葛军，男，秒杀了52万江苏考生。。来做最后两题吧 (转载)

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啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫
. l7 ?2 H* F$ B4 z8 pdahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15

: S3 N  G4 ?! f7 e8 L
! x3 f1 f: g: U9 z# I% y* S& G在抽象代数中，域（Field，或译为体）是一种可进行加、减、乘和除（除了除以零之外）运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。
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+ @& s% G5 w9 m域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素（除零元素之外）可以进行除法运算，这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。同时，在现代的定义中，域中的元素关于乘法要是可交换的。简单来说，域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体(Körper, corps)，或者反称域(skew field)。在比较旧的定义中，除环被称为“域”，而现代意义上的域被称为“交换域”。

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啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫
# e; d/ y: E7 g3 B+ ~/ l2 r: [dahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15

: p$ B( Y# W0 t9 @1 ~
环的定义类似于可交换群，只不过在原有的“+”的基础上又增添另一种运算“·”（注意我们这里所说的 + 与 · 一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。

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抽象代数中，同态是两个代数结构（例如群、环、或者向量空间）之间的保持结构不变的映射。英文的同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。

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在拓扑学中，同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构；也就是说，它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为同胚的，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。

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在抽象代数中，同构指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射。

正式的表述是：同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射，那么这两个结构叫做是同构的。一般来说，如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的。

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在数学中，同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。
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9 r3 V& [* e5 I8 x% Z; {& S2 r6 P9 F给定两个拓扑空间  et 。考虑两个连续函数 ，若存在一个连续映射  使得

- N  x1 t) a: {' ~5 g) A7 z
& E7 A4 N2 v- Q+ T5 L- s" O- G- s
则称（在Y里）同伦。

5 C/ N# P! ^( W3 w换言之：每个参数t对应到一个函数  ；随着参数值从 0 到 1 变化， 连续地从 变化到

+ ]1 z/ K+ J& ?( q另一种观点是：对每个，函数  定义一条连接  与 的路径：
1 ^$ @9 G6 u+ S7 m  Q' A1 o1 H3 U" T& f

- ^7 z0 Z" M! [, Q# V, C9 ?* K例一：取 , ,  及 。则 与  透过下述函数在  中同伦。
! {7 p! D4 Q" M4 h5 y% K7 J

) s7 ^- ]$ |* E（注意到此例子不依赖于变量 x，通常并非如此。）
注：“在Y中同伦”的说法提示一个重点：在例一中若将代为子空间，则虽然 与 仍取值在，但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
3 u$ F4 L: d) Z2 W例二：取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆； 停在原点。 与  透过下述连续函数同伦：

3 C' E0 l3 D: t0 c( r! ?+ D+ M
几何上来看，对每个值，函数描绘一个以原点为圆心，半径 1 − t 的圆。
! [2 a; M! n! d8 f/ W) s# F; k函数间的同伦是（即从 X 到 Y 全体连续函数的集合）上的等价关系。同伦的初步应用之一，是借由环路的同伦定义何谓单连通。

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