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在数学中,同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。
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给定两个拓扑空间 et 。考虑两个连续函数 ,若存在一个连续映射 使得* b- E w2 m1 q
0 x9 q3 t o2 z+ s) K
1 c- ^3 k! u2 m8 c5 F ]8 @6 u$ b" Y
7 \& p' h) F5 w( B. I则称(在Y里)同伦。5 R/ r6 a3 X9 D V9 y: s; E) H( p
5 z. T3 Q$ f- ^& v! f7 [换言之:每个参数t对应到一个函数 ;随着参数值从 0 到 1 变化, 连续地从 变化到$ s/ B3 H% Q; D6 _, Y$ h
0 t* d7 f! Y+ f" _" ~
另一种观点是:对每个,函数 定义一条连接 与 的路径:& a t. q# l+ c
/ R! e9 B* j3 h9 N" H5 a7 n& H& H
+ N; v% V- E5 t. F& m! E" c6 _例一:取 , , 及 。则 与 透过下述函数在 中同伦。
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9 ~+ a( B2 M, m% y2 ^; T$ k* Z$ s" D% [6 n. `7 s5 x4 U& |
(注意到此例子不依赖于变量 x,通常并非如此。)
1 M; p9 `( B7 e4 e L注:“在Y中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将代为子空间,则虽然 与 仍取值在,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
- z/ h$ J6 J0 M9 Z8 |例二:取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆; 停在原点。 与 透过下述连续函数同伦:
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& T6 t0 I+ ?: G) }; G: S' [
几何上来看,对每个值,函数描绘一个以原点为圆心,半径 1 − t 的圆。& W8 d" ?$ Z! |5 w+ N0 e7 j
函数间的同伦是(即从 X 到 Y 全体连续函数的集合)上的等价关系。同伦的初步应用之一,是借由环路的同伦定义何谓单连通。 |
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