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楼主: dahuludekeai
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葛军,男,秒杀了52万江苏考生。。来做最后两题吧 (转载)

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81#
发表于 15.6.2010 04:07:08 | 只看该作者
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啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫) R( T; C: C' T1 U# c
dahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15

5 o. G* D  p& N7 w8 s( _! R& p9 O1 O% q' J, n- ^( n

' D% ~5 D1 N- \3 b8 e8 W2 D$ L; x: v+ {( v6 v' d1 e
在抽象代数中,域(Field,或译为体)是一种可进行加、减、乘和除(除了除以零之外)运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。1 k# v3 @& p- S3 T1 ?2 d% s, k

8 t2 M7 D( x# v域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素(除零元素之外)可以进行除法运算,这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。同时,在现代的定义中,域中的元素关于乘法要是可交换的。简单来说,域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体(Körper, corps),或者反称域(skew field)。在比较旧的定义中,除环被称为“域”,而现代意义上的域被称为“交换域”。
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82#
发表于 15.6.2010 04:08:02 | 只看该作者
啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫3 l% K! g6 [- A. P0 D. S7 d1 _
dahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15

% D6 m. \# s/ S2 y, c3 `- c( j3 {. d$ d0 F2 H

6 u6 g1 H3 k% N3 z环的定义类似于可交换群,只不过在原有的“+”的基础上又增添另一种运算“·”(注意我们这里所说的 + 与 · 一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法)。在抽象代数中,研究环的分支为环论。
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83#
发表于 15.6.2010 04:08:52 | 只看该作者
抽象代数中,同态是两个代数结构(例如群、环、或者向量空间)之间的保持结构不变的映射。英文的同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。
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84#
发表于 15.6.2010 04:09:16 | 只看该作者
在拓扑学中,同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构;也就是说,它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚,那么这两个空间就称为同胚的,从拓扑学的观点来看,两个空间是相同的。
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85#
发表于 15.6.2010 04:09:48 | 只看该作者
在抽象代数中,同构指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中,同构指的是一个态射,且存在另一个态射,使得两者的复合是一个恒等态射。: o6 S8 i4 I5 O# V' [
- D  K7 `  T+ F; i- E* n) T3 v
正式的表述是:同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射,那么这两个结构叫做是同构的。一般来说,如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义,单从结构上讲,同构的对象是完全等价的。
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86#
发表于 15.6.2010 04:10:38 | 只看该作者
在数学中,同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。
8 k5 }3 M$ T$ a) Y' ?5 e4 \2 x6 Q+ K) D6 m3 U
给定两个拓扑空间  et 。考虑两个连续函数 ,若存在一个连续映射  使得* b- E  w2 m1 q
0 x9 q3 t  o2 z+ s) K

1 c- ^3 k! u2 m8 c5 F  ]8 @6 u$ b" Y
7 \& p' h) F5 w( B. I则称(在Y里)同伦。5 R/ r6 a3 X9 D  V9 y: s; E) H( p

5 z. T3 Q$ f- ^& v! f7 [换言之:每个参数t对应到一个函数  ;随着参数值从 0 到 1 变化, 连续地从 变化到$ s/ B3 H% Q; D6 _, Y$ h
0 t* d7 f! Y+ f" _" ~
另一种观点是:对每个,函数  定义一条连接  与 的路径:& a  t. q# l+ c

/ R! e9 B* j3 h9 N" H5 a7 n& H& H
+ N; v% V- E5 t. F& m! E" c6 _例一:取 , ,  及 。则 与  透过下述函数在  中同伦。
& w/ s: ~/ t9 ^9 I
9 ~+ a( B2 M, m% y2 ^; T$ k* Z$ s" D% [6 n. `7 s5 x4 U& |
(注意到此例子不依赖于变量 x,通常并非如此。)
1 M; p9 `( B7 e4 e  L注:“在Y中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将代为子空间,则虽然 与 仍取值在,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
- z/ h$ J6 J0 M9 Z8 |例二:取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆; 停在原点。 与  透过下述连续函数同伦:
7 v2 @/ z# y: k* i/ |4 g/ {! W/ A7 k2 I( ]7 C1 L% l* s4 Z6 M
& T6 t0 I+ ?: G) }; G: S' [
几何上来看,对每个值,函数描绘一个以原点为圆心,半径 1 − t 的圆。& W8 d" ?$ Z! |5 w+ N0 e7 j
函数间的同伦是(即从 X 到 Y 全体连续函数的集合)上的等价关系。同伦的初步应用之一,是借由环路的同伦定义何谓单连通。
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87#
发表于 15.6.2010 08:23:48 | 只看该作者
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