葛军，男，秒杀了52万江苏考生。。来做最后两题吧 (转载)

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啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫
dahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15

5 o. G* D  p& N7 w8 s( _! R

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在抽象代数中，域（Field，或译为体）是一种可进行加、减、乘和除（除了除以零之外）运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。

8 t2 M7 D( x# v域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素（除零元素之外）可以进行除法运算，这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。同时，在现代的定义中，域中的元素关于乘法要是可交换的。简单来说，域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体(Körper, corps)，或者反称域(skew field)。在比较旧的定义中，除环被称为“域”，而现代意义上的域被称为“交换域”。

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啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫
dahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15

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6 u6 g1 H3 k% N3 z环的定义类似于可交换群，只不过在原有的“+”的基础上又增添另一种运算“·”（注意我们这里所说的 + 与 · 一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。

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抽象代数中，同态是两个代数结构（例如群、环、或者向量空间）之间的保持结构不变的映射。英文的同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。

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在拓扑学中，同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构；也就是说，它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为同胚的，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。

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在抽象代数中，同构指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射。

正式的表述是：同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射，那么这两个结构叫做是同构的。一般来说，如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的。

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在数学中，同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。
8 k5 }3 M$ T$ a) Y' ?
给定两个拓扑空间  et 。考虑两个连续函数 ，若存在一个连续映射  使得


1 c- ^3 k! u2 m8 c5 F  ]8 @6 u$ b" Y
7 \& p' h) F5 w( B. I则称（在Y里）同伦。

5 z. T3 Q$ f- ^& v! f7 [换言之：每个参数t对应到一个函数  ；随着参数值从 0 到 1 变化， 连续地从 变化到

另一种观点是：对每个，函数  定义一条连接  与 的路径：

/ R! e9 B* j3 h9 N" H5 a7 n& H& H
+ N; v% V- E5 t. F& m! E" c6 _例一：取 , ,  及 。则 与  透过下述函数在  中同伦。
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9 ~+ a( B2 M, m% y2 ^; T$ k* Z
（注意到此例子不依赖于变量 x，通常并非如此。）
1 M; p9 `( B7 e4 e  L注：“在Y中同伦”的说法提示一个重点：在例一中若将代为子空间，则虽然 与 仍取值在，但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
- z/ h$ J6 J0 M9 Z8 |例二：取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆； 停在原点。 与  透过下述连续函数同伦：
7 v2 @/ z# y: k* i/ |4 g/ {! W/ A7 k2 I

几何上来看，对每个值，函数描绘一个以原点为圆心，半径 1 − t 的圆。
函数间的同伦是（即从 X 到 Y 全体连续函数的集合）上的等价关系。同伦的初步应用之一，是借由环路的同伦定义何谓单连通。

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