在数学中，同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。

给定两个拓扑空间  et 。考虑两个连续函数 ，若存在一个连续映射  使得

9 O  U1 h# R+ I" P6 L7 d+ `/ v6 E
4 U, d* U. k/ A7 w0 |, V
则称（在Y里）同伦。

$ Q; B2 o. R: P* W6 }+ K换言之：每个参数t对应到一个函数  ；随着参数值从 0 到 1 变化， 连续地从 变化到

另一种观点是：对每个，函数  定义一条连接  与 的路径：
0 K8 P( m" g' U& n, Z/ e# I% z

例一：取 , ,  及 。则 与  透过下述函数在  中同伦。


（注意到此例子不依赖于变量 x，通常并非如此。）
注：“在Y中同伦”的说法提示一个重点：在例一中若将代为子空间，则虽然 与 仍取值在，但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
  e! {: R- S1 Q' C0 e9 C例二：取、、 及 . 描绘一个以原点为圆心之单位圆； 停在原点。 与  透过下述连续函数同伦：


$ l1 {: D  v8 o, x( ~: v几何上来看，对每个值，函数描绘一个以原点为圆心，半径 1 − t 的圆。
函数间的同伦是（即从 X 到 Y 全体连续函数的集合）上的等价关系。同伦的初步应用之一，是借由环路的同伦定义何谓单连通。

在抽象代数中，同构指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射。
# I. N' a* g1 P# o: n8 a& x
正式的表述是：同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射，那么这两个结构叫做是同构的。一般来说，如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的。

在拓扑学中，同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构；也就是说，它们是保持给定空间的所有拓扑性质的映射。如果两个空间之间存在同胚，那么这两个空间就称为同胚的，从拓扑学的观点来看，两个空间是相同的。

抽象代数中，同态是两个代数结构（例如群、环、或者向量空间）之间的保持结构不变的映射。英文的同态(homomorphism)来自希腊语:ὁμός (homos)表示"相同"而μορφή (morphe)表示"形态"。注意相似的词根ὅμοιος (homoios)表示"相似"出现在另一个数学概念同胚的英文(homeomorphism)中。

啥叫有理数~~~~~~~~~我也很迷茫
2 {, K9 D; n2 j$ `  G$ F3 Idahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15

1 C! P2 \0 @- ^7 N% [环的定义类似于可交换群，只不过在原有的“+”的基础上又增添另一种运算“·”（注意我们这里所说的 + 与 · 一般不是通常意义下我们所熟知的加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。

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1 e2 |% P8 ^! y- ~4 I0 c4 o: q; |dahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15

3 F& E3 [, y' T7 s. a4 o
) U" r3 B6 |) S9 F/ V7 V

在抽象代数中，域（Field，或译为体）是一种可进行加、减、乘和除（除了除以零之外）运算的代数结构。域的概念是数域以及四则运算的推广。
/ b  @/ ?" X7 t- Q, n4 Z
域是环的一种。域和一般的环的区别在于域要求它的元素（除零元素之外）可以进行除法运算，这等价于说每个非零的元素都要有乘法逆元。同时，在现代的定义中，域中的元素关于乘法要是可交换的。简单来说，域是乘法可交换的除环。乘法非交换的除环则称为体(Körper, corps)，或者反称域(skew field)。在比较旧的定义中，除环被称为“域”，而现代意义上的域被称为“交换域”。

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dahuludekeai 发表于 10.6.2010 23:15

; f7 @: ?9 A( ?' c: F
' A9 K( j/ a3 E; ~& j; i" w有理数域的有限扩张域叫作代数数域，简称为数域。若集合K中至少包含一个数域，且对其中数的加减乘除四则运算是封闭的，则称K为一个数域。

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