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发表于 24.4.2010 20:18:47
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& v+ O" c7 M2 T3 u6 u微分几何研究微分流形的性质,是现代数学中一主流;是广义相对论的基础,与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。- Z5 G# |8 a, Z/ v+ A0 U0 G
: A2 b, A q0 B2 ]1 n古典微分几何起源于微积分,主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。5 @& d# g v$ p
% ?9 |( X5 i3 k- a0 T* ^9 z: v a4 z C现代微分几何的创始人是黎曼,他在1854年创立了黎曼几何(实际上黎曼提出的是芬斯勒几何),这成为近代微分几何的主要内容,并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。
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2 x9 W3 E3 S, w/ P. C8 [1 \& r分支3 d1 m+ A0 O- Y
切触几何3 r3 U0 C4 y- a8 k6 b5 E
这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说,在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式α使得处处非退化。
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0 _, B; L' C7 Y6 F3 M芬斯勒几何$ O4 R, M# \" l+ e2 V, H: m
芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形,也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。
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- d; F8 D3 r7 ]+ k5 v9 g( i6 ^黎曼几何( @* d, K8 c2 c& D
黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形,他们因此无穷小的看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度,散度,曲线的长度等概念得到了推广;而无须假设空间整体上有这么对称。3 v {% [. N& o& B. }
/ _9 k/ D* d+ J* b辛几何
3 N$ G. H/ Q" ?6 x$ E) G这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式(也就是,一个闭的非退化2-形式)的微分流形。
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