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楼主: dahuludekeai
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葛军,男,秒杀了52万江苏考生。。来做最后两题吧 (转载)

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81#
发表于 15.6.2010 04:07:08 | 只看该作者
啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫8 G0 q+ |) x' f  G
dahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15
6 c$ H7 O' A- f4 R
. p0 x0 S3 v6 x
4 V- _, ]' x; v  v; P) w

5 R- A, ]+ P0 v在抽象代数中,域(Field,或译为体)是一种可进行加、减、乘和除(除了除以零之外)运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。
3 t7 u0 I1 w9 C! v7 M" {+ g& @4 Q! ], b" U
域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素(除零元素之外)可以进行除法运算,这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。同时,在现代的定义中,域中的元素关于乘法要是可交换的。简单来说,域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体(Körper, corps),或者反称域(skew field)。在比较旧的定义中,除环被称为“域”,而现代意义上的域被称为“交换域”。
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82#
发表于 15.6.2010 04:08:02 | 只看该作者
啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫$ V  g6 |7 J8 c; y" [2 y% W
dahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15
: ]* Y$ |( Y1 Z) D
# l* \: W+ N3 G, ~% D
3 [8 t' `( _) E' g0 F9 m: z
环的定义类似于可交换群,只不过在原有的“+”的基础上又增添另一种运算“·”(注意我们这里所说的 + 与 · 一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法)。在抽象代数中,研究环的分支为环论。
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83#
发表于 15.6.2010 04:08:52 | 只看该作者
抽象代数中,同态是两个代数结构(例如群、环、或者向量空间)之间的保持结构不变的映射。英文的同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。
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84#
发表于 15.6.2010 04:09:16 | 只看该作者
在拓扑学中,同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构;也就是说,它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚,那么这两个空间就称为同胚的,从拓扑学的观点来看,两个空间是相同的。
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85#
发表于 15.6.2010 04:09:48 | 只看该作者
在抽象代数中,同构指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中,同构指的是一个态射,且存在另一个态射,使得两者的复合是一个恒等态射。2 [5 [# ?  @4 H1 e

/ {$ }3 z/ L5 {# l+ E! ?8 G  ]正式的表述是:同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射,那么这两个结构叫做是同构的。一般来说,如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义,单从结构上讲,同构的对象是完全等价的。
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86#
发表于 15.6.2010 04:10:38 | 只看该作者
在数学中,同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。0 L, T: r% s( c. A+ \, }% n
7 O* o7 A1 v! d( T3 t5 ?
给定两个拓扑空间  et 。考虑两个连续函数 ,若存在一个连续映射  使得
, @6 e: ?3 \1 u0 ~$ S: [% }2 L6 D3 F1 K5 U. w+ j. ?& \

8 Y1 b; T: Z! `& q3 ?& c# g/ k5 n0 X) Y- y: p0 j  V
则称(在Y里)同伦。
4 J- t/ c5 u( p, F: F: ]/ i5 p8 ~; ?/ D
换言之:每个参数t对应到一个函数  ;随着参数值从 0 到 1 变化, 连续地从 变化到
# s8 `/ d' w' i: D; \' I/ j8 Y, l! ?9 w! v$ O8 `9 o0 h5 A
另一种观点是:对每个,函数  定义一条连接  与 的路径:
" U2 E0 R# C9 E% k, M2 B4 e. z  l) b/ _; i' r

1 A9 B3 O% A2 j" ?例一:取 , ,  及 。则 与  透过下述函数在  中同伦。
7 K4 m0 Q7 S6 {6 F
' ~, t9 T6 V% \/ ]
2 L, S+ C& A; e- _; y(注意到此例子不依赖于变量 x,通常并非如此。)
; v5 ~1 G/ I3 B. l% [5 {( t注:“在Y中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将代为子空间,则虽然 与 仍取值在,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。/ @4 A4 R% p$ B
例二:取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆; 停在原点。 与  透过下述连续函数同伦:- O, i$ b0 t' @0 I; }+ X
3 g5 F! _# O$ g. ]* J, z; x9 I4 x
. p/ r! z# Y3 v' \, t
几何上来看,对每个值,函数描绘一个以原点为圆心,半径 1 − t 的圆。/ x3 K3 T. Q4 g) u
函数间的同伦是(即从 X 到 Y 全体连续函数的集合)上的等价关系。同伦的初步应用之一,是借由环路的同伦定义何谓单连通。
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87#
发表于 15.6.2010 08:23:48 | 只看该作者
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