一个正整数．对每一个N，以N为高的代数方程只有有限个．因此它们的全部解也只有有限个，除去重复的之外，所对应的代数数也只有有限个，设为φ(N)．他从N=1开始，对于所对应的代数数从1到n1给以标号；对应于N=2的代数数从n1+1到n2给以标号；依次下去．由于每一个代数数一定会编到号，并且必与唯一的一个正整数相对应，从而所有代数数的集合是可数的．
　　1873年12月7日，康托尔还成功地证明了实数集和正整数集之间不存在一一对应．他曾给出两个证明，第一个证明在前面提到过的1874年的那篇文章里．第二个证明([8]，pp．278—281)比第一个证明复杂得多，但它不依赖于无理数的技术．今天大多数教科书中采用的是他的第二个证明．其实，他主要证明区间(0，1]中的点不可数．
　　在十进制下，0与1之间的每个实数都可以写成0．p1p2p3…这样形式的无穷小数．并约定将有理数写成无穷小数，如

　

# L! \  g: A8 b  e3 P& v6 m- N8 k/ F7 ?　　假设实数集(0，1]是可数的，将其元素全部枚举出来，得到序列
9 H/ G: `: l9 z7 b. ?7 Z3 \　　a1，a2，a3，…，an，… (3)
+ v% v0 f; N5 [, n# }　　于是正整数集与实数集(0，1]之间可构成一一对应：
8 j5 g" Z- p% j( \$ f! a

4 \5 X9 a1 ]- _  I1 b　　现在构造一个数b=0．b1b2b3…bk…，其中

　

. r4 j# J' R3 K3 j0 a　　则b是0与1之间的其数字都是4或5的一个无穷小数．并且它的第K位数字bk≠pKK，所以b与(3)中任何一个数都不相同．这就是说，数列(3)并没有把(0，1]中的数枚举完．因此，假设(0，1]可数是错误的．故(0，0]不可数．
　　值得注意的是：上述证明中，康托尔在构造数b时，那里的数字4和5并不起什么特殊的作用．只用了b的一种性质：即b的第K位数字bk与(3)式中第K个数的第K位数字pkk不同．其实，与pkk不同的其余九个数字都可以作为bk．在证明中起决定作用的是对角线上的数字pkk．这种证明方法称为康托尔对角线法．
　　在发现了两个不同的无穷集(整数集和实数集)以后，康托尔开始考虑是否还有更大的无穷．他首先想到，平面上的所有的点构成的集合是否就是那更大的无穷．三年之后，他证明了：一条直线上的点和整个Rn(n维空间)中的点可以构成一一对应．这个结果和他始料的相反．1877年6月他写信给戴德金，请审查他的证明，并说：“我见到了，但是简直不能相信它．”(Briefweichsel Cantor-Dedekind，p．34)康托尔关于一直线中的点和Rn中的点构成一一对应的思想是：把单位正方形中的点和(0，1)线段上的点之间构成一一对应．
　　设(x，y)是单位正方形内的一个点．x是(0，1)中的点．设x，y都表示成无穷小数(当为有限小数时，写成9的无限循环)．我们把x和y的小数分成一组一组的，每一组都终止在第一个非零的数字上．例如

　

( [; z# ]' D( |* T2 K# g　　令 z=0.3 01 02 7 4 06 005 8 6 04 …
6 v* m% P; d2 D2 f3 R4 e　　其中各组数字是：先排x的第一组，再排y的第一组，然后排x的第二组，y的第二组，依次下去．如果两个x或两个y有不同的小数位数字，则所对应的两个x不同．这说明(x，y)→z是一对一的．反之，对于任意的z∈(0，1)，把z的小数也像上面那样分组，并把上述过程倒过去使用，作出相应的x和y，则(x，y)是单位正方形中的点，所以上述映射是一一的．但它是不连续的．粗略地说，对应于彼此靠近的x点的(x，y)点不一定靠近，反之亦然．
: {; Y9 o. F3 D- |　　5．点集理论
　　康托尔的点集理论，包含了大量的定义、定理和例子．例如，“闭包”、“稠密集”和“良定义集”等概念．康托尔还把一个闭的并且在它自身是稠密的集合叫“完备的”．他还给出了一个著名的三分集的例子，后来人们把它叫做“康托尔集”，它是一个完备的不连续集．这个集合被定义在[0，1]区间，它的所有点满足公式

　

　　其中Cr取值0或2．
, j$ J, y" \6 G8 \　　他还给出了“处处稠密”集的定义，指出了处处稠密集和导集之间的联系．
　　康托尔点集理论中的第二个重要问题是：讨论无穷集合的基数，并按基数对集合进行分类．他给出了一些很重要的结果．另外，康托尔的可除容度理论使一些数学家感兴趣，并将其应用到微积分的某些定理的推广上．
8 P7 \) ]2 a3 ~) a1 v$ [* y　　6．初等集合论
  V2 ?8 U: {; ?( N/ B0 z) \# t　　康托尔把集合定义为“把我们的感觉或思维所确定的不同对象(称之为集合的元素)汇合成一个总体”(《数学年竖》，1895，pp．481—512)．在他早年的论文中，他有时使用“杂多”(Mannig-faltigkeit)一词代替集合．一个集合包含它的元素(或分子)，反过来这些元素属于集合．一给定集合S的一个子集是：它的所有元素都是S的元素；子集与元素不同，它是S的一部分．一个集合可以用列出它所有元素的方法来表示，如集合｛1，2｝；或者用一个性质来刻画它的元素．在每一种情况下，有相同元素的两个集合A和B，称为相等．记作A=B．至此可以看到，康托尔的集合论类似于G．布尔(Boole)的类理论，但更加复杂．
　　两个集合S和T称之为等价的，如果在它们之间存在一一对应，记作ST．
7 s( r4 t5 Y8 m8 F2 J0 E6 g　　一个集合的基数是一切等价集合所共有而其他集合不具有的东西．集合P的基数被记作．这里两道水平线表示双重抽象．如果P有穷，就是一个自然数；如果P无穷，不是自然数，这个推广可借助对无穷所下的新定义而极易达到．我们说，一个集合是无穷的，当且仅当它能与它的一个真子集一一对应．
　　正如有穷集合的基数可比较，无穷集合的基数也可比较．因为如果任一集合S等价于集合T的某一子集但不等价于T本身，那么S的基数小于T的基数．
　　康托尔还借已知集合定义了构成新集合的并、交、笛卡儿积和嵌入等运算．除此之外，还定义了一种特别重要的集合，叫集合S的幂集．它是S的一切子集的集合(在S的子集中包括S本身和空集)，他常用“S”表示，这里的字母取自德文词Untermenge．现在人们则喜欢用P(S)表示S的幂集．
3 P. b6 p7 W8 `+ \　　引进集合的运算以后，康托尔又定义了基数的一般算术，包括加、乘和幂运算．当考虑无穷集时，由定义所得的结果在许多方面与自然数算术不同．
$ i) \7 B* k& J2 u　　7．超穷数
　　康托尔关于良序集和序数的理论，发表在1879年到1884年的《数学年鉴》杂志上．后来这些文章都被收入题为《关于无穷线性点集(5)》中．
8 K1 B3 n+ \% j7 b' m　　康托尔指出：自然数序列1，2，3，…是从1开始，并通过相继加1而产生的．他把这种通过相继加1定义有穷序数的过程概括为“第一生成原则”．将全体有穷序数集称为第一数类，用(Ⅰ)表示，显然其中无最大元．但康托尔觉得，用一个新数ω来表示它的自然顺序没有什么不妥，这个新数ω是紧跟在整个自然数序列之后的第一个数——第一个超穷序数．从ω出发运用第一生成原则，可以得到一个超穷序数序列：
. S7 f$ b/ H: p$ A　　ω，ω+1，ω+2，…，ω+n，… (4)
　　在(4)里，没有最大数．不妨用2ω来表示它．继续使用第一生成原则，得

2ω，2ω+1，2ω+2，…，2ω+n，…

　　在这一过程中，可以把ω看成自然数(单增序列)的一个永远达不到的极限．不过，康托尔仅仅强调ω是作为紧跟在全体自然数n∈N之后的第一个序数．它比所有的自然数n都大．第二生成原则是：给定任意有特定顺序、但其中无最大元素的集合，可以作为原集合的极限或后继者而得一新序数．
　　反复运用这两个生成原则，就能产生无穷多个序数，如

ω，ω+1，…，n0ωμ+n1ωμ-1+…

+nμ-1ω+nμ，…，ω∞，…

　　等等．它们的全体构成第二数类，记为(Ⅱ)．这些序数的基数都是可数的．接着，康托尔证明了：第二数类的基数不可数，他把这个基数记作，第二数类中也无最大序数．根据第二生成原则，在这些新序数之后又有一新序数ω1．这是第三数类的始数．如此逐步上升可以得到一系列的始序数

ω1，ω2，ω3，…，

+ A- A7 L5 X+ h/ k4 R- |7 w  n　　与其相应的基数为：

1，2，3，…．

, n) t& L$ A; w9 D2 i9 j' s　　如果无限制地使用第一和第二生成原则，第二数类似乎不存在最大元素．为此，康托尔引出了第三生成原则——限制原则．限制原则的目的在于保证，一个新数类的基数大于前一数类的基数而且是满足这个条件的最小数类．
　　值得注意的是，康托尔的超穷数理论，不同于以往数学家们在变量意义下使用的无穷．他说，有穷集和无穷集的重要差别在于：在有穷集的情况下，不论其中元素的顺序如何，所得的序数相同；对无穷集来说，由于元素顺序不同，从一无穷集可以形成无穷多个不同的良序集，因而得到不同的序数．为了强调超穷序数是一种实无穷，是被看作象实数那样具有真实数学意义的数，在这篇文章中，他选用了ω代替∞．他还期望所引进的这些超穷序数能像无理数、复数那样，最终被数学家们所接受．
　　限制原则引进后，康托尔考虑了数集的顺序和它们的基数．他指出：(Ⅰ)和(Ⅱ)的重要区别在于(Ⅱ)的基数大于(Ⅰ)的基数．(Ⅰ)和(Ⅱ)的基数分别称为第一种基数和第二种基数，
, H8 G8 c) J7 I- ?- N　　康托尔在引进超穷基数以及相应的超穷算术的过程中，用了一个很重要的概念——良序集．
( j& ]# D. J% |0 W- y: z　　定义 给定良定义集，如果它的元素按确定的顺序排列．依照这个顺序，存在这个集合的第一个元素，而且对每个元素都存在一个确定的后继(除非它是最后一个元素)．这样的集合称为一个良序集．
　　显然，自然数集是良序的．数类(Ⅰ)与(Ⅱ)都是良序的．良序集的概念对于区别有穷集和无穷集起了重要的作用．
　　接下来，康托尔引进了无穷良序集的编号——它用于刻画给定集合中元素出现的顺序．他还指出，这个新概念赋予超穷数一种直接的客观性．他证明了：给定任何一个可数无穷的良序集，总存在(Ⅱ)中的一个数能够唯一地表示它的顺序或编号．因此，从一个简单的可数集出发，就可以产生不同的良序集，如正整数这个可数无穷集，可以形成序数为

ω，ω+1，ω+2，…，2ω，…，ωω，…

5 C( k3 P3 [: e$ m' T6 r　　等无穷多个良序集．
　　如果两个良序集相似，则它们有相同的编号．因此，给定任意的(Ⅰ)或(Ⅱ)中的数α，按照自然顺序选出先于α的所有元素，则所有与之相似的良序集的编号由α唯一确定．以下三个良序集
　　 ｛α1，α2，α3，…，αn，αn+1，…｝，
  s& a0 ?: F8 s% M3 R2 N+ F　　 ｛α2，α1，α4，…，αn+1，αn，…｝，
9 C% B1 m1 k, Q5 g8 l　　 ｛1，2，3，4，…，n，…｝
　　的编号均为ω．下面的三个良序集
# `5 o5 Q# r+ ~　　｛α2，α3，…，αn，…，α1｝，
　　｛α3，α4，…，αn+1，…，α1，α2｝，
　　｛α1，α3，…，α2，α4，…｝
　　的编号分别为ω+1，ω+2和2ω．
' d; O0 Q$ t* p4 D9 l9 P　　康托尔还用数和编号之间的差别，给出了有穷集和无穷集的新解释．有穷集中不管元素怎样排列，编号总是相同的．有趣的是，具有相同基数的无穷集，其元素的个数相同，也可有不同的良序并产生不同的编号．因此，集合的编号完全依赖于集合无素所选取的顺序．他还强调，有穷集的基数和编号的概念是一致的．对于无穷集，基数和编号之间的区别是重要的．康托尔还把编号看成是计数概念的一种推广．一个无穷集的编号由它的一个超穷数给定．另外，良序的概念还为定义超穷算术提供了基础．
　　8．康托尔定理和边续统假设
( N' u1 K) A6 W$ T" T　　n维空间的点与直线上的点相比，并不是更大的无穷．那么，是否能从已知的无穷集合出发，根据正确的数学运算，构成更大的无穷集呢？康托尔在1891年的论文“集合论的一个根本问题”(ber eine elementare Frage der Mannigfaltig keitslehre)里作了肯定的回答．他用对角线方法证明1899年，康托尔在给戴得金的信中说，1891年论文里的结果可以表示成：2a＞a．这里a为某一集合的基数，不管这个集合是什么，这个命题在康托尔的理论中都具有重要意义．它还被叙述为：一集合的幂集，其基数比原集合的基数大．因此，给定一集合，我们可以通过其幂集来形成一更大的集合；给定一基数，我们可以得到一更大的基数．所以没有最大的集合，也没有最大的基数．给定集合S，用求幂集的方法，可得下面一系列一个比一个大的集合：

S，P(S)，PP(S)，…．

　　 如果S的基数为a，其相应的一个比一个大的基数为：

a，2a，22a，…．

: T( Z$ w7 q- @+ I  E$ d: f: [' W9 J5 g　　以上是用幂集来构成更大集合和更大基数的办法．至此，我们有两个系列的无穷基数．
　　第一系列：0 12，…， (5)
, {8 \/ E' Y8 v+ _9 Z. k$ X　　第二系列：，20，220，…． (6)
; X+ A( W5 h+ n9 t: Z　　第二系列分别表示集合

ω，P(ω)，PP(ω)，…

　　的基数．
　　在康托尔之前，不同的无穷集的大小没有明确的区分；它们都是无穷的，因而所有的无穷集都很大．可是，从康托尔的工作之后，这已变成一个具有明确意义的问题．
　　1878年，康托尔猜想
　　20=1． (7)
" H3 Y5 W8 V( |& D% C2 R2 I7 p# k　　现在人们称康托尔的这个猜想为连续统假设．连续统假设的英文为continuum hypothesis．因此，(7)常缩写成CH．从那时起，康托尔试图作出这样的一个证明而未能成功．1883年他又宣称，他希望不久用一个精确的证明来正确地回答这个问题．一年后，在他的主要著作《关于无穷线性点集(5)》的结尾，他再一次允诺在稍后的续篇中给出这个证明．但是，直到他去世，也没有给出这个证明．基于各种原因，连续统问题是重要的，并且具有挑战性．
　　1900年夏季在巴黎举行的第二次国际数学家大会上，D．希尔伯特(Hilbert)做了题为“数学问题” (Mathematische problem)的著名演说，提出了23个未解决的难题，其中第一个问题就是“证明连续统假设”．这个问题在20世纪引起了全世界数学家的兴趣，从而激发了很多有趣的工作．现在，公理集合论中的两个最有趣而富有成果的方法，即1940年K．哥德尔(Gdel)使用的可构成性方法和1963年P．J．科恩(Cohen)使用的力迫法，都部分地回答了这个问题．
　　9．全序集的理论
　　《越穷数理论基础》是康托尔的最后一部重要的数学著作．这本书初稿的第Ⅰ、第Ⅱ部分于1895年5月和1897年5月分别发表在《数学学报》(Acta Mathematica)上，主要内容随即译成各种文字．1895年首先由F．格贝迪(Gerbaldi)将第Ⅰ部分译成意大利文，1899年由马洛特(Marotte)给出两部分的法文译文，而英文译文直到1915年才由P．E．B．朱德因(Jourdain)作序出版．
8 v$ m: W9 L! [; q　　在Ⅰ中，康托尔又一次给出了集合的抽象定义．集合M是能够明确区分的思维或感知的对象m(称为M的元素)的总体．十年前，康托尔在点集的领域内，给集合以特定的内涵．他曾写道：“作为一个整体，集合指确定对象的这样一种总体，其中的对象由某一法则联结成一个整体．”这表明《超穷数的理论基础》与《集合通论基础》有很大不同．
' S  g8 F' n! z/ @) F' Y) D　　在Ⅰ中，康托尔又一次给出了基数的定义．但他仍采用1887年引进的记号．他还通过集合又一次定义了基数的加法和乘法运算．为了定义基数的方幂，康托尔首先定义了什么叫覆盖．引进基数的方幂以后，康托尔得出：20=C．这里的C为连续统的基数．他还得到
　　C·C=20·20=2=C．
1 d% i; t1 `  m　　一般地，Cn=C，C0=C．
* Q3 w# b! S) Z3 p! R( D% \　　这些公式表明，n维和一般0维的连续统，同一维连续统有相同的基数．这样，似乎连续统假设问题的解又有希望前进一步．这些公式还可以用来更直接、更清晰地证实超穷数的一些数论性质，从而也就进一步证明了超穷数在数学上的合理性．
　　康托尔在Ⅰ中还讨论了有穷基数．它可以通过两种方式确定：或者通过相继加1的归纳过程，或者与无穷集相反，将它作为不与自身真子集等价的集合的基数来确定．
' G5 Q+ H( e) c1 q" _) d$ o- M$ Y　　作为一个整体，全体有穷基数N对于康托尔定义超穷数是必不可少的．N中的元素可以彼此区分，且每个基数都大于它前面所有的数而小于后面的每个数，任何两个相邻基数N和N+1之间不存在另一个基数．但是令人疑惑的是在Ⅰ中，康托尔没有明确给出有穷数的定义．在简单声明了具有有穷基数的集合称为有穷集合后，康托尔开始定义超穷集合及超穷基数．第一个超穷基数定义为全体有穷基数的集合的基数．他还感到用熟悉的希腊字母或罗马字母表示超穷基数不合适，应当选择一套独特的记号．在选择记号方面，康托尔一向很讲究．他选第一个希伯来字母0来表示第一个超穷基数，因为这个字母代表数1．此外它还代表一个新起点．康托尔确信超穷数理论标志着数学的一个新起点．
2 @* e- n4 X- b　　康托尔对超穷基数新的解释是值得注意的，在此之前，他从未把超穷基数等同于数．相反，他总是避免超穷基数也是数的暗示，对于最小的超穷序数，康托尔已用ω表示，但对于最小的超穷基数当时还没有适当的符号．可见，序数的概念对康托尔集合论的早期发展较基数概念重要得多．正是序数的引进，使得定义超穷基数成为可能．而且直到建立了超穷数类的序型，康托尔才精确定义大于最小超穷基数的所有超穷基数，并决定用表示序型ω的基数．最后决定用0表示第一个超穷基数时，已到了1895年．
　　Ⅰ的最后五章，康托尔系统阐述了全序集的一般理论．
　　一个集合称为全序的，如果它的元素可按某种规则排序，使得它的
　　接着又引进序集M的序型概念：对每个全序集M，都相应地存在一其顺序的特性而得出的一个一般概念．

4 m6 I% Y4 [& E- C3 a1 I8 F　　康托尔进一步指出，任给两个全序集，如果具有相同的序型，它们总能以多种方式彼此映射；所有具有有穷和超穷序型的良序集，只允许有一种到相似集合的保序映射．这一结论提供了康托尔称无穷良序集的序型为“超穷序数”，称无穷集的基数为“超穷基数”的合理性．当然这里有一个重要的区别，每个超穷基数并不与唯一的一个超穷序数相对应．
　　为了建立各种序型的联系，康托尔模仿《集合通论基础》中的方法引进了它们的运算，还特别指出，序型运算不满足交换律．最后，康托尔总结了基数运算和序数运算的联系．特别有

　

& L) Q, w' e' l* |　　成立．于是，所有关于序数的算术法则同样适用于基数．
! i+ w- W; ~8 @5 y　　康托尔还证明了：如果一个全序集M满足：(1)=0；(2)M中无最大、最小元；(3)M是处处稠密的；则M的序型等于η，
! }8 b1 }) m% K" W　　康托尔在给出具有序型η的集合M的充要条件之后，想方设法地刻画具有更高基数的全序集的序型，特别是连续统的序型．但没有得出新结果．只是在Ⅰ的最后一章里，才对这一问题作了分析，严格阐明了一般连续域的性质．他对序型的一般研究得出了有关连续性的新见解，还引进了基本序列极限元的概念．
9 ?& B0 }# B) J; y# q　　10．良序集的理论
$ J* p4 `3 I/ n, r1 V- r　　《超穷数理论基础》Ⅱ，主要介绍无穷序数和无穷基数理论．无穷基数从0扩展到第一个不可数的无穷1，阐述了良序集的特殊理论，定义了第二数类的基数，还研究了超穷算术．但连续统假设以及每个超穷基数是否都可比较等问题，仍未得到彻底解决．
　　在《集合通论基础》中，康托尔已经认识到良序集对于超穷数理论的重要，因为它们的序型构成了有穷和无穷序数．因此在Ⅱ中，他系统地阐述了良序集理论的基本知识．特别是与无穷集合相对应的无穷序数和无穷基数的理论．
　　在Ⅱ中，一个良序集是建立在全序集的基础上的．同时，给出了序数的一个良序序列：

1，2，3，…，ω，ω+1，…，2ω，…，nω，…，ω2，…，

ωω，…ωωω，…．

: _# X' O7 D6 J  q$ q. X. E' D2 N" d4 ]4 I2 ^　　为了能够给出一个较以前的文章中更好的基数定义，康托尔扩充了算与Ⅰ中全序集序型的运算相同．
　　在Ⅱ的最后几章里，康托尔更详细地讨论了第二数类的序数以及它们的运算性质．他还把超穷数理论建立在序型的基础之上，这与他以前的处理方法不同．因为这里的生成原则，可以用来产生更高阶的超穷序数类．为了将有穷指数的方幂扩充到超穷方幂，还引进了包括ωω这种超穷数的运算．为此，康托尔建立了超穷归纳法，并通过超穷归纳法得到了超穷序数方幂的一些重要结果．
; }2 h9 ^# S2 g* T　　11．关于实无穷
　　由于康托尔的集合论是以无穷集为研究对象的，从而肯定了作为完成整体的实无穷．为此，他遭到了一些数学家、哲学家的批评和攻击．为解决一些理论问题，也为了答复这些人的批评和攻击，康托尔作了大量的工作．他的《关于无穷线性点集(5)》不单纯是对于新的超穷集合论的严格的数学阐述，也第一次公开地为实无穷这一受到大多数数学家、哲学家和神学家长期反对的概念提供了辩护．它的目的之一就是论证这种对实无穷的反对是毫无根据的．他在给瑞典数学家、历史学家G．埃斯特姆(Enestirm)的信中写道：“正像每个特例所表明的那样，我们可以从更一般的角度引出这样的结论：所有反对实无穷数的可能性的所谓证明都是站不住脚的．他们从一开始就期望无穷数具有有穷数的所有特性，或者甚至把有穷数的性质强加到无穷数上．与此相反，如果我们能够以任何方式理解无穷数的话，倒是由于它们(就其与有穷数的对立而言)构成了全新的一个数类，它们的性质完全依赖于事物本身．这是研究的对象，而不属于我们的主观臆想和偏见．”康托尔有关实无穷的观点包括以下三个方面．
　　(1)数学理论必须肯定实无穷 康托尔指出：在数学中要完全排斥实无穷的概念是不可能的，实无穷必须肯定．因为很多最基本的数学概念，如一切正整数，圆周上的一切点等等，事实上都是实无穷性的概念；关于极限理论，康托尔指出：它是建立在实数理论之上的，而实数理论的建立(无理数的引进)又必须以这样或那样的实无穷的概念为基础，例如，戴德金分割和康托尔的基本序列都是一种实无穷的概念．极限理论事实上也是建立在实无穷的概念之上；因此，承认作为变量的潜无穷，就必须承认实无穷．变量如能取无穷多个值，就必须有一个预先给定的、不能再变的取值“域”，而这个域就是一个实无穷．康托尔又指出，数学证明中应用实无穷(无穷集合)由来已久，并且也是不可避免的．后来的数学家们，如J．L．拉格朗日(Lagrange)、A．M．勒让德(Legendre)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、柯西、魏尔斯特拉斯、B．波尔察诺(Bolzano)等人在证明中都使用过．康托尔还举出一个复杂证明的例子([8]，pp．210—212)：假设把一无穷点集分为有穷个子集，其中必有一个为无穷集．
* u  }- z$ `/ q0 e. B　　出于对数学研究的实际需要，康托尔对无穷集合进行了数量研究，实无穷的概念就成了数学的研究对象．康托尔在他1883年的一篇论文里说，把无穷大不只是作为无穷增长的量，而是以完成的无穷的形式，数学地通过数量来确定下来，这种思想“我是经过多年科学上的努力，几乎违背我的意愿……，逻辑地被迫承认的”．
9 P& X4 R! K1 {3 O+ D　　(2)不能把有穷所具有的性质强加于无穷 无穷有其固有的本质．尽管康托尔对无穷集合的研究出于数学研究的实际需要，但是他仍然面临着怎样对这种研究的合理性作出说明的问题．尤其重要的是，他必须对历史上提出的各种关于“实无穷不能成为数学的研究对象”的“论证”作出合理的解释．
　　1874年，康托尔在这方面迈出了关键性的一步．他提出了“一一对应”原则：如果在两个集合的元素之间能建立一一对应，就说这两个集合具有相同的基数，即在数量上被认为相等．这个原则构成了对传统的“整体大于部分”观念的直接否定．然而，在康托尔以前，由于这一观念的束缚，使很多数学家认为实无穷性的概念不能成为数学的研究对象；现在，康托尔则大胆地冲破了这一思想桎梏，并由此发展出一套关于无穷集合的数学理论——超穷数理论．对此，康托尔解释说：“两个集合，其中的一个是另一个的部分，而又具有相同的基数，这是经常会出现的，而且也没有什么矛盾．我认为，正是由于对这一事实缺乏认识，才形成了关于超穷数引进的主要障碍．”([17]，p．75)
　　为了更清楚地说明自己的研究工作的合理性，康托尔还曾对各种相反意见的错误根源进行分析，认为一切关于“实无穷不可能”的所谓证明都是错误的．
" ]2 {( O% _1 S' Q5 E9 ^　　(3)有穷的认识能力可以认识无穷 康托尔在《关于无穷线性点集(5)》里还讨论了J．洛克(Locke)、B．斯宾诺莎(Spin-oza)和G．W．莱布尼茨(Leibniz)的观点．他认为，这些人的思想虽有很多不同之处，但在无穷问题上，一致认为：“有穷性是数的概念的一部分；另一方面，真正的无穷，那就是上帝，是不允许有任何规定的．”反对实无穷的人还有一个理由是，人类认识能力是有限的，所以形成的数量只限于有穷．
$ e3 q! B/ \6 @7 G　　康托尔认为，人的认识能力虽然有限，却可以认识无穷．无穷和有穷一样，是可以“通过确定的、明确的、彼此不同的数量”来表达和理解的．在一定意义下，也可以说人们有“无限的才能”，一步一步地去形成更大的数类或集合，去形成一个比一个更强的基数．
　　康托尔还强调，数学的无穷与哲学的及神学的无穷不同．超穷数可以增添，这是数学的无穷，与宗教和上帝无关．哲学上的绝对与神学上的上帝都不能被规定，“一切规定都是否定”，因之也不能增添．他又说，人们可以有坚定的信念必然能够认识那“绝对的存在”．([10]，p．280) 　
　　12．柏拉图主义的观点
5 q+ Q$ c% ^. E8 h& Y　　为了证明超穷数理论的“合法性”，康托尔也从事过关于超穷数的客观实在性的分析．康托尔指出：跟有穷数一样，超穷数也是从真实的集合中抽象出来的——这突出地表现在康托尔所给出的关于集合的基数和序数的定义上，集合的基数是两次抽象的结果：一次是从对象中抽去它们所具有的质的特性，另一次则是抽去在对象之间所存在的次序关系；(良序)集合的序数则是一次抽象的结果，即是从对象中抽去了它们所具有的质的特性．因此，和有穷数一样，超穷数也具有同样的客观实在性，它们的存在在物理世界的时空中，以及具体事物的无限性中有着自然的反映．数学的本质不在于它与经验世界的联系，而在于数学思维的自由性．
　　为了说明数学思想的自由性，康托尔引进了“两种真实性”的概念并对它们之间的关系进行了分析，首先，他指出数学对象具有两种真实性：“内在真实性”和“外部真实性”．其中，“内在真实性”主要是指数学对象在逻辑上的相容性，“外部真实性”是指数学对象所具有的客观实在性，即“应把数看成是对于外在于我们智力世界的事物和关系的一种表述和描述”．其次，康托尔认为这两种真实性事实上是一致的：一个概念如果具有内在真实性就必然具有外部真实性．因此，对数学家来说，就只需考虑数学对象的内在真实性、即逻辑上的相容性，而无须考虑它们的客观内容．在康托尔看来，在数学对象的“创造”中，数学家们就具有了充分的“自由性”．康托尔写道：“数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛眉的并且和先前由确切定义引进的概念相协调．……数学的本质就在于它的自由性．”
　　但是，究竟应当怎样来认识超穷数和无穷集合的客观实在性呢？为了解决这一问题，康托尔最后倒向了神学．他在1895年致法国数学家C．埃尔米特(Hermite)的信中，明确表达了这种思想．他说，数学对象的实在性并不在于真实世界，而是存在于上帝的无穷的智慧之中；数学对象的内在真实性、即逻辑上的相容性保证了这种对象的“可能性”，而上帝的绝对无限的本性则保证了这种“可能的对象”在上帝思维中的永恒存在．此外，康托尔还谈到，他的集合论就是直接渊源于神的启示的．其实，早在1869年，即康托尔刚刚开始学术生涯的时候，他就已经建立了这种神学的观念．正如J．W．道本(Dauben)所言：“这是一种强烈的柏拉图主义思想，而康托尔则不断由此而取得支持．”也就是说，正是柏拉图主义的哲学立场为康托尔提供了从事集合论、特别是超穷数理论的研究的信心和勇气．
　　1886年，德国的哲学家和神学家C．哥德伯累特(Gutberlet)发表了一篇文章．其中援引了康托尔的集合论来为他自己关于无穷的哲学和神学性质的观点进行辩护．他主要关注的是数学的无穷对于上帝独有的绝对无穷本性的挑战．他和康托尔还就这个问题通了几次信．哥德伯累特的许多思想，激起了康托尔去研究超穷数理论的神学意义．康托尔断言，超穷数并没有削弱上帝的无穷本性．恰恰相反，正是超穷数使之更加至高无尚了．
　　当时，天主教的学者们所关心的一个主要问题是，超穷数究竟是一种“可能”的存在，还是一种“真实”的存在．康托尔认为可以通过区分两种不同类型的无穷来消除神学家们对于真实的、具体的无穷的怀疑．1886年1月他在给哥德伯累特的老师J．弗兰西林(Franzelin)的一封信中指出，除了“可能的”与“真实的”区分之外，我们还应注意绝对的无穷与真实的无穷的区分：前者是上帝特有的，后者则是见诸于上帝创造的世界，并以宇宙中对象的实无穷数为其典范．康托尔认为超穷的真实存在正是上帝的无穷性存在的反映．他还发起了关于超穷的真实存在的两种论证．一种是先验的，认为可由上帝的概念直接导出超穷数创立的可能性和必要性；另一则是后验的，认为仅仅依靠有穷的假定不可能对自然现象作出充分解释．不管怎样，康托尔认为他已经证明了接受真实存在的超穷的必然性，而在这种论证中，康托尔毫不犹豫地求助于上帝．他还声称，自己并非超穷数理论的创造者，而只是一个记录者：是上帝给他以启示，他所做的仅仅是组织和表述的工作．康托尔认为这是他的一种神圣职责，即以上帝所恩赐的知识去防止教会在无穷性质的信条上所可能发生的错误．
% L% E; B, O" {# u! i; T: v; F　　13．集合论悖论
8 ]9 I! m2 R& v  J7 l, y, V　　在康托尔集合论中有没有悖论呢？在19世纪末，虽然有些数学家反对康托尔集合论中研究无穷集合这样的对象，对他的无穷推理过程表示怀疑，但又找不出毛病来．康托尔深信他的工作是正确的．可是后来却发现，康托尔的超穷数理论包含着矛盾．这就是布瑞利-福蒂(Burali-Forti)的最大序数悖论和康托尔的最大基数悖论．后来，康托尔又发现了更简单、更基本的集合论悖论，这一悖论就叫康托尔悖论．它说：假是一集合的集合，它必定是一切集合的集合S的一部分．由此可得：
　　 布瑞利-福蒂悖论的构造与康托尔悖论是十分相似的．当时因为这两者牵涉到序数和基数这样较为复杂的理论．人们还认为，是由于在其中某些环节处不小心地引入一些错误所致，所以没有引起大家的注意．1902年，B．罗素(Russell)在集合论中发现了一个悖论，这个悖论是从集合的基本概念着手，论证方法又和康托尔的著名定理中所用的方法相类似．
3 U& `/ f7 e* d* w  k7 S　　 “罗素先生发现的一个矛盾现在可以陈述如下：没有一个人想要断定人的类是一个人．这里我们有一个不属于自身的类．当某物归属于以一个类为其外延的概念时，我就说它属于这个类．现在让我们集中注意这个概念：不属于自身的类．因此这个概念的外延(如果我们可以谈论它的外延的话)就是，不属于自身的那些类构成的类．为简短起见，我们称它为类K．现在让我们问，这个类K是不是属于自身．首先，让我们假定它属于自身．如果一个东西属于一个类，那么它就归属于以这个类为其外延的概念．这样，如果类K属于自身，那么它就是一个不属于自身的类．因此我们的第一个假定导致自相矛盾．第二，让我们假定类K不属于自身，这样它就归属于以自身为其外延的概念，因此就属于自身．这里我们又一次得到同样的矛盾．”([13]，p．808)这就是著名的罗素悖论．在当时，它曾引起了某些大数学家的极大震动．
　　 对于悖论，康托尔曾表示过这种意见，即认为集合论悖论出现的原因在于使用了太大的集合．康托尔指出：我们应把集合区分成相容的和不相容的，后者因太大不能看成是“一”，而必须看成是“多”．这也就是说，不能把太大的集合看成是一种真正的集合．他说：“对于多来说，那种把其所有元素联合起来的假设可能导致矛盾．因此，不能把多看成是一种‘完成了的对象’，这种多我称之为绝对无限或不协调的多．”([15]，p．214)
9 E. n7 N# K0 G. H+ `　　由于严格的实数理论和极限理论都是以集合论为基础的，因而，集合论悖论导致了数学的第三次“危机”．
　　最后，我们引用几位大数学家对康托尔的评论作为本文的结尾．1926年，希尔伯特称康托尔提出的超穷数理论，是“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果”．罗素把康托尔的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．苏联著名的数学家A．N．科尔莫戈洛夫(Kolmogorov)说过：“康托尔的不朽功绩，在他敢于向无穷大冒险迈进，他对似是而非之论、流行的成见，哲学的教条等作了长期不懈的斗争，由此使他成为一门新学科的创造者．这门学科(指集合论)今天已经成了整个数学的基础．”

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庞加莱

9 y8 @  z1 f5 f　　庞加莱，J． H．(Poincaré， Jules Henri)1854年4月29日生于法国南锡；1912年7月17日卒于巴黎．数学、物理学、天体力学、科学哲学．
7 e; R9 V( F9 @2 R　　庞加莱的父亲莱昂(Léon，Poincaré)是一位第一流的生理学家兼医生、南锡医科大学教授，母亲是一位善良、聪明的女性．庞加莱的叔父安托万(Antoine，Poincaré)曾任国家道路桥梁部的检查官．庞加莱的堂弟雷蒙(Raymond，Poincaré)曾于1911年、1922年、1928年几度组阁，出任总理兼外交部长．1913年1月至1920年初，担任法兰西第三共和国第九届总统．
　　庞加莱的童年是不幸的，也未表现出什么超人的天才．在幼儿时，他的运动神经共济官能就缺乏协调，写字画画都不好看．5岁时，白喉病把他折磨了9个月，从此就留下了喉头麻痹症．疾病使他长时期身体虚弱，缺乏自信．他无法和小伙伴作剧烈的游戏，只好另找乐趣，这就是读书．在这个广阔的天地里，他的天资通过家庭教育和自我锻炼逐渐显露出来．读书增强了他的空间记忆(视觉记忆)和时间记忆能力．他视力不好，上课看不清老师在黑板上写的东西，只好全凭耳朵听，这反倒增强了他的听觉记忆能力．这种“内在的眼睛”大大有益于他后来的工作，他能够在头脑中完成复杂的数学运算，他能够迅速写出一篇论文而无需大改．
7 w9 I7 B0 H$ f. y　　15岁前后，奇妙的数学紧紧地扣住了庞加莱的心弦，他曾在没有记一页课堂笔记的情况下赢得了一次数学大奖．1873年底，庞加莱进入综合工科学校深造．1875年，他到国立高等矿业学校学习，打算做一名工程师，但一有闲空就钻研数学，并在微分方程一般解的问题上初露锋芒．1878年，他向法国科学院提交了关于这个课题的“异乎寻常”的论文，并于翌年8月1日得到数学博士学位．由于工程师的职业与他的志趣不相投，他又想做一个职业数学家．在得到博士学位后不久(1879年12月1日)，他应聘到卡昂大学作数学分析教师．两年后，他提升为巴黎大学教授，讲授力学和实验物理学等课程．除了在欧洲参加学术会议和1904年应邀到美国圣路易斯科学和技艺博览会讲演外，庞加莱一生的其余时间都是在巴黎度过的．
3 w5 J  v- R2 @/ }. O% Y! ^! I7 l' U　　 庞加莱的写作时期开始于1878年，直至他1912年逝世——这正是他创造力的极盛时期．在不长的34年科学生涯中，他发表了将近500篇科学论文和30本科学专著，这些论著囊括了数学、物理学、天文学的许多分支，这还没有把他的科学哲学经典名著和科普作品计算在内．由于他的杰出贡献，他赢得了法国政府所能给予的一切荣誉，也受到英国、俄国、瑞典、匈牙利等国政府的奖赏．早在33岁那年，他就被选为法国科学院院士，1906年当选为院长；1908年，他被选为法兰西学院院士，这是法国科学家所能得到的最高荣誉．
. J  K+ G8 p- `  C3 v　　庞加莱被认为是19世纪最后四分之一和本世纪初期的数学界的领袖人物，是对数学和它的应用具有全面了解、能够雄观全局的最后一位大师．他的研究和贡献涉及数学的各个分支，例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等，当代数学不少研究课题都溯源于他的工作．
　　1．函数论．如果说18世纪是微分学的世纪，那么19世纪则是函数论的世纪．庞加莱是因发明自守函数而使函数论的世纪大放异彩的，他本人也因此在数学界崭露头角．
　　所谓自守函数，就是在某些变换群的变换下保持不变的函数．自守函数是圆函数、双曲函数、椭圆函数以及初等分析中其他函数的推广，它不仅对其他各种应用是重要的，而且在微分方程理论中也扮演着主要的角色．
　　自守函数的名称今天已用于包括那些在变换群z′=(az+ b)/(cz+d)或这个群的某些子群作用下的不变函数，其中a，b， c，d可以是实数或复数，而且ad-bc=1．此外，在复平面的任何有限部分上，这个群完全是不连续的．更一般的自守函数则是为研究二阶线性微分方
　　1880年以前，F．克莱因(Klein)在自守函数方面作了一些基本的工作，后来他在1881年至1882年与庞加莱合作．庞加莱在受到I．L．富克斯(Fuchs)有关工作的吸引而注意到这件事后，对这个课题已作了先行的工作．他以椭圆函数理论为指导，发明了一类新的自守函数，即他所谓的富克斯函数，这是比椭圆函数更为普遍的一类自守函数．后来，庞加莱把分式变换群扩充到复系数的情况，并考虑了这种群的几种类型，他把这种群叫克莱因群．对这些克莱因群，庞加莱得到了新的自守函数，即在克莱因群变换下不变的函数，庞加莱把它叫做克莱因函数．这些函数有类似于富克斯型函数的性质，但基本域比圆要复杂．此后，庞加莱指出如何借助于克莱因函数表示仅有正则奇点的代数系数的n阶线性方程的积分．这样，整个这类线性微分方程都可以用庞加莱的这些新的超越函数来解了．
) E) q- j7 \0 t( i: z　　自守函数理论只是庞加莱对于解析函数论的许多贡献之一，他的每项贡献都是拓广的理论的出发点．他在 1883年的一篇短文中首先研究整函数的格与其泰勒展开的系数或者函数的绝对值的增长率之间的关系，它与皮卡(E．Picard)定理结合在一起，通过J．阿达玛(Hadamard)和 E．波莱尔(Borel)的结果，导致了整函数和亚纯函数的庞大理论，这个理论在80年之后仍然尚未研究完．
　　自守函数提供了具有某种奇点的解析函数的头一批例子，它们的奇点构成非稠密的完备集或奇点的曲线．庞加莱给出另外一个一般方法构成这种类似的函数，即通过有理函数的级数，这导致后来被波莱尔和A．当儒瓦(Denjoy)所提出的单演函数理论．代数曲线的参考化定理也是自守函数论的一个结果，它促使庞加莱在1883年导出一般的“单值化定理”，这等价于存在由任意连通、非紧致黎曼面到复平面或开圆盘的共形映射．
2 s% p( P6 b9 x　　尤其是，庞加莱是多复变解析函数的创始人，这理论在他之前实际并不存在．他得到的第一个结果是这样的定理：两个复变量的亚纯函数F是两个整函数的商．在1898年，他针对“多重调和函数”对于任意多复变函数进行了深入的研究，并在阿贝尔函数论中加以应用．他还在1907年指出了全新的问题，导出两个复变函数的“共形映射”概念的推广，这就是现在众所周知的、给人以深刻印象的解析流形的萌芽．庞加莱也对多复变函数的重积分的“残数”概念给出满意的推广，这是在其他数学家早期对这个问题作了多次尝试而揭示出严重困难之后进行的．多年后，他的思想在J．勒雷(Leray)的工作中产生了完满的结果．
3 g7 u2 b0 O7 V8 }5 l8 U　　2．代数拓扑学(组合拓扑学)．庞加莱最先系统而普遍地探讨了几何学图形的组合理论，人们公认他是代数拓扑学的奠基人．可以毫不夸张地说，庞加莱在这个课题上的贡献比在其他任何数学分支上的贡献都更为使他永垂不朽．
. r& l- o1 U5 R8 Z　　庞加莱先在1892年和1893年的科学院《通报》(Comptes Re－ndus)中发表了一些短文，然后于1895年发表了一篇基本性的论文，接着是一直到1904年在几种期刊上发表的五篇长的补充，这都是论述近代代数拓扑学的方法的．庞加莱认为，他在代数拓扑学方面的工作与其说是拓扑不变性的一种研究，不如说是研究n维几何的一种系统方法．我们现在称之为单形的同调论的一整套方法完全是庞加莱的发明创造：其中有流形的三角剖分、单纯复合形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等概念以及从该矩阵计算贝蒂(E．Betti)数的方法．籍助这些方法，庞加莱发现欧拉多面体定理的推广(现在称之为欧拉-庞加莱公式)以及关于流形的同调的著名的对偶定理；稍后他引进了挠率的概念．在这些论文中，他还定义了基本群(第一个同伦群)并证明它与一维贝蒂数的关系，给出两个流形具有相同的同调但具有不同的基本群的例子，他还把贝蒂数和微分形式的积分联系在一起，叙述了G．德拉姆(de Rham)直到1931年才证明了的定理．有人这样正确地说过：直到1933年发现高阶同伦群之前，代数拓扑学的发展完全基于庞加莱的思想和方法．
　　此外，庞加莱还指出如何把这些新工具用于那些促使发现它们的问题．在两篇论文中，他定出了复代数曲面的贝蒂数，以及形如Z2=F(x，y)(F是多项式)的方程定义的曲面的基本群，从而为后来S．莱夫谢茨(Lefschetz)和W．V．D．霍奇(Hodge)的推广铺平了道路．
　　3．阿贝尔函数和代数几何学．当庞加莱一接触到G．F．B．黎曼(Riemann)和K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)关于阿贝尔函数和代数几何学的工作之后，他立即对这个领域发生了浓厚的兴趣．他在这个课题上论文的篇幅在他的全集里和自守函数的论文篇幅差不多，时间是从1881年到1911年．这些文章的主要思想之一是关于阿贝尔函数的“约化”．庞加莱把J．雅可比、魏尔斯特拉斯和皮卡研究过的特殊情形加以推广，证明了一般的“完全可约性定理”．并注意到对应于可约的簇的阿贝尔函数，这是推广某些已有结果和研究某些函数特殊性质的出发点．
4 o5 i: K, H" C1 X　　庞加莱在代数几何学方面的最突出贡献是他在1910年至1911年间关于代数曲面F(x，y，z)=0中所包含的代数曲线的几篇论文．他所运用的卓有成效的方法使他证明了皮卡和F．塞韦里(Severi)的深刻结果，并首次正确地证明了由G．卡斯特尔诺沃(Castelnuovo)、F．恩里格斯(Enriques)所陈述的著名定理．在其他问题上，他的方法也极有价值，看来它的有效性还远远没有穷尽．
% Z  P6 V) [# q0 j- r　　4．数论．在这个领域，庞加莱首次给出整系数型的亏格的一般定义．他的最后一篇数论论文(1901年)最有影响，是我们现在所谓的“有理数域上的代数几何学”的头一篇论文．这篇论文的主题是个丢番图(Diophantus)问题，即求一条曲线f(x，y)=0上具有有理数坐标的点，其中f的系数是有理数．庞加莱定义了曲线的“秩数”，并猜想秩数是有限的．这个基本事实由L．J．莫德尔(Mardell)在1922年予以证明，并由A．韦伊(Weil)推广到任意亏格的曲线(1929年)．他们用的是“无限下降法”，这基于椭圆(或阿贝尔)函数的半分性质；庞加莱在他的文章中发展了一种与椭圆函数的三分性质有关的类似的计算，这些思想似乎是莫德尔证明的出发点．莫德尔-韦依定理在丢番图方程论中已成为基本的定理，但是与庞加莱引入“秩数”概念的许多问题仍然尚未得到解答，更深入地钻研他的论文也许会导出新的结果．
　　5．代数学．庞加莱从未出于代数学本身的需要而去研究代数学，只是当在算术或分析问题中需要代数结果时才去研究它．例如，他关于型的算术理论的工作使他研究次数≥3的型，其上作用着连续自同构群．与此有关，他注意到超复系和由超复系的可逆元素乘法定义的连续群之间的关系；他在1884年就这个问题所发表的短文后来引起E．施图迪(Study)和E．嘉当(Cartan)关于超复系的文章．庞加莱在1903年关于线性微分方程的代数积分的文章又回到交换代数的研究上来．他的方法使他引进一个方程的群代数，并把它分解为C上的单代数(即方阵代数)．他首次把左理想和右理想的概念引入代数，并证明方阵代数中的任何左理想是极小左理想的直和．
　　庞加莱是当时能够理解并欣赏S．李(Lie)及其后继者关于“连续群”工作的少数数学家之一，尤其是，他是早在20世纪初就能认识到嘉当论文的深度和广度的唯一数学家．1899年，庞加莱对于用新方法证明李的第三基本定理以及现在所谓的坎贝尔(Campbeel)-豪斯多夫(Hausdorff)公式感兴趣；他实际上第一次定义了现在所说的(复数域上的)李代数的“包络代数”，并由李代数已给的基对包络代数的“自然的”基加以描述，这个定理在近代李代数理论中成为基本的定理．
1 i& \) @5 n5 g7 F　　6．微分方程．微分方程及其在动力学上的应用显然处于庞加莱数学思想的中心地位，他从各种可能的角度研究这个问题，他把分析中的全套工具应用到微分方程理论中．几乎每年都要就此发表论文．事实上，整个自守函数理论一开始就是由求积具有代数系数的线性微分方程的思想引起的．他同时研究了一个线性微分方程在一个“非正则”奇点的邻域中的局部问题，首次证明了怎样得到积分渐进展开．他还研究了如何决定(复数域中)所有一阶微分方程关于y和y′是代数的且有固点的奇点，这后来被皮卡推广到二阶方程，并在20世纪初期导致P．潘勒韦(Painlevé)及其学派的成果．
　　庞加莱在这个领域中的最杰出贡献是微分方程定性理论，它是在其创造者手中立即臻于完善的．他发现在分析微分方程可能解的类型时，奇点起着关键性的作用．他把奇点分为四类——焦点、鞍点、结点和中心，并阐述了解在这些点附近的性态．在1885年后，他关于微分方程的论文大都涉及到天体力学，特别是三体问题．
　　对于物理学问题的持久兴趣肯定把庞加莱引向数学物理学的偏微分方程所导出的数学问题，在这方面他从未忽略他所用的方法和他所得到的结果可能存在的物理意义．他在1890年的一篇文章中讨论了狄利克雷(Dirichlet)问题，发明了“扫散方法”，这种极其富于独创性的方法在20世纪20年代和30年代出现的位势理论上起着重要作用．
4 q: O+ f0 x& P$ p6 g3 G4 D$ F8 t, _　　此外，庞加莱还在非欧几何、渐近级数、概率论(例如，他最先使用了“遍历性”的概念，这成为统计力学的基础)等数学分支中也有所建树．庞加莱在物理学、天体力学、科学哲学方面的工作请见《世界著名科学家传记·物理学家Ⅰ》．——编者注.

　　1911年，庞加莱觉得身体不适、精力减退，他预感到自己活在世上的日子不会很长了．可是，他不愿放下手头的工作去休息，他头脑蕴育的新思想太多了，他不愿让它们和自己一起埋葬．在索尔维会议之后，他投身于量子论的研究，并撰写论文，发表讲演．同时，他还在思考一个新的数学定理，即把狭义三体问题的周期解的存在问题归结为平面的连续变换在某些条件下不动点的存在问题．
* M- e9 z. m" Y  b: K　　临终前三周，庞加莱抱病在法国道德教育联盟成立大会上发表了最后一次公开讲演．他说：“人生就是持续的斗争”，“如果我们偶尔享受到相对的宁静，那正是因为我们先辈顽强斗争的结果．假使我们的精力、我们的警惕松懈片刻，我们就会失去先辈们为我们赢得的斗争成果．”庞加莱本人的一生就是持续斗争、永远进击的一生．
, O  I  U2 f0 a4 Z5 p　　1912年7月17日，庞加莱因血管栓塞突然去世．当时他正处在科学创造的高峰时期．V．沃尔泰拉(Volterra)中肯地评论道：“我们确信，庞加莱一生中没有片刻的休息．他永远是一位朝气蓬勃的、健全的战士，直至他的逝世．”

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科瓦列夫斯卡娅

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　　科瓦列夫斯卡娅，C．B．(KoBлeBckaя，Coфbя BacилbeBHa)1850年1月15日生于俄国莫斯科；1891年2月10日卒于瑞典斯德哥尔摩．数学、文学．
　　科瓦列夫斯卡娅的父亲柯文·克鲁科夫斯基(KopBиH-Kpy-KoBcKий、B．B．)是匈牙利国王马休斯·柯文(Mathias Korvin)的后裔，在俄罗斯部队任陆军中将．母亲柯文·克鲁科夫斯卡娅(KopBиH-KpyKoBCKaя，E．Φ．)出身于俄国贵族家庭．1858年，柯文·克鲁科夫斯基退职，带全家到靠近立陶宛边界的帕里宾诺庄园定居．科瓦列夫斯卡娅早年受到良好的家庭教育．她的伯父博览群书，是一位科学爱好者，他经常来帕里宾诺庄园作客，给小科瓦列夫斯卡娅讲一些有趣的科学故事．科瓦列夫斯卡娅卧室里的糊墙纸是她父亲早年学习微积分时的笔记，那些奇怪的公式和符号使她困惑不解．这些都激发了她强烈的求知欲．不久，她在数学方面就表现出特殊的天赋．据说，科瓦列夫斯卡娅14岁时曾自学三角学，既无教师，又无课本．她通过在圆上作弦的方法，居然能解释正弦函数并推导出一些三角公式，被誉为“新帕斯卡”．16岁以后，她很渴望能进大学学习．但19世纪的俄国，大学是妇女的禁区．1866年冬，科瓦列夫斯卡娅的父亲请彼得堡的一位著名数学教师A．N．斯特兰诺留勃斯基(CTpaHHoлюбocKий)为她私入授课．在此期间，她很快掌握了解析几何和微积分．
* f$ ?) P% R. R% s% x: |　　19世纪60年代，俄国正处在从农奴制向资本主义过渡的时期，反对沙皇专制统治的革命民主主义运动蓬勃发展．许多进步妇女起来为争取上大学的权利而斗争，科瓦列夫斯卡娅也加入了这个斗争行列．她中断了在斯特兰诺留勃斯基那里的学习之后，为能进大学学习而四处奔走，甚至直接拜访了大数学家П．Л．切比雪夫(ЧeбbIшeB)，请求他的帮助，也未获成功．在这种情形下，要想继续深造只有出国．而未婚女子到国外求学会引起各种流言蜚语．当时，一些进步女青年常采取“假婚”的方式来摆脱困境，即与某位男青年形式上结为夫妇，然后共同出国．1868年，科瓦列夫斯卡娅与青年学者、莫斯科大学古生物系毕业生B．O．科瓦列夫斯基(KoBaлeBCKий)举行了假结婚．第二年，他们共同来到德国．
　　在德国，科瓦列夫斯卡娅克服了重重困难，终于进入了海得堡大学，在数学家L．柯尼希贝格(Konigsberger)的教授下学习数学，并兼听大物理学家H．L．F．亥姆霍兹(Helmholtz)的物理课．柯尼希贝格在课堂上经常向学生们颂扬他的老师，号称“数学分析之父”的K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)，激起科瓦列夫斯卡娅对这位数学大师的崇敬之情，她决心到柏林去，在魏尔斯特拉斯的直接指导下研究数学．1870年，经柯尼希贝格的推荐，她到柏林拜见了魏尔斯特拉斯，向他表述了自己献身科学的决心和对数学的爱好．魏尔斯特拉斯对她进行了测试，她的解题才能使魏尔斯特拉斯大为欣赏．于是他亲自向柏林大学校方请求，让科瓦列夫斯卡娅非正式地随班听课，但遭到拒绝．魏尔斯特拉斯决定做她的私人教师．1870—1874年，他利用星期天单独给科瓦列夫斯卡娅授课，并共同讨论数学问题，从未间断过．科瓦列夫斯卡娅在这4年内学习了椭圆函数论及其应用、综合几何学、阿贝尔函数、复变函数和变分法等课程，并与她的老师共同研究了有关的课题．她很快就成为魏尔斯特拉斯最得意的学生，魏尔斯特拉斯曾说：“可以肯定，在我的学生中，在勤勉、才能、热情和爱科学方面，可以和她相比的实在不多．”科瓦列夫斯卡娅的所有数学研究都直接受到魏尔斯特拉斯的影响，他们之间结下了深厚的友谊，直至科瓦列夫斯卡娅去世．
; p7 H- n1 {2 H0 r0 |　　经过几年的努力，科瓦列夫斯卡娅写出了三篇出色的论文，分别研究偏微分方程理论、阿贝尔积分和有关土星光环等课题．1874年8月，根据魏尔斯特拉斯的推荐，没有经过考试和答辩，格丁根大学授予科瓦列夫斯卡娅博士学位，这是数学史上的第一位女博士．
　　科瓦列夫斯卡娅和科瓦列夫斯基正式结婚后，于1874年秋季返回俄国．科瓦列夫斯卡娅怀着满腔热情，希望用自己的学识为祖国人民服务．但是沙皇统治下的俄国，仍像几年前一样黑暗．从1874年起，科瓦列夫斯卡娅放弃了科学工作，以后的几年内，她进入社交界，也发表过戏剧评论和科普报导等．魏尔斯特拉斯曾多次来信劝导她重返数学界，但都未能奏效．1878年以后，科瓦列夫斯卡娅开始对自己的现状不满．她写信给魏尔斯特拉斯，表达了希望恢复数学研究的愿望．然而，这种愿望由于她的女儿的出世而未能实现．直到1880年在彼得堡召开的科学大会，才真正激励了科瓦列夫斯卡娅重新从事数学研究的热情．
( T# D; B8 b* _2 u7 G　　1880年末，科瓦列夫斯卡娅又来到柏林，在魏尔斯特拉斯的指导下进行数学研究．1881—1883年，她完成了几篇关于光的折射的研究论文．在此期间，她仍为自己的就业问题而奔走．不幸的是，1883年春她的丈夫因为破产而自杀．这对科瓦列夫斯卡娅无疑是一沉重打击，她勇敢地挑起生活的重担，并继续从事数学研究．1883年11月，科瓦列夫斯卡娅在她的朋友、著名瑞典数学家M．G．米塔格-列夫勒(Mittag-Leffler)的帮助下，受聘担任斯德哥尔摩大学讲师，终于登上了大学的讲台．她用德语讲授数学课程，清晰易懂，引人入胜，颇具魏尔斯特拉斯的风格，大受欢迎．1884年，她被提升为该校的数学教授，并担任《数学学报》(Acta Mathematica)的编辑．1889年，被任命为斯德哥尔摩大学的终身教授．
　　在斯德哥尔摩大学任职期间，科瓦列夫斯卡娅研究了刚体绕定点旋转的问题．这个问题已有100多年的历史，被称为“数学水妖”．许多著名数学家都曾致力于它的研究，甚至L．欧拉(Euler)1157 和J．L．拉格朗日(Lagrange)也只得到了某些特殊情形下的结果．法国科学院曾三次悬赏，给在该问题的研究中有所突破的人颁发鲍罗丁(Bordin)奖金．1888年，法国科学院再次悬赏征求刚体旋转理论的论文．在用匿名提呈的15篇论文中、有一篇如此杰出，受到评奖委员会的高度赞赏，以致法国科学院把奖金从三千法郎增至五千法郎，这就是科瓦列夫斯卡娅提交的论文．1888年12月，科瓦列夫斯卡娅荣获鲍罗丁奖．这项工作在1889年又得到瑞典科学院的奖赏．
& Y+ ]5 f7 J' f　　1889年12月，由切比雪夫等三位著名科学家联名推荐，科瓦列夫斯卡娅当选为俄国科学院通讯院士，她是历史上第一个获得科学院院士称号的女科学家．
　　科瓦列夫斯卡娅不幸于1891年春患肺炎逝世，终年只有41岁．从青年时代起，科瓦列夫斯卡娅就接受民主主义革命思想，她积极支持女权运动，同情巴黎公社．(科瓦列夫斯卡娅的姐姐、姐夫参加了巴黎公社起义，其姐夫被捕入狱．为营救姐夫，她曾只身进入战火中的巴黎，并参加营救公社伤员的工作．)在妇女倍受歧视的年代，她勇敢地冲破传统的偏见和社会的压制，屹然独立，献身科学．科瓦列夫斯卡娅刻苦勤奋，勇于探索，以短暂的一生，在科学领域取得了杰出的成绩．她在数学、文学和政治等方面都留下了出色的成果．
　　在数学方面，科瓦列夫斯卡娅在德国、法国和瑞典的科学杂志上共发表了10篇纯粹数学和有关数学物理的论文，它们是：
( i/ w' L+ W- B' i" t1 S' E　　1．“关于偏微分方程理论”(俄文K TeopииypaBheHийBчacTHbIX пpoи3BoдHbIX，德文Zur Theorie der partiellen Differential-gleichungen，1875)．
- t; {& B4 Y6 |( O　　2．“论某一形式的第三类阿贝尔积分简化成椭圆积分”(俄文OпpиBeдeHииHeKOTOPOTO Kлacca aбeлeBbIX иHTeгpaлoB Tpetbeгo paHгaK ллипTичeCKиM иTheгpaлaM、德文ber die Reduction einer bestimmten Klasse Abels’cher Integrale dritten Ranges aufelliptische Integrale，1884)．
, E5 [. E% j9 s, v6 r$ t4 a　　3．“对拉普拉斯土星光环形态研究的补充和意见”(俄文 ДoбaBлeHия и зaMeчaHия K иccлeдoBaHию Дaплaca ФopMe Koлцa CaTypHa，德文Zustze und Bemerkungen zu Laplace’s Untersu-chungen über die Gestalt der Saturnsringe，1885)．
　　4．“论光线在结晶介质中的折射”(俄文 OпpeлoMлeHииcBeTaB KpиcTaлличecKиX cpeдax，德文ber die Brechung des Lichtes in cristallinischen Mitteln，1883)．
　　5．(①文5与文6是同一篇文章“O paпpoctpahehииcBeTa B kpиcTaллиqeckoйcpeдe”，分别在巴黎科学院和斯德哥尔摩科学院的杂志上发表．)“论光在晶体中的传播”(法文 Sur la propagation de lalumiére dans un milieu cristallisé，1884)．
' `" ?* N! R9 Z  w" |3 j3 R8 o　　6．“论光在晶体中的传播”(瑞典文Om Ijusets fortplantninguti ett Kristallinisktmedium，1884)．
, L* V/ s- j& R) t) N  h. A3 [/ b　　7．“刚体绕定点旋转的一个问题”(俄文 Зaдaчa o BpщeHии TBepдoгo Teлa okoлo HeпoдBижHoй ToчKи，法文Sur le problème de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe，1889)．
& f7 j% E) N% m& I　　8．“关于重物绕定点旋转问题的一个特殊情形，其积分可借助时间的超椭圆函数实现”(俄文МeMyap oб oдHOM чacTHOM cлyчae зaдaчиo BpaщeHии Tяжeлoгo Teлa BOKpyг HeпoдBижHOй ToчKи，Koгдa иHTeгpиpoBaHиe пpoизBOдиTcяC пOMOщbю yлbTpaллипTичecKиX ФyHKций BpeMeHи，法文Mémoire sur un cas particulier du problème de la rotation d’un corps pesantautour d’un pointfixe，où l’intégration s’effectue à l’aide de fonctions ultrae-lliptiques du temps，1890)．
　　9．“论确定一刚体统定点旋转的微分方程组的一个性质”(俄文Oб oдHOM cBoйcTBe CиCTeMbI диффepeHциaльHьIX ypaBHeHий，oпpeдeляющeй BpaщeHиe TBepдoгo Teлa OKOлO HeпoдBижHoй ToчKи，法文Surune propriété du système d’équations differen-tielles qui définit la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe，1890)．
　　10．“关于Bruns的一个定理”(俄文OБ oдHoйTeopeMe Г.БpyHca，法文Sur un théorème de H．Bruns，1891)．
　　以上的10篇论文，前3篇即是科瓦列夫斯卡娅在魏尔斯特拉斯指导下的博士论文(1870—1874)，关于光的折射的论文(第4—6篇)是她重返柏林时(1881—1883)撰写的，后4篇论文是她在斯德哥尔摩大学任职期间完成的．关于偏微分方程理论和刚体运动方面的论著是她最重要的工作，已被译成英文传世，下面作较详细的介绍．
　　18和19世纪的数学家们创立了大量类型的微分方程．他们很快就发现，在许多情况下求方程的显解归于失败．于是，数学家们转而去证明解的存在性．1842年，A．L．柯西(Cauchy)给出了微分方程中第一个一般的存在性定理．他讨论了给定初始条件的微分方程的求解问题，证明了常微分方程和几种线性偏微分方程解析解的存在性．对于形如

　

4 O' v% H  K% D5 r* f6 w/ s　　(i=1，2，…， m)
　　的一阶偏微分方程组，柯西问题就是求满足初始条件
% ~7 w7 ^7 g6 G8 O$ m　　ui(0，x1；，…，xn)=wi(x1，…，xn)(i=1，…，m)的解u(x，t)．
　　柯西假设Fi和wi都是解析的，用“优函数方法”得到局部收敛的幂级数解．他以一个简单的解析函数代替原来的Fi，要求其幂级数展开的系数都是非负的，且不小于Fi对应项系数的绝对值．所得到的方程组可以用明显的求积法给出解，这就是原方程组具有初始条件的解的优函数．
　　科瓦列夫斯卡娅在她的论文中，把柯西的结果推广到很一般的情形．她首先考虑拟线性方程组
$ A/ l1 h& Q5 I, z' P9 [
. o+ M1 v( r# n; }/ i　　
5 m; n0 t0 n1 m4 j, E0 G7 Z　　A．如果u(x1，…，xr)10，…，u(x1，…，xr)n0是n个任意选择的具有共同收敛域的幂级数，并且它们当(x1，…，xr)=(0，…，0)时的值均为0，那么在空间(t，x1，…，xr)中可确定n个幂级数，它们在u1，…，un空间中形式地满足(1)，并且当t=0时，它们的值依次等于u(x1，…，xr)10，…，u(x1，…，xr)n0．
　　B．上述n个幂级数在某一域内绝对收敛并在此域内是确实满足(1)的函数．
　　接着，科瓦列夫斯卡娅又研究了方程组
, a) d! {2 H7 i
　　得到类似的结果．
  {8 U9 b% A) C9 ]　　她在证明这些结果的过程中，利用了柯西和魏尔斯特拉斯的优函数方法．即以方程组

　　　

　

　　其中G，g都是常数．
　　然后，科瓦列夫斯卡娅把柯西的存在唯一性定理推广到包含高阶时间导数的高阶方程组的情形．她考虑方程组

　

　　i，j=1，2，…，m；k0+k1+…+kn=k≤ni；k0＜ni，和初始条件

　

% n; V- s, G. e　　假设所有的Fi在点

　

　　的一个邻域内解析，所有中φj(k0)(x1，…，xn)在点(x01，…，x0n)的邻域内解析，她证明了上述柯西问题在点(t0，t01，…，t0n)附近有唯一的一组解析解．
　　在现代数学文献中，关于偏微分方程解的存在唯一性定理通常称为柯西-科瓦列夫斯卡娅定理．它的最简形式可叙述为：
* c  [$ |6 h" N　　任意形如

　

　

　　
  r+ ?7 [. ?. V, x0 X) ^" N2 S　　附近存在唯一的解析解u(t，x)，它满足

u(t0，x)=g(x)，

　　这里g(x)在点x0附近解析，并满足

　

% b$ ?* h& Y  P- H6 u　　科瓦列夫斯卡娅的工作得到数学界的好评，法国数学家H．庞加莱(Poincaré)曾说：“她极大地简化了证明并给出定理的最终形式．”
( t+ }- q( l# a/ R3 t" q5 s　　 科瓦列夫斯卡娅最重要的贡献是对刚体运动的研究．刚体绕定点运动的方程是欧拉在1750年提出的，它们是：

　

　　　　　　　　　　　　　　 　

9 j# o. R; r/ U) y7 f　　其中，A，B，C是刚体关于定点的惯性椭球的主轴，M是刚体的质量，g是重力加速度，(γ，γ′，γ″)是指向下方的单位向量，p，q，r是角速度沿各主轴的分量，(x0，y0，z0)是刚体重心的坐标．
　　为确定任意时刻刚体的运动位置，要对这组方程求积．1888年以前，只解决了两种情形．第一种情形要求满足条件x0=y0=z0=0，曾被欧拉和S．D．B．泊松(Poisson)研究过．此时刚体的重心与固定点重合，这是不受力的对称体的运动．这时没有外力作用于刚体，重力不影响运动，因此旋转轴在刚体内的固定位置上．地球的自转运动就是不受外力运动的一个例子．
　　 第二种情形要求A=B，x0=y0=0，曾由拉格朗日研究过．此时，定点和重心位于同一轴上，有时这个轴是对称轴的，比如陀螺的旋转便是如此．陀螺绕一个定点旋转，这个定点不是重心，但它与重心都在陀螺的对称轴上．当陀螺旋转时，它本身产生一个力矩，使陀螺保持平衡．
. H( j, W& O+ a  z# U& m( t　　 以上两种情形，都要求刚体是对称的．科瓦列夫斯卡娅在她的论文中指出，欧拉和拉格朗日所考虑的方程组，p，q，r，γ，γ′，γ″这六个未知量都是时间变量的单值函数，它们只有唯一的奇点，即极点．方程组的通积分在通常情形下是否能保持这一性质呢？如果能保持这一性质，那么这些方程可以借助于下列级数进行积分：
. R' J1 [% s; r) D0 _0 l  C　　p=t-n1(p0+p1t+p2t2+…)，
9 H! X  w' r7 Z- i7 |& s7 J　　q=t-n2(q0+q1t+q2t2+… )，
1 L, ~6 d: g+ Q9 @　　r=t-n3(r0+r1t+r2t2+…)，
　　γ=t-m1(f0+f1t+f2t2+…)，
- E: [! q* ~' t8 b9 _. @　　γ′=t-m2(g0+g1t+g2t2+…)，
" o* n4 K) f$ R; e% h7 q+ w2 z$ f　　γ″=t-m3(h0+h1t+h2t2+…)．
　　这里n1，n2，n3，m1，m2，m3都是正整数．为了使这些级数能表示所研究方程组的通积分，它们应该包含5个任意常数．比较方程组两边第一项的系数，不难确定

n1＝n2＝n3=1，m1=m2=m3=2．

$ y/ b* d, a! P" Y0 H5 O  k) D　　为确定系数p0，q0，r0，f0，g0，h0，科瓦列夫斯卡娅进一步分析方程，得到了刚体是非对称的一种情形的解．即当两个惯性力矩相等，并等于第三个惯性力矩的二倍，而刚体重心在由相等的惯性矩决定的平面内时，相当于在条件

A=B＝2C，z0=0

! d) k. i6 p2 t1 S/ T# V& d2 f　　下给出了方程组的通积分．
　　欧拉方程组具有如下形式的代数积分：

Ap2+Bq2+Cr2-2Mg(x0γ+y0γ′+z0γ″)=C1，

Apγ+Bqγ′+Crγ″＝C2，

γ2+(γ′)2+(γ″)2=1．

　　科瓦列夫斯卡娅在她限定的条件下导出了第四积分．她用在xy坐标平面内的转轴变换和改变长度单位的办法使y0=0，C=1，此时欧拉方程组变为：

　

# r3 E$ |' |# I: p2 j. l( N　　其中C0=Mgx0．那么三个代数积分是

2(p2+q2)+γ2=2C0γ+6l1，

2(pγ+qγ′)+rγ″=2l，

γ2+(γ′)2+(γ″)2=1．

: R! b0 p* n0 ]: k, |　　 此处l与l1是积分常数．然后她导出第四积分：[(p+qi)2+C0(γ+γ′i)][(p-qi)2+C0(γ-γ′i)]=k2，k为任意常数。接着，她令x1=p+qi，x2=p-qi，经过几次变量替换及代数运算，得到方程

　

* ?9 d, I" I, P0 H　　这里R1(S)是5次多项式，其零点是唯一的，S1和S2是x1与x2的多项式．这组方程引出了超椭圆积分，科瓦列夫斯卡娅用θ函数解出了这些积分．
4 f1 t( \4 @+ b4 }/ Y; B: J　　科瓦列夫斯卡娅还证明，她引进的关于p，q，r，γ，γ′，γ″的级数展开式是欧拉方程组的解的必要条件是A，B，C，x，y，z满足下列四个条件之一：
　　(1)A=B=C，
2 B0 |+ M' j* w. S8 F　　(2)x0=y0=z0(欧拉研究的情形)，
　　(3)A=B，x0=y0=0(拉格朗日研究的情形)，
　　(4)A=B=2C，z0=0(科瓦列夫斯卡娅研究的情形)。
( W1 X, D6 q6 ^0 ?( v3 d　　刚体绕定点旋转问题如图1① (①引自P．Polubarinova-Kochina，Sophia vasilyevna Kovalevskaya，1957，第60页．)所示．

　

4 \4 L* y& S8 a( X- U* }/ }　　关于刚体绕定点旋转问题的研究，自从拉格朗日之后，大约有一个世纪停步不前．科瓦列夫斯卡娅的工作，打破了100年来的僵持局面，开辟了在近代力学中应用数学分析方法的新方向．正是这项工作使她获得法国科学院的鲍罗丁奖金．法国科学院举行了隆重的授奖仪式．科学院院长皮埃尔·让森(Pierre Janssen)先生亲自到会致词，高度评价了科瓦列夫斯卡娅的成就．他说：“当今最辉煌、最难得的荣誉桂冠，有一顶将落到一位妇女头上．本科学院的成员们发现，她的工作不仅证明她拥有广博深刻的科学知识，而且显示了她的巨大的创造才智．”
- G! M% l; ~  p; _　　在文学方面，科瓦列夫斯卡娅曾和瑞典女作家安娜·列夫勒(Anna Leffler)共同创作剧本《为幸福而斗争》(Бapьбa зa CTaCTьe 1877)，获得成功．她还写了几部小说，如《童年的回忆》(Ba cпoM-иHaHия дeTCTBa 1890)、《一个女虚无主义者》(Hи ги-лиCTKa，1844)等．其中以《童年的回忆》最为著名，已被译成多种文字．
2 T/ A* Y0 y) J3 j" w7 H8 I. K　　1948年，苏联科学院出版了科瓦列夫斯卡娅科学著作全集．1950年，莫斯科和斯德哥尔摩分别举行了隆重的纪念大会，纪念科瓦列夫斯卡娅诞生100周年．

extras

弗罗贝尼乌斯

　　弗罗贝尼乌斯，F．G．(Frobenius，Ferdinand Georg)1819年10月26日生于德国柏林；1917年8月3日卒于柏林州夏洛滕堡(Charlottenburg)．数学．
* f* j( x3 X( y' ]0 \8 y6 O　　弗罗贝尼乌斯的父亲C．F．弗罗贝尼乌斯是一位教区牧师，母亲名叫伊丽莎白(Elisabeth)，姓弗里德里希(Friedrich)．弗罗贝尼乌斯的青少年时代正值德国资产阶级力量快速增长，经济迅猛发展，从农业国变成工业国的时期，这种经济的持续繁荣为1871年德意志的民族统一打下了基础．社会的巨大变化要求教育体制与之相适应．但弗罗贝尼乌斯是在传统体制下接受早期教育的．他先就读于柏林的约阿希姆斯塔尔(Joachimthal)文科中学(Gymnasium)，那是大学的预备学校．自1834年后，只有通过文科中学的毕业考试这条渠道，青年才能进入大学继续深造．文科中学垄断毕业考试的状况直至20世纪初才告结束．弗罗贝尼鸟斯在文科中学打下古典语文、历史、人文学科及数学、自然科学等各门知识的良好基础后，1867年进入格丁根大学，开始他的数学学习．当时德国大学中没有数学系，数学是哲学院中的一个专业，有哲学博士学位，而没有单独的数学博士学位．1870年，弗罗贝尼乌斯在柏林完成学业并获博士学位．这一年的下半年，他任教于母校约阿希姆斯塔尔文科中学，次年转入一所实科学校(Re-alschule)执教．在这种学校里，数学和自然科学成为教学中的重要组成部分，这是德国中等教育由单轨制学校转变成双轨制学校的体现．现在Realschu1e成为Mittleschule(中学)的同义词．
' _& I$ J2 j& Y. q! X# I3 E/ N　　当时，随着世界科学中心的转移，数学研究中心也由法国移至德国．除1825年创刊的《纯粹与应用数学杂志》(Journal für diefeine und angenandte Mathematik)外， 1869年又创刊发行了《数学年鉴》(Mathematische Annalen)．70年代，虽然格丁根继C．F．高斯(Gauss)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)和G．F．B．黎曼(Riemann)之后处于相对低潮，但柏林却由于E．E．库默尔(Kummer)、K．T．W．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、L．克罗内克(Kronecker)等人而比较繁荣．处于这样一种良好的研究氛围中，弗罗贝尼乌斯撰写了一系列比较优秀的数学论文．1874年，他被聘为柏林大学副教授，第二年又成为瑞士苏黎士高等工业学校(Eidgeenssische Polytechnikum)教授．1876年，弗罗贝尼乌斯与A．莱曼(Lehmann)结婚．
  \, e% ^8 ^, u, f9 k" W0 d1 Q: U& N* H　　1870年左右，群论成为数学研究的主流之一．弗罗贝尼乌斯在柏林时就受到库默尔和克罗内克的影响，对抽象群理论产生兴趣并从事这方面的研究，发表了多篇有价值的论文．1892年，他重返柏林大学任数学教授．1893年当选为柏林普鲁士科学院院士．
　　弗罗贝尼乌斯的论文数量很多，其中相当一部分非常重要．他有几篇文章是与其他著名学者合作的，尤其与L．施蒂克尔贝格(Stickelberger)和I．舒尔(Schur)的合作最为成功．舒尔是弗罗贝尼乌斯的学生，被认为是抽象群表示论的初创者之一，他发展和简化了弗罗贝尼乌斯的一些结果．弗罗贝尼乌斯生前没有专著出版，1968年，他的论文以论文集的形式重新出版，共3卷．
　　弗罗贝尼乌斯在θ函数、行列式、矩阵、双线性型以及代数结构方面都有出色的工作．1874年，他给出有正则奇点的任意次齐次线性微分方程的一种无穷级数解，后被称为“弗罗贝尼乌斯方法”．关于这一问题的系统研究是由魏尔斯特拉斯的学生I．L．富克斯(Fiuchs)开创的．1878年，弗罗贝尼乌斯发表了正交矩阵的正式定义，并对合同矩阵进行了研究．1879年，他联系行列式引入矩阵秩的概念．弗罗贝尼乌斯还扩展了魏尔斯特拉斯在不变因子和初等因子方面的工作，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子理论，这对线性微分方程理论具有重要意义．1880年，弗罗贝尼乌斯提出发散级数的一种可和性定义，他的结果后来被O．L．赫尔德(H1der)推广，成为(H，r)求和法．
" y: n, k! L/ y　　弗罗贝尼乌斯的主要数学贡献在群论方面，尤其是群的表示理论．群的思想萌芽虽然在数学史上出现得很早，但其概念直至19世纪后半叶才正式出现．19世纪70，80年代，数学家们通过联系群的三个主要历史根源创造了抽象群的概念．这三个根源是：代数方程的求解理论，包括伽罗瓦群、置换群；几何，包括有限和无限变换群、李群；数论，包括二次型的组合、加法群．抽象群是现代意义下第一个抽象的数学结构．弗罗贝尼乌斯对抽象群概念的形成做出奠基性的贡献．在与施蒂克尔贝格合作的“关于可换元素群”(Ueber Gruppenvon vertauschbaren Elementen，1879)中，他指出抽象群的概念应当包含同余、高斯二次型组合以及．伽罗瓦(Galois)的置换群，他还提到了无限群．发表于1895年的“有限群”(ber endliche Gruppen)也是关于抽象群概念的一篇重要文章．群的抽象概念完成之后，弗罗贝尼乌斯开始研究抽象群理论中的具体问题．1887年，他证明了有限抽象群的叙洛夫(Sylow)定理，即如果一个有限群的阶(有限群的阶指它包含的元素的个数)能被一个素数p的方幂pn整除，则它恒包含一个pn阶子群．19世纪90年代，弗罗贝尼乌斯研究可解群，发现阶不能被一个素数的平方整除的群全都是可解的．研究什么样的群可解，对于确定群的结构很重要．
, Q7 C+ u+ W1 p$ F　　19世纪末20世纪初，受J．W．R．戴德金(Dedekind)来信的鼓舞，弗罗贝尼乌斯开始创立和发展群论中最系统和最本质的部分——有限群的表示理论．作为群表示论的开端，他对于有限群中n个变量的线性代换理论产生重大影响，这一理论的所有重要方面最终由弗罗贝尼乌斯和舒尔共同完成．群表示论就是用具体的线性群(矩阵群)来描述群的理论．其核心是群特征标理论．弗罗贝尼乌斯发表的与这一论题相联系的论文有“群特征标”(ber die Gruppencharaktere，1896)，“论有限群线性代换”(ber die Darstellungder endlichen Gruppen durch lineareSubstitutionen，1897，1899)，“关于群特征的结构”(ber dieKomposition der Charaktere einer Gruppe，1899)，以及与舒尔合作的“论实有限群”(ber die reellen Darstellungen der end-lichen Gruppen，1906)等．
4 E2 j1 @. |5 ]& b$ @" ?5 a: F5 a$ @, A　　在发表于1896年的三篇文章“可交换矩阵”(ber vertausch-bare Matrizen)、“群特征标”和“群行列式的素因子”(ber diePrimfaktoren der Gruppendeterminante)中，弗罗贝尼乌斯建立了有限群特征论的基础，解决了戴德金提出的非阿贝尔群的群行列式分解问题．
　　在“论有限群线性代换”中，弗罗贝尼乌斯首次介绍了有限群的表示这一概念．设G是有限群，C是复数域，他定义一个表示是一个同态T∶G→GLd(C)，这里GLd(C)是C上可逆的d×d矩阵群，d还对有限群引进可约表示和完全可约表示的概念，证明了一个正则表示包含所有不可约表示．在这篇文章中，他定义在一般情形下，表示T和T＇∶G→GLd＇(C)是等价的，如果它们有相同的度数，即d=d＇，X=T＇(g)．特别地，对g∈G，矩阵r(g)和r′(g′)是相似的，因此它们有相同的关于相似性的数值不变量：相同的特征值集合，相同的特征多项式，迹和行列式．表示论的重要不变量是迹函数，弗罗贝尼乌斯称X(g)=T(g)，g∈G的迹为表示的特征．这个定义比较简单，成为今天的标准定义．在“群特征标”一文中，他曾给出一个叙述颇为复杂的定义．特征实际上确定了表示，可以证明：两个表示等价，当且仅当他们的特征等价．可见研究有限群的特征有重要意义．群的特征的概念后来又被弗罗贝尼乌斯及其他人应用到无限群上．
0 A: Y  Q9 ~3 ^4 X6 u　　在“群与其子群特征之间的关系”(ber Relationen zwischenden Charakteren einer Gruppe und denen iher Untergruppen，1898)一文中，弗罗贝尼乌斯对群G的特征和G的子群H的特征之间的关系进行了深刻的分析，他正确地认识到了解这一关系对于表示和特征的实际计算非常重要．在这篇文章中，弗罗贝尼乌斯给出诱导类函数的定义：φg(g)=

8 m' r$ T" s; s1 r5 Q/ r　　他还证明了一个现在称为弗罗贝尼乌斯互反律的基本结果：即若ρ与φ分别是G与H的不可约表示，则φ在ρH(即ρ限制到H上)的完全分解中出现的重数等于ρ在诱导表示φg要工具．弗罗贝尼乌斯关于诱导特征的推广称为例外特征理论．
1 h5 V* X/ Q/ [' J  ?　　从1896年至1907年间，弗罗贝尼乌斯发表了20多篇论文，从各方面扩展了特征论和表示论，专门论述了对称群的特征、变换群的特征等．他还得出仅存在少数几个不可约表示、其他所有表示都是由它们组合而成的重要结果．
% s/ u' b) |; y9 ~* a- B* z　　与弗罗贝尼乌斯同时，英国数学家W．伯恩赛德(Burnside)也独立发展了表示论和特征的方法．他的《有限阶群论》(Theoryof groups of finite order，1897)的第二版(1911)是群论的经典著作之一，在这本书中他表达了对弗罗贝尼乌斯的感谢：“有限阶群作为线性变换的表示论主要由弗罗贝尼乌斯教授创立，而同源的群特征理论完全由他创立”．20世纪20年代，A．E．诺特(No-ether)强调了“模”这一代数结构的重要性，她将代数结构和群表示论融合为一，推进了这两个分支的发展．后来，R．D．布劳尔(Brauer)深化群表示论的研究，引进模表示论．
3 x' Q* ]3 G6 O9 ], z7 o  ~　　有限群的表示论已推广到无限群，特别是局部紧拓扑群，这成为近代分析的一个主要领域，推广了经典傅里叶(Fourier)分析．群表示论不仅应用在群的一些比较困难的问题中，在理论物理和量子力学中也有奇妙而重要的应用．
+ }- D! L% ]+ i- T5 ^　　弗罗贝尼乌斯擅长计算，越富挑战性的问题越能吸引他．他曾运用关于特征的思想以及组合学和代数学的新技巧算出一些无穷族中的所有群的特征表．他的技巧远远走在时代前面，对几何学和代数学也有持续而强烈的影响．正是这种勇于挑战的精神激励他在困难重重的抽象群表示论中乐此不疲地探索，取得丰硕成果．