豪斯多夫 4 v% `1 E d1 F/ U: |% B1 Z% l
e( [2 `6 X+ f0 O! @2 _) k9 g 豪斯多夫,F.(Hausdorff,Felix)1868年11月8日生于德国布雷斯劳[Breslau,今波兰弗拉茨瓦夫(Wroclaw)];1942年1月 26日卒于波恩.数学.
8 F$ Q1 D- H+ u$ V& D5 z8 B. T/ ?, ~! M 豪斯多夫是犹太人,他的父亲是一位富裕的商人.在豪斯多夫年幼的时候,随着父母迁往莱比锡.在莱比锡读完中学后,又在当地和弗来堡、柏林等地学习数学和天文学.1891年在莱比锡大学毕业并取得博士学位. % S. k: |4 V* c6 u- j3 F
豪斯多夫的兴趣极为广泛,不仅对数学、天文学和光学有兴趣,而且也酷爱文学、哲学和艺术.他的朋友主要是艺术家和作家.豪斯多夫曾用Dr.Paul Mongre的笔名出版了两本诗集和一本哲学著作(Das Chaos in Kosmischer Auslese, 1898);还有大量的富有哲理的散文和文章.在1904年曾发表一部滑稽戏的剧本(Der Arst Seiner Ehre),这部戏在 1912年上演,获得相当大的成功.他在1891—1896期间,曾发表过4篇天文学和光学的文章以及数学中许多分支的文章.1896年成为莱比锡大学讲师,1902年成为副教授.以后主要致力于数学,逐渐减少了非科学的写作,特别是1904年以后,主要研究集论.1910年,他作为副教授去波恩大学,在那里写出了著名的专题著作《集论基础》(Grundzügeder Mengenlehre),发表于1914年.这本专著影响极大,使豪斯多夫成为公认的一般拓扑的奠基人.1913年,豪斯多夫在格赖夫斯瓦尔德(Greifswald)大学任教授.1921年回到波恩大学任教授,在波恩一直非常活跃,直到1935年,因为他是犹太人而被迫隐退.但他仍继续从事集论和拓扑学的研究工作.他的成果只能在国外发表.1941年,他作为犹太人将被送到拘留营去.当拘留变得紧迫时,豪斯多夫和他的妻子、妻妹一起于1942年1月26日自杀于波恩. 7 }6 c/ h! C$ ^% b8 p4 Q& F
豪斯多夫在数学的集合论、拓扑学、连续群理论、泛函分析、数论、概率论、几何学等许多分支中都有建树、最主要的贡献是在集合论和点集拓扑学方面. ' J: z9 o/ ?; r: Y1 _# r' O
豪斯多夫将他的前辈导入的一些概念给予适当的概括,导入了许多新的观念、方法和定理,发展为有系统的完美的理论,并为进一步发展提供了强大的动力.他是点集拓扑和度量空间的一般理论的他建者.
& b4 {5 a" b: l( z7 `* f, Q 豪斯多夫的《集论基础》(1914)一书在数学文献中是很珍贵的,他概括了前人广泛的工作,使之成为新理论的支柱,创建并完成了拓扑和度量空间的理论.由于它的阐述清晰、准确而优美,所以很容易读,直到今天仍有价值.他发展了D.希尔伯特(Hilbert)(1902)和H.外尔(Weyl)(1913)分别用公理化方法研究还将有面几何及黎曼曲面时所提出的概念,用邻域的语言给予公理的描述,定义了拓扑空间.在豪斯多夫之前,M.R.弗雷歇(Frechet)F.里斯(Riesz)等虽然都企图建立拓扑空间,给出过各种定义及相关概念,但第一个令人满意的拓扑空间定义是豪斯多夫在《集论基础》中提出的.他定义的拓扑空间建立在抽象集X上,使每个x∈X对应一个子集族 (x),{ (x)}x∈X称为邻域系统,满足 4 O: G" v7 j3 Z$ O7 C" B# j
(1)对 x∈X, (x)≠ ,且对 U∈ (x),有x∈U; : w, ~9 b) ~% i% N9 W$ e9 u
(2)若x∈U∈ (y),则 V∈ (x)使V U + C& p/ |. E" E# ~4 k3 C9 V8 M6 ]
(3)对 U1,U2∈ (x), U∈ (x),使U U1∩U2; ! F6 g. f; W: _1 W1 w& k; l
(4)对 x,y∈X,x≠y, 开集U∈ (x),V∈ (y),
( G# y: h F+ q. _) \1 M 由{ (x)}x∈X生成的拓扑空间称为豪斯多夫空间.它是最重要的拓扑空间之一.形成拓扑的各种方法,首先由豪斯多夫在1927年给予系统的描述. % H3 l' t& k: d2 u
在欧氏空间的子集类中,G.康托尔(Cantor)曾导入并研究过开集、闭集、闭包、内部等概念,豪斯多夫的《集论基础》将它们推广于抽象空间,并建立了两个可数性公理:
4 F5 B& o: d& f, C; |$ h+ S (1)对 x∈X,子集族{ (x)}是可数集. ; e7 B, n, J7 ] \2 Z
(2)所有的{ (x)}x∈X的集是可数集.
8 K, P s; f t) L! ]. r0 H) h( ?% I 关于同胚的概念,H.庞加莱(Poincare)曾在狭窄的意义下导入并研究过.弗雷歇于1910年首先讨论了抽象空间上的同胚概念,但在内容上详尽无遗的论述和系统讲解是豪斯多夫在《集论基础》中给出的.1935年,他还首先注意到正规性是闭映射的不变量.
; }2 p, a, Z0 \4 h! ?% P9 l 关于欧氏空间的子空间,E.L.林德勒夫(Lindel f)曾讨论过集的凝聚点的概念,豪斯多夫在《集论基础》中,在拓扑空间上详尽地讨论了集合的凝聚点及其简单性质,并由此推出任一第二可数空间可表现为两个不相交集的并,其中之一是完全集,另一集是可数集.
i9 d" P( X* }( m, B5 F# ] 关于子空间的系统研究也是从豪斯多夫《集论基础》开始的. . f3 v5 D! G9 z/ D
设{As:s∈S}是X的子集族,如果对S的任意不同元素组成的有限序列s1,s2,…,sk,以及由0和1组成的序列i1,…,ik,有
1 s4 G: b: W H0 E5 @" {( w 其中A0=A,A1=X\A,则称{As:s∈S}为独立集组成的.1936年,豪斯多夫得出:基数m≥ 0的集X的所有子集族含 % k# v$ ~# S& _3 h% c
有由独立集组成的基数为2m的子族.早在1934年,G.费契田厚茨(Fichlenholz)和Л.B.坎托罗维奇(KaHTopoBИЧ)也曾得出过类似结果.
n; c, X6 {- Y$ |3 l( x0 e2 _3 Q 关于实直线的波莱尔集的定义由E.波莱尔(Borel)给予概括叙述,H.L.勒贝格(Lebesgue)于1905年给出了欧氏空间的波莱尔集的理论.在此基础上,豪斯多夫创立了关于度量空间的波莱尔集理论(1914). # F* A9 C1 h z+ U, P1 W9 }& o
1906年,弗雷歇导入可数紧空间的概念,豪斯多夫于1914年给出了在豪斯多夫空间X中,X的任一无限子集有聚点为可数紧空间的特征之一,并在度量空间中建立了序列紧性和可数紧性的等价性.他证明了任一可度量化空间X是第二可数的当且仅当X是可分的,以及紧可度量化空间是可分的.
' u6 X* }% c0 w0 K+ r# _ 关于连续扩张问题,豪斯多夫在1919年建立了:设A为可度量化空间X的闭子空间,则对X上的任一度量ρ,任一连续函数f:A→I确定X上f的连续扩张F为
2 M$ W7 d" k1 Z6 H' _
豪斯多夫《集论基础》指出紧可度量化空间X到可度量化空间Y的任一连续映射f:X→Y关于空间X和Y上分别为ρ和σ的距离是一致连续的. ! f. z$ q1 D) a m: g
全有界空间的概念也是豪斯多夫《集论基础》导入的,并在1927年证明了全有界度量空间是可分的[6]. ( w) n8 ?3 N/ |1 e/ J! ]; `3 c
1914年,豪斯多夫证明了任一度量空间等距于某完备度量空间的子空间,刻画了度量空间的完备化空间,证明了每个自稠密的完备度量空间含有子空间同胚于康托尔集,还证明了在所有完备可度量化空间中贝尔(Baire)纲定理成立.1927年又证明了完备化空间的唯一性[6].
& J# t& E, ]( p( d) L Л.C.亚历山德罗夫(AлeKcaHДpoЬ)对可分空间证明了完备度量化性关于Gδ集是可继承的,豪斯多夫将此结果推广于任意可度量化空间(1924).
0 b2 O- {+ f: ~) b$ [ 豪斯多夫和亚历山德罗夫分别于1927和1925年独立地证明了每个非空紧可度量化空间是康托尔集的连续象,即二进空间.这个结果对点集拓扑学的发展富有启发意义.
7 J4 V" ]3 K# L7 x+ A 设M是可度量化空间X的闭子空间,豪斯多夫于1930年证明了子空间M上的任一距离可扩张为空间X上的距离. 0 ?; w2 k) c0 n# o
设f:M→L为可度量化空间X的闭子空间M到度量空间L上的连续映射,豪斯多夫证明了如果空间L可作为度量空间Y的闭子空间等距嵌入Y中[14],则f可扩张为连续映射F:X→Y,使限制F|X\M是X\M到Y\L上的同胚. + R, e7 ?" V. w* `, M1 B
设2X为度量空间(X,ρ)的所有有界非空闭子集族,令
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为A和B的距离,则(2X,ρh)为度量空间.称ρh(A,B)为豪斯多夫距离(1914).(X,ρ)等距于(2X,ρh)的闭子空间.但空间X上两个等价的全有界距离ρ和σ,由ρh和σh在2X上导入的拓扑未必相同.豪斯多夫距离在度量空间的超空间理论中起着重要作用.
% \* @1 K- Q ~ W.谢尔品斯基(Sierpinski)于1930年证明了若度量空间Y是可分完备可度量化空间X在开映射下的连续象,则Y是完备可度量化的.1934年,豪斯多夫证明了若可度量化空间Y是完备可度量化空间X在开映射下的连续象,则Y是完备可度量化的.以后E.麦克(Michael)又推广于仿紧空间Y.
) ^2 c8 p) O0 M G& n 连通性的概念是M.E.C.若尔当(Jordan)于1893年研究平面的紧子集类时导入的.豪斯多夫推广于抽象空间并开始了系统研究.在《集论基础》中包含连通集的一些简单性质,连通分支、拟分支的定义,以及关于紧度量空间的拟连通分支的性质等.该书还导入继承不连通空间.
% u6 g5 {) M$ E' M2 y* K8 C. Y% I% |' B 极不连通空间是M.H.斯通(Stone)在1937年定义的,但βN\N不是极不连通的事实本身却是由豪斯多夫证明的(1936).
8 j' D" p% z5 ?+ }/ n2 C 集X上的距离ρ称为非阿基米德的,如果对所有x,y,z∈X,有 ρ(x,z)≤max[ρ(x,y),ρ(y,z)].
7 Q) o5 |$ J6 P1 d 豪斯多夫证明了非空可度量化空间X,IndX=0当且仅当在空间X上存在非阿基米德距离(1934).
/ t+ ?# v, M0 z; H1 n 在描述集合论方面,豪斯多夫《集论基础》中研究了有序集的理论,如将序型分类,序型的有序积,有序集的表示等问题.他引入的极大原理可用来代替超限归纳法,是和选择公理、良序原理、图基(Tukey)引理、库拉托夫斯基(Kuratowski)引理等命题等价的.
4 A+ A8 C$ o: z 豪斯多夫提出的Rn中单位球分解(1914),在空间转动理论及变换群的分剖结果的基础上,用选择公理证明了使人感到奇怪的分球定理.以后导致S.巴拿赫(Banach)的分球悖论(1924),即把一个球切成有限个片段,然后重新组合,可得到与原球有相同尺寸的两个球.这一悖论使人怀疑选择公理,引起数学界的极大重视,从而推进数学基础的发展.
4 q6 A M: [# r! R 豪斯多夫还彻底解决了波莱尔集的基数定理(1916),这是和亚历山德罗夫同年独立解决的.他还提出了豪斯多夫运算(1927),豪斯多夫递归公式(1914)等.
+ R+ I. u( a& L2 n/ E3 @ 1914年,豪斯多夫提出测度问题:是否存在Rn的每个子集均可测的有限可加测度?1923年,他证明了当n=1,2时存在无限多个解,当n≥3时无解. ( _& J, A7 r. b2 t! z
在数学分析中,豪斯多夫从事矩量问题的研究并获得重要结果,解决了有限区间的矩量问题及矩量的性质.他还得出了求和法及有关傅里叶系数的定理(1921).
3 \" n2 _; j1 K) G 在连续群理论中,豪斯多夫建立了重要的代数算法,导出并研究了群论符号的指数公式(1906).他也给出华林(Waring)问题的简化证明(1909)并提出过任意非整维数(1919). " F8 ^! i- a: `
豪斯多夫的工作对现代数学的形成和发展起着重要作用,以致现代数学中的某些术语是以豪斯多夫的名字命名的.如豪斯多夫公理、豪斯多夫空间、豪斯多夫距离、豪斯多夫一致空间、豪斯多夫拓扑群、豪斯多夫极大原理、豪斯多夫运算、豪斯多夫递归公式、豪斯多夫-杨(Young)定理等. 豪斯多夫 ( Z6 u" L% s. a; B
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豪斯多夫,F.(Hausdorff,Felix)1868年11月8日生于德国布雷斯劳[Breslau,今波兰弗拉茨瓦夫(Wroclaw)];1942年1月 26日卒于波恩.数学.
, ~, l4 A# U# c6 f* J; l 豪斯多夫是犹太人,他的父亲是一位富裕的商人.在豪斯多夫年幼的时候,随着父母迁往莱比锡.在莱比锡读完中学后,又在当地和弗来堡、柏林等地学习数学和天文学.1891年在莱比锡大学毕业并取得博士学位.
' T( z9 I$ a! z. [ 豪斯多夫的兴趣极为广泛,不仅对数学、天文学和光学有兴趣,而且也酷爱文学、哲学和艺术.他的朋友主要是艺术家和作家.豪斯多夫曾用Dr.Paul Mongre的笔名出版了两本诗集和一本哲学著作(Das Chaos in Kosmischer Auslese, 1898);还有大量的富有哲理的散文和文章.在1904年曾发表一部滑稽戏的剧本(Der Arst Seiner Ehre),这部戏在 1912年上演,获得相当大的成功.他在1891—1896期间,曾发表过4篇天文学和光学的文章以及数学中许多分支的文章.1896年成为莱比锡大学讲师,1902年成为副教授.以后主要致力于数学,逐渐减少了非科学的写作,特别是1904年以后,主要研究集论.1910年,他作为副教授去波恩大学,在那里写出了著名的专题著作《集论基础》(Grundzügeder Mengenlehre),发表于1914年.这本专著影响极大,使豪斯多夫成为公认的一般拓扑的奠基人.1913年,豪斯多夫在格赖夫斯瓦尔德(Greifswald)大学任教授.1921年回到波恩大学任教授,在波恩一直非常活跃,直到1935年,因为他是犹太人而被迫隐退.但他仍继续从事集论和拓扑学的研究工作.他的成果只能在国外发表.1941年,他作为犹太人将被送到拘留营去.当拘留变得紧迫时,豪斯多夫和他的妻子、妻妹一起于1942年1月26日自杀于波恩.
% [# c( k8 S3 b1 G- A. U8 p) B0 j& s 豪斯多夫在数学的集合论、拓扑学、连续群理论、泛函分析、数论、概率论、几何学等许多分支中都有建树、最主要的贡献是在集合论和点集拓扑学方面.
, f7 Q7 q; t6 v 豪斯多夫将他的前辈导入的一些概念给予适当的概括,导入了许多新的观念、方法和定理,发展为有系统的完美的理论,并为进一步发展提供了强大的动力.他是点集拓扑和度量空间的一般理论的他建者. 3 V$ J3 e, X) e* T& S; b
豪斯多夫的《集论基础》(1914)一书在数学文献中是很珍贵的,他概括了前人广泛的工作,使之成为新理论的支柱,创建并完成了拓扑和度量空间的理论.由于它的阐述清晰、准确而优美,所以很容易读,直到今天仍有价值.他发展了D.希尔伯特(Hilbert)(1902)和H.外尔(Weyl)(1913)分别用公理化方法研究还将有面几何及黎曼曲面时所提出的概念,用邻域的语言给予公理的描述,定义了拓扑空间.在豪斯多夫之前,M.R.弗雷歇(Frechet)F.里斯(Riesz)等虽然都企图建立拓扑空间,给出过各种定义及相关概念,但第一个令人满意的拓扑空间定义是豪斯多夫在《集论基础》中提出的.他定义的拓扑空间建立在抽象集X上,使每个x∈X对应一个子集族 (x),{ (x)}x∈X称为邻域系统,满足 - z$ r- l0 G* G$ k% }
(1)对 x∈X, (x)≠ ,且对 U∈ (x),有x∈U; 9 z0 l% o' L) o" K8 `! q
(2)若x∈U∈ (y),则 V∈ (x)使V U - X+ w9 f, l0 T) u& ^6 Q
(3)对 U1,U2∈ (x), U∈ (x),使U U1∩U2; 7 M/ Y( w/ C3 E% }# D5 v
(4)对 x,y∈X,x≠y, 开集U∈ (x),V∈ (y), , g! \3 M1 u' v5 e
由{ (x)}x∈X生成的拓扑空间称为豪斯多夫空间.它是最重要的拓扑空间之一.形成拓扑的各种方法,首先由豪斯多夫在1927年给予系统的描述. ( X( p" x# o; L" }. F
在欧氏空间的子集类中,G.康托尔(Cantor)曾导入并研究过开集、闭集、闭包、内部等概念,豪斯多夫的《集论基础》将它们推广于抽象空间,并建立了两个可数性公理:
7 ^2 k2 {& }/ c (1)对 x∈X,子集族{ (x)}是可数集.
. @$ r, z- Y2 V, f: U (2)所有的{ (x)}x∈X的集是可数集.
/ g. H; t* z, m" E 关于同胚的概念,H.庞加莱(Poincare)曾在狭窄的意义下导入并研究过.弗雷歇于1910年首先讨论了抽象空间上的同胚概念,但在内容上详尽无遗的论述和系统讲解是豪斯多夫在《集论基础》中给出的.1935年,他还首先注意到正规性是闭映射的不变量.
( I$ U" l. M& o 关于欧氏空间的子空间,E.L.林德勒夫(Lindel f)曾讨论过集的凝聚点的概念,豪斯多夫在《集论基础》中,在拓扑空间上详尽地讨论了集合的凝聚点及其简单性质,并由此推出任一第二可数空间可表现为两个不相交集的并,其中之一是完全集,另一集是可数集. 6 Z1 v# p% H0 R4 @
关于子空间的系统研究也是从豪斯多夫《集论基础》开始的.
$ z3 f: c8 W8 o 设{As:s∈S}是X的子集族,如果对S的任意不同元素组成的有限序列s1,s2,…,sk,以及由0和1组成的序列i1,…,ik,有
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其中A0=A,A1=X\A,则称{As:s∈S}为独立集组成的.1936年,豪斯多夫得出:基数m≥ 0的集X的所有子集族含
- w$ a2 d2 m( M 有由独立集组成的基数为2m的子族.早在1934年,G.费契田厚茨(Fichlenholz)和Л.B.坎托罗维奇(KaHTopoBИЧ)也曾得出过类似结果.
) X/ R) j9 G% ~3 w* X 关于实直线的波莱尔集的定义由E.波莱尔(Borel)给予概括叙述,H.L.勒贝格(Lebesgue)于1905年给出了欧氏空间的波莱尔集的理论.在此基础上,豪斯多夫创立了关于度量空间的波莱尔集理论(1914). 6 d7 e8 h, A* N* F1 o
1906年,弗雷歇导入可数紧空间的概念,豪斯多夫于1914年给出了在豪斯多夫空间X中,X的任一无限子集有聚点为可数紧空间的特征之一,并在度量空间中建立了序列紧性和可数紧性的等价性.他证明了任一可度量化空间X是第二可数的当且仅当X是可分的,以及紧可度量化空间是可分的. + N/ w$ y' k0 D9 [0 u1 j
关于连续扩张问题,豪斯多夫在1919年建立了:设A为可度量化空间X的闭子空间,则对X上的任一度量ρ,任一连续函数f:A→I确定X上f的连续扩张F为
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豪斯多夫《集论基础》指出紧可度量化空间X到可度量化空间Y的任一连续映射f:X→Y关于空间X和Y上分别为ρ和σ的距离是一致连续的. ) H% C6 }" D6 _' Q& T
全有界空间的概念也是豪斯多夫《集论基础》导入的,并在1927年证明了全有界度量空间是可分的[6].
* R& P% J0 |+ w( O+ _$ D 1914年,豪斯多夫证明了任一度量空间等距于某完备度量空间的子空间,刻画了度量空间的完备化空间,证明了每个自稠密的完备度量空间含有子空间同胚于康托尔集,还证明了在所有完备可度量化空间中贝尔(Baire)纲定理成立.1927年又证明了完备化空间的唯一性[6]. + H! g7 R8 D- M1 k5 H" ^
Л.C.亚历山德罗夫(AлeKcaHДpoЬ)对可分空间证明了完备度量化性关于Gδ集是可继承的,豪斯多夫将此结果推广于任意可度量化空间(1924).
1 d9 {1 Q' k$ I9 t 豪斯多夫和亚历山德罗夫分别于1927和1925年独立地证明了每个非空紧可度量化空间是康托尔集的连续象,即二进空间.这个结果对点集拓扑学的发展富有启发意义. 1 o5 l' J8 L, }( A* U
设M是可度量化空间X的闭子空间,豪斯多夫于1930年证明了子空间M上的任一距离可扩张为空间X上的距离.
) a2 Q7 w y* e: A C 设f:M→L为可度量化空间X的闭子空间M到度量空间L上的连续映射,豪斯多夫证明了如果空间L可作为度量空间Y的闭子空间等距嵌入Y中[14],则f可扩张为连续映射F:X→Y,使限制F|X\M是X\M到Y\L上的同胚. ' x& Z; G0 `0 _; x2 f, z
设2X为度量空间(X,ρ)的所有有界非空闭子集族,令
1 A! ^! u e" C- ~% K% `! g8 f1 N/ Y 为A和B的距离,则(2X,ρh)为度量空间.称ρh(A,B)为豪斯多夫距离(1914).(X,ρ)等距于(2X,ρh)的闭子空间.但空间X上两个等价的全有界距离ρ和σ,由ρh和σh在2X上导入的拓扑未必相同.豪斯多夫距离在度量空间的超空间理论中起着重要作用. * p( q9 c- c/ s' t3 ?7 d. w" d
W.谢尔品斯基(Sierpinski)于1930年证明了若度量空间Y是可分完备可度量化空间X在开映射下的连续象,则Y是完备可度量化的.1934年,豪斯多夫证明了若可度量化空间Y是完备可度量化空间X在开映射下的连续象,则Y是完备可度量化的.以后E.麦克(Michael)又推广于仿紧空间Y.
* B1 A) u' g1 Q; d 连通性的概念是M.E.C.若尔当(Jordan)于1893年研究平面的紧子集类时导入的.豪斯多夫推广于抽象空间并开始了系统研究.在《集论基础》中包含连通集的一些简单性质,连通分支、拟分支的定义,以及关于紧度量空间的拟连通分支的性质等.该书还导入继承不连通空间. ) J! w) D+ m# a% X4 c; g5 ~3 d
极不连通空间是M.H.斯通(Stone)在1937年定义的,但βN\N不是极不连通的事实本身却是由豪斯多夫证明的(1936).
" p5 A8 @5 d9 w 集X上的距离ρ称为非阿基米德的,如果对所有x,y,z∈X,有 ρ(x,z)≤max[ρ(x,y),ρ(y,z)].
. _4 o! W: _( j# y 豪斯多夫证明了非空可度量化空间X,IndX=0当且仅当在空间X上存在非阿基米德距离(1934). % V( d- K! K$ c0 g' Q7 B" {. D
在描述集合论方面,豪斯多夫《集论基础》中研究了有序集的理论,如将序型分类,序型的有序积,有序集的表示等问题.他引入的极大原理可用来代替超限归纳法,是和选择公理、良序原理、图基(Tukey)引理、库拉托夫斯基(Kuratowski)引理等命题等价的. . x. w, Z, {8 X' F0 y# O+ f
豪斯多夫提出的Rn中单位球分解(1914),在空间转动理论及变换群的分剖结果的基础上,用选择公理证明了使人感到奇怪的分球定理.以后导致S.巴拿赫(Banach)的分球悖论(1924),即把一个球切成有限个片段,然后重新组合,可得到与原球有相同尺寸的两个球.这一悖论使人怀疑选择公理,引起数学界的极大重视,从而推进数学基础的发展. % \9 }" C& {0 N& m6 Q. M. B
豪斯多夫还彻底解决了波莱尔集的基数定理(1916),这是和亚历山德罗夫同年独立解决的.他还提出了豪斯多夫运算(1927),豪斯多夫递归公式(1914)等.
& f* g' M: }3 h" n; ]' o' X 1914年,豪斯多夫提出测度问题:是否存在Rn的每个子集均可测的有限可加测度?1923年,他证明了当n=1,2时存在无限多个解,当n≥3时无解. # n) r4 u/ K1 R5 l0 d1 I
在数学分析中,豪斯多夫从事矩量问题的研究并获得重要结果,解决了有限区间的矩量问题及矩量的性质.他还得出了求和法及有关傅里叶系数的定理(1921). # a) y% B, N- m3 N- L
在连续群理论中,豪斯多夫建立了重要的代数算法,导出并研究了群论符号的指数公式(1906).他也给出华林(Waring)问题的简化证明(1909)并提出过任意非整维数(1919).
2 w9 ]5 o% Q* s8 t 豪斯多夫的工作对现代数学的形成和发展起着重要作用,以致现代数学中的某些术语是以豪斯多夫的名字命名的.如豪斯多夫公理、豪斯多夫空间、豪斯多夫距离、豪斯多夫一致空间、豪斯多夫拓扑群、豪斯多夫极大原理、豪斯多夫运算、豪斯多夫递归公式、豪斯多夫-杨(Young)定理等. |