关于连续统假设

令狐药师

参考文献：Mathematical Thought From Ancient To Modern Times<br />          Morris Kline         Oxford Univ. Press, New York, 1972<br />集合论的创建者Cantor（康托尔，1845-1918）惊人的创造了超限基数与超限序数。对于有限集合来说，基数就是这集合中元素的个数。对于无穷的集合，要引进新的基数。自然数集合的基数用（阿列夫0）表示。集合的基数有时也称为集合的势或集合的蕴度。可列集的基数通常记作（阿列夫0），用a表示。与实数集R1对等的集的基数又称为连续基数或连续势，用c表示。Cantor还定义了两个基数的和、乘积和乘幂，其中a^a=c，c^a=c.诸无限集所具有的基数远非仅仅a与c.<br />下一个便是序数的概念。Cantor抽象地来引进这个概念。一个集合叫做全序的（simply ordered），假如它的任何两个元素都有一个确定的顺序；即若给定m1与m2，则或者是m1前于m2，或者是m2前于m1；记号表示：m1〈m2或m2〈m1.再则，若m1〈m2与m2〈m3，则m1〈m3，即这顺序关系有传递性。一个全序集M的序数是这个集合的顺序的序型。两个全序集称为是相似的，假如它们是一一对应而且保留顺序，即若m1对应于n1，m2对应于n2，而m1〈m2，则必n1〈n2.两个相似的集合叫做有相同的序型或序数。作为全序集的例子，我们可用任一有限数集合并按任何给定的顺序排列。对于有限集，不管其顺序是怎样的，其序数是确定的，并且就用这个集合的基数来表示。正整数集合按它们的自然顺序，其序数用w表示。另一方面，按递减顺序的正整数集合 ……，4，3，2，1 的序数用*w表示。正、负整数与零所成的集合按通常的顺序，其序数为 *w+w.<br />接着Cantor定义序数的加与乘。两个序数的和是第一个全序集的序数加第二个全序集的序数，顺序即按其特殊规定。例如按自然顺序的正整数集合之后随着五个最初的正整数所构成的集合，即1，2，3，……，1，2，3，4，5，其序数为w+5.序数的相等与不相等，也可以很显然地给出定义。<br />现在他引进超限序数的整个集合，这在一方面是基于它本身的价值，另一方面是为了确切地定义较大的超限基数。为了引进这些新的序数，他把全序集限制在良序集（well-ordered）的范围之内。一个全序集叫做良序集，假如它有为首的元素，并且它的每一个子集也有为首的元素。序数与基数都存在着级别。第一级是所有的有限序数：1，2，3，…… 我们用Z1表示上述第一级序数。在第二级的序数是：w，w+1，w+2，……，2w，2w+1，……，3w，3w+1，……，w^2，……，w^3，……，w^n,…… 我们用Z2表示，其中每一个都是基数为（阿列夫0）的集合的序数。<br />Z2，作为上述序数构成的集合，应有一个基数。这个集合是不可列的，从而Cantor引进一个新的基数（阿列夫1）作为集合Z2的基数。接着证明（阿列夫1）为（阿列夫0）的后继的基数。<br />第三级的序数用Z3表示，它们是：Q，Q+1，Q+2，……，Q+Q，…… 这些是良序集中基数为（阿列夫1）的集合的序数。而Z3这个序数的集合的基数大于（阿列夫1），Cantor用（阿列夫2）来表示它的基数。这个序数与基数的级别可以无穷无尽的这样继续下去。<br />1883年，Cantor已经证明，对于给定的任一集合，总可以构造一个新的集合，即所给集合的所有子集构成的集合，使其基数大于所给集合的基数。如果给定集合的基数是（阿列夫0），则其全部子集构成的集合具有基数2^（阿列夫0）.Cantor已经证明2^（阿列夫0）=c，这个c就是连续统的基数。另一方面，他通过序数引进了（阿列夫1），并证明（阿列夫1）是（阿列夫0）的后继者。于是（阿列夫1）〈=c.至于（阿列夫1）=c是否成立，即连续统假设（continuum hypothesis）是否成立，Cantor不管怎样刻苦努力，也不能回答。在1900年的国际数学学会上，Hilbert（希尔伯特）把这个问题列入了著名问题的名单中。<br />这个假设事实上相对于集合论的公理系[即Zermelo-Fraenkel-Cohen（策梅洛-弗伦克尔-科恩，ZFC）公理系]是独立的，要从后者推出前者是不可能的。<br />1940年，在《选择公理和广义连续统假设二者与集合论公理的相容性》（The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory）中，Godel（哥德尔）证明了，连续统假设与ZFC系统（除去选择公理，即Zermelo公理：对于给定的非空且不相交的集合的任何一个总体，总可以在每一集合中选取一个元素，从而构成一个新的集合。）合在一起也是相容的。1963年，斯坦福（Stanford）大学的数学教授Paul J.Cohen证明了，连续统假设对于ZFC系统是独立的；就是说，它是不能以这个系统为基础去证明的。还有，即使把选择公理保留在ZFC系统中，连续统假设也还是不能证明的。这些结果意味着，我们可以随意去构造数学的新系统，在其中这条有争议的公理被否定了。 <br /><br />