中外著名的数学家

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弗罗贝尼乌斯

( m3 v7 \, U7 l/ ]' f/ j　　弗罗贝尼乌斯，F．G．(Frobenius，Ferdinand Georg)1819年10月26日生于德国柏林；1917年8月3日卒于柏林州夏洛滕堡(Charlottenburg)．数学．
) J% f. l3 m  N7 h/ B8 A; v/ d　　弗罗贝尼乌斯的父亲C．F．弗罗贝尼乌斯是一位教区牧师，母亲名叫伊丽莎白(Elisabeth)，姓弗里德里希(Friedrich)．弗罗贝尼乌斯的青少年时代正值德国资产阶级力量快速增长，经济迅猛发展，从农业国变成工业国的时期，这种经济的持续繁荣为1871年德意志的民族统一打下了基础．社会的巨大变化要求教育体制与之相适应．但弗罗贝尼乌斯是在传统体制下接受早期教育的．他先就读于柏林的约阿希姆斯塔尔(Joachimthal)文科中学(Gymnasium)，那是大学的预备学校．自1834年后，只有通过文科中学的毕业考试这条渠道，青年才能进入大学继续深造．文科中学垄断毕业考试的状况直至20世纪初才告结束．弗罗贝尼鸟斯在文科中学打下古典语文、历史、人文学科及数学、自然科学等各门知识的良好基础后，1867年进入格丁根大学，开始他的数学学习．当时德国大学中没有数学系，数学是哲学院中的一个专业，有哲学博士学位，而没有单独的数学博士学位．1870年，弗罗贝尼乌斯在柏林完成学业并获博士学位．这一年的下半年，他任教于母校约阿希姆斯塔尔文科中学，次年转入一所实科学校(Re-alschule)执教．在这种学校里，数学和自然科学成为教学中的重要组成部分，这是德国中等教育由单轨制学校转变成双轨制学校的体现．现在Realschu1e成为Mittleschule(中学)的同义词．
) l' S- S/ F5 Y( h9 K" l2 C  C7 @　　当时，随着世界科学中心的转移，数学研究中心也由法国移至德国．除1825年创刊的《纯粹与应用数学杂志》(Journal für diefeine und angenandte Mathematik)外， 1869年又创刊发行了《数学年鉴》(Mathematische Annalen)．70年代，虽然格丁根继C．F．高斯(Gauss)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)和G．F．B．黎曼(Riemann)之后处于相对低潮，但柏林却由于E．E．库默尔(Kummer)、K．T．W．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、L．克罗内克(Kronecker)等人而比较繁荣．处于这样一种良好的研究氛围中，弗罗贝尼乌斯撰写了一系列比较优秀的数学论文．1874年，他被聘为柏林大学副教授，第二年又成为瑞士苏黎士高等工业学校(Eidgeenssische Polytechnikum)教授．1876年，弗罗贝尼乌斯与A．莱曼(Lehmann)结婚．
　　1870年左右，群论成为数学研究的主流之一．弗罗贝尼乌斯在柏林时就受到库默尔和克罗内克的影响，对抽象群理论产生兴趣并从事这方面的研究，发表了多篇有价值的论文．1892年，他重返柏林大学任数学教授．1893年当选为柏林普鲁士科学院院士．
　　弗罗贝尼乌斯的论文数量很多，其中相当一部分非常重要．他有几篇文章是与其他著名学者合作的，尤其与L．施蒂克尔贝格(Stickelberger)和I．舒尔(Schur)的合作最为成功．舒尔是弗罗贝尼乌斯的学生，被认为是抽象群表示论的初创者之一，他发展和简化了弗罗贝尼乌斯的一些结果．弗罗贝尼乌斯生前没有专著出版，1968年，他的论文以论文集的形式重新出版，共3卷．
　　弗罗贝尼乌斯在θ函数、行列式、矩阵、双线性型以及代数结构方面都有出色的工作．1874年，他给出有正则奇点的任意次齐次线性微分方程的一种无穷级数解，后被称为“弗罗贝尼乌斯方法”．关于这一问题的系统研究是由魏尔斯特拉斯的学生I．L．富克斯(Fiuchs)开创的．1878年，弗罗贝尼乌斯发表了正交矩阵的正式定义，并对合同矩阵进行了研究．1879年，他联系行列式引入矩阵秩的概念．弗罗贝尼乌斯还扩展了魏尔斯特拉斯在不变因子和初等因子方面的工作，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子理论，这对线性微分方程理论具有重要意义．1880年，弗罗贝尼乌斯提出发散级数的一种可和性定义，他的结果后来被O．L．赫尔德(H1der)推广，成为(H，r)求和法．
6 D% P6 m' T) J9 ~7 }　　弗罗贝尼乌斯的主要数学贡献在群论方面，尤其是群的表示理论．群的思想萌芽虽然在数学史上出现得很早，但其概念直至19世纪后半叶才正式出现．19世纪70，80年代，数学家们通过联系群的三个主要历史根源创造了抽象群的概念．这三个根源是：代数方程的求解理论，包括伽罗瓦群、置换群；几何，包括有限和无限变换群、李群；数论，包括二次型的组合、加法群．抽象群是现代意义下第一个抽象的数学结构．弗罗贝尼乌斯对抽象群概念的形成做出奠基性的贡献．在与施蒂克尔贝格合作的“关于可换元素群”(Ueber Gruppenvon vertauschbaren Elementen，1879)中，他指出抽象群的概念应当包含同余、高斯二次型组合以及．伽罗瓦(Galois)的置换群，他还提到了无限群．发表于1895年的“有限群”(ber endliche Gruppen)也是关于抽象群概念的一篇重要文章．群的抽象概念完成之后，弗罗贝尼乌斯开始研究抽象群理论中的具体问题．1887年，他证明了有限抽象群的叙洛夫(Sylow)定理，即如果一个有限群的阶(有限群的阶指它包含的元素的个数)能被一个素数p的方幂pn整除，则它恒包含一个pn阶子群．19世纪90年代，弗罗贝尼乌斯研究可解群，发现阶不能被一个素数的平方整除的群全都是可解的．研究什么样的群可解，对于确定群的结构很重要．
　　19世纪末20世纪初，受J．W．R．戴德金(Dedekind)来信的鼓舞，弗罗贝尼乌斯开始创立和发展群论中最系统和最本质的部分——有限群的表示理论．作为群表示论的开端，他对于有限群中n个变量的线性代换理论产生重大影响，这一理论的所有重要方面最终由弗罗贝尼乌斯和舒尔共同完成．群表示论就是用具体的线性群(矩阵群)来描述群的理论．其核心是群特征标理论．弗罗贝尼乌斯发表的与这一论题相联系的论文有“群特征标”(ber die Gruppencharaktere，1896)，“论有限群线性代换”(ber die Darstellungder endlichen Gruppen durch lineareSubstitutionen，1897，1899)，“关于群特征的结构”(ber dieKomposition der Charaktere einer Gruppe，1899)，以及与舒尔合作的“论实有限群”(ber die reellen Darstellungen der end-lichen Gruppen，1906)等．
% [9 Q( P" @- e; ~! B* I　　在发表于1896年的三篇文章“可交换矩阵”(ber vertausch-bare Matrizen)、“群特征标”和“群行列式的素因子”(ber diePrimfaktoren der Gruppendeterminante)中，弗罗贝尼乌斯建立了有限群特征论的基础，解决了戴德金提出的非阿贝尔群的群行列式分解问题．
, ~: V  u% U+ t9 {) l　　在“论有限群线性代换”中，弗罗贝尼乌斯首次介绍了有限群的表示这一概念．设G是有限群，C是复数域，他定义一个表示是一个同态T∶G→GLd(C)，这里GLd(C)是C上可逆的d×d矩阵群，d还对有限群引进可约表示和完全可约表示的概念，证明了一个正则表示包含所有不可约表示．在这篇文章中，他定义在一般情形下，表示T和T＇∶G→GLd＇(C)是等价的，如果它们有相同的度数，即d=d＇，X=T＇(g)．特别地，对g∈G，矩阵r(g)和r′(g′)是相似的，因此它们有相同的关于相似性的数值不变量：相同的特征值集合，相同的特征多项式，迹和行列式．表示论的重要不变量是迹函数，弗罗贝尼乌斯称X(g)=T(g)，g∈G的迹为表示的特征．这个定义比较简单，成为今天的标准定义．在“群特征标”一文中，他曾给出一个叙述颇为复杂的定义．特征实际上确定了表示，可以证明：两个表示等价，当且仅当他们的特征等价．可见研究有限群的特征有重要意义．群的特征的概念后来又被弗罗贝尼乌斯及其他人应用到无限群上．
# m5 b/ }: q8 O. q9 _- q/ D　　在“群与其子群特征之间的关系”(ber Relationen zwischenden Charakteren einer Gruppe und denen iher Untergruppen，1898)一文中，弗罗贝尼乌斯对群G的特征和G的子群H的特征之间的关系进行了深刻的分析，他正确地认识到了解这一关系对于表示和特征的实际计算非常重要．在这篇文章中，弗罗贝尼乌斯给出诱导类函数的定义：φg(g)=

6 G! M" w  z% U# X* t1 m! D　　他还证明了一个现在称为弗罗贝尼乌斯互反律的基本结果：即若ρ与φ分别是G与H的不可约表示，则φ在ρH(即ρ限制到H上)的完全分解中出现的重数等于ρ在诱导表示φg要工具．弗罗贝尼乌斯关于诱导特征的推广称为例外特征理论．
: t9 M: x/ E6 R& D% v& v" q　　从1896年至1907年间，弗罗贝尼乌斯发表了20多篇论文，从各方面扩展了特征论和表示论，专门论述了对称群的特征、变换群的特征等．他还得出仅存在少数几个不可约表示、其他所有表示都是由它们组合而成的重要结果．
. X6 \# q. f: |* D　　与弗罗贝尼乌斯同时，英国数学家W．伯恩赛德(Burnside)也独立发展了表示论和特征的方法．他的《有限阶群论》(Theoryof groups of finite order，1897)的第二版(1911)是群论的经典著作之一，在这本书中他表达了对弗罗贝尼乌斯的感谢：“有限阶群作为线性变换的表示论主要由弗罗贝尼乌斯教授创立，而同源的群特征理论完全由他创立”．20世纪20年代，A．E．诺特(No-ether)强调了“模”这一代数结构的重要性，她将代数结构和群表示论融合为一，推进了这两个分支的发展．后来，R．D．布劳尔(Brauer)深化群表示论的研究，引进模表示论．
6 Z$ g5 f  k0 a/ U% P3 r% g; S　　有限群的表示论已推广到无限群，特别是局部紧拓扑群，这成为近代分析的一个主要领域，推广了经典傅里叶(Fourier)分析．群表示论不仅应用在群的一些比较困难的问题中，在理论物理和量子力学中也有奇妙而重要的应用．
2 _2 C- M0 m& _, d7 C$ T1 M　　弗罗贝尼乌斯擅长计算，越富挑战性的问题越能吸引他．他曾运用关于特征的思想以及组合学和代数学的新技巧算出一些无穷族中的所有群的特征表．他的技巧远远走在时代前面，对几何学和代数学也有持续而强烈的影响．正是这种勇于挑战的精神激励他在困难重重的抽象群表示论中乐此不疲地探索，取得丰硕成果．

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马尔科夫

6 N% M$ n0 x& {" M8 y　　马尔科夫， A． A．(МapKOB，AHдpeй AHдpeeBич)1856年6月14日生于俄国梁赞市；1922年7月20日卒于彼得格勒．数学．
. D# ~  O- l2 A. K　　马尔科夫的父亲原先是梁赞省林业厅的一个低级官员，后来在官场遭到倾轧，只好带领全家迁居彼得堡.(彼得堡(пeTepбypr)，1914-1924年改称彼得格勒(пeTpoгpaд)，)他自己在一个有钱的寡妇家里担任管家．大约在此同时，马尔科夫腿部患了骨结核，直到10岁左右方经手术治疗好转，但是仍然留有一点后遗症，这段痛苦的经历对他的早年意志是一个很好的磨炼．
. [, i  B/ g" j2 B　　中学时代，马尔科夫喜欢阅读Н．Г．车尔尼雪夫斯基(ЧepHь- IшeBCKий)、Н．А．杜勃罗留波夫(ДoбpoлюбOB)等进步作家的作品，因此屡屡遭到东正教会控制的学校领导的警告．有一次由于他在祈祷仪式上心不在焉，被学监斥责为无神论者和无政府主义者，只是考虑到他在数学方面的才华和父亲再三赔礼道歉之后，校方才保留了他的学籍．
　　马尔科夫在中学时就开始自学微积分，有一次他独立地发现了一种常系数线性常微分方程的解法，因此写信给俄国当时最有资望的数学家В．Я．布尼亚科夫斯基(БyHOBCKий)，信被转到彼得堡大学数学系的А．Н．科尔金(KopKиH)和Е．Н．佐洛塔廖夫(ЗoлoTapB)手里，从此马尔科夫与彼得堡大学的数学家建立了联系．
　　1874年，马尔科夫考入彼得堡大学数学系．1878年毕业并留校工作，他的毕业论文“以连分数解微分方程”(Oб иHTeгpиpoBa- Hии ДиффepeHциaлHьIX ypaBHeHий пpи пoMo-щи HeпpepьIBHьIX дpoбeй，1878)获得当年系里颁发的金质奖．1880年，马尔科夫完成了“关于双正定二次型”(O биHap- HьIX KBaдpaTичHbIX фOPMax пoлoжиTeлbHoгo oпpeдeлиTeHия，1880)的硕士论文；从这一年起，他正式给学生开课．1883年，马尔科夫与М．И．瓦里瓦契耶瓦娅(BaльBaT-ъeBaя)结为伉俪，新娘的母亲正是他父亲当年的女雇主．1884年，马尔科夫以“关于代数连分数的某些应用”(O HeKoTopьIX пpи-лoжeHия aлгeбpaичecKиX HeпpepьIBHьIX дp- oбeй，为题通过了博士论文的答辩．
　　1886年，经П．Л．切比雪夫(ЧeбьIшeB)提名，马尔科夫获得彼得堡科学院联络成员资格，1890年成为候补院士，1896年升为正院士．他积极地参加了科学院数理学部的学术和组织活动．
　　马尔科夫从1880年开始，先是担任助教和讲师，1886年成为副教授，1893年成为正教授，1905年退休并获荣誉教授称号．二十五年来，他在彼得堡大学先后讲授过微积分、数论、函数论、矩论、计算方法、微分方程、概率论等课程，培养了大批出色的数学人才．1917年9月，因为彼得格勒已无正常的工作秩序，马尔科夫自愿来到梁赞省萨兰斯克城，无偿地为当地中学担任数学教师．十月革命后的1918年秋，马尔科夫重返彼得格勒，并为彼得格勒大学开设概率论讲座．
　　1921年秋，马尔科夫的健康开始恶化，只得离开母校．在生命的最后一年里，他还在抓紧时间对汇集了生平心血的《概率演算》(Иcч-иcлeHиe BepoяTHOCTeй，CПБ，1900，изд．，2-e-1908，3-e-1912，4-e-1924)一书进行修改．
　　在马尔科夫从事科学活动的时代，一个以彼得堡大学为中心的俄罗斯数学学派正在逐步形成，切比雪夫是这一学派当之无愧的领袖，科尔金、佐洛塔廖夫、Ю．Ь．索霍茨基(CoxoцKий)、K．A．波瑟(Пocce)、А．М．李雅普诺夫(ЛяпyHOB)和马尔科夫本人都是这一学派的重要成员．正是在这些人的共同努力下，俄国数学开始摆脱落后局面，并在数论、函数论、概率论等分支里出现了具有世界意义的成果．
　　马尔科夫的硕士论文是关于代数数论中双正定二次型的极值问题的，他推进和完善了科尔金和佐洛塔廖夫不久前得到的结果，并建立了二次型表示论与丢番图分析之间的联系．在这项工作中，马尔科夫已表现出了善于联系经典问题、充分利用初等工具、追求解的精确性和实用性以及不畏繁复计算的典型的“彼得堡风格”．由切比雪夫所开拓的这种独特风格正是使俄罗斯数学走向世界并引起法、德等传统数学大国刮目相看的主要原因．的确，在切比雪夫众多的弟子们之中，没有人比马尔科夫更加“彼得堡化”了，多年以后有人向他请教数学的定义，他不无骄傲地说：“数学，那就是C．F．高斯(Gauss)、切比雪夫、李雅普诺夫、斯捷克洛夫和我所从事的事业．”
　　1901年以后，马尔科夫又一再回到二次型这一课题上来，并得到关于三元、四元二次型的较好结果．他也曾致力于理想素因子的分解研究，
　　理想素因子的当时最好结果，并算出了A≤70的所有数据．
　　切比雪夫曾将力学中矩的概念应用于证明概率论中的极限定理，他以连分数形式给出了某些极值不等式，但是没有提供证明．1884年，马尔科夫在“某些切比雪夫积分的证明”(Démonstrationde certaines inégalités de M．Tchebycheff， 1884)一文中给出了证明，又在同年通过的博士论文的第三部分给出了切比雪夫问题的完整解答．这一研究导致了马尔科夫关于矩论的一系列论文，后来他在概率论的研究中对切比雪夫的矩问题作了许多深入的拓广．这些拓广的一个重要方面的内容是：若前n+1个矩为已知的非负函数f(x)在区间(a，b)上满足不等式0 ≤ f(x)≤ L(L为一给定常数)，又设g
4 }! J, B+ {  w% J* F/ y/ R　　能的f(x)的最大值和最小值，并分别确定使其达到极值的两个具体的函数f1(x)和f2(x)．这里已经出现了泛函的雏形，马尔科夫在假定了g(x)前n+1阶导数存在且它本身在(a，b)上不变号的条件下解决了这个问题，这使他得以建立起一种相当简单而又带有修正项的新的求积公式．他的这些工作，最初见于1896年发表的“连分数的一些新应用”(HoBьIeпpилoжeHияHeпpepьIBHьIXдpoбeй，1896)一文，而后又在1897年的一系列论文中作了进一步的阐述，其中最为重要的一篇是“关于矩的L问题”(L-пpoблeMa MOMeHTOB，1897)．
! Z, j2 \/ b3 M　　马尔科夫的这一系列工作几乎是与荷兰数学家Th．J．斯蒂尔吉斯(Stieltjes)的工作同时而独立地进行的，但是后者更关心积分形式的意义，而不是其估值的结果，从而导致了一类应用广泛的积分的出现，为实变函数论的发展奠定了基础．斯蒂尔吉斯于去世前不久发表的综述性论文中，解决了无穷区间(0，∞)上的矩问题，并且给出了所要寻找的函数的一切整数阶矩的连分数表达式．作为回答与对这位学术知己的纪念，马尔科夫于1895年发表了“关于某些连分数收敛性的两个证明”(Deux démonstrationsde la convergence de certaines fractions continues， 1895)一文，文中给出了斯蒂尔吉斯连分数收敛的充分条件．
　　马尔科夫对实际问题具有浓厚兴趣．1889年，他在“关于一个门捷列夫问题”(Oб OдHOM BOпpoce Д．И．MeHдeлeeBa，1889)一文中，解决了由彼得堡大学著名化学家д．И．门捷列夫(MeHдeлeeB)提出的一个问题，从数学上来说这一问题相当于找出定义在闭区间[a，b]上的n次多项式f(x)之导数f′(x)在某种条件下的最大值，它与切比雪夫所开创的对偏离零点的多项式的最大偏差的估计有关．三年之后，马尔科夫的同父异母弟弟弗拉基米尔(Bлaди- Mиp)将这一问题推广到求导数多项式的上确界的情况，可惜他这位颇具数学才华的弟弟26岁时便死于肺结核．马尔科夫还研究过空间曲面的投影转换、铁路弯道的曲率等实际问题．在微分方程领域，他致力于G．拉梅(Lamé)方程和超几何方程的研究，其成果包括确定了一个超几何方程的两个解的乘积可为整函数的条件，以及这类函数与拉梅函数的零点分布问题．
0 a. U% U3 @0 o3 w- v5 }9 ?! O　　马尔科夫对数学的最大贡献是在概率论领域作出的．十九世纪后二十年，他主要是沿着切比雪夫开创的方向，致力于独立随机变量和古典极值理论的研究，从而改进和完善了大数定律和中心极限定理．二十世纪初，他的兴趣转移到相依随机变量序列的研究上来，从而创立了以他命名的著名概率模型——马尔科夫链．
; C& T) B' i. Q　　概率论中的一个基本问题就是探索概率接近于1时的规律，特别是大量独立或弱相依因素累积结果所发生的规律，大数定律就是表达有关这种规律的命题之一．1845年，切比雪夫第一次证明了伯努利形式的大数定律，次年又把结果拓广到泊松形式之上．马尔科夫不满意切比雪夫证明中要求随机变量的方差值一致有界这一条件，经过努力他找到了两个更合理的条件，极大地改进了切比雪夫的结果．
0 x; m1 D" x4 \' f+ r! W　　中心极限定理是概率论极限理论的又一重要内容，它讨论随机变数和依分布收敛到正态分布的条件．在1884年马尔科夫对矩方法所涉及到的切比雪夫不等式给出了证明之后，切比雪夫于1887年得到了这一定理
, f$ x5 r* ~& D1 V, q' b) h2 M
; s3 e( q9 R* L- w, o( X$ f夫提出的命题给出了精确的陈述与证明，文中所使用的改进后的矩方法后来被人称为“切比雪夫-马尔科夫矩方法”．
　　1900年前后，马尔科夫的低班校友李雅普诺夫引入了特征函数来考察中心极限定理，从而避免了矩方法要求高阶矩存在的苛刻条件，并为这一定理的进一步精确化准备了条件．多年来，马尔科夫力图在概率论中恢复矩方法的地位，最后他创造出了一种“截尾术”，即在适当的区域截断随机变量使之有界，从而在不改变它们和的极限分布的前提下保证任意阶矩的存在，他的这一成果发表在“关于李雅普诺夫院士情形的概率极限的定理”(TeopeMa Oпpeдeлe Bep- oяTHOCTи для CлyчaeB aKaдeMиKa A．M． ДяпyHoBa，1909)一文中．马尔科夫的创造克服了特征函数方法过分依赖独立性的弱点，开辟了通向非独立随机变量研究的道路，并为强极限理论的发展提供了有力的手段．他与李雅普诺夫关于方法论的竞争，极大地丰富了本世纪初概率论的内容，对这门学科的现代化产生了深远的影响．
/ u% t- X6 [' O) }( D: `1 O　　出于扩大极限定理应用范围的目的，马尔科夫在本世纪初开始考虑相依随机变量序列的规律，并从中选出了重要的一类加以研究．1906年，他在“大数定律关于相依变量的扩展”(PacпpocTpaHeHиe зaKo- HOB бoлbщиX чиCeлHA BeличиHbI，зaBиCяшиe дpyг OT дpyгa，1906)一文中，第一次提到如下一种试验序列：若每次试验能够实现且仅能够实现k件互不相容事件A1s，A2s，…，Aks(s表试验号码)中的一件，而在第s+1次试验中实现事件Ais+1(i=1，2，…k)的条件概率只与第s次试验中发生的事件有关，而与更早的试验中发生的事件无关．这就是被后人称为“马尔科夫链”(严格说是“简单马尔科夫链”)的概率模型．
( g3 J4 ?, a% @& k" C% N　　例如，一个受到在t1，t2，t3，…时刻发生的随机推动的影响而沿着一条直线运动的质点，在运动过程中位于具有整数坐标a，a+1，a+2，…b的点上；在a点和b点上有反射性的壁障．当质点不在壁上时，每次推动使该质点以概率p向右移动而以概率q=1-p向左移动；若质点在壁上，则任何推动使它在两壁之间移动一个单位．可以看出，该质点在ti时刻以多大的概率在什么位置仅仅与它在ti－1时刻的位置有关，而与它在t1，t2，…，ti-2诸时刻的位置无关，这个质点徘徊的例子就提供了一个马尔科夫链的实例．
; R$ g- P. d- ]! Y5 @) M& D　　在这篇论文中，马尔科夫证明了：在这种随机变量序列中，如果变些前提下证明了模型的各态历经性，成为统计物理中具有重要作用的遍历理论的第一个被严格证明的结果．
3 P* q6 H6 w% a6 z. |　　马尔科夫链的哲学意义可用苏联数学家 А．Я．辛钦(XиHч-иH)的一句话来概括，这就是承认客观世界中有一种现象，其未来由现在所决定的程度，使得其关于过去的知识丝毫不影响这种决定性．马尔科夫链的建立实际上是Ch．惠更斯(Huygens)无后效原理的概率推广，同时也是对P．S．拉普拉斯(Laplace)决定论的否定．在后者的宇宙图景中，任意系统在t＞t0时的状态ξ可由其初始时刻t0和初始状态ξ0唯一决定：ε=f(t0，ξ0，t)，这里f是一个微分方程．可是在马尔科夫的概率模型中，代替初始条件t0和ξ0的是一个条件概率，即在时刻t0处于状态ξi的条件下，于时刻t出现状态ξj的概率p(t0，ξi；t，ξj)对于三个相邻时刻t0＜t1＜t2之间的条件概率，存在着这里n表示状态的总数．这一公式与拉普拉斯的微分方程的不同就在于否定了系统中任一状态ξ与其初始状态ξ0之间的因果必然性．
　　马尔科夫是第一个建立这样一种服从无后效原理的数学模型的人，但是他本人并没有提到这一模型在物理世界的应用．有趣的是，他曾用语言学方面的材料来验证这一模型．在《概率演算》的第四版中，他以 A． C．普希金(ПyшKиH)的长诗《叶甫盖尼·奥涅金》中元音字母和辅音字母交替变化的规律，验证了只有两种状态的简单马尔科夫链在俄文字母随机序列中的存在．
　　完成了关于链的大数定律的证明之后，马尔科夫又在一系列论文中开始研究链的中心极限定理．1907年，他在《科学院通报》(ИзBT-ияX AkaдeMии HayK)上发表了“相依试验的一种特殊情况”(ИccлeдoBaHиe зaMeчaTeлbHoгo cлyчaя зaB-иCиMьIX иcпьITaHий，1907)一文，文中证明了仅有0，1两种状态的齐次马尔科夫链的中心极限定理．1908年，他又在“一个链中变量和的概率计算极限定理的推广”(PacпpocTpaHeHиe пpe-дeльHьIX TeopeM иcчилeHия BepoяTHoCTeйHa cy- Mmy BeличиH，CBязaHHbIX B цeпь，1908)一文中将结果推广到具有有限状态的任意齐次乌尔科夫链的情况，在这里转移概率满足一些特定条件．如同他的其他许多工作一样，他在这一证明中使用了矩方法．1910年，马尔科夫发表了“成连锁试验的普遍情况研究”(ИccлeдoBaHиe oбщeгo cлyч-aя иcпьITaHий．CBязaHHьIX B цeпь，1910)一文，文中证明了两种状态的非齐次马尔科夫链的中心极限定理，其中四个转移概率位于一个固定的区间(c1，c2)内．
　　马尔科夫提出的概念后来被扩充到连续时间和任意位相空间，按照欣钦的建议被称为马尔科夫过程，它是现代概率论中的一个重要分支——随机过程理论中的一部分．马尔科夫过程的一般理论及其分类是苏联数学家А．Н．柯尔莫哥洛夫(KoлMoгopoB)于1930年完成的．马尔科夫所开创的这一研究引起了近代物理学、化学、遗传学乃至经济学与社会学观念上的革命，其真实性可由下述事实得到证明：那就是，在马尔科夫从事他的研究之前或同时，一些关于马尔科夫链甚至马尔科夫过程的实例就由其他科学家提供了．例如，1889年英国遗传学家F．高尔顿(Galton)对一个家族生存的调查就可归为一种具有可数状态的马尔科夫链；另一个模型于1907年由荷兰物理学家P．厄伦费斯特(Ehre-nfest)关于容器中分子扩散的实验提供．1912年，法国数学家Н．庞加莱(Poincaré)在其《概率演算》第二版(Calcul des probabilités，2nd．ed．，1912)中提出的洗牌问题，涉及到一个定义在置换群上的链的各态历经性质．法国数学家L．巴歇列埃(Bachelier)在1900—1901年的关于投机理论的研究中接触到连续性的马尔科夫过程．其后А．爱因斯坦(Einstein)和波兰物理学家М．冯·斯莫卢霍夫斯基(Smoluchowski)在对布朗运动的研究中也接触到这一课题．第一个用马尔科夫过程来严格地描述布朗运动的工作是由美国数学家N·维纳(Wiener)于1923年给出的．
8 x$ B0 f5 }- S　　马尔科夫关于链的理论在本世纪得到一大批优秀数学家的继承与发展，他们当中有С．Н．伯恩斯坦(БepHшTeйH)、М．弗雷歇(Fréchet)、В．И．罗曼诺夫斯基(PoMaHoBcKий)、柯尔莫哥洛夫、W．费勒(Feller)、P．莱维(Lévy)、J．达布(Doob)等．近年来，中国数学工者作在与马尔科夫过程论有关的众多课题上也取得了令人瞩目的成果．
　　 马尔科夫生活的时代，正当俄国民主启蒙运动空前高涨和社会主义革命走向胜利的时代，他的思想和行为都体现了鲜明的时代特征．他曾就滥用概率论于“伦理科学”和用神学干预科学的倾向与布尼亚科夫斯基展开过论战．在《概率演算》一书中，他针对后者对“某些哲学家以极不体面的方式，试图把关于证据和传说弱化的概率公式应用到宗教信仰上”的攻击而写道：“对不大可能的事件的叙述就仿佛对久远年代以前发生的事件一样，显然应该予以极端的怀疑．”1912年2月12日，马尔科夫致信东正教最高会议，信中写道：“我最诚挚地请求革除我的教籍．我所写的《概率演算》一书中的一些言论可以作为开除我的理由，因为这些言论已经充分表明我对成为犹太教和基督教教义基础的那些传说所持的否定态度．”教会一面在报纸上对他组织围攻，一面派人来劝说他改变初衷，但是马尔科夫声称“只与来人谈数学”，最后教会只好开除了他的教籍．
　　1902年 2月，科学院文学部联席会议通过了接纳М．高尔基(Гop-ьKий)为名誉院士的决议，但是很快引来了沙皇А．尼古拉二世(H-иKoлaй Ⅱ)的粗暴干涉，受到压力的科学院院务委员会只好又发布了一个取消高尔基当选资格的文告．马尔科夫同В．Г．科罗连科(KopoлeHKO)、А．П．契诃夫(ЧeXOB)等人一道参加了抗议活动．4月6日，他向院务委员会递交了抗议声明．在公开宣读这一声明的要求被拒绝之后，他又于两天后向院长递交了辞去院士称号的报告．直到1905年，他还不忘上书院务委员会，提请其撤销1902年的错误文告．
　　1905年的民主革命失败以后，马尔科夫抵制了代表沙皇利益的第三届国家杜马的选举．他在给科学院的声明中说：“第三届国家杜马的建立完全违背了宪法，因而它根本不是一个代表人民意愿的议会，而只是一个非法的团体，因此我坚决请求院务委员会不要把我的名字列入选民的名单之中．”针对国民教育部1908年关于重申取消大学自治的通告，马尔科夫给教育大臣写信表示：“我最坚决地拒绝在彼得堡大学充当沙皇政府走卒的角色，但我将保留自己开设概率论讲座的权力．”
　　1913年，沙皇政府为了转移国内日益高涨的革命情绪并准备帝国主义战争，决定以1613年全俄贵族会议选举M．Φ罗曼诺夫(PoMaHoB)为沙皇这一历史事件为标志举行罗曼诺夫王朝建立三百周年的庆典．与此针锋相对，马尔科夫以雅格布·伯努利(Bernoulli Jakob)的《猜度术》(Ars Conjectandi，1713)的出版为标志，在科学界发起了庆祝大数定律发现二百周年的庆祝活动．
　　马尔科夫去世后，他的遗体被安葬在彼得格勒的米特罗方耶夫斯基公墓．他的墓碑如同他的文章与讲课风格一样朴素无华．他在数学上的贡献和他为了科学与民主而奋斗的一生是值得后人景仰的．

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希尔伯特

李文林

(中国科学院数学研究所)

! R5 e# N. T1 ~' v/ ]　　希尔伯特，D．(Hilbert，David)1862年1月23日生于德国柯尼斯堡；1943年2月14日卒于格丁根．数学．
　　希尔伯特出身于东普鲁士的一个中产家庭．祖父大卫·菲尔赫哥特·勒贝雷希特·希尔伯特(David Fürchtegott LeberechtHilbert)和父亲奥托·希尔伯特(Otto Hilbert)都是法官，祖父还获有“枢密顾问”头衔．母亲玛丽亚·特尔思·埃尔特曼(Ma-ria Therse Erdtmann)是商人的女儿，颇具哲学、数学和天文学素养．希尔伯特幼年受到母亲的教育、启蒙，八岁正式上学，入皇家腓特烈预科学校．这是一所有名的私立学校，E．康德(Kant)曾就读于此．不过该校教育偏重文科，希尔伯特从小喜爱数学，因此在最后一学期转到了更适合他的威廉预科学校．在那里，希尔伯特的成绩一跃而上，各门皆优，数学则获最高分“超”．老师在毕业评语中写道：“该生对数学表现出强烈兴趣，而且理解深刻，他用非常好的方法掌握了老师讲授的内容，并能有把握地、灵活地应用它们．”
9 Y# \4 x0 v9 [4 V- L. ~! o　　1880年秋，希尔伯特进柯尼斯堡大学攻读数学．大学第二学期，他按当时的规定到另一所大学去听课，希尔伯特选择了海德堡大学，那里L．富克斯(Fuchs)教授的课给他印象至深．在柯尼斯堡，希尔伯特则主要跟从H．韦伯(Weber)学习数论、函数论和不变量理论．他的博士论文指导老师是赫赫有名证明π超越性的F．林德曼(Lindemann)教授，后者建议他做代数形式的不变性质问题．希尔伯特出色地完成了学位论文，并于1885年获得了哲学博士学位．
　　在大学期间，希尔伯特与比他年长三岁的副教授A．胡尔维茨(Hurwitz)和比他高一班的H．闵可夫斯基(Minkowski)结下了深厚友谊．这种友谊对各自的科学工作产生了终身的影响．希尔伯特后来曾这样追忆他们的友谊：“在日复一日无数的散步时刻，我们漫游了数学科学的每个角落”；“我们的科学，我们爱它超过一切，它把我们联系在一起．在我们看来，它好象鲜花盛开的花园．在花园中，有许多踏平的路径可以使我们从容地左右环顾，毫不费力地尽情享受，特别是有气味相投的游伴在身旁．但是我们也喜欢寻求隐秘的小径，发现许多美丽的新景．当我们向对方指出来，我们就更加快乐”．(见研究文献[8]．)
　　大学毕业后，希尔伯特曾赴莱比锡、巴黎等地作短期游学．在莱比锡，他参加了F．克莱因(Klein)的讨论班，受到后者的器重．正是克莱因推荐希尔伯特去巴黎访问，结识了H．庞加莱(Poincaré)、C．若尔当(Jordan)、E．皮卡(Picard)与C．埃尔米特(Hermite)等法国著名数学家．在从巴黎返回科尼斯堡途中，希尔伯特又顺访了柏林的L．克罗内克(Kronecker)．希尔伯特在自己早期工作中曾追随过克罗内克，但后来在与直觉主义的论战中却激烈地批判“克罗内克的阴魂”．
　　1886年6月，希尔伯特获柯尼斯堡大学讲师资格．除教课外，他继续探索不变量理论并于1888年秋取得突破性结果——解决了著名的“哥尔丹问题”，这使他声名初建．1892年，希尔伯特被指定为柯尼斯堡大学副教授以接替胡尔维茨的位置．同年10月，希尔伯特与克特·耶罗施(Kthe Jerosch)结婚．1893年，希尔伯特升为正教授．1895年3月，由于克莱因的举荐，希尔伯特转任格丁根大学教授，此后他始终在格丁根执教，直到1930年退休．
　　在格丁根，希尔伯特又相继发表了一系列震惊数学界的工作：1896年他向德国数学会递交了代数数论的经典报告“代数数域理论” (Die Theorie der algebraischen Zahlkrper)；1899年发表著名的《几何基础》(Grundlagen der Geometrie)并创立了现代公理化方法；同年希尔伯特出人意料地挽救了狄利克雷原理而使变分法研究出现崭新转机；1909年他巧妙地证明了华林猜想；1901—1912年间通过积分方程方面系统深刻的工作而开拓了无限多个变量的理论．这些工作确立了希尔伯特在现代数学史上的突出地位．1912年以后，希尔伯特的兴趣转移到物理学和数学基础方面．
　　希尔伯特典型的研究方式是直攻重大的具体问题，从中寻找带普遍意义的理论与方法，开辟新的研究方向．他以这样的方式从一个问题转向另一个问题，从而跨越和影响了现代数学的广阔领域．
　　代数不变量问题(1885—1893)．代数不变量理论是19世纪后期数学的热门课题．粗略地说，不变量理论研究各种变换群下代数形式的不变量．古典不变量理论的创始人是英国数学家G．布尔(Boole)、 A．凯莱(Cayley)和 B．西尔维斯特(Sylvester)．n个变元x1；x2，…，xn的m次齐次多项式J(x1，…，xn)被称为n元m次代数形式．设线性变换T将变元(x1，…，xn)变为(X1，…，Xn)，此时多项式J(x1，…，xn)变为J*(X1，…，Xn)，J的系数a0，a1，…，aq，变为J*的系数A0，A1，…，Aq．若对全体线性变换T有J=J*，则称J为不变式，称在线性变换下保持不变的J的系数的任何函数I为J的一个不变量．凯莱和西尔维斯特等人计算、构造了大量特殊的不变量，这也是1840—1870年间古典不变量理论研究的主要方向．进一步的发展提出了更一般的问题——寻找不变量的完备系，即对任意给定元数与次数的代数形式，求出最小可能个数的有理整不变量，使任何其他有理整不变量可以表成这个完备集合的具有数值系数的有理整函数．这样的完备系亦叫代数形式的基．在希尔伯特之前，数学家们只是对某些特殊的代数形式给出了上述一般问题的解答，这方面贡献最大的是P．哥尔丹(Gordan)．哥尔丹几乎毕生从事不变量理论的研究，号称“不变量之王”．他最重要的结果是所谓“哥尔丹定理”，即对二元形式证明了有限基的存在性．哥尔丹的证明冗长、繁复，但其后二十余年，却无人能够超越．
; |7 R2 }$ s; d& Z7 p7 L7 W1 v　　希尔伯特的工作从根本上改变了不变量理论研究的现状．他的目标是将哥尔丹定理推广到一般情形，他采取的是崭新的非算法的途径．希尔伯特首先改变了问题的提法；给定了无限多个包含有限个变元的代数形式系，问在什么条件下存在一组有限的代数形式系，使所有其他的形式都可表成它们的线性组合？希尔伯特证明了这样的形式系是存在的，然后应用此结果于不变量而得到了不变量系有限整基的存在定理．希尔伯特的证明是纯粹的存在性证明，他不是像哥尔丹等人所做的那样同时把有限基构造出来，这使它在发表之初遭到了包括哥尔丹本人在内的一批数学家的非议．哥尔丹宣称“这不是数学，而是神学！”但克莱因、凯莱等人却立即意识到希尔伯特工作的价值．克莱因指出希尔伯特的证明“在逻辑上是不可抗拒的”，并将希尔伯特的文章带到在芝加哥举行的国际数学会议上去推荐介绍．存在性证明的意义日益获得公认．正如希尔伯特本人阐明的那样：通过存在性证明“就可以不必去考虑个别的构造，而将各种不同的构造包摄于同一个基本思想之下，使得对证明来说是最本质的东西清楚地突显出来，达到思想的简洁和经济，…禁止存在性证明，等于废弃了数学科学”．对于现代数学来说，尤为重要的是希尔伯特的不变量理论把模、环、域的抽象理论带到了显著地位，从而引导了以埃米·诺特(EmmyNoether)为代表的抽象代数学派．事实上，希尔伯特对不变量系有限基的存在性证明，是以一条关键的引理为基础，这条关于模(module，指多项式环中的一个理想)的有限基的存在性引理，正是通过使用模、环、域的语言而获得的．
' K) Q4 x# L  m; q. q" O　　希尔伯特最后一篇关于不变量的论文是“论完全不变量系”(ber die vollen Invariantensysteme，1893)，他在其中表示“由不变量生成的函数域的理论最主要的目标已经达到”，于是他在致闵可夫斯基的一封信中宣告：“从现在起，我将献身于数论”．
/ Q# A3 j+ n* q4 F5 O! C+ b　　代数数域(1893—1898)．希尔伯特往往以对已有的基本定理给出新证明作为他征服某个数学领域的前奏．他对代数数论的贡献，情形亦是如此．在1893年慕尼黑德国数学会年会上，希尔伯特宣读的第一个数论结果——关于素理想分解定理的新证明，即引起了与会者的重视，数学会遂委托希尔伯特与闵可夫斯基共同准备一份数论进展报告．该报告最后实际上由希尔伯特单独完成(闵可夫斯基中间因故脱离计划)，并于1897年4月以“代数数域理论”为题正式发表(以下简称“报告”)．远远超出数学会的期望，这份本来只需概述现状的报告，却成为决定下一世纪代数数论发展方向的经典著作．“报告”用统一的观点，将以往代数数论的全部知识铸成一个严密宏伟的整体，在对已有结果给出新的强有力的方法的同时引进新概念、建立新定理，描绘了新的理论蓝图．希尔伯特在“报告”序言中写道：
　　“数域理论是一座罕见的优美和谐的大厦．就我所见，这座建筑中装备得最富丽的部分是阿贝尔域和相对阿贝尔域的理论，它们是由于库默尔关于高次互反律的工作和克罗内克关于椭圆函数复数乘法的研究而被开拓的．更深入地考察这两位数学家的理论，就会发现其中还蕴藏着丰富的无价之宝，那些了解它们的价值，一心想试一试赢得这些宝藏的技艺的探索者，将会得到丰富的报偿．”
　　“报告”发表后的数年间，希尔伯特本人曾努力发掘这些“宝藏”，这方面的工作始终抓住互反律这个中心，并以类域论的建立为顶峰．
　　古典互反律最先为L．欧拉(Euler，1783)和A．-M．勒让德(Legendre，1785)发现，它描述了一对素数p，q及以它们为模的二次剩余之间所存在的优美关系．C．F．高斯(Gauss)是第一个给二次互反律以严格证明的人(1801)，他把它看作算术中的“珍宝”，先后作出了七个不同证明，并讨论过高次互反律．
　　将互反律推广到代数数域情形，是代数数论的一个重要而困难的课题，希尔伯特的工作为此种推广铺平了道路．希尔伯特从二次域的简单情形入手，将二次剩余解释为一个二次域中的范数，将高斯剩余符号解释为范数剩余符号．利用范数剩余符号，古典互反律可以被表示成简单漂亮的形式

　　　
　　述可以被有效地推广，使希尔伯特猜测到高次互反律的一般公式(虽然他未能对所有情形证明其猜测)．
4 V5 u; j' I- c3 R) F2 R( W' h　　希尔伯特在1898年发表的纲领性文章“相对阿贝尔域理论”(Ueber die tbeorie der relativ Abelschen Zahlkrper)中，概括了一种广泛的理论——类域论．“类域”，是一种特别重要的代数数域：设代数数域k的伽罗瓦扩张为K，若K关于k的维数等于k的类数，且k的任何理想在K中都是主理想，就称K为k的类域．希尔伯特当初定义的“类域”，相当于现在的“绝对类域”．作为猜想，希尔伯特建立了类域论的若干重要定理：(1)任意代数数域k上的类域存在且唯一；(2)相对代数数域K/k是阿贝尔扩张，且其伽罗瓦群与k的理想类群同构；(3)K/k的共轭差积为1；(4)对于k的素理想p，如果f是最小正整数使p′成为主理想，则p在K中分解为p=β1β2…βg(NK/k(βi)=pf，fg=h)；(5)(主理想定理)设K/k为绝对类域，则将k的任意理想扩张到K时，就都成为主理想．希尔伯特在某种特殊情形下给出了上述定理的证明．类域论后经高木贞治和E．阿廷(Artin)等人进一步发展而成完美的现代数学体系．
　　希尔伯特关于代数数域的研究同时使他成为同调代数的前驱．“报告”中有一条相对循环域的中心定理——著名的“定理90”，包含了同调代数的基本概念．
　　“相对阿贝尔域理论”的发表标志了希尔伯特代数数域研究的终结．希尔伯特是属于这样的数学家，他们竭尽全力打开一座巨大的矿藏后，把无数的珍宝留给后来人，自己却又兴趣盎然地去勘探新的宝藏了．1898年底，格丁根大学告示：希尔伯特教授将于冬季学期作“欧几里得几何基础”的系列讲演．
　　几何基础(1898—1902)．H．外尔(Weyl)曾指出：“不可能有比希尔伯特关于数域论的最后一篇论文与他的经典著作《几何基础》把时期划分得更清楚了．”在1899年以前，希尔伯特唯一正式发表的几何论述只有致克莱因的信“论直线作为两点间的最短连结”(ber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweierPunkte，1895)．但事实上，希尔伯特对几何基础的兴趣却可以追溯到更早．1891年夏，他作为讲师曾在柯尼斯堡开过射影几何讲座．同年9月，他在哈雷举行的自然科学家大会上听了H．维纳(Wiener)的讲演“论几何学的基础与结构”(ber Grundlagenund Aufbau der Geometrie)．在返回柯尼斯堡途中，希尔伯特在柏林候车室里说了以下的名言：“我们必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’来代替‘点、线、面’”．说明他当时已认识到直观的几何概念在数学上并不合适．以后希尔伯特又先后作过多次几何讲演，其中最重要的有1894年夏季讲座“几何基础”、1898年复活节假期讲座“论无限概念”(ber den Begriff des Unendlichen)，它们终于导致了1898—1899年冬季学期讲演“几何基础”中的决定性贡献．
　　欧几里得几何一向被看作数学演绎推理的的典范．但人们逐渐察觉到这个庞大的公理体系并非天衣无缝．对平行公理的长期逻辑考察，孕育了Η·И·罗巴切夫斯基(ЛoбaчeBCKий)、J．波尔约(Bolyai)与高斯的非欧几何学，但数学家们却并没有因此而高枕无忧．第五公设的独立性追使他们对欧几里得公理系统的内部结构作彻底的检查．在这一领域里，希尔伯特主要的先行者是M．帕施(Pasch)和G．皮亚诺(Peano)．帕施最先以纯逻辑的途径构筑了一个射影几何公理体系(1882)，皮亚诺和他的学生M．皮耶里(Pieri)则将这方面的探讨引向欧氏几何的基础．但他们对几何对象以及几何公理逻辑关系的理解是初步的和不完善的．例如帕施射影几何体系中列出的公理与必须的极小个数公理相比失诸过多；而皮亚诺只给出了相当于希尔伯特的部分(第一、二组)公理．在建造逻辑上完美的几何公理系统方面，希尔伯特是真正获得成功的第一人．正如他在《几何基础》导言中所说：
　　“建立几何的公理和探究它们之间的联系，是一个历史悠久的问题；关于这问题的讨论，从欧几里得以来的数学文献中，有过难以计数的专著，这问题实际就是要把我们的空间直观加以逻辑的分析．”“本书中的研究，是重新尝试着来替几何建立一个完备的，而又尽可能简单的公理系统；要根据这个系统推证最重要的几何定理，同时还要使我们的推证能明显地表出各类公理的含义和个别公理的推论的含义．”
　　与以往相比，希尔伯特公理化方法的主要功绩在于以下两个方面．
　　首先是关于几何对象本身达到了更高的抽象．希尔伯特的公理系统是从三类不定义对象(点、线、面)和若干不定义关系(关联、顺序、合同)开始的．尽管希尔伯特沿用了欧氏几何的术语，其实是“用旧瓶装新酒”，在欧氏几何的古典框架内提出现代公理化的观点．欧氏几何中的空间对象都被赋予了描述性定义，希尔伯特则完全舍弃了点、线、面等的具体内容而把它们看作是不加定义的纯粹的抽象物．他明确指出欧几里得关于点、线、面的定义本身在数学上并不重要，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是由于它们同所选诸公理的关系．这就赋予几何公理系统以最大的一般性．
　　其次，希尔伯特比任何前人都更透彻地揭示出公理系统的内在联系．《几何基础》中提出的公理系统包括20条公理，希尔伯特将它们划分为五组：
　　Ⅰ．1—8． 关联公理
; @2 ]- M, f1 M1 p1 ]1 e　　Ⅱ．1—4． 顺序公理
　　Ⅲ．1—5． 合同公理
1 u/ z5 e1 O2 Z9 P- ^1 t　　Ⅳ． 平行公理
* p+ Z! |9 g' ^( g; b　　Ⅴ．1—2． 连续公理
" E8 \* f* h( ^　　这样自然地划分公理，使公理系统的逻辑结构变得非常清楚．希尔伯特明确提出了公理系统的三大基本要求，即相容性(consis-tency)、独立性(independency)和完备性(completeness)．
　　相容性要求公理系统不包含任何矛眉．这是在公理基础上纯逻辑地展开几何学时首先遇到的问题．在希尔伯特之前，人们已通过非欧几何在欧氏空间中的实现而将非欧几何的相容性归结为欧氏几何的相容性．希尔伯特贡献的精华之一，是通过算术解释而将欧氏几何的相容性进一步归结为算术的相容性．例如，将平面几何中的点与实数偶(x，y)对应起来，将直线与联比(u，v，w)(u，v不同时为0)对应起来，表达式ux+vy+w=0就表示点落在直线上，这可以看作“关联”关系的算术解释．在对每个概念与关系类似地给出算术解释后，希尔伯特进一步将全部公理化成算术命题，并指出它们仍能适合于这些解释．这样，希尔伯特就成功地证明了：几何系统里的任何矛盾，必然意味着实数算术里的矛盾．
　　希尔伯特处理独立性问题的典型手法是构造模型：为了证明某公理的独立性，构造一个不满足该公理但满足其余公理的模型，然后对这个新系统证明其相容性．希尔伯特用这样的方法论证了那些最令人关心的公理的独立性，其中一项重大成果是对连续公理(亦叫阿基米德公理)独立性的研究．在这里，希尔伯特建造了不用连续公理的几何学——非阿基米德几何学模型．《几何基础》用了整整五章篇幅来实际展开这种新几何学，显示出希尔伯特卓越的创造才能．
　　如果说独立性不允许公理系统出现多余的公理，那么完备性则意味着不可能在公理系统中再增添任何新的公理，使与原来的公理集相独立而又与之相容．《几何基础》中的公理系统是完备的，但完备性概念的精确陈述则是由其他学者如E．亨廷顿(Hun－tington，1902)、O．维布伦(Veblen，1904)等给出的．
　　《几何基础》最初发表于1899年6月格丁根庆祝高斯-韦伯塑像落成的纪念文集上，它激起了对几何基础的大量关注，通过这部著作，希尔伯特不仅使几何学本身具备了空前严密的公理化基础，同时使自己成为整个现代数学公理化倾向的引路人．其后，公理化方法逐步渗透到几乎所有的纯数学领域．正因为如此，人们对《几何基础》的兴趣历久不衰，该书在希尔伯特生前即已六次再版，1977年纪念高斯诞生200周年时发行了第十二版．
& k, c2 e# V' \. I; }; x3 _) y/ V　　变分法与积分方程(1899—1912)．希尔伯特在代数和几何中留下了深刻印记后，接着便跨入数学的又一大领域——分析．他以挽救狄利克雷原理(1899)的惊人之举，作为其分析时期的开端．
　　狄利克雷原理断言：存在着一个在边界上取给定值的函数u0，使重积分

　

　　达极小值，这个极小化函数u0同时是拉普拉斯方程△u=0的满足同一边界条件的解．该原理最早出现在G．格林(Green，1835)的位势论著作中，稍后又为高斯和狄利克雷独立提出．G．F．B．黎曼(Riemann)首先以狄利克雷的名字命名这一原理并将其应用于复变函数．然而，K．T．W．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)1870年以其特有的严格化精神批评了狄利克雷原理在逻辑上的缺陷．他指出：连续函数下界存在并可达，此性质不能随意推广到自变元本身为函数的情形，也就是说在给定边界条件下使积分F(u)极小化的函数未必存在．他的批判迫使数学家们闲置狄利克雷原理，但另一方面数学物理中许多重要结果都依赖于此原理而建立． 　　希尔伯特采取完全不同的思路来处理这一难题．他通过边界条件的光滑化来保证极小化函数的存在，从而恢复狄利克雷原理的功效．具体un本身不恒收敛，但可用对角线法获得一处处收敛的子序列，其极限必使积分达极小值．希尔伯特的工作不仅“复活”了具有广泛应用价值的狄利克雷原理，同时大大丰富了变分法的经典理论．
　　希尔伯特对现代分析影响最为深远的工作是在积分方程方面．积分方程与微分方程一样起源于力学与物理问题，但在发展上却比后者迟缓．它的一般理论到19世纪末才由意大利数学家V·沃尔泰拉(Volterra)等开始建立．在希尔伯特之前，最重要的推进是瑞典数学家E．I．弗雷德霍姆(Fredhlm)作出的．弗雷德霍姆处理了后以他的名字命名的积分方程：

　

　　他将积分方程看作是有限线性代数方程组当未知数数目趋于无限时的极限情形，从而建立了积分方程与线性代数方程之间的相似性．希伯尔特于1900—1901年冬从正在格丁根访问的瑞典学者E．霍尔姆格伦(Holmgren)那里获悉弗雷德霍姆的工作，便立即把注意力转向积分方程领域．
　　一如以往的风格，希尔伯特从完善和简化前人工作入手．他首先严格地实现了从代数方程过渡到积分方程的极限过程，而这正是弗雷德霍姆工作的缺陷．如果希尔伯特停留于此，那他就不可能成为本世纪领头的分析学家之一了．希尔伯特随后便越出了弗雷德霍姆的线性代数方程理论，而开辟了一条独创的道路．他研究带参数的弗雷德霍姆方程

0 i$ {) u$ X$ L+ f: @　　参数λ在希尔伯特的理论中具有本质意义．他将重点转到与方程(1)相应的齐次方程的特征值和特征函数问题上，以敏锐的目光看出了该问x(s)y(t)dsdt建立了广义主轴定理：设K(s，t)是s，t的数，则对任意连续的x(s)和y(t)如下关系成立：

3 \9 A3 t$ Y% a! C. J4 \  h& Q

　　＜∞的所有x(s)， y(t)绝对一致收敛．

　　利用上述结果，希尔伯特证明了著名的展开定理(后称希尔伯特-施
$ J4 u0 @) F& o  B+ _式的傅里叶系数．
　　希尔伯特接着又将通常的代数主轴定理推广到无限多个变量的二次型，这是他全部理论的关键之处．他证明：存在一个正交变换T，使得
: w7 [3 K. ], ^! L
5 k/ p% B( s+ `( M* [1 f8 _& x5 t“有界”性都是希尔伯特为保证主轴定理在无限情形的推广而特意引进的重要概念． 　　正是在这里，希尔伯特创造了极其重要的具有平方收敛和的数列空
列(x1，x2，…)看作可数无限维空间中的一个向量x，考虑具有有限
: d% h7 y, Z# ^4 v+ [- H% C" L4 G间，它具有发展积分方程论所必需的完备性．
8 ?( x7 |; G9 M/ i　　希尔伯特应用上述无限多个变量的二次型理论而获得了积分方程论证明了齐次方程除特征值λp以外没有非平凡解．这就重建了弗雷德霍姆的“择一定理”．虽然希尔伯特的结果有许多并不是新的，但正如我们已经看到的那样，他彻底改造了弗雷德霍姆的理论，其意义远远超出了积分方程论本身．他所引进的概念与方法，启发了后人大量的工作．其中特别值得提出的是：匈牙利数学家F．里斯(Riesz)等借完备标准正交系确立了勒贝格平方可积函数空间与平方可和数列空间之间的一一对应关系，制定了抽象希尔伯特空间理论，从而使积分方程理论成为现代泛函分析的主要来源之一．希尔伯特关于积分方程的一般理论同时渗透到微分方程、解析函数、调和分析和群论等研究中，有力地推动了这些领域的发展．
  d8 \8 `5 P6 V$ x　　希尔伯特关于积分方程的成果还在现代物理中获得了意想不到的应用．希尔伯特在讨论特征值问题时曾创造了“谱”(spec－trum)这个术语，他将谱分析理论从全连续二次型推广至有界二次型时发现了连续谱的存在．到20年代，当量子力学蓬勃兴起之时，物理学家们发现希尔伯特的谱分析理论原来是量子力学的非常合适的数学工具．希尔伯特本人对此感触颇深，他指出：“无穷多个变量的理论研究，当初完全是出于纯粹数学的兴趣，我甚至管这理论叫‘谱分析’，并没有预料到它后来会在实际的物理光谱理论中获得应用”．
$ |0 e3 A) S0 p; G$ E　　希尔伯特关于积分方程的研究，被总结成专著《线性积分方程一般理论基础》(Grundzge einer allgemeiner Theorie der linea－ren Integralgleichungen)于1912年正式出版，其中收进了他1904—1910年间发表的一系列有关论文．
　　物理学(1912—1922)．希尔伯特对物理学的兴趣起初是受其挚友闵可夫斯基的影响．闵可夫斯基去世后，1910—1918年，希尔伯特一直在格丁根坚持定期讲授物理学．从1912年开始，他更将其主要的科学兴趣集中到物理学方面，并为自己配备了物理学助手．
　　与物理学家不同的是，希尔伯特研究物理学的基本途径是“借助公理来研究那些在其中数学起重要作用的物理科学”．遵循这一路线，希尔伯特先是成功地将积分方程论应用于气体分子运动学，随后又相继处理了初等辐射论与物质结构论；受狭义相对论应用数学的鼓舞，他于1914—1915年间大胆地将公理化方法引向当时物理学的前沿——广义相对论并作出了特殊贡献；1927年，他与冯·诺依曼(von Neumann)和 L．诺德海姆(Nordheim)合作的文章“论量子力学基础”(ber die Grundlagen der Quanten－mechanik)则推动了量子力学的公理化．
/ e) t  }5 |' q' I. A' M　　希尔伯特所提倡的公理化物理学的一般意义，至今仍是需要探讨的问题．值得强调的是他在广义相对论方面的工作，确实提供了物理学中运用公理化方法的成功范例．希尔伯特在1914年底被A．爱因斯坦(Einstein)关于相对性引力理论的设想和另一位物理学家G．米(Mie)试图综合电磁与引力现象的纯粹场论计划所吸引，看到了将二者联系起来建立统一物质场论的希望，并立即投入这方面的探讨．他运用变分法、不变式论等数学工具，按公理化方法直接进行研究．1915年11月20日，希尔伯特在向格丁根科学会递交的论文《物理学基础，第一份报告》(Die Grundla－gen der physik， erste Mitteilung)中公布了基本结果．他在这份报告中这样概括自己的贡献：
　　“遵循公理化方法，事实上是从两条简单的公理出发，我要提出一组新的物理学基本方程，这组方程具有漂亮的理想形式，并且我相信它们同时包含了爱因斯坦与米所提出的问题的解答。”
  ?# @+ r4 {! n- |& p( m, R6 i1 f+ }) u　　希尔伯特所说的两条简单公理是：
& ~; O/ w1 v6 R' b　　公理Ⅰ(世界函数公理)．物理定律由世界函数H所决定，使积分
' a! o* T) b) t" C( m　　公理Ⅱ(广义协变公理)．世界函数H对一般坐标变换皆保持不变．
　　由公理Ⅰ，Ⅱ，希尔伯特首先通过取世界函数H对引力势的变分并经适当变换后获得10个引力方程：

) u+ [6 c& M8 G7 E$ P& j　　可以证明，方程组(2)与爱因斯坦的广义协变引力场方程等价．爱因斯坦是在同年11月25日发表其结果的，比希尔伯特晚了5天．希尔伯特引力场方程的推导是完全独立地进行的．不过两位学者之间并没有发生任何优先权的争论，希尔伯特把建立广义相对论的全部荣誉归于爱因斯坦，并在1915年颁发第三次鲍耶奖时主动推荐了爱因斯坦．
# R, e+ a6 c' ~+ l8 }　　除了引力场方程，希尔伯特还同时导出了另一组电磁学方程(广义麦克思韦方程)：

　

; X4 c0 y3 c+ y8 ?! }3 R　　特别重要的是，在希尔伯特的推导中，电磁现象与引力现象被相互关联起来，前者是后者的自然结果，而在爱因斯坦的理论中，电磁方程与引力方程在逻辑上是完全独立的．这样，希尔伯特以数学的抽象推理而预示了统一场论的发展．他后来在《物理学基础，第二份报告》中进一步阐述了统一场论的设想．沿着希尔伯特的路线前进而建立起第一个系统的统一场理论的是他的学生韦尔(规范不变几何学，1918)．而包括爱因斯坦在内的物理学家们对希尔伯特的思想最初却并不理解．爱因斯坦1928年在反驳量子力学相容性的企图失败后转而寄厚望于统一场论，并为此而付出了后半生的精力．统一场论至今仍是数学家和物理学家们热烈追求的目标．
' u! E( O: \+ D% |0 |0 ]5 R8 [* o　　数学基础(1917年以后)．希尔伯特对数学基础的研究是他早期关于几何基础工作的自然延伸．他在几何基础的研究中已将几何学的相容性归结为算术的相容性，这就使算术的相容性成为注意的中心．1904年，希尔伯特在海德堡召开的数学家大会上所作“论逻辑与算术的基础”(ber die Grundlagen der Logik undArithmetik)的讲演，表明了他从几何基础向一般数学基础的转移．这篇讲演勾画了后来被称为“证明论”(Beweistheorie)的轮廓，但这一思想当时并未得到进一步贯彻，在随后十余年间，希尔伯特主要潜心于积分方程和物理学研究而把海德堡计划暂搁一边．直到1917年左右，由于集合论誖和直觉主义的发展日益紧迫地危及古典数学的已有成就，他又被迫回到数学基础的研究上来，这年9月，希尔伯特向苏黎世数学会作了题为“公理化思想”(Axiomatisches Denken)的讲演，再次公布了证明论的构想．此后他又在一系列讲演和论文中明确展开了以证明论为核心的关于数学基础的所谓形式主义纲领．
　　按照希尔伯特的纲领，数学被形式化为一个系统，这个形式系统的对象包含了数学的与逻辑的两个方面，人们必须通过符号逻辑的方法来进行数学语句的公式表述，并用形式的程序表示推理：确定一个公式—确定这公式蕴涵另一个公式一再确定这第二个公式，依此类推，数学证明便由这样一条公式的链所构成．在这里，从公式到公式的演绎过程不涉及公式的任何意义．正如希尔伯特本人所说的那样，数学思维的对象就是符号自身．一个命题是否真实，必须也只须看它是否是这样一串命题的最后一个，其中每一条命题或者是形式系统的一条公理，或者是根据推理法则而导出的命题．同时，希尔伯特的形式化方法重点不在个别命题的真实性，而是整个系统的相容性．这种把整个系统作为研究对象，着眼于整个系统相容性证明的研究，就叫做证明论或“元数学”(meta－mathematics)的研究．
* B; F6 ]' Y+ \( C　　形式化推理的进行要求保留排中律．为此希尔伯特引进了所谓“超限公理”：

A(τA)→ A(a)，

$ B. b2 s: G0 n, h7 I% y! P　　其意思是：若谓词A适合于标准对象τA，它就适合于每一个对象a．例如阿里斯提得斯(Aristides，古希腊政治家)是正直的代表，若此人被证明堕落，那就可以证明所有的人都堕落．此处τ称为超限函子．超限公理的应用保证了公式可以按三段论法则来进行演绎．
. V/ w8 N, ^& t  M; m, O　　超限公理还使形式系统的相容性证明得到实质性缩减．为要证明形式系统无矛盾，只要证明在该系统中不可能导出公式0≠0即可．对此，希尔伯特方法的基本思想是：只使用普遍承认的有限性的证明方法，不能使用有争议的原则诸如超限归纳、选择公理等等，不能涉及公式的无限多个结构性质或无限多个公式操作．希尔伯特这种所谓的有限方法亦由超限公理加以保障：借助超限公理，可将形式系统的一切超限工具(包括全称量词、存在量词以及选择公理等)都归约为一个超限函子τ，然后系统地消去包含τ的所有环节，就不难回到有限观点．
+ q- M% ]8 \: N5 p7 H( P　　希尔伯特的形式化观点是在同以L．布劳威尔(Brouwer)为代表的直觉主义针锋相对的争论中发展的．对直觉主义者来说，数学中重要的是真实性而不是相容性．他们认为“一般人所接受的数学远远超出了可以判断其真实意义的范围”，因而主张通过放弃一切真实性受到怀疑的概念和方法(包括无理数、超限数、排中律等)来摆脱数学的基础危机．希尔伯特坚决反对这种“残缺不全”的数学．他说：“禁止数学家使用排中律就等于禁止天文学家使用望远镜和禁止拳击家使用拳头一样．”与直觉主义为了保全真实性而牺牲部分数学财富的做法相反，希尔伯特则通过完全抽掉对象的真实意义、进而建立形式系统的相容性来挽救古典数学的整个体系．希尔伯特对自己的纲领抱着十分乐观的态度，希望“一劳永逸地解决数学基础问题”．然而，1931年奥地利数学家K．哥德尔(Gdel)证明了：任何一个足以包含实数算术的形式系统，必定存在一个不可判定的命题S(即S与～S皆成立)．这使形式主义的计划受到挫拆．一些数学家试图通过放宽对形式化的要求来确立形式系统的相容性，例如 1936年，希尔伯特的学生 G．根岑(Gentzen)在允许使用超限归纳法的情况下证明了算术公理的相容性．但希尔伯特原先的目标依然未能实现．尽管如此，恰如哥德尔所说：希尔伯特的形式主义计划仍不失其重要性，它促进了本世纪数学基础研究的深化．特别是，希尔伯特通过形式化第一次使数学证明本身成为数学研究的对象．证明论已发展成标征着数理逻辑新面貌的富有成果的研究领域．
　　希尔伯特的形式主义观点，在他分别与其逻辑助手W．阿克曼(Ackermann)和P．贝尔奈斯(Bernays)合作的两部专著《数理辑逻基础》(Gtundzge der Theoretischen Logik， 1928)和《数学基础》(Grundlagen der Mathematik， 1934， 1939)中得到了系统的陈述．
4 {2 ]; W! k/ u- E0 G　　数学问题．C．卡拉西奥多里(Caratheodory)曾引用过他直接听到的一位当代大数学家对希尔伯特说过的话：“你使得我们所有的人，都仅仅在思考你想让我们思考的问题”，这里指的是希尔伯特1900年在巴黎国际数学家大会上的著名讲演“数学问题”(Mathematische Probleme)．这篇讲演也许比希尔伯特任何单项的成果都更加激起了普遍而热烈的关注．希尔伯特在其中对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了精辟见解，而整个讲演的核心部分则是他根据19世纪数学研究的成果与发展趋势而提出的23个问题，数学史上亦称之为“希尔伯特问题”．这些问题涉及现代数学的大部分领域，它们的解决，对20世纪数学产生了持久的影响．
& H% ]7 E. o( h! r- i　　1．连续统假设． 1963年， P．科恩(Cohen)在下述意义下证明了第一问题不可解：即连续统假设的真伪不可能在策梅罗(Zermelo)-弗伦克尔(Fraenkel)公理系统内判明．
8 ]8 K/ @! J5 @5 [8 X　　2．算术公理的相容性．1931年哥德尔“不完备定理”指出了用元数学证明算术公理相容性之不可行．算术相容性问题至今尚未解决．
& _& u$ X* K% w; B　　3．两等底等高的四面体体积之相等．这问题1900年即由希尔伯特的学生M．德恩(Dehn)给出肯定解答，是希尔伯特诸问题最早获得解决者．
　　4．直线作为两点间最短距离问题．在构造各种特殊度量几何方面已有许多进展，但问题过于一般，未完全解决．
1 h7 Z3 S- d6 V+ d, R　　5．不要定义群的函数的可微性假设的李群概念．1952年由A．格里森(Gleason)、D．蒙哥马利(Montgomery)、L．齐宾(Zippin)等人解决，答案是肯定的．
  y/ N, F* _5 k' b　　6．物理公理的数学处理．在量子力学、热力学等部门，公理化方法已获得很大成功．概率论的公理化则由A．H．柯尔莫哥洛夫(KoлMoгopoB，1933)等完成．
  C* Q% V6 q- u+ W; j　　7．某些数的无理性与超越性．1934年，A．O．盖尔范德(Гe-льфaHд)和Т．施奈德(Schneider)各自独立地解决了问题的后一半，即对任意代数数。α≠0，1和任意代数无理数β≠0证明了αβ的超越性．此结果1966年又被А．贝克(Baker)等大大推广．
/ V2 y* v/ ?1 U9 ~6 h　　8．素数问题．一般情形的黎曼猜想仍待解决．哥德巴赫猜想目前最佳结果属于陈景润，但尚未最后解决．
+ [: \6 U$ ]: r  ~' z　　9．任意数域中最一般的互反律之证明．已由高木贞治(Takagi Teiji)(1921)和阿廷(1927)解决．
　　10．丢番图方程可解性的判别．1970年，Ю．Н．马蒂雅谢维奇(MaTияceBич)证明了希尔伯特所期望的一般算法是不存在的．
& y- m# s" U4 ]& C. B* H　　11．系数为任意代数数的二次型．H．哈塞(Hasse，1929)和C．L．西格尔(Siegel，1951)在这问题上获得了重要结果．
　　12．阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域．尚未解决．
　　13．不可能用两个变数的函数解一般七次方程．连续函数情形1957年由B．阿诺尔德(ApHOлbд)否定解决，如要求解析函数则问题尚未解决．
　　14．证明某类完全函数系的有限性．1958年永田雅宜(NagataMasayosi)给出了否定解答．
- G9 _2 n! x! N/ I　　15．舒伯特计数演算的严格基础．舒伯特演算的合理性尚待解决．至于代数几何基础已由范德瓦尔登(van der Waerden，1940)与A．韦伊(Weil，1950)建立．
　　16．代数曲线和曲面的拓扑．问题前半部分近年来不断有重要结果，至于后半部分，И．Т．彼得罗夫斯基(ПEtPObCkий)曾声明他证明了n=2时极限环个数不超过3．这一结论是错误的，已由中国数学家指出(1979)．
8 B2 Q- V: N+ c# h3 F, ~6 w: A　　17．正定形式的平方表示．已由阿廷解决(1926)．
　　18．由全等多面体构造空间．带有基本域的群的个数的有限性已由L．比贝尔巴赫(Bieberbach，1910)证明；问题第二部分(是否存在不是运动群的基本域但经适当毗连可充满全空间的多面体)已由赖因哈特(Reinhardt，1928)和黑施(Heesch，1935)分别给出三维和二维情形的例子．
　　19．正则变分问题的解是否一定解析．问题在下述意义下已解决： C．伯恩斯坦(БepHщTeйH，1904)证明了一个变元的解析非线性椭圆方程其解必定解析．此结果后又被推广到多变元和椭圆组的情形．
　　20．一般边值问题．偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展．
7 R. _0 C1 Y2 u! Q' H" B　　21．具有给定单值群的线性微分方程的存在性，已由希尔伯特本人(1905)和Н．勒尔(Rhrl， 1957)解决．
: m2 B. u5 u0 a/ }  k/ R! ~+ t　　22．解析关系的单值比．一个变数情形已由P．克贝(Koebe，1907)解决．
　　23．变分法的进一步发展．
　　希尔伯特无疑是属于20世纪最伟大的数学家之列．他生前即已享有很高声誉．1910年获匈牙利科学院第二次波尔约奖(该奖第一次得主是庞加莱)；从1902年起一直担任有影响的德国《数学年刊》(Mathematische Annalen)主编；他是许多国家科学院的荣誉院士．德国政府授予他“枢密顾问”称号．
　　希尔伯特同时是一位杰出的教师，他在这方面与不喜欢教书的高斯有很大的不同．希尔伯特讲课简练、自然，向学生展示“活”的数学．他乐于同学生交往，常常带着他们在课余长时间散步，在融洽的气氛中切磋数学．希尔伯特并不特别看重学生的天赋，而强调李希登堡(Lichtenberg)的名言“天才就是勤奋”．对学生们来说，希尔伯特不像克莱因那样是“远在云端的神”，在他们的心目中，“希尔伯特就像一位穿杂色衣服的风笛手，用甜蜜的笛声引诱一大群老鼠跟着他走进数学的深河”．(见研究文献[8]．)这位平易近人的教授周围，聚集起一批有才华的青年．仅在希尔伯特直接指导下获博士学位的学生就有69位，他们不少人后来成为卓有贡献的数学家，其中包括H．外尔(Weyl，1908)、R．柯朗(Courant，1910)、Е．施密特(Schmidt，1905)和O.布鲁门萨尔(Blumenthal， 1898)等(详细名单及学位论文目录参见[1])．曾在希尔伯特身边学习、工作或访问而受到他的教诲的数学家更是不计其数，最著名的有埃米·诺特(Emmy Noether)、冯·诺依曼(von Neumann)、高木贞治、C．卡拉西奥多里(Caratheo-dory)、E．策梅罗(Zermelo)等等．
　　希尔伯特的学术成就、教学活动以及其个性风格，使他成为一个强大的学派的领头人．本世纪初的30年间，格丁根成为名符其实的国际数学中心．韦尔后来回忆当年格丁根盛况时指出：希尔伯特“对整整一代学生所产生的如此强大和神奇的影响，在数学史上是罕见的”．“在像格丁根那样的小城镇中的大学，特别是在1914年前平静美好的日子里，是发展科学学派的有利场所，……一旦一帮学生围绕着希尔伯特，不被杂务所打扰而专门从事研究，他们怎能不相互激励……．在形成科学研究这种凝聚点时，有着一种雪球效应．”(见研究文献[8]，[9]．)
　　然而，在第二次世界大战中，希尔伯特的学派不幸遭到打击．他的大部分学生在法西斯政治迫害下纷纷逃离德国．希尔伯特本人因年迈未能离去，在极其孤寂的气氛下度过了生命的最后岁月．1943年希尔伯特因摔伤引起的各种并发症而与世长辞．葬礼极为简单，他的云散异国的学生都未能参加，他们很晚才获悉噩耗．战争阻碍了对这位当代数学大师的及时悼念．
　　希尔伯特学派的成员后来纷纷发表文章和演说，论述希尔伯特的影响．外尔认为：“我们这一代数学家还没有能达到与他相比的崇高形象．”除了具体的学术成就，希尔伯特培育、提倡的格丁根数学传统，也已成为全世界数学家的共同财富：希尔伯特寻求“精通单个具体问题与形成一般抽象概念之间的平衡”．他指出数学研究中问题的重要性，认为“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止”．这正是他在巴黎提出前述23个问题的主要动机；希尔伯特强调数学的统一性——“数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系．……数学理论越是向前发展，它的结构就变得越加调和一致，并且这门科学一向相互隔绝的分支之间也会显露出原先意想不到的关系”，“数学的有机的统一，是这门科学固有的特点”；希尔伯特将思维与经验之间“反复出现的相互作用”看作数学进步的动力．因此，诚如柯朗所说：“希尔伯特以他感人的榜样向我们证明：……在纯粹和应用数学之间不存在鸿沟，数学和科学总体之间，能够建立起果实丰满的结合体．”
5 Y/ f+ A9 @/ p* T) y3 t, ^3 W4 u' [　　卡拉西奥多里指出：“指导希尔伯特一生的最高准则是绝对的正直和诚实．”这种正直、诚实，不仅表现在科学活动上，而且表现在对待社会和政治问题的态度上．希尔伯特憎恶一切政治的、种族的和传统的偏见，并敢于挺身抗争．第一次世界大战初，他冒着极大的风险，拒绝在德国政府起草的为帝国主义战争辩护的“宣言”上签名，并表示不相信其中编造的事实是“真的”；战争期间，他又勇敢地发表悼词，悼念交战国法国的数学家G．达布(Darboux)的逝世；他曾力排众议，为女数学家埃米·诺特争取当讲师的权利，而不顾当局不让女性任职的惯例；他对希特勒的排犹运动也表示了极大的愤慨．
1 ]1 S6 S0 H1 P$ |6 d' O3 W　　希尔伯特出生于康德之城，是在康德哲学的熏陶下成长的．他对这位同乡怀有敬慕之情，却没有让自己变成其不可知论的殉道者．相反，希尔伯特对于人类的理性，无论在认识自然还是社会方面，都抱着一种乐观主义．在巴黎讲演中，希尔伯特表述了任何数学问题都可以得到解决的信念，认为“在数学中没有ignorabimus(不可知)”．1930年，在柯尼斯堡自然科学家大会上，希尔伯特被他出生的城市授予荣誉市民称号．在题为“自然的认识与逻辑”的致词中，他批判了“堕入倒退与不毛的怀疑主义”，并在演说结尾坚定地宣称：“Wir mǖssen wlssn． Wir werden wissn！”(我们必须知道，我们必将知道！)柯朗在格丁根纪念希尔伯特诞生100周年的演说中指出：“希尔伯特那有感染力的乐观主义，即使到今天也在数学中保持着他的生命力．唯有希尔伯特的精神，才会引导数学继往开来，不断成功．”

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闵科夫斯基

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　　闵科夫斯基，H．(Minkowski，Hermann)1864年6月22日生于俄国阿列克索塔斯(AлeKcoTax，今属立陶宛)；1909年1月12日卒于德国格丁根．数学．
3 y) ?+ x7 D, B' b9 l8 U# r　　闵科夫斯基出生在一个犹太血统的商人家庭．父亲经商有道，但因是犹太人而受到沙俄政府的迫害．在闵科夫斯基8岁时，父亲带全家搬到当时东普鲁士首都柯尼斯堡定居，转营造纸原料的出口生意．闵科夫斯基弟兄三人，他排行老三．大哥麦克斯(Max)在俄国时因种族歧视而不能进预科学校，以后一直没有得到正规教育，成年后与其父合伙经商，父亲死后成为一家之主．二哥奥斯卡(Oskar)早年在柯尼斯堡的预科学校读书，后成为医生和医学家，曾发现胰脏和糖尿病之间的关系，以“胰岛素之父”的称号闻名于世．闵科夫斯基则因数学才能出众，被誉为小神童．三兄弟以能力超群、性格迷人而被称为“人间三奇才”，在柯尼斯堡曾轰动一时．
　　闵科夫斯基于1873年进入阿尔斯塔特预科学校读书．他从小就表现出特殊的数学天赋，有“极好的记忆力和敏捷的理解力”．少年闵科夫斯基还爱好文学，他熟读莎士比亚、席勒和哥德的作品，尤其迷恋于哥德的著作，几乎全部能背诵下来．他只用五年半时间就学完了预科学校八年的课程，然后进入当地大学读书．当时德国的大学生可以自由选择任何大学注册，随便流动．闵科夫斯基不久就转到柏林大学听课，三个学期之后又到柯尼斯堡大学学习．在大学期间，他先后受教于H．von亥姆霍兹(Helmholtz)、A．胡尔维茨(Hurwitz)、F．林德曼(Lindeman)、 L．克罗内克(Kronecker)、E．E．库默尔(Kummer)、H．韦伯(Weber)、K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)和G．R．基希霍夫(Kirchhoff)等．
　　在柯尼斯堡大学，闵科夫斯基与比他晚一级的D．希尔伯特(Hilbert)结为终生挚友．1884年，年轻的德国数学家胡尔维茨到柯尼斯堡大学任职．闵科夫斯基和希尔伯特很快与他建立了友谊，共同的科学爱好把他们紧密地联系在一起．在以后的一段时间里，他们每天定时到一片苹果树下散步，共同讨论当前数学中的实际问题，相互交换对问题的新的理解，交流彼此的想法和研究计划．这种友谊对他们各自的科学工作产生了重要的影响．
　　闵科夫斯基在大学期间，曾几次因出色的数学工作而获奖．特别是在1882年，他成功地解决了巴黎科学院悬奖的数学问题，获得科学院的大奖．1885年夏，闵科夫斯基在柯尼斯堡大学获博士学位．经过短暂的服兵役之后，他于1886年被聘为波恩大学讲师，1892年升任副教授．1895年，希尔伯特转任格丁根大学教授，闵科夫斯基接替了他在柯尼斯堡大学的正教授职位．1896年，闵科夫斯基转到苏黎士瑞士联邦技术学院任职，直到 1902年．在此期间，他又有幸与胡尔维茨共事．1902年，他再次接受老朋友希尔伯特的建议，到格丁根大学任教授．
% S3 F; |- o$ t) D( h1 w　　闵科夫斯基于1897年与柯尼斯堡附近一位皮革厂厂主的女儿奥古斯苔·安德勒(Auguste Adler)结婚，婚后生有两个女儿．
$ b7 [( {) n4 E# q& P- m2 w　　1909年 1月 10日，闵科夫斯基突患急性阑尾炎，因医治无效于1月12日去世，年仅44岁．
　　闵科夫斯基的主要科学贡献在数论、代数学和数学物理等方面．在代数学中，他对二次型理论进行了重要研究．自从19世纪初C．F高斯(Gauss)关于二元二次型的先驱性工作问世以来，推广他的工作到n元型是许多数学家的目标，如F．G．M．艾森斯坦(Eisenstein)、C．埃尔米特(Hermite)、H．J．S．史密斯(Smith)、M．E．C．若尔当(Jordan)和J．H．庞加莱(Poincaré)等人都曾深入研究过这个问题．1881年春，巴黎科学院出榜公布了征求解答的题目：求一个整数分解为5个平方数之和的表示法的数目．闵科夫斯基当时还是一名年轻的大学生，他被这个问题强烈地吸引住，开始潜心于这项研究之中．他深入钻研了高斯、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)和艾森斯坦等人的论著，掌握了狄利克雷级数和高斯的三角和方法．受高斯工作的启发(高斯在研究把一个整数分解为3个平方数之和时利用了二元二次型的性质)，他认识到把一个整数分解为5个平方数之和的方法与4个变元的二次型的性质有关．由此，闵科夫斯基研究了n个变元的二次型，引进了有关概念的定义，特别是对“型的亏格”(genus of a form)提出了更一般、更自然的定义．他推广了高斯的方法，探讨了具较少变元的型用具较多变元的型表示的问题，得到整系数n元二次型的理论体系．这样一来，大奖问题的解就可以很容易地从一般理论中得出．闵科夫斯基向巴黎科学院递交了长达140页的论文，他的工作远远超出了原问题的范围．英国数学家史密斯早在1867年就发表了有关的研究结果，这次他又将自己以往的工作加以完善，圆满地解决了大奖所提出的问题．闵科夫斯基是在不了解史密斯以往工作的情况下，独立地得到了比史密斯更好的结果．最后，闵科夫斯基与史密斯同获1883年的巴黎科学院数学大奖．
　　在以后的很长时间内，闵科夫斯基继续研究n元二次型的理论．他通过三个不变量刻画了有理系数二次型在有理系数线性变换下的等价性，完成了实系数正定二次型的约化理论(1905)，现称闵科夫斯基约化理论．其中，提供了在每个等价类(在具实系数的变换下)中只给出
9 g6 Z4 N' u3 x+ X( @; i 所有约化型的基本域是一个可部分空间，深入研究了该域及其相关域的性质．
　　当闵科夫斯基用几何方法研究n个变元的二次型的约化问题时，获得了十分精采和清晰的结果．他把用这种方法建立起来的关于数的理论称为“数的几何”，这是他最有独创性的工作．考虑一个正定二次型

　　F(x，y)=ax2+2bxy+cy2， (1)

& B# h4 F" O4 D9 V/ w　　它的几何模式是椭圆．(1)式当x=p，y=q，(p，q是整数)时取值m，表明椭圆Em∶F(x，y)=m通过点(p，q)．显然，Em是一个中心在原点的椭圆．对于具三个变量的二次型

F(x，y，z)= ax2+by2+cz2+＋ a′xy+ b′xz+c′yz，

7 b" e( ^2 G$ R9 R　　方程F(x，y，z)=m的几何模式为中心在原点的椭球．为了证明n元二次型存在最小上界，闵科夫斯基首先建立了一个普通的几何引理．对于二维的情形，闵科夫斯基引理是：
( C( L( o3 j& f7 g: [, w# ?　　平面xoy上的域R总包含异于原点的整坐标点，如果该域满足条件
# T" J% H0 k4 F. a$ ]" l7 }! z　　(1)域R关于坐标原点对称，即它必须同时含有(x，y)和-x，-y)；
　　(2)域R是凸的，即如果(x1，y1)，(x2，y2)为R内任两点，那么包含这两点的线段

(λx1+(1-λ)x2，λy1+(1-λ)y2)(0≤λ≤1)

　　也在R内；
. ]6 g- x3 E5 A% p* G　　(3)R的面积大于4．
& b9 c" G& C9 W　　任何中心在原点的椭圆都满足条件(1)，(2)，而当mπ＞4
& V1 _4 |) z( L( l/ r. |　　闵科夫斯基建立的这个引理十分重要，后来被称为“数的几何中的基本定理”，“全部数的几何都基于这个引理”．利用这一引理， 闵科夫斯基首先证明给定判别式D的二元正二次型存在最小上界．考虑椭圆Em∶F(x，y)=m，为了求出所有m的最小值M，闵科夫斯基注意到(利用引理)，对于足够小的正数α，椭圆Eα内不包含任何异于得到彼此相离的无穷多个椭圆(图1)．当α增大并达到最小值M时，这些椭圆将相互接触但不重叠(图2)．设A是述所有椭圆包含在中心在原点，边长为(2n+1+c)的正方形中(图 2)，即有不等式

　　　
, {% K7 {; H& l8 {4 Z

　

) S* L; i1 V2 I$ \  ]  O2 v7 c　　这个结果还可以拓广到任意有限维空间(对n元正二次型)．对于n维空间，闵科夫斯基引理可叙述为：如果每一个中心在坐标原点的对称凸体，其体积大于2n，则除原点之外，至少还有另一个整点在其中．利用Г函数的渐近表达式，闵科夫斯基得到下列估计式：

　

　　闵科夫斯基发现，在上述的几何论证中，椭圆可以用任意对称的凸曲线来代替，在高维空间中，则可用对称凸体来代替．通过凸体变化的精巧性，他在数论的各领域中又得到许多新的结果．例如，他建立了具给定判别式的整数二次型类数的有限性定理，研究了实数的有理分数逼近法和代数单位理论．他的几何方法推动了连分数理论的发展，他建立的一种算法已成为判断一个数是否为代数数的准则．此外，他还在n维空间中定义了支撑超平面和支撑函数的概念，证明了凸体在其任一边界点处存在支撑超平面．
　　闵科夫斯基通过n维空间中的对称凸体定义了一种新的“距离”：对于点x=(x1；x2，…，xn)和y=(y1，y2，…，yn)定义其距离为

　

　　由此得到著名的闵科夫斯基不等式(即三角不等式)①：

　

$ Z+ _5 A8 _  }; O4 b　　其中ak，bk(k= 1，2，…，n)为非负实数，r＞1．闵科夫斯基由此确立相应的几何，建立一种类似于现代度量空间的理论．他的工作为20世纪20年代赋范空间理论的创立铺平了道路．
　　为了研究凸体几何，闵科夫斯基还引进几个凸体“混合体积”(mixed volume)的概念．设 K1，K2，K3是空间中三个凸体，t1，t2，t3≥0是三个实数，当xj在凸体Kj(j=1， 2， 3)中变化时，点t1x1+t2x2+t3x3形成一个新的凸体，记为

t1K1+t2K2+t3K3．

# Z# y, u( B' z  Z% q　　这个新的凸体的体积可以表示为t1，t2，t3的一个齐次多项式，而混合体积V(K1，K2，K3)则定义为该多项式中t1t2t3项的系数．闵科夫斯基发现了这些新量之间的奇妙关系和更典型的概念：如果K1是半径为1的球，则V(K1，K，K)等于包围K的凸曲面面积的三分之一；而V(K1，K1，K)等于该曲面曲率的平均值的三分之一．他还证明了两个混合体积间的不等式
　　[V(K1，K2，K3)]2

≥V(K1，K1，K3)·V(K2，K2，K3)．

　　由此他给出一个关于球的等周性的非常简单的新证明．作为混合体积和支撑超平面的一个美妙应用，他证明了有m个面的凸多面体完全由它各面面积及其之间的距离所确定．他还由此构造出具有常宽(度)的所有凸体．
2 j' \; |9 P6 b) u+ d* Z% N　　1896年，闵科夫斯基出版了专著《数的几何》(Geometrie derZahlen，Leipzing)，其中系统地总结了他在这一领域的开创性工作．在以后的论著中，他继续把自己在这方面的结果应用于数论的不同领域，特别是推广和明确了П．Л．切比雪夫(ЧeбьIшeB)和埃尔米特的不等式．切比雪夫在1866年的论文“一个算术问题”(Oб oдHoM apифMeT-ичecKoM Boпpoce)中证明，存在无穷多对整数x，y，满足不等式

　

　　埃尔米特在1880年改进了上述结果，得到

　

　　闵科夫斯基在他的《丢番图逼近》(Diophantische Approximati－onen， Leipzig， 1907)[5]一书中，证明了存在无穷多对整数x，y，满足不等式

　

- }6 B3 c0 h$ M8 A0 c( q1 C　　此处ξ0，η0为任意给定的数值，α，β，γ，δ为实数．
　　闵科夫斯基早年就对数学物理有强烈兴趣，在波恩大学任职期间，他曾协助物理学家H．赫兹(Hertz)研究电磁波理论．1905年以后，他几乎把所有精力都用在研究电动力学上．在他的倡导下，他和希尔伯特联合主持的讨论班的主要课题就是运动物体的电动力学．1908年，闵科夫斯基在科隆举行的德国科学家和医学协会年会上，以“时间和空间”为题报告了他在电动力学方面研究的新结果．他放弃了H．A．洛伦茨(Lorentz)和A．爱因斯坦(Einstein)在相对论原理中作为分离的实体而使用的时间和空间概念，提出四维的时空结构，即通过

ds2=c2dt2-dx2-dy2-dz2(c为光速)

　　为狭义相对论提供了四维时空的数学结构．这种结构后来被称为“闵科夫斯基世界”．据此，同一现象的不同描述能用简单的数学方式表出．诺贝尔物理学奖获得者M．波恩(Born)曾说，他在闵科夫斯基的工作中找到了“相对论数学的整个武器库”．也正是由于闵科夫斯基的工作，爱因斯坦才有可能奠定广义相对论的基础．
3 c6 V+ t7 ?- E4 e　　闵科夫斯基生命虽短，成就丰硕．他一生共发表29种论著，其中包括二次型理论、数的几何、凸体的几何学和数学物理等方面．1911年，由希尔伯特主编，出版了闵科夫斯基的全集．闵科夫斯基一生勤勉、刻苦，热爱科学，“科学无时无刻不引起他的兴趣，永远不会使他疲倦”[8]．他一生最亲密和最可信赖的朋友希尔伯特评价说，闵科夫斯基的气质尤如铜钟的音响，他在工作时的愉快和性格之开朗是那样清澈透明；他的坚定和忠诚是那样完全彻底；他那理想主义的抱负和生活信念是那样纯正无杂．

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豪斯多夫

* ]: c* E7 k# p) _7 t: r
, o7 H: e9 N3 W8 i0 o& u5 D5 K　　豪斯多夫，F．(Hausdorff，Felix)1868年11月8日生于德国布雷斯劳[Breslau，今波兰弗拉茨瓦夫(Wroclaw)]；1942年1月 26日卒于波恩．数学．
& N4 ?$ m4 `& @# }( J　　豪斯多夫是犹太人，他的父亲是一位富裕的商人．在豪斯多夫年幼的时候，随着父母迁往莱比锡．在莱比锡读完中学后，又在当地和弗来堡、柏林等地学习数学和天文学．1891年在莱比锡大学毕业并取得博士学位．
　　豪斯多夫的兴趣极为广泛，不仅对数学、天文学和光学有兴趣，而且也酷爱文学、哲学和艺术．他的朋友主要是艺术家和作家．豪斯多夫曾用Dr．Paul Mongre的笔名出版了两本诗集和一本哲学著作(Das Chaos in Kosmischer Auslese， 1898)；还有大量的富有哲理的散文和文章．在1904年曾发表一部滑稽戏的剧本(Der Arst Seiner Ehre)，这部戏在 1912年上演，获得相当大的成功．他在1891—1896期间，曾发表过4篇天文学和光学的文章以及数学中许多分支的文章．1896年成为莱比锡大学讲师，1902年成为副教授．以后主要致力于数学，逐渐减少了非科学的写作，特别是1904年以后，主要研究集论．1910年，他作为副教授去波恩大学，在那里写出了著名的专题著作《集论基础》(Grundzügeder Mengenlehre)，发表于1914年．这本专著影响极大，使豪斯多夫成为公认的一般拓扑的奠基人．1913年，豪斯多夫在格赖夫斯瓦尔德(Greifswald)大学任教授．1921年回到波恩大学任教授，在波恩一直非常活跃，直到1935年，因为他是犹太人而被迫隐退．但他仍继续从事集论和拓扑学的研究工作．他的成果只能在国外发表．1941年，他作为犹太人将被送到拘留营去．当拘留变得紧迫时，豪斯多夫和他的妻子、妻妹一起于1942年1月26日自杀于波恩．
　　豪斯多夫在数学的集合论、拓扑学、连续群理论、泛函分析、数论、概率论、几何学等许多分支中都有建树、最主要的贡献是在集合论和点集拓扑学方面．
　　豪斯多夫将他的前辈导入的一些概念给予适当的概括，导入了许多新的观念、方法和定理，发展为有系统的完美的理论，并为进一步发展提供了强大的动力．他是点集拓扑和度量空间的一般理论的他建者．
1 T/ d; i3 [0 S" Z　　豪斯多夫的《集论基础》(1914)一书在数学文献中是很珍贵的，他概括了前人广泛的工作，使之成为新理论的支柱，创建并完成了拓扑和度量空间的理论．由于它的阐述清晰、准确而优美，所以很容易读，直到今天仍有价值．他发展了D．希尔伯特(Hilbert)(1902)和H．外尔(Weyl)(1913)分别用公理化方法研究还将有面几何及黎曼曲面时所提出的概念，用邻域的语言给予公理的描述，定义了拓扑空间．在豪斯多夫之前，M．R．弗雷歇(Frechet)F．里斯(Riesz)等虽然都企图建立拓扑空间，给出过各种定义及相关概念，但第一个令人满意的拓扑空间定义是豪斯多夫在《集论基础》中提出的．他定义的拓扑空间建立在抽象集X上，使每个x∈X对应一个子集族(x),{(x)}x∈X称为邻域系统，满足
　　(1)对x∈X，(x)≠，且对U∈(x)，有x∈U；
　　(2)若x∈U∈(y)，则V∈(x)使VU
$ d1 z' a! }; U. ?4 `  v" M　　(3)对U1，U2∈(x)，U∈(x)，使UU1∩U2；
4 P0 |6 u) I& F' _: n# k! G　　(4)对x，y∈X，x≠y， 开集U∈(x)，V∈(y)，
　　由{(x)}x∈X生成的拓扑空间称为豪斯多夫空间．它是最重要的拓扑空间之一．形成拓扑的各种方法，首先由豪斯多夫在1927年给予系统的描述．
　　在欧氏空间的子集类中，G．康托尔(Cantor)曾导入并研究过开集、闭集、闭包、内部等概念，豪斯多夫的《集论基础》将它们推广于抽象空间，并建立了两个可数性公理：
+ n$ S4 n; m3 z, M　　(1)对x∈X，子集族{(x)}是可数集．
' F3 @+ }2 }; d' W' l/ {3 }　　(2)所有的{(x)}x∈X的集是可数集．
' C% Y0 Z) I) S. U1 x  ^　　关于同胚的概念，H．庞加莱(Poincare)曾在狭窄的意义下导入并研究过．弗雷歇于1910年首先讨论了抽象空间上的同胚概念，但在内容上详尽无遗的论述和系统讲解是豪斯多夫在《集论基础》中给出的．1935年，他还首先注意到正规性是闭映射的不变量．
. P7 X; a7 x+ ^& `　　关于欧氏空间的子空间，E．L．林德勒夫(Lindelf)曾讨论过集的凝聚点的概念，豪斯多夫在《集论基础》中，在拓扑空间上详尽地讨论了集合的凝聚点及其简单性质，并由此推出任一第二可数空间可表现为两个不相交集的并，其中之一是完全集，另一集是可数集．
- k( o( x4 L, p) y7 `　　关于子空间的系统研究也是从豪斯多夫《集论基础》开始的．
( L. B3 v* M0 b0 j) P  ^: C　　设{As:s∈S｝是X的子集族，如果对S的任意不同元素组成的有限序列s1，s2，…，sk，以及由0和1组成的序列i1，…，ik，有

　

　　其中A0=A，A1=X＼A，则称{As:s∈S}为独立集组成的．1936年，豪斯多夫得出：基数m≥0的集X的所有子集族含
; l/ `- ]- j) t* _5 K7 ^　　有由独立集组成的基数为2m的子族．早在1934年，G．费契田厚茨(Fichlenholz)和Л．B．坎托罗维奇(KaHTopoBИЧ)也曾得出过类似结果．
# y6 L; X: }9 J* O/ w& y　　关于实直线的波莱尔集的定义由E．波莱尔(Borel)给予概括叙述，H．L．勒贝格(Lebesgue)于1905年给出了欧氏空间的波莱尔集的理论．在此基础上，豪斯多夫创立了关于度量空间的波莱尔集理论(1914)．
　　1906年，弗雷歇导入可数紧空间的概念，豪斯多夫于1914年给出了在豪斯多夫空间X中，X的任一无限子集有聚点为可数紧空间的特征之一，并在度量空间中建立了序列紧性和可数紧性的等价性．他证明了任一可度量化空间X是第二可数的当且仅当X是可分的，以及紧可度量化空间是可分的．
　　关于连续扩张问题，豪斯多夫在1919年建立了：设A为可度量化空间X的闭子空间，则对X上的任一度量ρ，任一连续函数f：A→I确定X上f的连续扩张F为

　

6 L% q/ |' P6 k% J0 o& ?2 T3 G　　豪斯多夫《集论基础》指出紧可度量化空间X到可度量化空间Y的任一连续映射f：X→Y关于空间X和Y上分别为ρ和σ的距离是一致连续的．
4 Y/ H- d) A: E" L$ }　　全有界空间的概念也是豪斯多夫《集论基础》导入的，并在1927年证明了全有界度量空间是可分的[6]．
　　1914年，豪斯多夫证明了任一度量空间等距于某完备度量空间的子空间，刻画了度量空间的完备化空间，证明了每个自稠密的完备度量空间含有子空间同胚于康托尔集，还证明了在所有完备可度量化空间中贝尔(Baire)纲定理成立．1927年又证明了完备化空间的唯一性[6]．
　　Л．C．亚历山德罗夫(AлeKcaHДpoЬ)对可分空间证明了完备度量化性关于Gδ集是可继承的，豪斯多夫将此结果推广于任意可度量化空间(1924)．
　　豪斯多夫和亚历山德罗夫分别于1927和1925年独立地证明了每个非空紧可度量化空间是康托尔集的连续象，即二进空间．这个结果对点集拓扑学的发展富有启发意义．
　　设M是可度量化空间X的闭子空间，豪斯多夫于1930年证明了子空间M上的任一距离可扩张为空间X上的距离．
8 r) F" a# K  Z! E　　设f：M→L为可度量化空间X的闭子空间M到度量空间L上的连续映射，豪斯多夫证明了如果空间L可作为度量空间Y的闭子空间等距嵌入Y中[14]，则f可扩张为连续映射F：X→Y，使限制F|X＼M是X＼M到Y＼L上的同胚．
$ q* l- X- c2 B  x5 R. i7 S　　设2X为度量空间(X，ρ)的所有有界非空闭子集族，令

　

　　为A和B的距离，则(2X，ρh)为度量空间．称ρh(A，B)为豪斯多夫距离(1914)．(X，ρ)等距于(2X，ρh)的闭子空间．但空间X上两个等价的全有界距离ρ和σ，由ρh和σh在2X上导入的拓扑未必相同．豪斯多夫距离在度量空间的超空间理论中起着重要作用．
: r% m1 m1 C( {% _3 A　　W．谢尔品斯基(Sierpinski)于1930年证明了若度量空间Y是可分完备可度量化空间X在开映射下的连续象，则Y是完备可度量化的．1934年，豪斯多夫证明了若可度量化空间Y是完备可度量化空间X在开映射下的连续象，则Y是完备可度量化的．以后E．麦克(Michael)又推广于仿紧空间Y．
" h6 o/ g' k9 j; I3 `5 [　　连通性的概念是M．E．C．若尔当(Jordan)于1893年研究平面的紧子集类时导入的．豪斯多夫推广于抽象空间并开始了系统研究．在《集论基础》中包含连通集的一些简单性质，连通分支、拟分支的定义，以及关于紧度量空间的拟连通分支的性质等．该书还导入继承不连通空间．
/ ?/ F7 w! l, _6 s　　极不连通空间是M．H．斯通(Stone)在1937年定义的，但βN＼N不是极不连通的事实本身却是由豪斯多夫证明的(1936)．
　　集X上的距离ρ称为非阿基米德的，如果对所有x，y，z∈X，有

ρ(x，z)≤max[ρ(x，y)，ρ(y，z)]．

　　豪斯多夫证明了非空可度量化空间X，IndX=0当且仅当在空间X上存在非阿基米德距离(1934)．
　　在描述集合论方面，豪斯多夫《集论基础》中研究了有序集的理论，如将序型分类，序型的有序积，有序集的表示等问题．他引入的极大原理可用来代替超限归纳法，是和选择公理、良序原理、图基(Tukey)引理、库拉托夫斯基(Kuratowski)引理等命题等价的．
　　豪斯多夫提出的Rn中单位球分解(1914)，在空间转动理论及变换群的分剖结果的基础上，用选择公理证明了使人感到奇怪的分球定理．以后导致S．巴拿赫(Banach)的分球悖论(1924)，即把一个球切成有限个片段，然后重新组合，可得到与原球有相同尺寸的两个球．这一悖论使人怀疑选择公理，引起数学界的极大重视，从而推进数学基础的发展．
　　豪斯多夫还彻底解决了波莱尔集的基数定理(1916)，这是和亚历山德罗夫同年独立解决的．他还提出了豪斯多夫运算(1927)，豪斯多夫递归公式(1914)等．
　　1914年，豪斯多夫提出测度问题：是否存在Rn的每个子集均可测的有限可加测度？1923年，他证明了当n=1，2时存在无限多个解，当n≥3时无解．
　　在数学分析中，豪斯多夫从事矩量问题的研究并获得重要结果，解决了有限区间的矩量问题及矩量的性质．他还得出了求和法及有关傅里叶系数的定理(1921)．
　　在连续群理论中，豪斯多夫建立了重要的代数算法，导出并研究了群论符号的指数公式(1906)．他也给出华林(Waring)问题的简化证明(1909)并提出过任意非整维数(1919)．
　　豪斯多夫的工作对现代数学的形成和发展起着重要作用，以致现代数学中的某些术语是以豪斯多夫的名字命名的．如豪斯多夫公理、豪斯多夫空间、豪斯多夫距离、豪斯多夫一致空间、豪斯多夫拓扑群、豪斯多夫极大原理、豪斯多夫运算、豪斯多夫递归公式、豪斯多夫-杨(Young)定理等．

豪斯多夫

　　豪斯多夫，F．(Hausdorff，Felix)1868年11月8日生于德国布雷斯劳[Breslau，今波兰弗拉茨瓦夫(Wroclaw)]；1942年1月 26日卒于波恩．数学．
　　豪斯多夫是犹太人，他的父亲是一位富裕的商人．在豪斯多夫年幼的时候，随着父母迁往莱比锡．在莱比锡读完中学后，又在当地和弗来堡、柏林等地学习数学和天文学．1891年在莱比锡大学毕业并取得博士学位．
　　豪斯多夫的兴趣极为广泛，不仅对数学、天文学和光学有兴趣，而且也酷爱文学、哲学和艺术．他的朋友主要是艺术家和作家．豪斯多夫曾用Dr．Paul Mongre的笔名出版了两本诗集和一本哲学著作(Das Chaos in Kosmischer Auslese， 1898)；还有大量的富有哲理的散文和文章．在1904年曾发表一部滑稽戏的剧本(Der Arst Seiner Ehre)，这部戏在 1912年上演，获得相当大的成功．他在1891—1896期间，曾发表过4篇天文学和光学的文章以及数学中许多分支的文章．1896年成为莱比锡大学讲师，1902年成为副教授．以后主要致力于数学，逐渐减少了非科学的写作，特别是1904年以后，主要研究集论．1910年，他作为副教授去波恩大学，在那里写出了著名的专题著作《集论基础》(Grundzügeder Mengenlehre)，发表于1914年．这本专著影响极大，使豪斯多夫成为公认的一般拓扑的奠基人．1913年，豪斯多夫在格赖夫斯瓦尔德(Greifswald)大学任教授．1921年回到波恩大学任教授，在波恩一直非常活跃，直到1935年，因为他是犹太人而被迫隐退．但他仍继续从事集论和拓扑学的研究工作．他的成果只能在国外发表．1941年，他作为犹太人将被送到拘留营去．当拘留变得紧迫时，豪斯多夫和他的妻子、妻妹一起于1942年1月26日自杀于波恩．
3 y; n; c( I! y% n　　豪斯多夫在数学的集合论、拓扑学、连续群理论、泛函分析、数论、概率论、几何学等许多分支中都有建树、最主要的贡献是在集合论和点集拓扑学方面．
　　豪斯多夫将他的前辈导入的一些概念给予适当的概括，导入了许多新的观念、方法和定理，发展为有系统的完美的理论，并为进一步发展提供了强大的动力．他是点集拓扑和度量空间的一般理论的他建者．
　　豪斯多夫的《集论基础》(1914)一书在数学文献中是很珍贵的，他概括了前人广泛的工作，使之成为新理论的支柱，创建并完成了拓扑和度量空间的理论．由于它的阐述清晰、准确而优美，所以很容易读，直到今天仍有价值．他发展了D．希尔伯特(Hilbert)(1902)和H．外尔(Weyl)(1913)分别用公理化方法研究还将有面几何及黎曼曲面时所提出的概念，用邻域的语言给予公理的描述，定义了拓扑空间．在豪斯多夫之前，M．R．弗雷歇(Frechet)F．里斯(Riesz)等虽然都企图建立拓扑空间，给出过各种定义及相关概念，但第一个令人满意的拓扑空间定义是豪斯多夫在《集论基础》中提出的．他定义的拓扑空间建立在抽象集X上，使每个x∈X对应一个子集族(x),{(x)}x∈X称为邻域系统，满足
  A1 A) ]0 l* ~6 H0 f% Y& i5 \　　(1)对x∈X，(x)≠，且对U∈(x)，有x∈U；
2 I1 P+ }7 F5 \) ]; X/ [1 F　　(2)若x∈U∈(y)，则V∈(x)使VU
　　(3)对U1，U2∈(x)，U∈(x)，使UU1∩U2；
　　(4)对x，y∈X，x≠y， 开集U∈(x)，V∈(y)，
4 h# k. S+ I2 s/ z　　由{(x)}x∈X生成的拓扑空间称为豪斯多夫空间．它是最重要的拓扑空间之一．形成拓扑的各种方法，首先由豪斯多夫在1927年给予系统的描述．
　　在欧氏空间的子集类中，G．康托尔(Cantor)曾导入并研究过开集、闭集、闭包、内部等概念，豪斯多夫的《集论基础》将它们推广于抽象空间，并建立了两个可数性公理：
　　(1)对x∈X，子集族{(x)}是可数集．
; K1 [# c6 K( @. Y- y7 M, D6 C- b　　(2)所有的{(x)}x∈X的集是可数集．
  s4 v% {2 |; V. O6 i　　关于同胚的概念，H．庞加莱(Poincare)曾在狭窄的意义下导入并研究过．弗雷歇于1910年首先讨论了抽象空间上的同胚概念，但在内容上详尽无遗的论述和系统讲解是豪斯多夫在《集论基础》中给出的．1935年，他还首先注意到正规性是闭映射的不变量．
　　关于欧氏空间的子空间，E．L．林德勒夫(Lindelf)曾讨论过集的凝聚点的概念，豪斯多夫在《集论基础》中，在拓扑空间上详尽地讨论了集合的凝聚点及其简单性质，并由此推出任一第二可数空间可表现为两个不相交集的并，其中之一是完全集，另一集是可数集．
　　关于子空间的系统研究也是从豪斯多夫《集论基础》开始的．
9 [  L% t& ~" H) U# K, P　　设{As:s∈S｝是X的子集族，如果对S的任意不同元素组成的有限序列s1，s2，…，sk，以及由0和1组成的序列i1，…，ik，有

　

　　其中A0=A，A1=X＼A，则称{As:s∈S}为独立集组成的．1936年，豪斯多夫得出：基数m≥0的集X的所有子集族含
- C4 {& v$ @" L# y+ i; C　　有由独立集组成的基数为2m的子族．早在1934年，G．费契田厚茨(Fichlenholz)和Л．B．坎托罗维奇(KaHTopoBИЧ)也曾得出过类似结果．
　　关于实直线的波莱尔集的定义由E．波莱尔(Borel)给予概括叙述，H．L．勒贝格(Lebesgue)于1905年给出了欧氏空间的波莱尔集的理论．在此基础上，豪斯多夫创立了关于度量空间的波莱尔集理论(1914)．
　　1906年，弗雷歇导入可数紧空间的概念，豪斯多夫于1914年给出了在豪斯多夫空间X中，X的任一无限子集有聚点为可数紧空间的特征之一，并在度量空间中建立了序列紧性和可数紧性的等价性．他证明了任一可度量化空间X是第二可数的当且仅当X是可分的，以及紧可度量化空间是可分的．
. w& v: b! f% e& w　　关于连续扩张问题，豪斯多夫在1919年建立了：设A为可度量化空间X的闭子空间，则对X上的任一度量ρ，任一连续函数f：A→I确定X上f的连续扩张F为

　

7 a$ W# r& v; k8 I! @3 o　　豪斯多夫《集论基础》指出紧可度量化空间X到可度量化空间Y的任一连续映射f：X→Y关于空间X和Y上分别为ρ和σ的距离是一致连续的．
, {: T2 |0 i. o/ C% o5 q" c4 W　　全有界空间的概念也是豪斯多夫《集论基础》导入的，并在1927年证明了全有界度量空间是可分的[6]．
( ~  q: l3 [# b　　1914年，豪斯多夫证明了任一度量空间等距于某完备度量空间的子空间，刻画了度量空间的完备化空间，证明了每个自稠密的完备度量空间含有子空间同胚于康托尔集，还证明了在所有完备可度量化空间中贝尔(Baire)纲定理成立．1927年又证明了完备化空间的唯一性[6]．
　　Л．C．亚历山德罗夫(AлeKcaHДpoЬ)对可分空间证明了完备度量化性关于Gδ集是可继承的，豪斯多夫将此结果推广于任意可度量化空间(1924)．
　　豪斯多夫和亚历山德罗夫分别于1927和1925年独立地证明了每个非空紧可度量化空间是康托尔集的连续象，即二进空间．这个结果对点集拓扑学的发展富有启发意义．
1 }2 B& o& X& X! _0 u) P' H3 Y　　设M是可度量化空间X的闭子空间，豪斯多夫于1930年证明了子空间M上的任一距离可扩张为空间X上的距离．
　　设f：M→L为可度量化空间X的闭子空间M到度量空间L上的连续映射，豪斯多夫证明了如果空间L可作为度量空间Y的闭子空间等距嵌入Y中[14]，则f可扩张为连续映射F：X→Y，使限制F|X＼M是X＼M到Y＼L上的同胚．
　　设2X为度量空间(X，ρ)的所有有界非空闭子集族，令

　

1 t" N$ |6 A9 a! y( G9 _' `2 j. e　　为A和B的距离，则(2X，ρh)为度量空间．称ρh(A，B)为豪斯多夫距离(1914)．(X，ρ)等距于(2X，ρh)的闭子空间．但空间X上两个等价的全有界距离ρ和σ，由ρh和σh在2X上导入的拓扑未必相同．豪斯多夫距离在度量空间的超空间理论中起着重要作用．
! e% ?' X- b7 m3 j, e& y　　W．谢尔品斯基(Sierpinski)于1930年证明了若度量空间Y是可分完备可度量化空间X在开映射下的连续象，则Y是完备可度量化的．1934年，豪斯多夫证明了若可度量化空间Y是完备可度量化空间X在开映射下的连续象，则Y是完备可度量化的．以后E．麦克(Michael)又推广于仿紧空间Y．
　　连通性的概念是M．E．C．若尔当(Jordan)于1893年研究平面的紧子集类时导入的．豪斯多夫推广于抽象空间并开始了系统研究．在《集论基础》中包含连通集的一些简单性质，连通分支、拟分支的定义，以及关于紧度量空间的拟连通分支的性质等．该书还导入继承不连通空间．
　　极不连通空间是M．H．斯通(Stone)在1937年定义的，但βN＼N不是极不连通的事实本身却是由豪斯多夫证明的(1936)．
+ ]! s* u  ?4 I6 n$ y/ w　　集X上的距离ρ称为非阿基米德的，如果对所有x，y，z∈X，有

ρ(x，z)≤max[ρ(x，y)，ρ(y，z)]．

/ D0 u3 M' Y9 J8 b' {* V　　豪斯多夫证明了非空可度量化空间X，IndX=0当且仅当在空间X上存在非阿基米德距离(1934)．
　　在描述集合论方面，豪斯多夫《集论基础》中研究了有序集的理论，如将序型分类，序型的有序积，有序集的表示等问题．他引入的极大原理可用来代替超限归纳法，是和选择公理、良序原理、图基(Tukey)引理、库拉托夫斯基(Kuratowski)引理等命题等价的．
　　豪斯多夫提出的Rn中单位球分解(1914)，在空间转动理论及变换群的分剖结果的基础上，用选择公理证明了使人感到奇怪的分球定理．以后导致S．巴拿赫(Banach)的分球悖论(1924)，即把一个球切成有限个片段，然后重新组合，可得到与原球有相同尺寸的两个球．这一悖论使人怀疑选择公理，引起数学界的极大重视，从而推进数学基础的发展．
　　豪斯多夫还彻底解决了波莱尔集的基数定理(1916)，这是和亚历山德罗夫同年独立解决的．他还提出了豪斯多夫运算(1927)，豪斯多夫递归公式(1914)等．
　　1914年，豪斯多夫提出测度问题：是否存在Rn的每个子集均可测的有限可加测度？1923年，他证明了当n=1，2时存在无限多个解，当n≥3时无解．
' f& b- ]! ~( t) R% g# [6 x　　在数学分析中，豪斯多夫从事矩量问题的研究并获得重要结果，解决了有限区间的矩量问题及矩量的性质．他还得出了求和法及有关傅里叶系数的定理(1921)．
$ ?3 x# ^- V5 V2 U% v　　在连续群理论中，豪斯多夫建立了重要的代数算法，导出并研究了群论符号的指数公式(1906)．他也给出华林(Waring)问题的简化证明(1909)并提出过任意非整维数(1919)．
& |/ N) f' K5 _: |+ U- u+ R' v' Q　　豪斯多夫的工作对现代数学的形成和发展起着重要作用，以致现代数学中的某些术语是以豪斯多夫的名字命名的．如豪斯多夫公理、豪斯多夫空间、豪斯多夫距离、豪斯多夫一致空间、豪斯多夫拓扑群、豪斯多夫极大原理、豪斯多夫运算、豪斯多夫递归公式、豪斯多夫-杨(Young)定理等．

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埃利·嘉当

虞言林

(中国科学院数学研究所)

　　嘉当，．(Cartan， lie)1869年4月19日生于法国多洛米约；1951年5月6日，卒于巴黎．数学．
　　嘉当出生在法境阿尔卑斯山的一个小村庄里，父亲是一个铁匠．由于幼年时的天才表现，大为当时政治家D．昂托南(Anto-nin)赏识，被保荐获得国家助学金，从而得以完成初等教育．1888年嘉当进入法国高等师范学校，毕业后先后在蒙彼利埃大学、里昂大学、南锡大学、巴黎大学任教．1912年成为巴黎大学教授直至退休．1931年当选为法国科学院院士，后来还得到许多荣誉学位，并为一些科学社团选为国外院士．
8 M0 R. T/ `9 i1 ^' y; A" w　　嘉当对近代数学的发展做出了极大的贡献．流形上的分析是当今极为活跃的数学分支，嘉当可以称得上是该分支的重要缔造者．他无疑是本世纪最伟大的数学家之一．嘉当的工作大致分为李群，微分方程和几何三部分，当然它们之间有联系．
　　一、李群
4 T. W* F  ^0 H! n! D　　嘉当之前研究李群的只有两位．一位是S．李(Lie)，另一位是W．基灵(Killing)．李考虑的是一个解析流形上带有n个解析参数的一族解析变换，而这族变换构成一个群．后来基灵在他的文章中隐约提到研究对象需有一个战略上的转移，即摆脱承受变换作用的解析流形而只讨论带有n个参数的一族元素，他们构成一个群G．到了嘉当这个观点就被十分明确地提出来了，达到了现代人们关于李群论的基本认识．关于李群的研究分为两个方面．我们先谈第一个方面，即关于李群的局部研究．李群在单位点处的切空间是一个向量空间，李群的乘法运算自然导出上一个李括号运算．这就使成为一个代数，称为G的李代数．对G的局部研究就是考察它的李代数．一个根本的问题是列举出所有互不同构的李代数，即李代数的分类问题．复单李代数的分类几乎被基灵解决了．这里所谓的“几乎”，是指基灵的证明中有不少漏洞，而且关于例外李代数的结论也说得不完全．嘉当是第一位对复单李代数分类给出彻底而又严格的解答的人．并且嘉当进而解决了实单李代数的分类和单李代数的不可约线性表示的问题．嘉当处理上述问题的方法强而有力，已成经典．以复单李代数的情形为例，我们来简述他的方法．李括号运算可写为一个映射[，]： ×→，人们需要把这种映射分类．为此嘉当先在中找到一个特殊的子代数η(现通称为嘉当子代数)，接着讨论下列两个问题：(1)讨论李括号映射的限制映射[，]：η× →，得知它可以被很好的把握，用一种根系的观念来完全刻划．(2)讨论如何从[，]：η× →决定[，]： ×→的问题．解决的过程虽然复杂，但也能完成．在以上嘉当的工作中我们还需提到一件事．这就是嘉当在解决单李代数的表示问题时，于1913年发现了旋量．这一发现在日后量子力学中起着很重要的作用．
. ?2 r- T9 _2 Z2 _' u- i5 }/ u+ z　　李群研究的第二方面是讨论李群的整体性质，即它的拓扑性质．嘉当和H．外尔(Weyl)对紧李群的整体研究垄断了当时的局面．他们用的方法不同，嘉当的方法对非紧群也能给出非常全面的了解．嘉当算出的覆迭变换群就是G的基本群．嘉当证明了这个覆迭变换群同构于G的中心，从而借助韦尔的一个定理，用代数法算出G的中心，于是便得到G的基本群．为了计算G的贝蒂数，嘉当引入一个极富创见的方法．用现代术语来说，这就是用G上的微分式和外微分算子造出德·拉姆(de Rham)上同调群，嘉当并断言德·拉姆上同调群的维数就是贝蒂数(嘉当本人对此断言未给出证明，而是由德·拉姆去完成的)．接着容易论证，G上左不变微分式可以代替上面提到的微分式．从而贝蒂数的计算化为纯代数问题，因而最终得到解决．嘉当的这个方法也可以推广到齐性空间的情形．关于非紧李群，嘉当证明了这种李群拓扑上等价于一个欧氏空间和一个紧李群的乘积．因此它们的拓扑也就容易处理了．
) e4 b, H/ [  @" t　　二、偏微分方程组
　　嘉当在前人处理普法夫方程的基础上，意义深远地处理了偏微分方程组的问题．从问题的提法到研究的方式均不同于经典的做法，表现了强烈的几何倾向．经典的微分方程问题是求解下列方程

　　　

　

8 N( q3 i1 Q1 v5 c* U% z( e6 l! D) s　　这称为普法夫方程组．原方程组的解显然对应于普法夫方程组的解，而后者是以(x1，…，xm；z1，…，zp；…，trs，…)为参数的流形M中的一个m维子流形．嘉当对普法夫方程组做了如下意义重大的更动．把次微分式．由它们构造出一个最小的微分式集合I，使得：若ω1，ω2的I称为由F(x；z；t)，dzr—∑trsdxs生成的微分理想．I=0比起普法夫方程组来说，增加了许多方程，但是增加的只不过是保证原普法夫方程组可解的条件．因此I=0的解(即M中的子流形，其上I为零)就是原普法夫方程组的解．引进I的好处在于I不依赖于参数x，未知函数z的具体取法，因而I=0是以一种不变的方式陈述了偏微分方程组(或普法夫方程组)的问题．如果N是M中m'维子流形(m'不必等于m)，I在N上为零，即N为I=0的一个解．此时又若p∈N，记N在p点的切空间为Ep，我们进一步称N是以Ep为初值，方程I=0的解．显然这样的Ep需满足I强加其上的一个代数条件，不难把这个条件明确写出来．对于M中p点处一个m'维切空间Fp，如果它满足关于Ep的那个代数条件，我们就称Fp为可积元素．嘉当考察当给定一个可积元素Fp时，如何去找I=0的解使其具初值Fp．嘉当对可积元素引进了一个“正规条件”概念，并证明如果可积元素Fp满足正规条件，则可一步步解出上述的N．这样的N称为I的一个一般解．对于不满足正规条件的可积元素Fp，欲求的解称为“奇解”．嘉当提出了一个求奇解的方法，叫延拓法(prolongation)．具体说来就是按一定计划增加新的变数，扩充原来的微分理想，使得原微分理想的奇解就是新微分理想的一般解．嘉当具体详细地描写了延拓法，不过没有证明：奇解总可以用这种延拓法求得．这事后来由仓西正武(西正武，Kuranishi Masatake)和松田道彦(松田道彦，Matsuda Michi-hiko)解决．
　　嘉当的微分方程组理论使他在无限李群，微分几何，分析力学，广义相对论等方面得出了深刻的结果．
. A3 M) K2 q, K& y: ^　　三、几何
　　嘉当对微分几何学的贡献是巨大的．在众多深刻的结果中特别引人注目的是，他关于活动标架法，纤维丛的联络论以及对称空间的研究．
　　活动标架法的先驱当数J．达布(Darboux)，里博库尔(Ri-baucour)和E．切萨罗(Cesaro)．嘉当是活动标架法的集大成者，虽然这个方法至今也还未探索清楚．研究一个物体运动时曾经采用随着物体一起变动的标架来处理问题，这样的标架自然地称为活动标架．在研究空间性质时，类似的标架也就称为活动标架了，不过此时的标架不是随时间而变，而是随地点而变化的．让我们用一个简单的例子来描绘原始的活动标架法．当人们研究欧氏空间中一条曲线时，按照笛卡儿坐标方法，首先在欧氏空间中取一个固定的标架，从而将曲线用数量关系表出．接着再用分析与代数手段研究这个代表曲线的数量关系．这个方法固然可行，但是在复杂一些的情形下，人们常常会迷路，不易从上述数量关系找到几何不变量．假若处理上述问题时不采用固定的标架，而选取一种所谓的J．-F．弗雷内(Frenet)标架(这种标架的原点在曲线上，三个坐标轴分别是曲线的切向量、主法向量和次法向量)，于是就有一个“规则的算法”很容易得到曲率、挠率这样的几何不变量．这里的弗雷内标架就是活动标架．嘉当将此经典的方法做了极大的推广，处理下面这样一个典型的问题．设E是一个n维流形，其上有一个李群G作用，对于E的一个子流形M，试找出M在G作用下的微分不变量，并考虑在找到多少个如此的不变量之后，我们能判断两个已知子流形彼此间是否差一个G中的变换．对上述这样的问题，嘉当首先阐明M上的活动标架就是E中子流形M的密切元素，而后根据这样的标架集合给出推广的规则算法．这就是嘉当的活动标架法．当然这个方法可以自然延伸到别的场合，例如摆脱E的流形M之情形．活动标架法中有强烈的李群背景，这表现在活动标架集合上有李群作用，并且这个李群在“规则算法”中起着主导的作用．正因为有李群的干预，活动标架法处理几何问题时显得异常简捷，自然，并且把F．克莱茵(Klein)的埃朗根纲领(Erlangen program)或多或少地贯彻到微分几何中来．
　　纤维丛的联络论包含了两个极为重要的观念．一个是纤维丛，另一个是主丛上的联络．这两个观念实际上都曾隐藏在活动标架法之中．流形M上的活动标架构成一个大空间，它就是M上的主丛；活动标架法中的规则算法的要点之一，是考察无限接近的两个标架之差异．刻划这种差异恰是主丛上的联络．纤维丛的联络论极大地推广了列维-齐维塔(Levi-Civita)的绝对微分学，它使得后来的几何学、拓扑学及理论物理学有了突飞猛进的发展．于是纤维丛的联络论从活动标架法中独立出来了．嘉当是纤维丛联络论的开创人，但是他当年却未能把事情说得明白．
" D. E# _" F4 o1 s: y* _( L　　嘉当在黎曼几何方面最重要的工作无疑是黎曼对称空间的理论．这一理论的发现、发展和完善皆归功于嘉当一个人．像这样的事在数学史中是极为罕见的．黎曼对称空间有几种不同的定义．它可定义为一种特殊的黎曼流形，其截面曲率张量是平行的，也可定义为在黎曼流形各点处皆存在关于该点的中心对称等距映射．后一定义很容易和齐性空间联系起来．嘉当很不寻常地发现可以用单李群的分类来完全刻画黎曼对称空间．黎曼对称空间比经典空间(欧氏空间，非欧空间)广泛，在数学的其他分支中起着日益重要的作用．
: V9 d! _0 i6 B% X　　嘉当在微分几何方面的其他工作也很多，像等参超曲面族这样的精彩结果还可列举不少，在此不一一详述．
* a1 k7 g3 R; s# b2 F+ G0 |' U　　嘉当一生写过9本书，186篇论文(见原始文献．)在他的工作中突出显示了深刻性与开创性．作品的难读也称得上是一特点．这使得嘉当晚年(1930年以后)才成大名．当然这也和嘉当本人的谦让及当年垄断法国数学界的流派有关．自1930年以后嘉当对近代数学的影响与日俱增．时至今日，他的全集仍是有待微分几何工作者发掘的一个巨大宝藏．

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罗素

1 K2 x1 y) T5 e: J7 b- g
& o3 D- W8 h* e
2 F; d) E9 d- z
4 Q/ R; d- ~/ a, C2 L5 E* o# z　　罗素，B．(Russell，Bertrand)1872年5月18日生于英格兰蒙茅斯郡的特雷勒克；1970年2月2日卒于威尔士的彭林代德赖思附近的帕莱斯彭林．数理逻辑、数学基础、哲学．
) H+ }7 S, j: U! m! X" @3 ~9 T- Y　　罗素出身于一个贵族的家庭．祖父约翰·罗素(John Russell)伯爵是一个著名的自由党政治家，他于1832年提出第一个议会选举法修正案，并两次出任英国政府首相．罗素2岁时母亲去世，3岁时父亲也去世．于是罗素和他的哥哥便与祖父祖母生活在一起，由他们照管．罗素6岁时，祖父去世．祖母活到了1898年，她对罗素在童年和青少年时期的发展有过决定性的影响．祖母出身于一个贵族的虔诚教徒的家庭，具有非常强烈的道德信念和宗教信仰，在政治上较为激进．她曾用一条缄言告诫罗素：“你不应该追随众人去作坏事”，罗素一生都努力遵循这条准则．罗素少年时未被送到学校去学习，而只是在家里接受保姆和家庭教师的教育．他的童年和少年时代是孤独的．由于他的一个叔叔的影响，他从小就对科学产生了兴趣．在哥哥的帮助下，他11岁时就掌握了欧几里得几何学，这是他智慧发展的重要转折．
+ Z9 _% I/ e2 Y　　1890年10月，罗素考入剑桥大学，在三一学院学习数学和哲学．在此期间，他结识了当时剑桥大学数学讲师A．N．怀特海(Whitehead)、哲学家G．E．穆尔(Moore)和E．麦克塔格特(McTaggart)以及其他一些历史学家、经济学家、诗人和散文家．从1895年至1901年他任三一学院研究员．在此期间，罗素撰写了《论几何学的基础》(An essay on the foundations of geometry，1897)一书．这本书的主题是用I．康德(Kant)关于数学是先验综合判断的思想来检查几何学的发展和现状，他用稍加修改的康德的观点来评价非欧几何学的产生．但后来罗素对这本书的评价甚低．罗素最初在哲学上受G．W．F．黑格尔(Hegel)哲学的影响较大，1898年在G．E．摩尔的劝说下抛弃了黑格尔的哲学观点，参加了反叛绝对唯心主义哲学的运动，从此转变为经验主义者、实证主义者和物理主义者．罗素说过，在这个时期，“就哲学的基本问题而言，在所有的主要方面，我的立场都来自G．E．穆尔先生．……在数学上，我主要受惠于G．康托尔(Cantor)和 G·皮亚诺(Peano)教授．”(《数学的原理》(The principles of mathema-tics，1903)p．xviii．)从1900年至1914年，罗素主要从事数理逻辑和数学基础的研究，他在这个领域中最重要的工作都是在这个时期完成的．从1910年至1916年罗素任三一学院哲学讲师．从20年代至40年代，罗素主要从事哲学方面的研究和讲学．罗素用“逻辑原子主义”来称呼他的哲学．他的主要哲学著作有《神秘主义和逻辑》(Mysticism and logic，1918)，《心的分析》(Theanalysis of mind，1921)，《物的分析》(The analysis of matter，1927)，《意义和真理研究》(An inquiry into meaning and tru-th，1940)，《人类知识：它的范围和限度》(Human knowledgeits scope and limits，1948)，等等．从1916年至30年代后期，罗素没有任何学术职务，他以写作和公开演讲为生．1920年至1921年，他曾访问过苏联和中国，他在中国讲学近一年，给我国哲学界以很大的影响．1938年，罗素迁往美国，先后在芝加哥大学、加州大学任教．1941年至1943年他在费城讲学．1944年他返回剑桥，重任三一学院研究员直到去世．50年代后，罗素从哲学转向国际政治，他反对核战争、主张核裁军．1955年，他动员了许多著名科学家包括A．爱因斯坦(Einstein)在内签署了一个为争取世界和平而合作的宣言．1964年他建立了罗素和平基金会，抨击美国政府的侵略政策．1967年后他与存在主义者J-P．萨特(Sar-tre)建立了一个国际战犯审判法庭，并传讯美国总统L．约翰逊(Johnson)．由于罗素积极从事政治活动，他晚年享有世界范围的名望．罗素一生中曾三次竞选下院议员，但都没有成功．他曾两次被捕入狱，其原因是因为他申张民主和参加核裁军运动．
( a$ B% ^' L/ J' f! w　　罗素于1908年当选为英国皇家学会会员．1949年他成为英国科学院的荣誉院士，同年还被授予功勋奖章．他曾两度担任亚里士多德学会的会长，并担任过理性主义者新闻协会会长多年．1950年他获得诺贝尔文学奖．诺贝尔奖金委员会在授予他奖金时称他为“当代理性和人道的最杰出的代言人之一，西方自由言论和自由思想的无畏斗士”．
　　罗素一生曾四次结婚，有三个孩子．1931年，由于他哥哥去世，他成为罗素伯爵三世．
5 K: A4 \# }/ a1 ?' b5 t　　19世纪下半叶，数学家对微积分的理论基础进行了严格处理．K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)用“ε-δ”方法重新表述了A．柯西(Cauchy)的极限论，把微积分理论建立在实数理论的基础上；接着，R．戴德金(Dedekind)和康托尔分别从有理数出发定义了实数；之后，魏尔斯特拉斯和皮亚诺从自然数出发定义了有理数，并且皮亚诺还从不经定义的“集合”、“自然数”、“后继者”等概念出发，用公理化的方法塑述了自然数理论；最后康托尔建立了无穷集合的理论．康托尔的这项工作起源于对三角级数和数学基础问题的研究，他先提出了点集理论，进而又提出了一般无穷集合论．与此同时，数理逻辑通过G．布尔(Boole)、E．施罗德(Sch-rder)、皮亚诺和G．弗雷格(Frege)等人的工作得到了长足的进步．但是除了少数人如弗雷格和皮亚诺外，许多数学家忽视逻辑的作用，看不到数理逻辑对数学基础研究的重要性．1900年7月，罗素到巴黎参加国际哲学会议时遇到了皮亚诺，这件事对罗素的学术生涯来说是一个重大的转折点．通过聆听皮亚诺的讲话，罗素才意识到数理逻辑对于数学基础研究的重要性．于是罗素向他请教并表示希望拜读他的著作，在读完皮亚诺的有关著作后，罗素很快地掌握了皮亚诺的符号逻辑和思想，在此基础上他开始了数理逻辑和数学基础的研究工作，其主要成果是《数学的原理》一书．该书的大部分写于1900年下半年，全书于1903年出版．从此之后到1914年，罗素与怀特海合作进行这方面的研究，他撰写了30余篇有关论文，1910年至1913年他与怀特海合著的三卷本巨著《数学原理》(Principla mathematica)陆续出版．1919年，他又出版了该著作的通俗读本《数理哲学导论》(Introduction tomathematical philosophy)．在数学基础和数理逻辑方面，罗素的主要成就有两个方面，一是他通过建立逻辑类型论来消除逻辑悖论；二是他从一个较为简单的逻辑系统出发加之少量非逻辑公理推导出经典数学．
　　罗素发现著名的罗素集合论悖论是在1901年．开始他似乎觉得“所有类这个类是一个类”，后来由于受到康托尔证明没有最大的基数方法的启发，“使我考虑不是自己的项的那些类．好像这些类一定成一类．我问自己，这一个类是不是它自己的一项．如果它是自己的一项，它一定具有这个类的分明的特性，这个特性就不是这个类的一项．如果这个类不是它自己的一项，它就一定不具有这个类的分明的特性，所以就一定是它自己的一项．这样说来，二者之中无论哪一个，都走到它相反的方面，于是就有了矛盾”．[《我的哲学的发展》，(My philosophical development，1959)，第66—67页]一年以后，罗素将上述结果写信告诉了弗雷格．弗雷格回答说，罗素悖论的发现使他惊愕之极，由于这个悖论，他的《算术原理》(Grundgesetze der Arithmetik，vol．Ⅰ，1893，vol．Ⅱ，1903)中的第五公理便是错的，必须给予剔除，于是他认为算术的基础发生了动摇．
% h2 f6 U/ g) p: U0 P8 C　　为了消除悖论，罗素首先在《数学的原理》的附录B中提出了类型论．这个理论以两条公设为基础：(1)每一个命题函项φx除了有其真值域外，都有一个意义域．只要φx是一个命题，无论是真还是假，x必须在这个意义域内取值．(2)命题函项的意义域构成类型，即如果x属于φx的意义域，则存在一个对象的类，即x的类型，其中所有的对象也应属于φx的意义域，当然φ可以是各种各样的．在此基础上罗素讨论了类的类型．就类而言，在最底层的对象是个体，它没有域，它是最低的类型的对象；接下去依次可以构成对象是个体类的类型，对象是个体类的类的类型，如此等等．因为类只能由同一类型的对象组成，类相对于其成员是高一级的类型的对象，这样“自己属于自己”或“自己不属于自己”的命题本身是无意义的，于是便避免了罗素悖论的产生．罗素的这种类型论本质上属于简单类型论，在用它来处理数、命题或语义学悖论时却有困难．
6 g0 M' I+ \! W8 r6 o; F　　为了进一步寻找解决悖论的方法，1906年罗素在论文“关于超穷数和超穷序型理论中的一些困难”(On some difficulties inthe theory of transfinite numbers and order types)中又提出了另外三种理论，即曲折论、限量论和无类论．曲折论是罗素在研究康托尔最大基数悖论后提出的，他认为对命题函项的复杂性应加以限制，只有非常简单的命题函项才能决定类，而其他复杂的、费解的命题函项则不能．这样就可以避免构成一个可以导致悖论的太大的类．罗素的这个思想后来在W．V．奎因(Quine)1937年的有关数理逻辑的工作中得到发展．限量论是罗素在研究布拉里-福尔蒂(Burali-Forti)悖论后提出的，它的主要论点是否认全类和不加限制的某些概念的存在性，从而避免过大的类．在无类论中，罗素在摹状词理论的基础上主张取消类作为实体存在的资格，而只把类看作是一种逻辑的虚构、一种说话的方便而已和一种“不完全的符号”．后来他又把类等同于命题函项．
2 P9 b- X9 [0 i/ \2 A. Y　　1906年H．庞加莱(Poincaré)研究了里夏尔(Richard)悖论之后提出，悖论的根源在于非直谓定义．如果x是类A的一个成员，但定义x时又需要依赖于A，则这种定义称为非直谓的．显然这种定义具有循环定义即“反身自指”的特征．罗素吸取了庞加莱的这个思想，提出了避免悖论的“恶性循环原则”，认为：凡包含一个集体的总体的对象，它不应再是集体的一个成员；反之，假如一个集体有一个总体，该集体又含有只能由它的总体来定义的成员，则该集体没有总体．遵循这条原则便可以避免“反身自指”的不合逻辑的总体的产生，而这种不合法总体正是导致悖论的基础．在无类论和恶性循环原则的基础上，罗素于1908年在论文“以类型论为基础的数理逻辑”(Mathematical logic as based on thetheory of types)中进一步提出了分支类型论的理论．这个理论后来在《数学原理》的第I卷中也有详细的论述．
! u* g! Y% u4 u8 @. e　　在分支类型论中，罗素从命题函项出发，对其进行分层处理，将其分属不同的“阶”．处于底层的是个体，它们既非命题又非命题函项；比它高一层次的是一阶命题函项，它们仅以前面层次中的个体为变元(自变元或约束变元)而构成；更高一层次的是二阶命题函项，它以一阶函项为变元；以此类推，我们可以得到一个不同阶次的命题函项的系列．一般来说，如果一个命题函项x(其中x可以是个体，也可以是具有各种阶的命题函项)中变元x的最高阶是n，则这个命题函项x本身便是第n＋1阶．每一个命题函项都有一个确定的阶，因而诸命题函项的阶与阶之间是不容混淆的．如果有一类命题函项x是n阶的，那么涉及到这类命题函项的总体的命题函项f(x)就不再是n阶的，而是第n＋1阶的了，因此我们就应将它们区别开来，不能把后者再看作是这个总体中的一个成员，否则就会产生悖论．坚持这种区别，也就是坚持了“恶性循环原则”．根据阶的理论，他定义了命题函项的直谓和非直谓的性质．对只含一个变元的命题函项，如果函项x的阶比它的变元x的阶仅高1阶时，则该命题函项是直谓的记为！x，否则便是非直谓的；对含有多个变元的命题函项，如果函项(x，y)的阶比其变元x或y中的最高阶仅高1时，则称命题函项是直谓的记为！(x，y)，否则便是非直谓的．显然包含悖论的命题函项都是非直谓的．坚持恶性循环原则，也就是要拒斥非直谓的命题函项．类似地，罗素对命题也进行了分层处理，将其分成不同的阶，而且进一步将命题的真值也分属不同的阶．这样，运用逻辑类型论，我们便可以消除各种逻辑悖论和揭示“撒谎者悖论”等语义学悖论错误所在．
　　在数学基础研究方面，罗素继弗雷格之后奉行逻辑主义的研究纲领，其核心思想是认为可以将数学还原为逻辑学，从而奠定数学的牢固基础．他曾将纯数学定义为是由所有“p蕴涵q”这种形式的命题所构成的一个类，其中p，q的相同点在于它们都是包含一个或多个变元的命题，并且无论p还是q都不包含任何非逻辑的常项．罗素想通过自己的工作表明：数学概念可以通过显定义从逻辑概念推导出来，而数学定理也可以通过纯粹的逻辑演绎法从逻辑公理推导出来．因此在他看来，在数学与逻辑之间完全划不出一条界限来，它们二者实际上是一门学科，它们的不同就象儿童与成人的不同，逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成人时代．
　　罗素试图推演出经典数学的逻辑系统是由如下概念和公理组成的：
( L8 ]5 i* r* l5 J( V　　(1)基本概念：语句p的否定“非p”(～p)；两个语句的析取“p或者q”(p∨q)；合取“p并且q”(p·q)；蕴涵，“如()，如(x)φx(读作：对于每一个x，x具有性质φ)；存在量词
定义为～(x)～φx，因此上述基本概念并不都是初始的．(《数学原理》，第I卷，第1章．)
2 t, T* z) D5 m7 B4 K1 s5 T　　(2)命题演算的公理：(在表述上与原稿略有不同)
8 g; S0 s! c* i/ D# z2 O0 k: p# Y　　1．1 如果p，pq，则q
, d0 j7 {; E- ?6 o# @3 A3 q9 z　　1．2 (p∨p)p
　　1．3 q(p∨q)
7 k% s# u, w+ F% t1 M　　1．4 (p∨q)(q∨p)
　　1．5 (p∨(q∨r))(q∨(p∨r))
2 ?  e/ s$ D# \& d3 `' E' s2 l　　1．6 (qr)((p∨q)(p∨r))(《数学原理》第I卷，第94—97页)
# L8 j" F% Y1 x( ]0 U) \5 ^$ ]　　(3)谓词演算的公理
　　10．1 (x)FxFy
　　10．11 如果Fy，则(x)Fx
; n6 B7 l6 j6 @; f/ s9 F# z% H　　10．12 (x)(p∨Fx)(p∨(x)Fx)(《数学原理》，第I卷，第139—140页)
　　早在弗雷格之前，数学家已经证明，所有传统的纯数学都可以看作是有关自然数的命题所组成，即其中的概念可以用自然数来定义，其中的命题可以从自然数的性质推导得出．而自然数的理论又由皮亚诺归约为数量极少的概念(如0，数和后继)和五个基本命题(即公理)组成，它们是：(1)0是一个数；(2)任何数的后继是一个数；(3)没有两个数有相同的后继；(4)0不是任何数的后继；(5)任何性质，如果0有此性质，又如果任一数有此性质，它的后继必定也有此性质，那么所有的数都有此性质．罗素在此基础上要做的工作是要将皮亚诺的三个基本概念和五条基本命题归约为上述的逻辑概念和公理．在从逻辑概念推出自然数的概念方面，虽然弗雷格已经找到解决这一问题的办法，但是罗素和怀特海也独立地获得相同的结果．罗素解决问题的关键在于正确认识自然数的逻辑地位，它们不属于事物而属于概念的逻辑属性．他从类和关系的概念出发，定义了类的相似，接着又定义了：一个类的数是所有相似的类的类，而所谓数则是某一个类的数．例如，0是以空类为唯一成员的类，而2则是所有对偶的类，记为(《数学原理》，第I卷，第359页)

2={(x，y)·x≠y·α=l'x∪l'y}，

2 v6 `" _/ k9 n3 P: u8 y　　其中一些新的符号都可以从基本逻辑概念推出．至于“后继”则定义为：类α所有项数的后继就是α与任何不属于α的项x一起所构成的类的项数．在此基础上“自然数”就可以定义为是对于“直接前趋”这一关系(“后继”的逆关系)而言的0的“后代”．至于皮亚诺的五条基本命题，第(1)，(2)，(4)，(5)都可以从上述0，数，后继和自然数概念中推出．但是在证明第(3)条时却遇到了一点困难，如果宇宙中个体的总数不是有穷的，这个困难就不致于发生．因此为了不使第(3)公理失效，便需要断定无穷集合的存在．于是罗素不得不追加一条“无穷公理”，即“若n是任一归纳基数，则至少有一个类有n个个体”．由于n是任意的，可知无穷集合必然存在，于是困难才得以解决．另外，罗素在定义因子数可能是无穷的自然数乘法时发现，以往对两个因数相乘的定义是以假定其中每一个因数的数目是有限为先决条件的，如果要将这种情况扩展到无限时必然要以如下的命题奠基，即“给定一个类的类，若这类的分子互相排斥，那么必定至少有一个类，这个类是由那些给定类中的每一个的一个项所组成”．但对这个命题人们既不能证明又不能否证．为了克服困难，罗素把这个命题作为公理引进到他的系统中去，这就是所谓的“乘法公理”(或称“选择公理)”．罗素引入乘法公理还有其他原因，譬如，他发现在证明“每一个非归纳的基数必是一个自反数”的命题时，也需要以乘法公理为出发点；再者，他看到乘法公理有许多与之等价的重要命题，如策梅罗(Zermelo)良序定理等等，如果乘法公理真，则这些重要命题自然亦真．由于引进乘法公理，皮亚诺算术理论便可从他的系统中推演出来．
　　为了进一步推演出经典数学较高等的部分，罗素在自然数的基础上定义了正数、负数、分数、实数和复数的概念，这种定义不是用通常增加自然数的定义域的方法来完成的，而是通过构造一种全新的定义域来实现的．他把“＋m”定义为归纳数n＋m对于n的关系，“-m”是n对于n＋m的关系；把分数“m／n”定义为，当xn=ym时，二归纳数x，y之间的一个关系；把一个“实数”定义为是以大小为序的分数序列中之一节，其中把一个“有理实数”定义为以大小为序的分数序列中有边界的一节，把一个“无理实数”定义为以大小为序的分数序列中无边是构造性的，而不是假定性的．这种构造是通过显定义产生一些具有实数通常的性质而完成的．当然这与直觉主义者那种通过“实数发生器”将实数一个个“创造出来”的构造方式是不同的．罗素还用类似的方法引进了其余的数学概念，如分析学中的收敛、极限、连续性、微分、微商和积分等概念，以及集合论中的超限基数、序数等概念．这种逻辑构造方法构成了逻辑主义的本质部分．
　　但是罗素在用分支类型论来处理实数理论时又遇到一些难以克服的困难．根据定义，一个“实数”是一个有理数的集合，因此一个“实数集合”就是一个有理数集合的集合．所以，根据分支类型论，在数学中就不能无限制地像以往那样使用“对于一切实数”的短语，因为它涉及到“一切集合的集合”的提法，而这种提法是非直谓的．因此，根据分支类型论，人们不能无限制地论及所有实数，而只能论及具有确定阶的实数．如对属于一阶命题的那些实数，在论及它们时不能出现“对于所有实数”这种形式的短语；对于属于二阶命题函项的那些实数，在论及它们时仅能使用“一阶的所有实数”的短语，等等．如果遵循这种规定，则以往实数理论中的许多重要定义和定理都将失效．为了克服这种困难，罗素引进了“可化归公理”：“有一个a函项的类型(譬如说τ)，使得给定任何a函项，有属于所说类型的某个函项与它形式等价”．它断言，任何阶的每一个函项都对应一个在形式上等价于它的直谓函项．接受这条公理，上述困难便可克服，因为依据它我们可以说，虽然我们论及实数的命题函项确实有不同的阶，但对每一个论及一个实数的高阶命题函项都有一个相应的论及同样实数的直谓函项，这一函项为同样的有理数所满足而不为其他有理数所满足，这样我们论及的仍都是直谓函项从而使许多定义和定理仍然有效．罗素认为，可化归公理与无穷公理和选择公理一样，它对于推演某些数学结论来说是必需的，但我们无法假定它确实是真，可是我们又不能说有无方法完全废除这条公理．罗素的学生F．P．拉姆齐(Ramsey)于1926年沿着这个方向作了一些尝试．
* h+ p  X( m. p/ |　　这样，罗素实际上是在其逻辑系统的基础上添加了少量的非逻辑公理(即无穷公理、选择公理和可化归公理)后，将经典数学推演出来．这项工作虽然不完全符合他原来所持的“将数学还原为逻辑”的宗旨，但是他具体地、系统地展开了从逻辑构造出数学的工作，这确实是数学基础研究中的一个重大成就．正因为如此，罗素所代表的逻辑主义与稍后的形式主义和直觉主义，堪称为现代数学基础研究中的三大数学哲学流派．
) j4 D1 z4 i8 A6 S" ?5 F9 X　　在数学方面，罗素在《数学原理》第Ⅱ卷中花了大量的篇幅提出了“关系算术理论”．他先定义了两个关系P，Q的“相似”的概念，即有P领域对Q领域的那么一个相互关系产生者，凡是两项有P关系，它们的相关者就有Q关系，反之亦然．接着，他用相似关系定义了“关系数”的概念，即一个P关系的关系数就是那些在次序上和P相类似的关系的类．他认为，关系数完全是一种新的数，普通数是它的一种极其特殊化的例子；一切能用于序数的那些形式定律都能用于这种一般得多的关系数；借助关系算术，还可以对“结构”的概念加以精确的定义．但是关系算术理论并没有为世人所注意，对此罗素感到十分惋惜．
　　在数理逻辑方面，罗素还发展了弗雷格和皮亚诺的工作，在《数学原理》中建立了一个完全的命题演算和谓词演算系统；发展并给出了一个完全的关系逻辑系统；以及提出了摹状词理论．关系，无论是对逻辑还是对数学，都是一个重要而基本的概念．关于关系逻辑的理论，在C．皮尔斯(Peirce)和施罗德的工作中就有了一些，但很不完全，而罗素在这方面的工作却是显著的．在关系逻辑中，他论及到关系的许多重要概念，如前域、后域、关系域、逆关系等等．他认为这些概念都是摹状函项，因此他认为可以用摹状函项来定义每一种关系．如R是任意一个一对多的关系，摹状函项即是“与x有R关系的项”，或者简单地说，“x的R关系者”．他还详细地讨论了“一对多”、“一对一”、“次序”三种基本关系．在关系逻辑中，他还对关系演算进行了研究，涉及到关系与关系之间的“包含”、“交”、“并”、“否定”和“差”的演算．摹状词理论，是罗素于1905年在“论指称”(On denoting)一文中提出的．在这个理论中他认为应该把专有名词与确定摹状词区分开来．一个专有名词如果是有意义的，就必须指称一个对象．而确定摹状词(即形式为“如此这般的那个”的表达式)则可以完全没有任何指称，在这个意义上它们是一种“不完全的符号”，它们没有独立的意义．离开了在一个句子中的地位，它们就不代表某种对象，它们的意义只有在句子的前后关系中才能确定．他主张取消摹状词短语，把它们表达为不完全符号，即把摹状词短语扩展为存在陈述，并把这些存在陈述解释为断定某一事物具有包含于那个摹状词中的属性．例如，命题“这座金山并不存在”可以改为：“对x的一切值来说，‘x是金的而且是一座山’这个命题函项总是假的．”
　　在逻辑方面，罗素还强调应将命题与命题函项区别开来，将蕴涵与推理区别开来．以前人们认为逻辑是关于推理的理论，他则认为逻辑是关于推理合法性的理论，即关于蕴涵的理论．他说，“在我们从一个命题有效地推出另一个命题之处，无论我们察觉与否，都是根据两命题间成立的一个关系推导的：事实上，理智在推理中是纯粹接受的，就象常识上认为理智对可感对象的知觉是纯粹接受的一样”．(《数学的原理》，第33页)
　　罗素对应用数学的态度经历了一个否定之否定的变化过程．最初，罗素奉行一种毕达哥拉斯主义，认为现实世界里的事物是遵循数学原理的，他是在这个意义上看重应用数学的．他说，他少年时虽然不会打台球，却喜欢关于台球怎样运行的数学学说．他在自己第一本著作即关于几何基础的著作中，就开始试图运用数学来建立运动概念和动力学定律的牢固基础．但是在1900年至1914年这个时期，由于他偏重于数理逻辑和数学基础的理论研究，便对应用数学的兴趣减弱了．甚至还产生这样一种想法，认为数学基本上不是一个了解和操纵感觉世界的工具，而是一个抽象的体系，这个体系是存于柏拉图哲学意义的天上，只有它的一种不纯净和堕落的形式才来到感觉世界．在这个时期，他采取一种极深的避世思想．第一次世界大战之后，他亲眼看见成千上万的年青人搭上了运送军队的火车并在战争中惨遭屠杀，他感到自己与实际的世界有了痛苦的结合．这时他才醒悟到以前他关于抽象的概念世界那些浮夸的思想是没有内容和无足轻重的了．从此以后，罗素不再认为数学在题材上是和人事无关的学科，也不再觉得理性高于感觉，不再觉得只有柏拉图的理念世界才接近“实在”(real)的世界．在此之后的一些著作如《物的分析》(The analysis ofmatter，1927)中，他把数学运用到物理学中去，试图建立物理学的数学基础．
　　在本世纪中，罗素是数学基础研究中逻辑主义学派的杰出领导者，是著名的数理逻辑学家，同时又是著名的哲学家和社会活动家，所有这些都是为世人公认的．

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勒贝格

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　　勒贝格，H．L．(Lebesgue，Henri Léon) 1875年6月28日生于法国的博韦；1941年7月26日卒于巴黎．数学．
8 v$ \& R  h+ Q$ C* N　　勒贝格的父亲是一名印刷厂职工，酷爱读书，很有教养．在父亲的影响下，勒贝格从小勤奋好学，成绩优秀，特别善长计算．不幸，父亲去世过早，家境衰落．在学校老师的帮助下进入中学，后又转学巴黎．1894年考入高等师范学校．
% }& P5 F4 @3 k; q4 O7 D# J* D+ G　　1897年大学毕业后，勒贝格在该校图书馆工作了两年．在这期间，出版了E．波莱尔(Borel)关于点集测度的新方法的《函数论讲义》(Lecons sur la théorie des functions 1898)，特别是研究生R．贝尔(Baire)发表了关于不连续实变函数理论的第一篇论文．这些成功的研究工作说明在这些崭新的领域中进行开拓将会获得何等重要的成就，从而激发了勒贝格的热情．从1899年到1902年勒贝格在南锡的一所中学任教，虽然工作繁忙，但仍孜孜不倦地研究实变函数理论，并于1902年发表了博士论文“积分、长度、面积”(Intégrale，longueur，aire)．在这篇文章中，勒贝格创立了后来以他的名字命名的积分理论．此后，他开始在大学任教(1902—1906在雷恩；1906—1910在普瓦蒂埃)，在此期间，他进一步出版了一些重要著作：《积分法和原函数分析的讲义》(Leconssur l‘intégration et la recherche des fonctions primitives，1904)；《三角级数讲义》(Lecons sur les séries trigonométriques，1906)．接着，勒贝格又于1910—1919年在巴黎(韶邦)大学担任讲师，1920年转聘为教授，这时他又陆续发表了许多关于函数的微分、积分理论的研究成果．勒贝格于1921年获得法兰西学院教授称号，翌年作为C．若尔当(Jordan)的后继人被选为巴黎科学院院士．
　　勒贝格对数学的主要贡献属于积分论领域，这是实变函数理论的中心课题．19世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段．1854年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数．随着K．魏尔斯特拉斯(Weier-strass)和G．康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性．几乎与这一理论发展的同时(1870—1880年)，人们就巳经开展了对积分理论的改造工作．当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位．积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的．因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中．这一思想的重要性在于使人们认识到：集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广．勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上的，它是黎曼积分的扩充．
9 O/ s. q: O; N$ {/ A# g( w; @　　为勒贝格积分理论的创立作出重要贡献的首先应推若尔当，他在《分析教程》(Cours d’analyse，1893)一书中阐述了后人称谓的若尔当测度论，并讨论了定义在有界若尔当可测集上的函数，采用把定义域分割为有限个若尔当可测集的办法来定义积分．虽然若尔当的测度论存在着严重的缺陷(例如存在着不可测的开集，有理数集不可测等)，而且积分理论也并没有作出实质性的推广，但这一工作极大地影响着勒贝格研究的视野．在这一方向上迈出第二步的杰出人物是波莱尔，1898年在他的《函数论讲义》中向人们展示了“波莱尔集”的理论．他从R1中开集是构成区间的长度总和出发，允许对可列个开集作并与补的运算，构成了所谓以波莱尔可测集为元素的σ代数类，并在其上定义了测度．这一成果的要点是使测度具备完全可加性(若尔当测度只具备有限可加性)，即对一列互不相交的波莱尔集{En}，若其并集是有界的，则其并集的测度等于每个En的测度的和．此外，他还指出，集合的测度和可测性是两个不同的概念．但在波莱尔的测度思想中，却存在着不是波莱尔集的若尔当可测集(这一点很可能是使他没有进一步开创积分理论的原因之一)．特别是其中存在着零测度的稠密集，引起了一些数学家的不快．然而勒贝格却洞察了这一思想的深刻意义并接受了它．他突破了若尔当对集合测度的定义中所作的有限覆盖的限制，以更加一般的形式发展和完善了波莱尔的测度观念，给予了集合测度的分析定义：设E [a，b]，考虑可数多个区间{Ii}对E作覆盖．定义数值

m*(E)+m*([a，b]＼E)=b-a，

  b! Q  Z5 ]  J9 A' K　　则称E为可测集(即E是勒贝格可测的)．在此基础上，勒贝格引入了新的积分定义：对于一个定义在[a，b]上的有界实值函数f(x)(m≤f(x)≤M)，作[m，M]的分割△：

m=y0＜y1＜…＜yn-1＜yn=M．

- f- @/ U  j) P" t: w# j; M- Q　　令

Ei={x∈[a，b]:yi-1≤f(x)≤yi}，(i=1，2，…n)

　　并假定这些集合是可测的(即f(x)是勒贝格可测函数)．考虑和式

　

4 N) I' b4 p; Z　　如果当max{yi-yi-1}→0时，s△与S△趋于同一极限值，则称此值为f(x)在[a，b]上的积分，勒贝格曾对他的这一积分思想作过一个生动有趣的描述：“我必须偿还一笔钱．如果我从口袋中随意地摸出来各种不同面值的钞票，逐一地还给债主直到全部还清，这就是黎曼积分；不过，我还有另外一种作法，就是把钱全部拿出来并把相同面值的钞票放在一起，然后再一起付给应还的数目，这就是我的积分”．在他的这一新概念中，凡若尔当可测集，波莱尔可测集都是勒贝格可测集．勒贝格积分的范围包括了由贝尔引入的一切不连续函数．
$ O" F( t; M2 O7 X: _1 v　　从数学发展的历史角度看，新的积分理论的建立是水到渠成的事情．但是可贵的是，与同时代的一些数学家不同，在勒贝格看来，积分定义的推广只是他对积分理论研究的出发点，他深刻地认识到，在这一理论中蕴含着一种新的分析工具，使人们能在相当大范围内克服黎曼积分中产生的许多理论困难．而正是这些困难所引起的问题是促使勒贝格获得这一巨大成就的动力．
　　这方面的第一个问题是早在19世纪初期由J．傅里叶(Fou-rier)在关于三角级数的工作中不自觉地引发的：当一个有界函数可以表示为一个三角级数时，该级数是它的傅里叶级数吗？这一问题与一个无穷级数是否可以逐项积分有着密切的关系．傅里叶当时曾认为在其和为有界函数时这一运算是正确的，从而给上述问题以肯定的回答．然而到了19世纪末期，人们认识到逐项积分并不总是可行的，甚至对于黎曼可积函数的一致有界的级数也是这样，因为由该级数所表示的函数不一定是黎曼可积的．这个问题的讨论促使勒贝格在新的积分理论中获得了一个十分重要的结果：控制收敛定理．作为一个特殊情形他指出，勒贝格可积的一致有界级数都可以逐项进行积分，从而支持了傅里叶的判断．逐项积分在本质上就是积分号下取极限的问题，它是积分论中经常遇到的最重要的运算之一．从而这一定理的创立显示出勒贝格积分理论的极大优越性．
" Y8 U' k) Y! `, D4 U# W　　微积分基本定理

0 W8 o  A  }0 {% Q　　是微积分学的核心．然而这一公式的运用在黎曼积分意义下却有较大的限制，在1878—1881年间，U．迪尼(Dini)和V．沃尔泰拉(Volterra)曾构造了这样的函数，它们具有有界的导函数，但是导函数不是黎曼可积的，从而基本定理对此是不适用的．此后，联系到黎曼积分对无界函数的推广也发现了类似的困难．然而，在新的积分理论中，勒贝格指出，对有界函数来说，这一困难是不存在的．在f'是有限值但无界的情形，只要是可积的，基本定理仍是成立的，而且这正相当于f是有界变差函数．同时，逆向问题也被人们提出来了：何时一个连续函数是某个函数的积分？为此，A．哈纳克(Harnack)曾导入了后来叫做绝对连续的函数．约在1890年期间，绝对连续函数就被当作绝对收敛的积分的特征性质来研究，虽然还没有人能真正证明任何绝对连续函数都是一个积分．然而，勒贝格通过对于导数几乎处处为零但函数本身并非常数的函数的考察，认识到在他的积分意义下，上述结论是正确的．从而得出了积分与原函数之间的一个完整结果：公式(1)成立的充分且必要条件是： f(x)是[a，b]上的绝对连续函数．
　　另一个与积分论有关的问题是曲线的长度问题．19世纪前期，很少有人注意到一条曲线长度的定义和可求长问题．一般都认为以y=f(x)(a≤x≤b)所描述的曲线段总是有长度的，且长度可用

　

　　表示．杜·布瓦-雷蒙(Du Bois-Reymond)在研究关于两点间长度最短的曲线的变分问题时，从G．P．L．狄利克雷(Dirichlet)关于函数的一般观点出发探讨了曲线长度的概念．由于用到了极限过程这一分析手段，他认为(1879)积分理论对曲线长度的概念和可求长性质的陈述是必不可少的．但到了19世纪末期，这一见解由于L．希弗尔(Scheeffer，1859—1885)举出的反例而受到责难，这一反例致使定积分感兴趣，并应用他的积分论中的方法和结果，证明了曲度长度与积分概念是密切相关的，从而恢复了杜·布瓦-雷蒙断言的可信性．
　　勒贝格关于微积分基本定理和曲线可求长理论的研究，促使他发现有界变差函数是几乎处处可微的这一事实．(注：若尔当曾指出不定积分是有界变差函数．)这一定理的重要性在于：人们对于连续函数的可微性已经讨论了一个多世纪，在19世纪的几乎前半个世纪，人们还一直认为连续函数在其定义区域中的绝大多数点上都是可微的．虽然连续函数总被误认为是逐段单调的，但这使单调性与可微性联系起来了，尽管是脆弱的．19世纪末期，这一看法逐渐被人怀疑，甚至有些其地位不低于魏尔斯特拉斯的数学家都觉得存在着无处可微的连续的单调函数．于是，在这一意义下，勒贝格的定理支持了前一代数学家的直觉印象．
$ L4 M$ c+ N9 k: P　　在传统的关于二重积分与累次积分的等值性定理上，黎曼积分也反映出它的不足之处，人们发现了使该定理不成立的例子．从而作为一个结论，这一定理的传统说法必须修改，然而在把积分推广于无界函数的情形时，这一修改变得更加严峻．对此，勒贝格的重积分理论，使得用累次积分来计算二重积分的函数范围扩大了．他在1902年给出的一个结果奠定了1907年G．傅比尼(Fubini)创立的著名定理的基础．
　　勒贝格积分理论作为分析学中的一个有效工具的出现，尤其是他在三角级数中应用的高度成功，吸引了许多数学家，例如P．法图(Fatou)，F．里斯(Riesz)和E．菲舍尔(Fischer)等，来探讨有关的问题，使得这一领域开始迅速发展．其中特别是里斯关于Lp空间的工作(注：勒贝格可积的函数全体构成的距离空间是完备的)，使得勒贝格积分在积分方程和函数空间的理论中持久地占有重要的位置．
　　虽然勒贝格在最初阶段专注于他自己的积分理论，然而在激励抽象测度和积分论研究的开展上，他的工作仍是先导性的．1910年，勒贝格发表题为“关于不连续函数的积分”(Sur I’intégrationdes fonctions discontinues)的重要专题报告．在这里他不仅把积分、微分理论推广于n维空间，而且引入了可数可加集合函数的概念(定义于勒贝格可测集类上)，指出这些函数是定义在集合类上的有界变差函数．正是因为对于有界变差与可加性概念之间联系的考察，使得J．拉东(Radon)作出了更广的积分定义，其中把T．-J．斯蒂尔吉斯(Stieltjes)积分和勒贝格积分作为它的特殊情形．他还在1913年的文章中指出，勒贝格的思想在更一般的背景上也是有效的．
　　勒贝格的一生都献给了数学事业，在1922年被推举为院士时，他的著作和论文已达90种之多，内容除积分理论外，还涉及集合与函数的构造(后来由俄国数学家H．鲁金(ЛyэиH)及其他学者进一步作出发展)、变分学、曲面面积以及维数理论等重要结果．在勒贝格生前最后20年中，研究工作仍然十分活跃并反映出广泛的兴趣，不过作品内容大都涉及教育、历史及初等几何．
8 S8 W* A5 |8 a8 K　　勒贝格的工作是对本世纪科学领域的一个重大贡献，但和科学史上所有新思想运动一样，并不是没有遇到阻力的．原因是在勒贝格的研究中扮演了重要角色的那些不连续函数和不可微函数被人认为违反了所谓的完美性法则，是数学中的变态和不健康部分．从而受到了某些数学家的冷淡，甚至有人曾企图阻止他关于一篇讨论不可微曲面的论文的发表．勒贝格曾感叹地说：“我被称为一个没有导数的函数的那种人了！”然而，不论人们的主观愿望如何，这些具有种种奇异性质的对象都自动地进入了研究者曾企图避开它们的问题之中．勒贝格充满信心地指出：“使得自己在这种研究中变得迟钝了的那些人，是在浪费他们的时间，而不是在从事有用的工作．”
　　由于在实变函数理论方面的杰出成就，勒贝格相继获得胡勒维格(Houllevigue)奖(1912年)；彭赛列(Poncelet)奖(1914年)和赛恩吐(Saintour)奖(1917年)．许多国家和地区(如伦敦、罗马、丹麦、比利时、罗马尼亚和波兰)的科学院都聘他为院士，许多大学授予他名誉学位，以表彰他的贡献．

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弗雷歇

0 S! ~5 x! E3 _' a

4 d) p7 p" C6 {1 l　　弗雷歇，M．(Frechét，Maurice)1878年9月2日生于法国约讷省的马利尼；1973年6月4日卒于巴黎．数学．
　　弗雷歇的父亲是小学教师，在一所小规模的新教教会学校教课．他有六个孩子，弗雷歇排行第四．
: H* r, C+ v+ b8 R7 U! D$ Z% [　　当12岁的弗雷歇在布丰中学念书时，他的数学老师——一位比他大13岁的年青人——发现了他的数学才能．这位年青人极力劝说弗雷歇的双亲让他们的孩子从事数学工作，并且还常常为弗雷歇单独讲课，让他解决数学问题并给予必要的指导．这位年青人就是J．阿达玛(Hadamard)．弗雷歇常常以深切的感激之情回忆阿达玛对他的关心和帮助．
　　服完兵役以后，弗雷歇听从阿达玛的劝告进入著名的巴黎高等师范学校学习，并在那里获博士学位(1906)．
: f# E* ~: C7 }$ _　　1910年，弗雷歇任普瓦捷大学力学教授，直到第一次世界大战爆发．战争期间，弗雷歇在前线呆了三年，开始是普通士兵，后来担任英国军队的翻译．战争结束后，弗雷歇来到斯特拉斯堡大学，任数学教授(1920—1927)．后来接受E．波莱尔(Borel)的邀请到著名的巴黎大学执教，先后担任概率计算讲师(1928—1933)，一般数学教授(1933—1935)，微积分计算教授(1935—1940)和概率计算教授(1940—1948)．
　　1956年，弗雷歇被选为法国科学院院士．在此以前，他已是波兰科学院院士(1929)和荷兰科学院院士(1950)．此外，他也是莫斯科数学学会等许多国内外著名科学学会的成员．
) n, y4 }" Q# N( q　　弗雷歇对数学最重要的贡献是创立抽象空间理论，为泛函分析和点集拓扑学奠定了基础．
　　“空间”一词，本来是人类对自己所生存的周围环境的称谓．由于现实的生存空间有前后、左右、上下三个自由度．故又称三维空间．选取了原点0之后，空间一点p可用三个实数的有序组(x，y，z)加以表征．由此，人们又把直线看作一维空间，平面看作二维空间．而A．爱因斯坦(Einstein)的相对论则要使用四维空间(x，y，z，t)，其中t表示时间．很自然，人们将(x1，…，xn)称为n维空间中的一点．弗雷歇的功绩是将空间的概念作了极大的推广．他大胆地采用了刚由G．康托尔(Cantor)创立起来的集合论思想，把“空间”看成具有某种结构的集合．从这个观点出发，许多数学问题实际上可归结为“空间”上的函数(泛函)或“空间”之间的映射(算子)的研究．这一想法，弗雷歇于1904年已经着手探讨(见原始文献[1])．1906年，他在博士论文“关于泛函演算若干问题”(Sur quelques pcincs du calcul fonctionnel，1906)中给出了完整的理论．
　　在这一工作中，给人印象最深的是距离空间理论．众所周知，现实空间中每两点A，B之间都有一个距离d(A，B)，这是一个非负实数．弗雷歇将它推广到一般的集合上，他给出如下定义：设D是非空集合，如果对D中任何两个元素A，B，都有一个实数d(A，B)与之对应，且满足
, e& F% c+ ?+ P　　(a)d(A，B)=d(B，A)≥0，
　　(b)d(A，B)=0当且仅当A=B，
　　(c)d(A，B)+d(B，C)≥d(A，C)对D中任意的元素C都成立，
　　这时就称d(A，B)是A，B之间的距离(écart)，称D是距离空间．显然，现实的空间就是距离空间．弗雷歇还给出了两个很有用的抽象的距离空间的例子：
( `  {  C4 {; o2 Z/ Y6 o　　(1)区间[a，b]上的连续函数全体构成的空间C[a，b]，其中的距离定义为

　

( L) ~4 d; s3 j! \2 [  J4 k　　(2)实数列全体构成的空间F，其中任意两点x=(x1，…，xn，…)和y=(y1，…，yn，…)之间的距离定义为

　

7 H+ p6 ?' A7 L' X5 |2 b% K　　这一空间现称弗雷歇序列空间．
9 H' E  S9 }' R  {0 |+ R" Y　　距离空间的概念成功地刻画了空间和距离的本质．自从非欧几何创立以来，人们对空间这个几乎和人类一起产生的古老的概念又有了新的认识．数学家的视野也开始从有限维的现实空间转向一般的抽象空间，数学研究的舞台获得前所未有的扩大．后人在评论泛函分析历史时，把弗雷歇的博士论文和I．弗雷德霍姆(Fredholm)的积分方程论文(1900)，H．勒贝格(Lebesgue)的积分论(1902)，D．希尔伯特(Hilbert)的谱论(1906)并列为四项奠基性工作(见研究文献[20]，p．97)．
- A2 c4 j  H& t5 ^* _% h　　弗雷歇的研究工作并没有停止在仅仅给出一些空间的定义上，而是深入研究这些空间的性质．他把有限维空间中的极限概念搬到抽象空间上来，定义了邻域、开集、闭集、闭包、极限点等概念，导致对空间的完备性、紧致性、可分性等性质的研究．这一部分后来成为点集拓扑学的基本内容．1914年，F．豪斯多夫(Hausdorff)出版《集论》(Grundzüge der Mengenlehre，Leipzig，1914)标志着点集拓扑学的产生，其中含有弗雷歇的大量工作．
　　值得指出的是，在20世纪的最初10年中，康托尔的集合论、勒贝格的积分论都尚未被当时的国际数学界广泛接受，许多数学家对“病态函数”、“怪异集合”持怀疑甚至厌恶态度，但弗雷歇坚定地支持这些工作，并通过自己的努力使集合论和积分论成为20世纪数学的两块重要基石．
　　勒贝格发表积分论以后仅仅5年，弗雷歇给出了勒贝格意义下的平方可积函数距离空间L2[a，b](1907)(见原始文献[3])：设f(x)和g(x)是L2[a，b]中的两个元素，它们之间的距离是

　

　　他还和E．施密特(Schmidt)同时指出L2[a，b]和序列的希尔伯特空间l2的类似性．几个月后，F．里斯(Riesz)把这种类似性表为定理，后来被称为里斯-费希尔(E．Fischer)定理．它表明L2[a，b]和l2在某种意义上是等价的．
2 R7 R7 ?, l6 g+ P: o　　同年，弗雷歇证明了，对于定义在L2[a，b]上的每一个连续线性泛函U，存在L2[a，b]中唯一的一个元素u(x)，使得对于L2[a，b]中每一个f(x)，都有

　

　　这是当今称为希尔伯特空间理论的基础．
　　1926年至1928年，弗雷歇汲取S．巴拿赫(Banach)等人的成果，进一步提出了一种线性距离空间，明确地把线性运算和距离结构协调起来(见原始文献[6]，[12])．这种空间现在称为弗雷歇空间．
　　设有一个非空集合E，在它上面有一个由加法和数乘运算确定的线性空间结构，并且有一个从E到实数空间的映射p，满足条件
　　A1 对任意的E中元素x，有
0 D2 g8 @+ b- \. g- N; M　　p(x)≥0并且p(x)=0当且仅当x=0，
2 j$ M; T) W1 K" h: I5 T% ^　　A2 对任意的E中元素x，y，有
　　p(x+y)≤p(x)+p(y) (三角不等式)，
: v1 B* _: B" K: g. _7 L　　A3 对任意的E中元素x，xn，以及任意的实数a，an，有
　　称p是准范，E被称为赋准范线性空间．对E中任意元素x，y，定义

d(x，y)=p(x-y)，

　　易见这正好是距离．在这个距离下E成为距离空间，如果E同时是完备的，就称E是弗雷歇空间．可以验证前面给出的两个例子C[a，b]和F都满足弗雷歇空间条件．在线性泛函分析中有广泛应用的巴拿赫空间，也就是完备赋范线性空间，是弗雷歇空间的特例．
　　在经典分析中，微分是个极其有用的概念，如何把这个概念推广到一般抽象空间上呢？这是一个难题，至今尚未最后解决．不过弗雷歇在这方面作了很好的工作．早在1914年，弗雷歇就给出了距离空间上泛函的可微性定义(见原始文献[7])．1925年，他把它推广到赋范线性空间

f(x0+h)-f(x0)-Ah=ω(x0，h)，

5 S. O. q, P. U9 T　　其中ω(x0，h)满足

　

8 g$ t) ^( `0 ^. s& `1 W* V- q　　弗雷歇又把定义进一步严格化(见原始文献[9])．弗雷歇可微性概念有广泛应用，是现代非线性泛函理论的基本概念之一．
　　弗雷歇对泛函分析中的极值问题，抽象空间上的曲线、曲面和曲面面积问题也有研究．
+ X5 C4 u8 j9 D2 q! k　　在拓扑学中，除了前面提到的工作外，弗雷歇还对维数的定义作过研究．1909年，弗雷歇首先对维数给出定义：如果存在从拓扑空间E到拓扑空间F的某个子空间上的同胚映射，就称E的维数不大于F的维数．现在拓扑学中通常使用H．庞加莱(Poin- caré)于1912年提出，后经L．E．J．布劳威尔(Brower)等人修改，用递归方法给出的维数定义．但弗雷歇的定义简单明了，也是个很有价值的概念，后来弗雷歇在发展以他的维数定义为基础的维数理论方面做了一些工作(见原始文献[13])．
! F; O" j1 f+ Z, H3 z+ h! J　　弗雷歇数学活动的另一个重要领域是概率统计理论，这方面的工作在他的整个数学工作中占有很大比重．早在20年代，他就开始用他所创造的泛函分析方法(他称之为“广义分析”方法)研究随机变量序列[xn]“概收敛”和“几乎处处收敛”的问题．他和别人合作解决了“矩收敛问题”(见研究文献[14])．30年代，他着重研究了“马尔科夫链”理论．另外，他对概率计算、概率应用、方差和协方差的定义问题，相关性问题、遍历理论、零概率事件的分类、抽象概率空间理论和随机曲线等都有研究．
8 I6 A" _1 L/ c6 I# t　　在函数论和经典分析方面，弗雷歇也作过一些工作．
8 K% q1 v+ |; X( b　　虽然弗雷歇以他在数学的抽象化、一般化方面的工作著称于世，但他对数学的看法却很实际．他认为数学不是一个纯粹的演绎科学；事实上，数学涉及四个阶段：1)系统地从经验中归纳，2)公理化、公式化，3)演绎，4)实验证实．所以，所有的数学都来自经验，一个与经验无关的公理系统只不过是场游戏，不是数学(见原始文献[11])．
　　在与国际数学家交往上，弗雷歇是位活跃人物，据说他几乎和20世纪每位大数学家都有通信来往(见研究文献[15])．
  k( X& \0 I+ P　　美国著名数学家、控制论创始人N．维纳(Wiener)在1920年写信给弗雷歇，希望成为他的学生，弗雷歇放弃去西班牙休假的机会，热情地邀请维纳来斯特拉斯堡一起工作．维纳在他的自传《我是一个数学家》(I am a mathematician，1956)中回忆道：“弗雷歇身材中等，留有小胡子，体格强健，行动敏捷．……．酷爱散步和旅行，我们相处得很好．”(见研究文献[18]，p．40．)维纳这时和弗雷歇同样对“公理化方法”感兴趣．正如弗雷歇引入“距离”三条公理一样，维纳也引入了“范数”的公理，这和波兰数学家巴拿赫几乎同时得到．当时弗雷歇曾为此欣喜不已，并在自己的工作中积极汲取了他们的成果(见前文所述)．
; Q5 ]" s8 y9 V　　弗雷歇和与外界联系较少的苏联数学家也有十分友好的关系．H．H．鲁金(луэин)曾写信告诉他自己在解析理论(见研究文献[16])、射影集合方面的工作．п．C．亚历山德洛夫(Aлек-сандров)在一封信中向他讲述了п．C．乌雷松(урысон)被淹死的惨剧(见研究文献[17])．这种数学家之间的个人友谊对当时苏联的数学，尤其是拓扑学的飞速发展无疑有一定作用．
　　弗雷歇有两个中国学生．一个是关肇直，他是现代中国著名数学家，中国泛函分析学科的奠基人．另一个名叫樊(Fan，Ky)，是美国的著名华裔数学家；弗雷歇与他合著《组合拓扑学导论》(Introduction à la topologie combinatoire，1946)，此书后来被翻译成英文(1967)和西班牙文(1967)．
! t* W; p2 W4 ]# A% |0 K$ T0 q　　阿达玛曾把弗雷歇的创造性工作与E．伽罗瓦(Galois)创立群论相提并论(见研究文献[14])，这一评价似乎有些太高了．但是弗雷歇有一点同伽罗瓦一样，他不仅为数学开拓了大片新领域，而且带来了数学方法的变革．他所参与创立的由“公理”确定出一般的抽象的数学结构，然后再逐步过渡到具体问题的“公理化方法”，现在已被广泛采用．这种方法对希尔伯特的形式主义和N．布尔巴基(Bourbaki)的结构主义的形成起着重要作用．
　　弗雷歇的成功决非偶然．一方面，康托尔的集合论和勒贝格的积分论为他提供了理想的工具；另一方面V．沃尔泰拉(Vo- lterra)、弗雷德霍姆、阿达玛等人在积分方程、微分方程和变分法方面的研究中已积累了大量的素材，为弗雷歇创立抽象空间理论作了充分准备；最后，自19世纪，B．柯西(Cauchy)、R．戴德金(Dedekind)等人完成数学的严密化工作，伽罗瓦创立群论和K．F．高斯(Gauss)等人创立非欧几何以来，探求一般性和统一性逐渐成为数学发展的一个重要方向，而弗雷歇顺应了这个发展．
　　正如维纳所指出的那样(见研究文献[18]p．33)，尽管弗雷歇的著作是“非常重要的”，但并没有象人们所期望的那样“成为数学的中心”，因为“它是按照抽象形式主义精神写的，这同任何深刻的物理应用根本对立”．维纳还说弗雷歇是当时法国在“公设主义”方面“无可争议的领袖，但现在看来他并非是“他那一代数学界的绝对领袖”．
: _7 {- M. t* S, X　　弗雷歇的著作很多，较著名的有《抽象空间》(Les espaces ab-straits，1928)，《概率论现代理论研究》(Récherches théoriquesmodernes sur la theome des probabilities，1937—1938，两卷集)和《数学与具体》(Les mathématiques et le coneret，1955)等．

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李特尔伍德

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　　李特尔伍德，J．E．(Littlewood，John Edensor)1885年6月9日生于英国罗切斯特；1977年9月6日卒于剑桥．数学．
　　李特尔伍德是爱德华·桑顿·李特尔伍德(Edward Thorn-to n Littlewood)和西尔维娅·莫德(Sylvia Maud)的长子．E．T．李特尔伍德曾获1882年数学荣誉学位考试一等及格者的第9名，后来受聘担任南非维恩堡一所新建中学的校长，全家于1892年移居到那里．
　　李特尔伍德在依山傍海、气候宜人的环境里度过了愉快的童年．他先在开普敦大学念书，1900年转入英格兰的圣保罗学校．该校采取大学式的教学体制，鼓励学生们独立思考、相互探讨．三年中，李特尔伍德获得了代数、几何知识及自立能力和良好的判断力．1902年12月，他通过剑桥大学三一学院的资格考试，次年10月正式入学．
1 C" v; \/ m6 ^　　前两年，他先后学习了立体几何、流体动力学、分析学和解析函数论等课程．G．H．哈代(Hardy)曾任他的分析学课的助教．后两年他主修特殊函数、保形表示及微分几何，还带着浓厚的兴趣参加了A．N．怀特海(Whitehead)关于几何基础与数学基础的讲习班．
　　1907年10月，李特尔伍德从剑桥毕业，来到曼彻斯特大学任理查德逊(Richardson)讲师．繁重而乏味的教学工作占去了他大部分的时间，促使他于1910年重返三一学院，接替怀特海的职务．在这里，他发现了许多感兴趣的新问题，并有充足的时间进行探索．1911年1月，他证明了级数论中阿贝尔定理的逆定理，感到这“标志着我的判断力和鉴赏力达到了相当可靠的程度．我受教育的时期结束了．不久，我便开始了与哈代长达35年的合作．”
　　两人早期的合作成果是极为丰富的，除涉及丢番图逼近及其对函数论的应用外，还系统处理了级数的可和性，对一些特殊的级数讨论了陶伯(Tauber)型定理．这其中的大部分工作是1914—1918年李特尔伍德在皇家炮兵部队服役时完成的．在此期间，李特尔伍德还发现了解决弹道计算问题的一些新方法．
　　1920年，哈代离开剑桥去了牛津，直到1931年才重新回到剑桥．这十年间，两人始终保持着密切的联系，围绕整数分拆和傅里叶级数的收敛性与可和性发表了大量著作．李特尔伍德的独立工作集中于复函理论，还指导了大批研究生．他在剑桥主要讲授实与复分析理论，后来又参照怀特海和B．A．W．罗素(Russell)所建立的一般理论，在自己的演讲中增加了集合论基础的内容，包括基数、序数、乘法公理和良序级数．这些都收入他在1926年出版的《实函数论》(The theory of real function)一书中．
　　1928年，李特尔伍德被推举为首位罗斯·鲍尔(Rouse Ball)数学教授，这样他就免去了教学工作，可以自由选择课题进行演讲．这时，他已成为最有威望的分析学家之一．在30—40年代，他与哈代研究了序列重排、极大定理和不等式，同R．E．A．C．佩利(Paley)系统探讨了傅里叶级数和幂级数．出于战争的需要，他还研究了无线电工程中所需的非线性微分方程的性质．通过各种讨论班，他为许多年轻数学人才指明了方向．
, M: S7 h! {; J, r　　1950年，65岁的李特尔伍德到了法定退休年龄，成为退休教授．他自愿为学院进行了4年有关非线性微分方程和函数论的演讲．1957年，多年折磨他的神经衰弱得以痊愈，这使他重振信心，在后来的10年中接受了来自美国的许多邀请．应L．C．杨(Young)和A．济格蒙德(Zygmund)的盛情之邀，他先后到过威斯康星大学的数学研究中心和芝加哥大学，他还三次去加利福尼亚大学伯克利分校任访问教授．
( O/ _0 s, J- t8 Y- D* i- X0 z; }4 |　　晚年，他主持过许多报告会、讲习班和讨论，主题是微分方程和函数论．他的论著除涉及微分方程外，另有许多显示了他对天体力学和概率分析的兴趣．
　　每年从圣诞节到3月中旬，李特尔伍德都要去瑞士滑雪．年老后，他无法远足，但仍坚持每天在校园中散步．87岁时，他还能不知疲倦地长时间工作，为出版物撰写文章，帮助数学家解决他们寄来的问题．
. S) P+ T4 V# r* f$ l) T& l　　1975年6月9日，是李特尔伍德的90大寿，数学与应用学院同伦敦数学会联合举办了专题讨论会，以示庆贺．1977年8月，他在睡眠时从床上落地，直到次日凌晨才苏醒，被送入医院护疗．9月6日，李特尔伍德猝然与世长辞，享年92岁．他终生未婚．
　　李特尔伍德一生获得过大量荣誉，其中主要有：皇家学会会员(1916年)；皇室奖章(1929年)，德·摩根(De Morgen)奖章(1938年)和西尔维斯特(Sylvester)奖章(1943年)；巴黎科学院院士(1957年11月)；伦敦数学会会长(1941—1943年)．
　　1982年，由伦敦数学会编辑、牛津大学出版社出版了两卷的《J．E．李特尔伍德文集》(Collected papers of J．E．Little-wood)，其中包括他的数学论文91篇，杂文8篇．他与哈代合作撰写的100篇论文则已收录于1966年出版的《G．H．哈代文集》(Collected papers of G．H．Hardy)中．
　　1．函数论
+ H6 R. a! P1 w4 j! }: x# ~7 c& x" t　　李特尔伍德在经典复分析领域做了大量工作．1907年他最初涉猎数学时，函数论的中心问题是特殊函数(如Zeta函数和椭圆函数)的性质及其在数论等学科中的应用；而另一方面，J．阿达玛(Hadamard)、E．L．林德洛夫(Lindelf)等人又从函数论本身的需要出发，开始研究各类一般的函数．这门学科正从广义的应用学科转向纯粹数学．李特尔伍德早期的工作恰好处于这两者的分界线上．在第一篇论文“关于零阶整函数的渐近逼近”(Onthe asymptotic approximation to integral functions of zero or-der)中他设f(z)为整函数，

　

; X" W9 F0 Q* u2 ?　　将m(r)和M(r)视为f的k阶函数，其中k由

　

0 S% r# Y# \8 c& F: k　　他证明，若k=0，则m(r)＞M(r)1-ε(r→∞)
1 g* E8 d& L# S, e. T' B　　这是当时零阶整函数问题的一个最新结果，使用比较初等的方法完成了林德洛夫的残数分析法所不能解决的问题．在提交伦敦数学会审议时，曾受到一些专家的怀疑，幸由哈代保荐才得以通过，发表在1907年的“伦敦数学会会议录”(Proceedings of Lon-don Mathematical Society)第5卷上．
　　 第二年，他接着证明存在一般常数C(k)(≥-2k)，使

m(r)＞M(r)c(k)-ε．

- U( r) H; y  i* D: q　　这一不等式吸引着后来的数学家做了大量改进工作．同时，李特尔伍德开始将注意力集中于满足特殊条件的各类整函数，寻找零点渐近公式与系数之间的关系，这为后来Zeta函数的研究奠定了基础．
　　在1925年的“关于函数论中的不等式”(On inequalities inthe theory of functions)一文中，李特尔伍德首先推进了从属关系这一新概念．他证明，在所有于|z|＜1内正则的函数f(z)=a0+a1z+…(a0给定，f(z)在给定区域D内取值)中，在均值

　

　　意义下的极大函数就是将单位圆映到D的通用覆盖面上的函数F(z)．他还就斯哥特基(Schottky)函数类讨论了F(z)的性质．
5 j. |. f0 E6 Z* A　　文中另一个重要结果是关于单叶函数系数绝对值的阶，设上面定义的函数f(z)是单叶的，a0=0，a1=1，李特尔伍德把当时的最佳估计

　

" f8 q6 q7 y- i' o% s- K$ [- {　　改进为

　

　　这是对比勃巴赫(Bieberbach)猜想的一个重大贡献．
( V7 C) B2 n& o! o6 ^　　次调和函数是F．里斯(Riesz)在1926年引入的一类具有普遍性的函数：u(z)=u(x，y)是次调和的，若它上半连续并对任意小的r满足

　

) A/ c$ _+ y; K8 F1 I/ ]　　李特尔伍德在1927年给出了等价的定义：若上式对定义域中的每个z0及某些任意小的r成立，则u亦为次调和的．
! y! s1 |7 _6 m　　第二年，他又证明一个重要的定理：u(z)在|z|＜1内次调和，则r→1时，

　　有限．对于u(z)=log|f(z)|的角极限问题，李特尔伍德亦给出一些有用的定理．这些有关次调和函数的结果后来由J．L．杜布(Doob)、R．L．惠登(Wheedon)等人从各个角度给予了推广．
　　在1931年函数论授课讲义的基础上，李特尔伍德补充了次调和函数和从属关系的内容，于1944年2月写成《函数论教程》(Le-ctures on the theory of functions)一书，由牛津大学出版社出版．
2 v! b% Q; I4 F) d　　2．数论
5 G7 }6 l8 z5 A( r  J　　李特尔伍德在数论方面的工作绝大多数是与哈代共同完成的，集中于1911—1930年的20年间．
  I3 \  s' z/ K3 m2 Z  C& o9 @; f　　(1)丢番图逼近 在1912年剑桥召开的第五次国际数学家大会上，哈代和李特尔伍德宣读了有关丢番图逼近的一系列新结果，此后又陆续写出13篇论文．他们的突出贡献在于对一些重要的特殊情形给予了精确

0 d7 G9 x' w! V" y若这些系数增长的速度很快，则Sn(θ)／N以极慢的速度趋于0；
9 N' h$ }# k/ c0 v7 D( D　　他们还把这种三角和的估计应用于傅里叶级数的收敛、Zeta函数和直角三角形格点问题的误差估计．例如，作为对伯恩斯坦(Bernstein)
　　的完善，他们证明存在常数C＞0，对所有的N和t，有

　

  |) ]1 K: n6 l- R9 W. e7 Q　　随之可得，级数

　

　

　　
　　李特尔伍德还曾提出过这样一个问题：对所有实数对θ，φ，是否
映出连分数方法尚未在联立逼近问题中得到很好的推广，被称为“李特尔伍德的丢番图逼近问题”．
' w7 `8 H- ~7 _5 u5 W" H　　(2)Zeta函数 对于复变量的Zeta函数

　

; m" I9 p# h% F: P- E& a0 |　　一个重要的问题是其零点的分布问题．B．黎曼(Riemann)曾猜想
同研究Zeta函数．
　　1921年，两人给出了ζ(s)的渐近估计式．设ζ(s)=φ(s)ζ(1-s)，s=σ+it，|t|=2πxy，则对|σ|≤h，x＞k，y＞k(h，k为正常数)一致地有

　

　　由此得到均值估计式

　

! u: W/ [; Q: W( n1 s6 ?　　李特尔伍德证明，当s的虚部很大时，±log|ζ(s)|与argζ(s)在s点的取值亦很大，不论在0＜σ＜1内还是在半平面σ≥1上．例如他找到正常数b，使

　

  m5 T6 ^, f3 `; a/ C) d　　而若黎曼猜想成立，则有

　

: g. {: w, k  x$ E　　记N(T)为矩形区域0＜σ＜1，0＜t≤T内ζ(s)的零点曼猜想成立的前提下，把余项改进为O(logT／log log T)，它意味着各个零点之间的距离总不会超过c／log log T，这是迄今为止最佳的结果．
) l" v% W3 {1 v/ r- l; M8 V6 e　　Zeta函数还与素数分布问题密切相关．早在本世纪初，李特尔伍德便独立地发现，若素数的分布充分正则，那么黎曼猜想成立；反之，黎曼猜想隐含着素数的均匀分布．
  M8 F% `+ @( M+ S. x$ N( @　　1914年，他给出素数定理的余项估计．记π(x)为不超过x的素了

　

9 z* b: D+ v- m9 c  R2 R" l　　李特尔伍德则证明不论黎曼猜想正确与否，都有

　

　　成立．这是一项比较领先的结果．
　　尽管经验表明有不等式π(x)＜Lix成立，李特尔伍德却说明差分π(x)-Lix无穷次地改变符号：对某些任意大的x，π(x)＞Lix+

　　(Schmidt)等人的结果相比，达到了更高的精确程度．
, y6 h# l: `* x3 `2 E1 P　　(3)堆垒数论 1920到1928年，哈代和李特尔伍德发表了题为“整数分拆的一些问题”(Some problems of Partitio Nume-rorum)的5篇系列文章，对华林(Waring)问题进行了深入探讨．他们所得到的全部结论均以广义黎曼猜想(用狄利克雷L函数代替Zeta函数)为前提，使用的是著名的圆法．对于给定的自然数k，要求自然数S(k)，使S≥S
) S  W2 a" E' r

　

5 i" Q0 H  a2 v4 h6 q　　　
4 V5 E6 H) S5 _+ E$ N/ a" L+ h% w% G　　突破，后经H．外尔(Weyl)和华罗庚等人给予了重大发展．
　　由此出发，哈代和李特尔伍德还给出了哥德巴赫(Goldbach)问题和孪生素数问题的一些渐近表示式．
　　3．实分析
　　(1)李特尔伍德-佩利理论 李特尔伍德与佩利以“关于傅里叶级数和幂级数的定理”为题，合写过3篇文章，首创了Lp(p＞1)空间中傅里叶级数特征性质的理论．它主要包括以下两个方面：
　　①函数g(θ)、g＊(θ)及其应用．设F(z)=F(ρeiθ)是单位圆内的解析函数，李特尔伍德和佩利引入两个重要的函数

　

9 }$ v' M, @( N8 I　　它们对于三角级数和幂级数的研究有着重要作用．主要结果是：若r＞1，则存在仅与r有关的常数Ar，Br，使得

　

! H2 `/ a/ A' J( d! S$ G　　成立．
1 p" ?8 M$ x, |* ~$ p1 W3 x" C" N0 C　　②三角级数的二进分块．设实值函数f(x)∈Lp(0，2π)，

- J: c# A6 M* H! N, U) I　　由上面(＊)式可以得到结论：存在常数Ap(p＞1)，使

　

% T4 y+ e" V4 N1 m　　这个不等式是研究Lp空间中傅里叶级数的基本工具，其作用相当于刻画L2(0，2π)空间特征性质的帕塞瓦尔(Parseval)等式，对低维空间的情形特别有效，50年代时由E．M．斯坦(Stein)推广到高维空间．
6 E$ E4 V# M( t3 N5 B　　(2)哈代-李特尔伍德极大函数 30年代，哈代和李特尔伍德在研究傅里叶级数时，引进了极大函数算子．设f(x)为Rn中的局部可积函数，称

　

　　为f的极大函数，其中B(x，r)代表以x为中心、r为半径的球，|B(x，r)|为球的体积．他们证明，(Mf)(x)是几乎处处有限的，只要f∈Lp(Rn)，1≤p≤∞；且有

　

　　A是与p，n有关的常数．
3 B3 J% k1 ?7 e　　由极大函数的定义可知，(Mf)(x)≥|f(x)|几乎处处成立；另一方面，只要f∈Lp(Rn)(p＞1)，仍有(Mf)(x)∈Lp(Rn)．基于这种性质，用(Mf)(x)便能有效地控制那些在Lp上有界的算子，最后可以通过函数本身的大小达到估计算子的目的．极大函数的研究对分析数学的发展起了重要作用，并逐渐应用到了其他的数学分支中．
$ T$ Y; h" ?9 G. f# a0 s2 O5 B　　(3)不等式 20年代后期，李特尔伍德从幂级数的均值和有界双线性形式两个方向研究了不等式，几年后又与A．C．奥佛德(Offord)和哈代分别就上述两方面继续进行了探讨，对三角多项式与巴拿赫(Banach)空间理论产生了影响．
. s+ \& i+ a9 |3 q6 `1 u2 E6 t6 m　　1934年，他与哈代、G．波利亚(Pólya)合作出版《不等式》(Inequalities)一书，这是不等式方面的第一部专著．
　　李特尔伍德与哈代之间几十年的合作是默契而成果丰硕的，他们合写的文章占李特尔伍德全部著作的1／2，在哈代的著作中也占了1／3的比例．通常，李特尔伍德将文章的基本框架搭好，使用那些哈代熟悉的符号进行表述，然后由哈代补充完善成为一篇形式优美、内容严谨充实的论文．哈代对李特尔伍德给予了高度的评价，认为他是自己所遇到的最优秀的数学家，能解决相当高深复杂的问题，没有别的人能像他那样把洞察力、技巧和学识巧妙地结合在一起并运用自如．
$ s- C9 \' G' I3 J　　李特尔伍德有一套指导学生的独特方法．他的手头总是有二三十道题目，学生们可以任意选择并尝试解决，行不通的话可以另外再选．而实际上，这些问题都是李特尔伍德所崇敬的数学家们曾经考虑过但未能解决的，用这种办法可以有效地培养学生们的毅力和创造力．“拿道难题来试试，或许你无法攻克它，但却有可能获得别的东西．”这是李特尔伍德常对学生们讲的．
- \- K7 q! Q, l) b* ~9 E　　根据自己多年的实践，李特尔伍德把数学家的创造性活动归纳为四个阶段：准备、酝酿、明确和验证．准备阶段需要强烈的好奇心，要提取本质问题并清晰地反映到意识中，运用所有相关的知识，联系可能类似的事物；酝酿是在等待答案的过程中潜意识所进行的活动；明确阶段，创造性的思想进入意识中，可能在几分之一秒内发生．