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楼主: dahuludekeai
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葛军,男,秒杀了52万江苏考生。。来做最后两题吧 (转载)

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81#
发表于 15.6.2010 04:07:08 | 只看该作者
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啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫
; Y: {- Z  \" @dahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15
( _' r% p" x! e: D1 w0 v( R# Q: E7 \  r

( m8 s# d* @$ K& T
$ s7 I; F4 A1 _$ v' O( h7 f: ?4 u& K2 Z' h- g# Z! M: @
在抽象代数中,域(Field,或译为体)是一种可进行加、减、乘和除(除了除以零之外)运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。
: Y2 }; E4 o+ l: S3 V/ I4 Y- i& b' B
域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素(除零元素之外)可以进行除法运算,这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。同时,在现代的定义中,域中的元素关于乘法要是可交换的。简单来说,域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体(Körper, corps),或者反称域(skew field)。在比较旧的定义中,除环被称为“域”,而现代意义上的域被称为“交换域”。
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82#
发表于 15.6.2010 04:08:02 | 只看该作者
啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫8 B- }/ w# s+ a5 R' q( Y! t
dahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15
$ ^" a: o$ W' ^

, R- O/ ~4 R4 B5 k: s: x# K: J2 Y& ^6 A& i2 l9 t/ K* j; o
环的定义类似于可交换群,只不过在原有的“+”的基础上又增添另一种运算“·”(注意我们这里所说的 + 与 · 一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法)。在抽象代数中,研究环的分支为环论。
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83#
发表于 15.6.2010 04:08:52 | 只看该作者
抽象代数中,同态是两个代数结构(例如群、环、或者向量空间)之间的保持结构不变的映射。英文的同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。
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84#
发表于 15.6.2010 04:09:16 | 只看该作者
在拓扑学中,同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构;也就是说,它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚,那么这两个空间就称为同胚的,从拓扑学的观点来看,两个空间是相同的。
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85#
发表于 15.6.2010 04:09:48 | 只看该作者
在抽象代数中,同构指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中,同构指的是一个态射,且存在另一个态射,使得两者的复合是一个恒等态射。
1 a0 |0 r1 a3 Q- a. D; e: T, {5 ]0 j" [$ c, |
正式的表述是:同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射,那么这两个结构叫做是同构的。一般来说,如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义,单从结构上讲,同构的对象是完全等价的。
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86#
发表于 15.6.2010 04:10:38 | 只看该作者
在数学中,同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。; H4 G8 c7 K/ O
" \- n8 Q' S3 Y+ B
给定两个拓扑空间  et 。考虑两个连续函数 ,若存在一个连续映射  使得* W1 v) z* k0 x( U; t
) B1 H) f7 j# N8 u5 K
  G4 k7 o1 c- s# d2 M, f  o
+ \' C3 l! ^  |* t! R4 Y. O4 Y
则称(在Y里)同伦。( F9 d& ~% s  \7 n2 f7 _& O

; h/ {, A" N- ]3 ]. H换言之:每个参数t对应到一个函数  ;随着参数值从 0 到 1 变化, 连续地从 变化到, ?. c! H; Y  a. H: w' c
/ u2 |) ]: G5 W" F8 y3 |
另一种观点是:对每个,函数  定义一条连接  与 的路径:
% b. z" I" e& k# [) Z
- ^- P8 d9 ^0 m7 Z5 l: I& L: V5 X# c: T# Z4 G! O* K" n9 Q. l
例一:取 , ,  及 。则 与  透过下述函数在  中同伦。9 Q5 A; [1 N5 M0 }; J: Z

5 T" Y# ~! u& f  w, o& ^6 S: D+ o( `( |0 _$ \2 W0 A! D
(注意到此例子不依赖于变量 x,通常并非如此。). E1 }0 {6 [' V
注:“在Y中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将代为子空间,则虽然 与 仍取值在,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
4 @  s8 P. T1 F( c! G' ~例二:取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆; 停在原点。 与  透过下述连续函数同伦:' u: u8 V5 @3 F6 V7 L9 k

5 y& ~7 o; F- Y
) j/ E/ j- @7 |1 A8 b% z+ X3 }几何上来看,对每个值,函数描绘一个以原点为圆心,半径 1 − t 的圆。) B/ N+ }" d- k: j, M/ f9 G
函数间的同伦是(即从 X 到 Y 全体连续函数的集合)上的等价关系。同伦的初步应用之一,是借由环路的同伦定义何谓单连通。
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87#
发表于 15.6.2010 08:23:48 | 只看该作者
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