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在数学中,同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。; H4 G8 c7 K/ O
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给定两个拓扑空间 et 。考虑两个连续函数 ,若存在一个连续映射 使得* W1 v) z* k0 x( U; t
) B1 H) f7 j# N8 u5 K
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则称(在Y里)同伦。( F9 d& ~% s \7 n2 f7 _& O
; h/ {, A" N- ]3 ]. H换言之:每个参数t对应到一个函数 ;随着参数值从 0 到 1 变化, 连续地从 变化到, ?. c! H; Y a. H: w' c
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另一种观点是:对每个,函数 定义一条连接 与 的路径:
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- ^- P8 d9 ^0 m7 Z5 l: I& L: V5 X# c: T# Z4 G! O* K" n9 Q. l
例一:取 , , 及 。则 与 透过下述函数在 中同伦。9 Q5 A; [1 N5 M0 }; J: Z
5 T" Y# ~! u& f w, o& ^6 S: D+ o( `( |0 _$ \2 W0 A! D
(注意到此例子不依赖于变量 x,通常并非如此。). E1 }0 {6 [' V
注:“在Y中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将代为子空间,则虽然 与 仍取值在,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
4 @ s8 P. T1 F( c! G' ~例二:取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆; 停在原点。 与 透过下述连续函数同伦:' u: u8 V5 @3 F6 V7 L9 k
5 y& ~7 o; F- Y
) j/ E/ j- @7 |1 A8 b% z+ X3 }几何上来看,对每个值,函数描绘一个以原点为圆心,半径 1 − t 的圆。) B/ N+ }" d- k: j, M/ f9 G
函数间的同伦是(即从 X 到 Y 全体连续函数的集合)上的等价关系。同伦的初步应用之一,是借由环路的同伦定义何谓单连通。 |
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