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在数学中,同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。3 ]" ?/ v% V0 L
5 K- D! ]; R* g9 O
给定两个拓扑空间 et 。考虑两个连续函数 ,若存在一个连续映射 使得* ?% ~+ n) p1 {+ r
5 Y( G1 [! \! \+ g% A, P
H+ m5 s3 ]0 K$ K& q! W
5 U& k" m- B+ z# H+ Y. [& k
则称(在Y里)同伦。
1 t0 z/ h/ i6 n0 D/ p! R6 M4 N4 P# K; O- |1 ^2 S \1 q6 p3 W5 J
换言之:每个参数t对应到一个函数 ;随着参数值从 0 到 1 变化, 连续地从 变化到
# Z7 c1 v" h& B, S9 }
6 F8 ?3 X' ^7 B X8 Y另一种观点是:对每个,函数 定义一条连接 与 的路径:, ~# S/ a6 N, K3 a- O
5 \( N! V3 V' s. f" ] h( n! {
5 f& R; s5 J; u# {2 P2 C
例一:取 , , 及 。则 与 透过下述函数在 中同伦。
- U% B) c S/ `" C5 a
G1 _# j( }' t& P1 c
6 m+ N3 ]6 b; C% M# r0 P(注意到此例子不依赖于变量 x,通常并非如此。)) ] U8 C7 u5 K& y: ~+ Y% V
注:“在Y中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将代为子空间,则虽然 与 仍取值在,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
2 O+ f# F7 o1 T8 C例二:取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆; 停在原点。 与 透过下述连续函数同伦:
8 |+ k- D2 Q3 k& U* [5 {
1 b5 a, s, R4 G' G4 t) Q$ L, A, N% k& V0 K7 s# ?# y
几何上来看,对每个值,函数描绘一个以原点为圆心,半径 1 − t 的圆。
( ^. x Y) _' h/ ^' E0 n& U6 S函数间的同伦是(即从 X 到 Y 全体连续函数的集合)上的等价关系。同伦的初步应用之一,是借由环路的同伦定义何谓单连通。 |
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