Math Changed My Life

令狐药师 · 发表于 13.9.2006 14:40:46

Math Changed My Life-连载（十） 本篇介绍纳粹在二次世界大战期间对哥廷根数学家的迫害。 一百年前,D•Hilbert在巴黎国际数学家大会上所作的题为《数学问题》的报告 ,揭开了二十世纪数学的序幕,Hilbert也随之成为数学界当之无愧的领袖。那时,全世界有 志于学习数学的学生都会收到这样的忠告:“打起你的背包,到哥廷根去！”在Hilbert和F .Klein等人的努力之下,哥廷根大学成为世界上数学和理论物理研究的中心,可谓人材济济 ,盛极一时。 以Hilbert为代表的一批哥廷根的数学家们瞧不起应用数学。有一次,在听完 T.von.Kármán讲的应用数学课后,Hilbert对授课者说:“我仍旧不喜欢应用数学,不过听 听头脑灵活的人讲课总是件快事。”而Zermelo则干脆说:“Kármán,这班热衷于应用数学 的白痴中,只有你算是有教养的。” 但是,现实的世界并不像数学那样是非分明。1933年,纳粹在德国开始掌权。冲锋队大 队长出身的教育部长Rust扬言要使学校不再成为一个玩弄学术的机构,于是大批学者被从讲 坛上赶走。E.Landau失去了讲课资格,Hilbert的弟子O.Blumenthal和G.Gentzen则惨死在集 中营。H.Weyl、von Neumann、E.Noether、R.Courant、E.Artin、C.L.Siegel、M.Dehn、 F.Bernstein……等一大批哥廷根的数学家逃到了美国。Hilbert多年苦心经营建立起来的 哥廷根学派跌入了毁灭的深渊。后来Weyl在Princeton领导那里的高等数学研究所，Coura nt在纽约大学创立了Courant应用数学研究所。 法国在一次大战时，一大批优秀的青年数学家上战场当了炮灰，使法国数学研究出现 了一个时代的断层。但是哥廷根神话的毁灭却使德国数学直到今天还没缓过气来，德国只 有Faltings一人获得过Fields奖就是明证。 有一次,Hilbert和Rust共进晚餐。Rust得意洋洋地问Hilbert:“现在哥廷根的数学怎 么样？那里完全摆脱了犹太人的影响。”Hilbert没好气地回答:“哥廷根？这儿已经没有 什么数学了！”岂止是哥廷根！凡纳粹铁蹄所践踏之处,自由与公正都被剥夺殆尽,世界面 临着灭顶之灾。不能再犹豫了,用技术写就的法西斯不败神话,也要用技术来打倒！全世界 爱好和平的科学家们纷纷动员起来,以自己的知识来对抗法西斯。就连一向超然物外的数学 家们亦走出了象牙塔,加入到反对专制与暴政的战斗中。

令狐药师 · 发表于 13.9.2006 14:41:01

Math Changed My Life-连载（十一） 这篇介绍苏美英数学家在二战中所起的巨大作用。 在苏联,一代数学泰斗柯尔莫哥洛夫开始研究枪炮的火力与轰炸;在英国,A.Turing领导 的一个小组破译了许多德军的密码;在美国,S.Lefschetz、O.Veblen等数学家都成为军方的 顾问……素有“神童”之誉的Wiener研究起了高炮射击和通讯工程,拓扑学家M.Ulam则在洛 斯阿拉莫斯实验室进行核试验中的数学计算,深受纳粹迫害的Courant也为消灭纳粹作了大 量工作。 在这些人中,von Neumann的经历是比较典型的。1940年以前,象大部分哥廷根的数学家 一样,von Neumann的研究集中在理论数学和理论物理。他在数理逻辑、测度论、遍历理论 、算子理论、群论、格论等方面均有卓越的贡献,并将量子力学的数学基础建立在了泛函分 析之上。这些成就已经足以使他跻身超一流数学家之列。 从1940年开始,由于军事的需要,von Neumann的注意力逐渐转移到应用数学上来。他在 阿伯丁弹道实验研究所、海军兵工局等单位担任顾问,并成为洛斯阿拉莫斯实验室的核心人 物之一。为了解决实际数据计算问题,von Neumann在矩阵计算、数值分析等学科中作了大 量奠基性工作。他还同Ulam等人一起,发明了Monte Carlo方法。Von Neumann相信,经济现 象是最复杂的现象,其中所要用到的数学也最高深。他是对策论和数理经济学的创始人之一 。1944年,他和O.Morgenstern发表的巨著《对策论和经济行为》,标志了现代数理经济学的 开始。此外,他还发展了线性规划方法。 不过,von Neumann最令人称道的工作是在计算机领域。他一直关注并指导世界上第一 台电子计算机ENIAC的设计。在他的两篇报告中,他提出了“存储程序原理”,并依此设计了 比ENIAC更先进的EDVAC机和IAS机。他也是自动机理论的创始人。现代主流计算机都采用了 存储程序原理,故被称作“von Neumann机”,von Neumann则被誉为“电子计算机之父”。 这些成就大都是因为战争的实际需要而发展起来的。当时很多数学家都象von Neuman n一样,在战争中遇到了新问题,并发展了新方法来解决这些问题。战争结束后,曾参与其中 的数学家们回到了自己的工作岗位上来。他们终于有时间深入地思考一下战争中遇到的那 些问题,总结当时使用的方法,进而极大地丰富了数学的内容。当然,世界仍然不太平,但那 是政客们的事,对于数学家来说,只要能心无旁骛地研究数学就足够了…… 美国国防部至今仍大力资助纯粹数学研究，认为今天基础数学研究的成果是对未来科 技发展所作的储备。

令狐药师 · 发表于 13.9.2006 14:41:21

Math Changed My Life-（十二） “阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌五百年。” ---Hermite(1822-1901) 今年8月5日是著名数学家Abel诞辰200周年纪念日，虽然Abel在27岁时就去世了， 但他在数学上的成就足可彪炳史册。他在1824年证明了用根式求解五次方程不可能。他是 公认的椭圆函数论的创始人，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大 的贡献。 尽管家境贫寒，加上疾病缠身，早期的工作又得不到应有的重视，Abel至死仍坚持着 数学研究。 读着Abel的传记，令我触动最大的一段是： 　　“1829年4月5日夜间，阿贝尔的病情急剧恶化，于4月6日上午11点去世。然而命 运捉弄人的是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔“...我国教育部决定聘请您为柏 林大学教授...，一个月之内就能发出聘书...。”这封信还提到，希望阿贝尔能尽量用最 好的药物治疗，不要考虑费用支出。他的亲人们听到这一消息，禁不住泪流满面。” 后人给了Abel应有的公正评价。一位数学界权威在提到19世纪学术上最登峰造极的数 学家时，提到了4位数学家的名字，Gauss,Riemann,Abel,Poincare。 Abel是挪威人民的骄傲，挪威政府已出巨资设立Abel数学奖，以纪念自己伟大的儿子 。2002年，世界各地都将举办许多纪念Abel诞辰200周年的学术活动。 我准备用3-4篇文章介绍Abel的生平和数学成就。

令狐药师 · 发表于 13.9.2006 14:41:36

Math Changed My Life-(十三) 本篇是Abel的较为详细的传记，可读性很好。 　　尼尔斯•亨利克•阿贝尔(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一个名叫芬 德的小村庄。有七个兄弟姐妹，阿贝尔在家里排行第二。他父亲是村子里的穷牧师，母亲 安妮是一个非常美丽的女人，她遗传给阿贝尔惊人的漂亮容貌。小时候由他父亲和哥哥教 导识字，小学教育基本上是由父亲来教，因为他们没有钱请不起家庭教师。 　　十三岁时，阿贝尔和哥哥被送到克里斯蒂安尼亚(即后来的奥斯陆)市的天主教学校靠 一点奖学金读书。在最初的两年，他们兄弟的成绩还不错可是后来教师枯燥的教学方式， 高压的手法，使得他们兄弟的成绩下降了。 　　1817年是阿贝尔一生的转折点。当时给他教数学的老师是一个好酒如命又脾气粗暴的 家伙，后因体罚而致死一名学生被解职，并由一位比阿贝尔大七岁的年青的教师霍姆伯厄 代替。霍姆伯厄本身在数学上没有什么成就，是一个称职但决不是很有才气的数学家。他 在科学上的贡献，就是发掘了阿贝尔的数学才能，而且成为他的忠诚朋友，给他许多帮助 。阿贝尔死后，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。 　　霍姆伯厄很快就发现了十六岁的阿贝尔惊人的数学天赋，私下开始给他教授高等数学 ，还介绍他阅读泊松、高斯以及拉格朗日的著作。在他的热心指点下，阿贝尔很快掌握了 经典著作中最难懂的部分。 　　在中学的最后一年，阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题，不久 便认为得到了答案。霍姆伯厄将阿贝尔的研究手稿寄给丹麦当时最著名的数学家达根。达 根教授看不出阿贝尔的论证有甚么错误的地方，但他知道这个许多大数学家都解决不出的 问题不会这么简单的解决出来，于是给了阿贝尔一些可贵的忠告，希望他再仔细演算自己 的推导过程。就在同时，阿贝尔也发现了自己推理中的缺陷。这次失败给他一个非常有益 的打击，把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否可能。后来他终于证明了五次 方程不可解，而那已经是他十九岁时的事情了。 　　1822年6月，阿贝尔靠着霍姆伯厄和其他教授们的帮助，在克里斯蒂安尼亚大学念完了 必须的课程，那时大学和城里人人都知道他是一个了不起的数学天才。可他的父亲已于两 年前去世，家里一贫如洗，没钱继续从事数学研究。他的老师和朋友们也很穷，无法再拿 出更多的钱资助他去当时世界数学的中心巴黎深造。 　　1823年夏，教天文学的拉斯穆辛教授给阿贝尔一笔钱去哥本哈根见达根，希望他能在 外面见识和扩大眼界。从丹麦回来后阿贝尔重新考虑一元五次方程解的问题，总算正确解 决了这个几百年来的难题：即五次方程不存在代数解。后来数学上把这个结果称阿贝尔-鲁 芬尼定理。阿贝尔认为这结果很重要，便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫 穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六页的小册子。 　　阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给外国的数学家，包括德国被称为数学王子的家高斯 ，希望能得到一些反应。可惜文章太简洁了，没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不 可能用这么短的篇幅证明这个世界著名的问题----连他还没法子解决的问题，于是连拿起 刀来裁开书页来看内容也懒得做，就把它扔在书堆里了。 　　阿贝尔在数学和天文学界的朋友们，说服大学去请求挪威政府资助这个年轻人，作一 次以数学为主要目的的欧洲之行。经过过分的慎重考虑之后，政府妥协了，但不是立刻派 阿贝尔去法国和德国，而是给他一笔奖金，让他在克里斯蒂安尼亚复习法语和德语。在延 误了一年半后，在1825年8月，皇家从窘迫的财政中拨出一笔钱当时二十三岁的阿贝尔，让 他足够在法国和德国旅行和学习一年。 　　阿贝尔在德国并没有去找在哥廷根的高斯，可能他觉得这个大数学家难以接近，也难 以帮助他，因为他以前的作品寄给他却得不到回音。1826年7月，阿贝尔离开德国到了法国 ，当时的法国皇家科学院正被柯西、泊松、傅里叶、安培和勒让德等年迈的大数学家们把 持，学术气氛非常保守，各自又忙于自己的研究课题，对年青人的工作并不重视。阿贝尔 留在巴黎期间觉得很难和法国数学家谈论他研究的成果。他曾寄过一份长篇论文给法国科 学研究院，论文交到了勒让德手上，勒让德看不大懂，就转给柯西。多产的柯西正忙着自 己的工作，无暇理睬，把论文随便翻翻丢在一个角落里去了。 　　阿贝尔的那篇论文《关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的论文》是数学史上重 要的工作，他长久的等待着消息，可是一点音讯也没有，最后只好失望回到柏林。在那里 他病倒了，他不知道自己已患上了肺结核病，以为是法国的孤寂生活使他身体衰弱。他只 剩下大约七元钱。他写了一封急信，延误了一些时间，从霍姆伯厄那里借来了一笔钱。阿 贝尔从1827年3月到5月，靠霍姆伯厄的大约六十元借款生活和从事研究。最后，当他所有 的来源都枯竭时，只好掉头回国。 　　1827年5月底，阿贝尔回到了克里斯蒂安尼亚。那时他不仅身无分文，还欠了朋友一些 钱。他的弟弟无所事事，用他的名字借了一些钱，他必须还清。于是，阿贝尔靠给一些小 学生和中学生补习初级数学、德语和法语赚点儿钱。没多久，阿贝尔很幸运地被推荐到军 事学院教授力学和理论天文学，薪水虽不是很多，却已经可以让他安心继续从事椭圆函数 的工作了。 　　这时，阿贝尔的身体越来越衰弱。在1828年夏天他一直生病发烧咳嗽，人也变的消沉 ，感到前途真是暗淡无光，而且无法摆脱靠他养活的家人的负担。他们直到最后一直缠着 他，实际上弄得他自己一无所有，可是直到最后他也从没有说过一句不耐烦的话。 　　挪威1828年的冬天很冷，阿贝尔穿上了所有的衣服，可是身体还是觉得冷。他咳嗽、 发抖，觉得胸部不适，但是在朋友面前他装作若无其事，而且常开玩笑，以掩饰他身体的 不舒服。 　　1829年14月6日，阿贝尔去世，身边只有未婚妻克里斯汀。 　　阿贝尔死后两天，阿贝尔将被任命为柏林大学的数学教授。第二年6月法国科学院颁给 著名的Grand Prix奖给阿贝尔。1830年柯西在旧书堆终于找出积满灰尘的阿贝尔的手稿， 1841年这篇史诗般的手稿又一次丢失，直到1952年才在佛罗伦萨被重新发现。 　　法国数学家厄米特(Hermite,任何学习过量子力学的人对这几个字母都不会陌生)在谈 到阿贝尔时说：“阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌五百年。”

令狐药师 · 发表于 13.9.2006 14:41:51

Math Changed My Life-（十四） 这篇再贴一点关于Abel的故事，以纪念这位19世纪的天才数学家诞辰200周年。 失踪的手稿 　　阿贝尔在法国时，向巴黎科学院提交了一篇很长的论文。这就是勒让德后来用贺拉斯 的话描述为“永恒的纪念碑”的工作，也是厄米特说的阿贝尔留给未来多少代数学家的五 百年的工作。它是现代数学的一项登峰造极的成就。 　　1826年10月10日阿歇特把阿贝尔的这篇《关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的 论文》呈交给巴黎科学院。勒让德和柯西被任命为评阅人。那时勒让德七十四岁，柯西三 十九岁。老手正在失去他的锐气，巨头正在他自我中心的顶峰。勒让德抱怨（1829年4月8 日给雅可比的的信）说“我们发觉这篇论文很难辨认；它是用淡得几乎是白色的墨水写的 ，字写得很糟，我们两人认为应该要求作者送一分写得整齐易读的来。”于是他把论文给 了柯西。柯西把论文带回家，不知放在什么地方了，完全把它给忘了。 　　由于某种奇迹，这篇论文在阿贝尔死后被发掘出来了。雅可比从勒让德那里听说过它 ，阿贝尔在回到挪威后曾经和雅可比通过信。在1829年3月14日写给勒让德的信中，雅可比 惊呼，“阿贝尔先生的这个发现是什么样的发现啊！……有谁看见过同样的东西吗？这个 发现，也许是我们这个世纪最伟大的发现，在两年前就交给你们科学院了，可你的同事们 怎么会没有注意呢？” 　　挪威得知了这个质问。挪威驻巴黎的领事就这份遗失的手稿提出了外交抗议。巴黎科 学院在1830年赔偿阿贝尔，让他和雅可比一起获得了数学大奖，然而，此时阿贝尔已经去 世了。 　　柯西在1830年从他的旧书堆找出了这积满灰尘的阿贝尔的手稿。可是不久七月革命爆 发，柯西溜到国外去，八年后才回来巴黎。论文最后发表在《法兰西科学院著名科学家论 文集》第七卷，一百七十六页至二百六十四页，但那已经是1841年了。在对待这篇史诗般 的著作方面极端无能的顶点就是编辑，或者印刷工，或者他们一起，相继在阅读清样以前 把手稿丢失了。 　　不是无意丢失的，有人因为知道阿贝尔文章的价值，故意把他的手稿偷掉，准备以后 能善价待沽。阿贝尔论文的原稿是被一个原籍意大利的法国数学家利布里（Libri）偷走的 。利布里是一个神气十足的小人，他利用所谓历史专家的身份，在编排法国文物时，盗卖 了一些文物到外国去赚钱。利布里是巴黎大学教授，还是科学院的成员。他知道阿贝尔手 稿的价值，盗取了三份。这个关于阿贝尔积分的重要手稿，直到1952年才在意大利的佛罗 伦萨被发现。

令狐药师 · 发表于 13.9.2006 14:42:06

Math Changed My Life-（十五） 最近有点忙，姑且贴一篇不错的文章吧。是一个搞政策研究的学者在剑桥访问期间写 的，读来很有味道。 穿越牛顿桥 作者：曾剑秋 男, 湖南湘潭市人, 北京邮电大学教授，1998-1999国家公派留学英国剑桥大学高级访 问学者。主要研究电信产业技术经济与战略。在国内外发表“技术经济剖析法”，“电信 产业投入产出模型的应用研究”，“中国电信产业战略与政策”等学术论文三十余篇。出 版书稿十二部，其中《超常策略》、《国际贸易实务》、《金融危机与中国》、《电信资 费谁说了算？》以及《哈佛第一年》（译著）、具有一定的影响。主持完成十余项科研课 题。 一九九九年三月十六日下午三点十分，一位身着西服、里面的白衬衫显得有点皱皱巴 巴的瘦高个年轻人急匆匆地跨上一辆没有铃铛、链条打着链条护板的旧自行车，歪歪斜斜 、喀嚓喀嚓行驶在剑桥大学狭窄的米尔胡同（Mill lane）。他就是时年只有34 岁并与里 查德•波杰蒂斯（Richard Borcherds）教授一起获得一九九八年数学上的诺贝尔奖 -- 费尔茨奖（Fields Medals）的剑桥大学纯数学系教授蒂姆•高维斯（Tim Gower s ）。剑桥大学数学系就在米尔（Mill lane ）胡同边上一座显得有点破旧不堪的旧房子 里。就是这么一栋历史悠久的老房子，剑桥大学数学系还与国际工程制造系"合住"(Share ) 。走进这座牛顿曾经工作过的旧房子，狭窄的过道边排列着一间间狭小的办公室。这里 驻扎着一大批极富数学天赋的学子。一间很不规整、桌椅陈旧的教室里坐着一批从世界各 国来寻求数学博士学位的学生。走进地下屋，光线暗淡，地面不平，但从敞开门的办公室 里可以看到堆积如山的书、杂志和正在伏案工作的研究人员。他们就是在这样的环境里一 次又一次地摘取数学上的桂冠。在中国国内，报刊杂志、书籍、人们谈论的话题好象已经 归结为一种定式：中国国内的科学研究、工作环境如何之差，国外发达国家的科学研究、工作环境如何如何之好。其实，在许多硬件环境方面，中国国内不少高 Ｑ芯苛煊虿⒉槐裙?夥⒋锕?页勖?咝！⒀芯炕?共疃嗌伲?嗖畹闹饕?侨砑?肪撤矫妫 ??抑饕?枪芾硭?讲詈透丛拥娜思使叵怠 数学是科学的基础，也是生活的基石。人们生活中时时刻刻都要与数学打交道，睡觉 睡了几个小时，开车时速要达到多少英里，以及女人的金项链含金量是多少等。中国古代 的哲人形象地用一支筷子与十支筷子来说明数量与质量的深刻含义。一支筷子容易折断， 十支筷子捆到一起就很难折断，一滴水微不足道，一滴一滴水却可以汇成汪洋，威力无比 。数量、质量、力量的关系可谓相互依存、相互转换，既简单明了，又深奥复杂。这种以 数量为生长点的道理贯穿在生活中的每一个细节、每一个事件当中。 物理、化学、经济、管理，无论是自然科学，还是人文、社会科学，在其作为一门科 学存在、推进的过程中也必然要运用到数学知识。不说物理学牛顿力学中的万有引力定理 、爱因斯坦相对论中能量与质量、速度的数学公式，也不论化学中门捷列夫利用数学方法 发现自然界中的元素具有周期律，现代管理科学、经济科学在越来越多的定量化研究中成 长为令人信服的科学，数学知识的应用功不可没。一九六九年设立的诺贝尔经济学奖，首 先就将这象征科学的奖牌授予了丁伯根和费里希两位把数学引入经济学的教授。的确，数 学使科学的含义更为深刻、更为准确、更具有含金量。然而，在象征科学的"奥运"金牌-- 诺贝尔奖上却没有设立数学奖。这是科学家诺贝尔在设立诺贝尔奖时留下的遗嘱。为什么 不设立诺贝尔数学奖也就成为人们迷惑不解和揣摩猜测的话题。有一种说法认为诺贝尔一 辈子没有结婚，因为他年轻时深爱的恋人被一个学数学的情敌"夺"走了，因而留下了不设 诺贝尔数学奖的遗嘱；另一种说法认为诺贝尔相信实验科学，不喜欢数学游戏，诺贝尔本 人就是以发明炸药、从事物理化学试验作为自己一生的追求，数量的正确性依赖于反复、 多次的试验。还有一种解释是，诺贝尔非常看重数学，认为数学是科学上的皇冠，在他弥留之际设立诺贝尔奖时不设数学奖，是希望以后有人能设立一种含金量 ?叩氖澜绱蠼薄５?牵?嗣且丫?邮懿⑾肮吲当炊?蔽?澜缟献罡叩目蒲Ы保?谂当炊? 辈槐闵枇⑹?Ы钡那疤嵯拢?枇⒘艘幌钍?Уハ罱?-费尔茨奖，它等价于数学科学的诺贝 尔奖。费尔茨奖（Fields Medals ）由国际数学学会设立，每四年才评奖一次，从某种角 度看，费尔茨奖比一年一度的诺贝尔奖还要难取得。 看着骑自行车远去的蒂姆•高维斯教授的背影消失在米尔胡同的尽头，我转身朝 王后学院（Queens 'College）的方向走去。王后学院建于1465 年，初到剑桥参观王后学 院的游人往往不经意威武、气派的学院大铁门上金光闪闪的"Queens' College"（王后学院 ）上"Que ens'"采用的是英文复数。有的游人甚至认为在英文名词"Queen"后加"S" ，再带 一撇正好表示是一种所有格的关系，即表示"王后的学院"。实际上，采用复数表示的是两 位王后共同努力建成了这所学院。因此，王后学院全称是"圣玛格丽特及圣伯纳特王后学院 "（The Queen s' College of St Margaret and St Bernard）。 走进王后学院，可以见到一座古老的木桥，它跨越在剑河上显得那么陈旧。在剑桥这 座城市里居然还有这么一座似乎在偏僻的山区才能寻觅到的木桥，这就是牛顿桥，也称数 学桥。相传牛顿采用数学和力学的方法设计并建造了这座桥，桥上没有用一颗钉子。牛顿 的学生认为：牛顿老师能做到的事，牛顿的学生也能够做到。他们把这座桥拆了，可是怎 么也不能把这座桥不用钉子恢复成牛顿老师建筑的原样，最后不得不用钉子才重新将木桥 架好。这是一个流传久远的故事，其真实性已无从考证，但它代表了一种剑桥文化，那就 是亲身体验，只有试一试（try ）才能知道好坏，才能测出深浅。从化学系试验楼到卡文 迪什实验室，从生物系到管理学院，学术研究构成了剑桥大学的独特氛围。当问到什么是 搞研究时，无论是莘莘学子还是睿智的教授都会告诉你：" 去试验，试验，一次又一次， 反复的发现就是研究（Re-search）。" 踏上这座剑桥大学古老的木桥使人顿生一系列的联想，仔细端详这座富有传奇色彩的 牛顿桥使人联想起北京天安门前的金水桥。两桥设计的形态、坡度，甚至桥身长度都似有 异曲同工之处。耸立在北京天安门前的金水桥采用的是汉白玉，具有皇家气派；横跨剑桥 大学剑河上空的数学桥使用的纯木结构，显得古色古香。站在数学桥拱型面的最高处，想 象着牛顿曾经采用微积分的数学方法求出了这一点的极值，这一极值不仅是数学上的最优 点，而且也符合牛顿力学原理，其极值点在张力、稳定性等等方面均具有科学的依据，在 理论上论证无懈可击。数学桥两边的木栅栏大概也经过精心设计。各种条状的木块象小孩 搭的积木，看似不规则、不经意的三角形、长方形、菱形等几何图案事先都在牛顿的设计 纸上经过周密策划、计算。大科学家牛顿留给后人去了解、揭开他那 神奇的数学王国之谜，期待着来自外星球的"上帝"读懂数学这门放之宇宙而皆准的科学， 让他们惊叹这个蓝色星球智慧的深邃及其神奇的魅力。 数学桥下面是清澄如镜的剑河水，细细涓流荡漾着数学桥那多姿多彩的神奇图案。其 梦幻般的身躯更显活力，同时也能看到自己的脸和站立在数学桥当中略显放大的身影。有 人说，站在牛顿桥上借剑河水照镜子就能沾上剑桥的灵气和得到某种灵光，我虔诚地等待 着，象一个基督徒、象一个迷恋气功的人。但是除了淙淙流淌的剑河水声和微风吹拂着岸 边杨柳似情人絮叨的声音以外，数学桥显得格外的宁谧。数学桥的左侧是弯弯曲曲、由南 往北顺河而下的美丽剑河，一座接一座凌架在剑河上空的桥将"剑"与"桥"融入在一起。那 象征着剑桥人生生不息、孜孜不倦追求的浓浓热血，那表现剑桥人不屈不挠、独领风骚的 铮铮傲骨，构成了这幅世界驰名的剑桥图画。数学桥右侧还架设了一座连接剑河东、西两 岸的桥，东来西去的人们从这里进入热闹的剑桥城市中心，西来东往的人们从这里走向达 尔文学院、东方研究院、法学院、外语系、剑桥大学图书馆以及剑桥大学经济系。穿过数 学桥，人们可以很容易地找到剑桥城市中心最大的自由市场（Open Market ）。剑桥大学 数学家哈密尔顿曾经冥思苦想的"复数"（i或a+bi）问题就是在他漫不经心来到自由市场时 突然想起来的，可谓"得来全不费功夫"。 穿过数学桥和王后学院就来到了毗邻的国王学院（King's College）。国王学院富丽 堂皇的一角被称为"凯恩斯角"。凯恩斯是剑桥大学国王学院的学生，他在国王学院学习、 生活期间，经常在国王学院聚集爱好学术论争的同窗好友或学生、学者就一些共同感兴趣 的问题进行辩论，达到互相启发思维、分享智慧的目的。凯恩斯成为二十世纪杰出的经济 学家，得益于剑桥大学独特的学术氛围的熏陶。有人认为二十世纪有两个重要公式，一个 是爱因斯坦的相对论基本公式：E=mc2（能量=质量×光速的平方）；另一个则为凯恩斯关 于倍数或乘数理论的公式：K=1/（1-△Y/△C）（倍数=1除1减边际消费倾向率）。凯恩斯 利用这一倍数或乘数理论公式，从定量的角度阐述了消费与投资，各部门之间经济联系的 关系。例如，倍数公式认为：某一部门与企业的对外贸易出口或某一部门与企业的经济效 益会带动与其相关部门或企业的经济效益增长，而这种链式的经济 关系会带动整个国民经济成倍数的增长。 尽管凯恩斯提出的倍数公式应用到经济领域还显得有点"呆板"，有点牵强附会。但是 ，凯恩斯理论为西方国家从"大萧条"走向新的成长起到了指导作用。凯恩斯与爱因斯坦提 出的数学公式看起来很简单，但其链式关系却成为"热核爆炸"、"经济拉动"的基石。客观 而论，凯恩斯虽然热爱用数学公式来表达经济学的基本意义，而他的数学才能并非杰出无 比。凯恩斯善于利用比他更具有数学天赋的英才。拉姆塞是剑桥大学一位杰出的数学人材 ，他在剑桥大学求学期间，帮助凯恩斯对其经济理论进行数学证明。尽管拉姆塞只是一个 二十几岁的大学生，发表的论文也屈指可数，凯恩斯对拉姆塞论文的评价却非常高，凯恩 斯称拉姆塞为" 有史以来对数理经济学的最卓越的贡献之一。" 剑桥大学培养出来的数学 奇才数不胜数。世界上著名的数学大难题" 费马大定理，是包括数学家高斯在内的一大批 数学家多年来没有解决的问题。而毕业于剑桥大学的怀尔斯（Wile s）却解证了这一世界级数学上的奥秘。 数学的神奇力量在于应用，特别是应用到经济领域。一代伟人马克思不仅留下了他耗 费四十年撰写的巨著《资本论》，还留下了《数学手稿》这样一本不朽的著作。一批杰出 的英才以促进社会经济发展为己任，成功地把数学引入经济学研究之中，使经济学这门古 老的科学如虎添翼、熠熠生辉。华罗庚教授是举世公认的数学天才，1936年，华罗庚由中 国清华大学选派来到英国剑桥大学作为期两年的"访问学者"。在剑桥大学期间，华罗庚潜 心研究数论，解决了华林（Waring）问题，泰利（Tarry ）问题等数学难题，其杰出才华 在剑桥沃土上显露出来，在国际数学界引人注目。在剑桥大学这样一个世界顶尖数学家云 集的环境里，华罗庚不仅了解到了最新的数学研究动态、发展方向，而且在作出自己贡献 的同时也奠定了他回中国以"数学知识报效祖国"的基本信念。 我曾经与剑桥大学应用数学系的一位学者交谈，在谈到中国数学家华罗庚曾来剑桥大 学作访问学者时，这位学者竖起了大拇指，夸奖华罗庚教授在应用数学领域的杰出贡献。 华罗庚教授在二十世纪七十年代率先在神州大地推广、普及"优选法"和"统筹法"，他率领 中国科学院数学研究所等一大批专家走遍天南海北一百多个城市，以"0.618"为特征的"优 选法" 、"统筹法"为企业、为社会创造了巨大财富，也开创了"数学富国"、"数学强国" 的 提高经济效益之路。

令狐药师 · 发表于 13.9.2006 14:42:25

Math Changed My Life-（十六） 这篇介绍剑桥大学的著名数学教授Timony.Gowers。值得一提的是，这位年轻时还曾得 过国际中学生数学奥林匹克竞赛的金牌。而北大的一大堆奥赛奖牌牌得主，到今天为止我 所知道的，1990年奥赛银牌的小姑娘颜华菲，她现在Texas A&M大学当助教，搞组合数学， 刚拿到今年的P.Sloan奖学金。还有那个曾以满分获得88年奥赛金牌的何宏宇，现在Texas 州立大学当助教。 T.Gowers (1963-) 高尔斯是英国数学家，1963年11月2O日生于马尔波洛。1982年进入剑桥大学攻读， 其后在剑桥读研究生，在匈牙利组合数学家博洛巴什（B.Bolloas）指导下，于199O年获博 士学位。1989—1993年任剑桥大学三一学院研究员，1991—1995年间在伦敦大学学院任教 ，1995年回到剑桥大学，在纯粹数学与数理统计系任教，同时兼任三一学院研究员。他是 英国皇家学会会员。 高尔斯的重要贡献在巴拿赫空间理论。用他1995年获得怀特海Whitehead）奖时的评语 说：他在过去五年中使得巴拿赫空间的几何完全改变了面貌。巴拿赫空间理论是192O年由 波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及 其推广，它们有许多重要的应用。但从那时起，遗留下许多基本问题有待解决，特别是与 超平面定理和施罗德—伯恩斯坦（Schroder-Bernstein)定理有关的问题，它们并不难懂， 可以看成康托尔（G.Cantor）无穷集合论到无穷维空间的推广。大多数巴拿赫空间是无穷 维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。因此，康托尔发现的关于无穷集合的两个定 理是否对无穷维空间也成立，自然成为大家关注的问题。 第一个是无穷集一定与其一个子集同势（即一一对应或等价），相应的巴拿赫空间定 理就是任何巴拿赫空间一定同它的超平面同构？而施罗德-伯恩斯坦定理是，如果X与Y的一 个真子集同势，Y与X的一真子集同势，则X与Y同势，相应的定理是，加工是Y的有补子空间 ，Y是X的有补子空间，则X与Y同构。高尔斯对这两种情形都举出反例，从而否定地解决了 这些基本问题。 高尔斯证明了一系列基本定理，例如，如果所有无穷维闭子空间都同构，则它是希尔 伯特空间；发现了所谓高尔斯二分法定理：任何无穷维巴拿赫空间不是包含具有无条件基 的子空间，就是包含一个子空间，其上每个算子都是指标为0的弗雷德霍姆（Fredholm）算 子。他的贡献还在于独特创新的方法——无穷的拉姆齐（Ramsey)理论。并不难懂，可以看 成康托尔（G.Cantor）无穷集合论到无穷维空间的推广。大多数巴拿赫空间是无穷维空间 ，可看成通常向量空间的无穷维推广。因此，康托尔发现的关于无穷集合的两个定理是否 对无穷维空间也成立，自然成为大家关注的问题。 第一个是无穷集一定与其一个子集同势（即一一对应或等价），相应的巴拿赫空间定 理就是任何巴拿赫空间一定同它的超平面同构？而施罗德-伯恩斯坦定理是，如果X与Y的一 个真子集同势，Y与X的一真子集同势，则X与Y同势，相应的定理是，加工是Y的有补子空间 ，Y是X的有补子空间，则X与Y同构。高尔斯对这两种情形都举出反例，从而否定地解决了 这些基本问题。 高尔斯证明了一系列基本定理，例如，如果所有无穷维闭子空间都同构，则它是希尔 伯特空间；发现了所谓高尔斯二分法定理：任何无穷维巴拿赫空间不是包含具有无条件基 的子空间，就是包含一个子空间，其上每个算子都是指标为0的弗雷德霍姆（Fredholm）算 子。他的贡献还在于独特创新的方法——无穷的拉姆齐（Ramsey)理论。

令狐药师 · 发表于 13.9.2006 14:42:40

Math Changed My Life--(十七) 评--为何这次只有两个菲尔兹奖 2002年菲尔兹奖已经揭晓，Lafforgue和Voevodsky获奖，空缺2个名额。这种情况在菲 尔兹奖历史上是第一次。谈一点个人看法。 菲尔兹奖初创的时候只有每届2个名额，后来在1966年增加到了不超过4个，我印象中只 有1984年时出现过空缺，那一届只有Connes,Thurston,Yau 3个人得奖，可以说当时其他的 候选人和他们相比有不小的差距。 90年时Witten的当选是有很多议论的，最后还是Atiyah主持了公道。现在看来，如果当初 没有Atiyah的慧眼，Witten真是很冤的。 1994年的菲尔兹奖Bourgain,Yoccoz,Lion,Zalmanov其中前3个都是法国人，当时曾有过争 议，因为那时是法国人当国际数学家联盟的主席。而且Lion是搞应用数学的，很多数学家 都对他不太了解。Yoccoz的复动力系统也不算很核心的数学。Bourgain的当选倒是可以让 人信服的。为何94年的时候不空缺呢？ 1998年，Borcherds,Gowers是那种天才的数学家，解难题的高手，在有限群论，Banach空 间几何这些相对冷僻的分支里作出了突破，当之无愧。 Mcmullen虽然是复动力系统方面的大牛，但他关键还是因为受到了Milnor等人的支持。剩 下的Tian Gang和Kontsevich，Tian Gang 97年的时候刚拿了Veblen奖，在国际微分几何学 界也算是一个领袖人物，得菲奖的呼声也很高。而Kontsevich虽然比田刚小5岁，但在97， 98年的时候正是他上升势头最猛的时候，就在菲尔兹奖评选前他还作出了很好的工作，就 这样吸引了大家的目光。最后以很小的优势取胜。田刚的失利也和Yau并不支持他有关。所 以有一些大佬的支持是很重要的事情。 2002年，Taylor绝对是外人眼中的热门之一，他除了协助解决FLT外，还合作证明了局 部 Langlands猜测和Taniyama-Shimura猜测。当然Lafforgue和Voevodsky的当选无话可说 ，都是各自领域中的大师级人物. 个人觉得Taylor比较擅长处理局部技巧，但很难说他在 算术代数几何这个领域称得上绝对权威。所以他的第一轮被淘汰应该还是实力的原因。而 且一个好的数学家一定要有自己独立的工作，比如Yau的Calabi猜测，Thurston的3维几何 拓扑，而Taylor主要的工作都是与别人合作的，很难说他在其中唱了主角。还有田刚，他 的工作虽然涉及的领域很广，但缺少重量级的成就，许多好的工作也是和别人合作的，和 阮勇斌证明的退化情形的Arnold猜测，在Kahler几何方面也主要是走了Yau的路线。Konts evich受Witten的影响很大，所以研究几何问题会用到许多物理工具，这里就有许多独创， 所以深的一群大佬的赏识。 如果忽略年龄的因素，以田刚98年时的实力角逐这届菲尔兹奖，他应该会比Taylor有优势 的。但和今年得奖的Lafforgue和Voevodsky相比可能还是有一些差距，那么就要看东道主 的面子是否足够大了，呵呵。好象90年时候Mori的当选有讨好东道国之嫌一样，呵呵。

令狐药师 · 发表于 13.9.2006 14:42:56

Math Changed My Life-(十八) 这篇是介绍拓扑学中的扭结理论(Knot Theory)在DNA分子结构中的应用的。其中的一个 挑战就是通过观察酶在DNA的几何和拓扑结构变化中所起的作用，来推导酶的作用机理。 Mathematics of DNA Why is DNA packed into twisted, knotted shapes? What does this knotted st ructure have to do with how DNA functions? How does DNA ``undo'' these complic ated knots to transform itself into different structures? The mathematical the ory of knots, links, and tangles is helping to find answers. In order to perform such functions as replication and information transmission, DNA must transform itself from one form of knotting or coiling i nto another. The agent for these transformations are enzymes. Enzymes maintain the proper geometry and topology during the transformation and also ``cut'' t he DNA strands and recombine the loose ends. Mathematics can be used to model these complicated processes. In an article published in the May 1995 issue of the Notices of the AMS, " Lifting the Curtain: Using Topology to Probe the Hidden Action of Enzymes," mathematician De Witt Sumners discusses these problems. Sumners has worked for a number of years with molecular biologists to help them unravel some of the mathematical problems presented by DNA structure. ``The description and quantization of the three-dimensional structure of DNA and the changes in DNA structure due to the action of these enzymes have r equired the serious use of geometry and topology,'' Sumners writes. ``This use of mathematics as an analytical tool is especially important because there is no experimental way to observe the dynamics of enzymatic action directly.'' A key mathematical challenge is to deduce the enzyme mechanisms from obse rving the changes the enzymes bring about in the geometry and topology of the DNA. ``This requires the construction of mathematical models for enzyme action and the use of these models to analyze the results of topological enzymology experiments,'' the article says. ``The entangled form of the product DNA knots and links contains information about the enzymes that made them.''

令狐药师 · 发表于 13.9.2006 14:43:22

Math Changed My Life-(十九) 附： Florida数学系主任De Witt Sumners的文章 全文见http://www.ams.org/notices/199505/sumners.pdf Lifting the Curtain: Using Topology to Probe the Hidden Action of Enzymes One of the important issues in molecular biology is the three-dimensional s tructure (shape) of proteins and deoxyribonucleic acid (DNA) in solution in th e cell and the relationship between structure and function. Ordinarily, protei n and DNA structure is determined by X-ray crystallography or electron microsc opy.Because of the close packing needed for crystallization and the manipulati on required to prepare a specimen for electron microscopy, these methods provi de little direct evidence for molecular shape in solution. Topology can shed light on this key issue. The topological approach to enzy mology is an experimental protocol in which the descriptive and analytical pow ers of topology and geometry are employed in an indirect effort to determine t he enzyme mechanism and the structure of active enzyme-DNA complexes in vitro (in a test tube).We describe how recent results in 3-dimensional topology [3, 5, 9, 10, 11] have proven to be of use in the description and quantization of the action of cellular enzymes on DNA.

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