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楼主: dahuludekeai
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葛军,男,秒杀了52万江苏考生。。来做最后两题吧 (转载)

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81#
发表于 15.6.2010 04:07:08 | 只看该作者
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啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫
9 F3 n+ G8 y0 Z% B# Ndahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15

; I5 u4 {8 o3 T- _3 o( m" x6 _6 L0 X6 t4 V) @
: C7 Y& m4 I# G' h* l, \

4 L1 i: E) p: ]! L  _在抽象代数中,域(Field,或译为体)是一种可进行加、减、乘和除(除了除以零之外)运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。
0 k$ A' h! v% d' v$ F5 H9 l3 k# A* q+ R- @; ~9 Z! |
域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素(除零元素之外)可以进行除法运算,这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。同时,在现代的定义中,域中的元素关于乘法要是可交换的。简单来说,域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体(Körper, corps),或者反称域(skew field)。在比较旧的定义中,除环被称为“域”,而现代意义上的域被称为“交换域”。
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82#
发表于 15.6.2010 04:08:02 | 只看该作者
啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫
) e* q! b2 A$ j& }4 g6 k9 J8 ydahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15
, U5 `% \) z+ ~

- W+ z  I$ f. R' F! T% I$ N+ \4 E! V
2 V, X2 z" s0 o) L, c& J: B环的定义类似于可交换群,只不过在原有的“+”的基础上又增添另一种运算“·”(注意我们这里所说的 + 与 · 一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法)。在抽象代数中,研究环的分支为环论。
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83#
发表于 15.6.2010 04:08:52 | 只看该作者
抽象代数中,同态是两个代数结构(例如群、环、或者向量空间)之间的保持结构不变的映射。英文的同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。
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84#
发表于 15.6.2010 04:09:16 | 只看该作者
在拓扑学中,同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构;也就是说,它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚,那么这两个空间就称为同胚的,从拓扑学的观点来看,两个空间是相同的。
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85#
发表于 15.6.2010 04:09:48 | 只看该作者
在抽象代数中,同构指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中,同构指的是一个态射,且存在另一个态射,使得两者的复合是一个恒等态射。
) p: d8 g- ^' X( |
8 Q2 ?# W5 c- T8 o2 d8 S" k8 Q正式的表述是:同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射,那么这两个结构叫做是同构的。一般来说,如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义,单从结构上讲,同构的对象是完全等价的。
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86#
发表于 15.6.2010 04:10:38 | 只看该作者
在数学中,同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。3 ]" ?/ v% V0 L
5 K- D! ]; R* g9 O
给定两个拓扑空间  et 。考虑两个连续函数 ,若存在一个连续映射  使得* ?% ~+ n) p1 {+ r
5 Y( G1 [! \! \+ g% A, P
  H+ m5 s3 ]0 K$ K& q! W
5 U& k" m- B+ z# H+ Y. [& k
则称(在Y里)同伦。
1 t0 z/ h/ i6 n0 D/ p! R6 M4 N4 P# K; O- |1 ^2 S  \1 q6 p3 W5 J
换言之:每个参数t对应到一个函数  ;随着参数值从 0 到 1 变化, 连续地从 变化到
# Z7 c1 v" h& B, S9 }
6 F8 ?3 X' ^7 B  X8 Y另一种观点是:对每个,函数  定义一条连接  与 的路径:, ~# S/ a6 N, K3 a- O
5 \( N! V3 V' s. f" ]  h( n! {
5 f& R; s5 J; u# {2 P2 C
例一:取 , ,  及 。则 与  透过下述函数在  中同伦。
- U% B) c  S/ `" C5 a
  G1 _# j( }' t& P1 c
6 m+ N3 ]6 b; C% M# r0 P(注意到此例子不依赖于变量 x,通常并非如此。)) ]  U8 C7 u5 K& y: ~+ Y% V
注:“在Y中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将代为子空间,则虽然 与 仍取值在,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
2 O+ f# F7 o1 T8 C例二:取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆; 停在原点。 与  透过下述连续函数同伦:
8 |+ k- D2 Q3 k& U* [5 {
1 b5 a, s, R4 G' G4 t) Q$ L, A, N% k& V0 K7 s# ?# y
几何上来看,对每个值,函数描绘一个以原点为圆心,半径 1 − t 的圆。
( ^. x  Y) _' h/ ^' E0 n& U6 S函数间的同伦是(即从 X 到 Y 全体连续函数的集合)上的等价关系。同伦的初步应用之一,是借由环路的同伦定义何谓单连通。
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87#
发表于 15.6.2010 08:23:48 | 只看该作者
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