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在数学中,同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。0 L, T: r% s( c. A+ \, }% n
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给定两个拓扑空间 et 。考虑两个连续函数 ,若存在一个连续映射 使得
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则称(在Y里)同伦。
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换言之:每个参数t对应到一个函数 ;随着参数值从 0 到 1 变化, 连续地从 变化到
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另一种观点是:对每个,函数 定义一条连接 与 的路径:
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1 A9 B3 O% A2 j" ?例一:取 , , 及 。则 与 透过下述函数在 中同伦。
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2 L, S+ C& A; e- _; y(注意到此例子不依赖于变量 x,通常并非如此。)
; v5 ~1 G/ I3 B. l% [5 {( t注:“在Y中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将代为子空间,则虽然 与 仍取值在,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。/ @4 A4 R% p$ B
例二:取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆; 停在原点。 与 透过下述连续函数同伦:- O, i$ b0 t' @0 I; }+ X
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几何上来看,对每个值,函数描绘一个以原点为圆心,半径 1 − t 的圆。/ x3 K3 T. Q4 g) u
函数间的同伦是(即从 X 到 Y 全体连续函数的集合)上的等价关系。同伦的初步应用之一,是借由环路的同伦定义何谓单连通。 |
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