德国开元华人社区 开元周游

标题: 大家谈谈数学的重要性吧? [打印本页]
作者: extras    时间: 24.4.2010 19:55
标题: 大家谈谈数学的重要性吧?
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, V1 r$ G) l+ c& \0 k+ e) o- _ : g8 D- B3 s3 y; d

  e/ r: D$ A' ]1 f3 k; @
5 y4 v& q$ s% V8 A数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。6 q& ?) ?1 ?7 I4 G: z' Y" H
4 d' E2 q  s& r( n( i
基础数学的知识与运用总是个人与团体生活中不可或缺的一块。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。# q9 @- A2 y1 H
4 c$ t# ], e8 k" P9 k
从那时开始，其发展便持续不断地有小幅的进展，直至16世纪的文艺复兴时期，因着和新科学发现相作用而生成的数学革新导致了知识的加速，直至今日。. b: D+ y- Q! ]* c

2 L1 E8 e5 s2 L+ ]+ B数学被使用在世界上不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然许多以纯数学开始的研究，之后会发现许多应用。0 E6 x; @# q7 H, D

$ k- v" N! v9 G4 F3 G创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。
- g' T; N5 _1 w5 l# L$ D! ^  G1 u! w$ Q, M. ?3 T2 B
布学派认为，有三种基本的抽象结构：代数结构（群，环，域……），序结构（偏序，全序……），拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）。
作者: extras    时间: 24.4.2010 19:59

5 R9 A2 V( ?! b) z' m; M, O* x+ U( X- e

& _, z$ o6 h! I' u
  ]0 m/ L+ }7 T, v; z2 c1 W$ q) n5 y数学（mathematics；希腊语：μαθηματικά）这一词在西方源自于古希腊语的μάθημα（máthēma），其有学习、学问、科学，以及另外还有个较狭意且技术性的意义－“数学研究”，即使在其语源内。其形容词μαθηματικός（mathēmatikós），意义为和学习有关的或用功的，亦会被用来指数学的。其在英语中表面上的复数形式，及在法语中的表面复数形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数mathematica，由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικά（ta mathēmatiká），此一希腊语被亚里士多德拿来指“万物皆数”的概念。% K& ^- v+ c1 V% z& C; w

5 |+ O& I9 O" p
0 f6 I( t. L6 u" _数学被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικός (mathematikós)意思是“学问的基础”，源于μάθημα (máthema)（“科学，知识，学问”）。
0 j- i5 r' I6 y0 y, c! E/ j2 F! ?8 O* e! j
数学最早用于人们计数、天文、度量甚至是贸易的需要。这些需要可以简单地被概括为数学对结构、空间以及时间的研究。% }5 ~: u3 B( k; Q! c# |
  J/ I  c0 H% z2 ?) J- j3 f" s3 Q
对结构的研究是从数字开始的，首先是从我们称之为初等代数的——自然数和整数以及它们的算术关系式开始的。更深层次的研究是数论。
4 w& s  a$ B3 X  l3 J2 G( }1 X+ t8 F$ a0 b; D* f2 g6 w
对空间的研究则是从几何学开始的，首先是欧几里得几何和类似于三维空间（也适用于多或少维）的三角学。后来产生了非欧几里得几何，在相对论中扮演着重要角色。3 R- i" Q8 r, h. Y% E5 U8 D1 D
" E6 _/ Z' G+ ?
到了16世纪，算术、初等代数及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:03

8 F! M+ p% ^; f4 w
& {7 C1 X. K: x# c: }- B 5 V7 L! Q( [' A2 m( Y: o

# L6 u- G, e) A4 h' p  w3 Y6 {
2 I8 Z1 e8 B5 f. z- K1687年,牛顿的 《自然哲学的数学原理》出版
作者: 笑对人生    时间: 24.4.2010 20:06
读书时数学最差的人飘过~~~~~~~~~~~
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:06

8 N  o1 e. R) L* w % T" y3 L! o" A& g: x5 f* a3 Y
! Z( w0 q6 v4 O/ s  r; e3 Y
  d+ ^8 c. @! x4 f& y" P2 h! j/ U
1900年, 希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作题为《数学问题》的报告。提出了23个著名的数学问题
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:08

1 F  @  ~/ \! b8 j; V" ?3 K' B ' u- `/ h: M" S7 R8 B' m

, ]/ v; p( N$ W& ^' k
* A2 s- \, ]5 I+ s% T6 f9 [ " i5 N3 S8 ~/ h
高斯称数学为“科学之母”。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:12
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:18
" r1 t! m1 t  f; ~# V

' {+ n' E0 K5 `! S- i
$ E8 u$ N2 B+ S  {
. R8 \) h& S: }8 D) w微分几何研究微分流形的性质，是现代数学中一主流；是广义相对论的基础，与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。. s! e0 _: }) U) m4 e* Q) i* K' y

# Q' l, `$ J0 N& t古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。( @7 P: y* d- u  t0 r" \9 }4 F

, L( Z/ W. `7 M3 S; B现代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。
& J" y# w3 ?4 B2 F' d8 I
$ V# @7 a- g; l7 n) m分支7 i/ p  K" d2 }) Z( b
切触几何
, x9 V' A/ Z4 d  }! R1 }这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说，在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式α使得处处非退化。& W* s5 `2 p! p  b

: M) A( R) m$ D/ k  o芬斯勒几何% \: U. {* z+ g) [  q! S5 g+ R' W
芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形，也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。" F6 D, g( \9 U
; o3 c! G5 v- \" X; e4 \* L- h
黎曼几何
$ J) x! ^5 B+ [. J6 M3 J( {7 e( F/ v黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形，他们因此无穷小的看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度，散度，曲线的长度等概念得到了推广；而无须假设空间整体上有这么对称。
2 [, g2 B: H+ U
( F7 _4 O$ }. z+ {辛几何
! g" n9 P* ]6 v5 Z# j这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式（也就是，一个闭的非退化2-形式）的微分流形。
: l* @# M# g1 _2 j: i; k+ q' @  k; K( y) @1 {
信息几何
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:20
- ^; c1 d6 o5 |+ Q/ g, ~5 \
& U3 m1 W8 Y1 t0 J7 L

) J2 R/ g( w: h+ [拓扑学，是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。中文名称起源于希腊语“Τοπολογία”的音译。Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。
, j$ ^: o) T8 ~; X
) S5 c9 H  i# l& Z# P  @分支学科
( i9 I" y0 ?. X4 z. U1 L: u& x/ X点集拓扑学又称为一般拓扑学5 M  e0 [8 W0 ?
代数拓扑学
* v7 `+ `/ ^0 o/ T9 b微分拓扑学/ u$ Y+ Q; b' p2 r9 v
几何拓扑学
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:21
& B7 N5 y: z8 O. u7 f- t
' J; ^7 M2 S: n# Y# R8 `; y
数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。& s% U5 _7 z4 G$ T' x6 ]# H3 l
3 S; [2 y2 u5 s* b, G( s2 ~( P
测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中有所体现的。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:22

1 |2 U3 C1 d# q+ ^/ z4 {4 |- z: z( p3 C4 `# a0 ?
动力系统（dynamical system）是数学上的一个概念。在动力系统中存在一个固定的规则，描述了几何空间中的一个点随时间变化情况。例如描述钟摆晃动、管道中水的流动，或者湖中每年春季鱼类的数量，凡此等等的数学模型都是动力系统。
  L- H3 v( |3 u: f/ M* J# ~/ l6 l5 m( E$ h, e
在动力系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。这组实数也是一种流形的几何空间坐标。动力系统的演化规则是一组函数的固定规则，它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔内，从现在的状态只能演化出一个未来的状态。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:24
4 g, g; N3 o; G' ]9 }' F0 W
4 _; W2 O8 U' C% `$ z0 K' _& g8 l

; b1 R/ n9 P9 E8 y微分方程（这里指的是全微分方程）指含有微分未知数的方程。是解决偏微分方程、数理方程的基础。
7 r  Y0 s) U1 p( Z
, Y  Y2 r2 G  T3 K8 F微分方程是应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如受与速度成比例空气的阻力时的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:25
0 T$ s- L: e( l8 @2 ~8 f

/ ~( C* c2 {6 y8 o+ e- a8 |. G
; B& Y# E0 g% W( w9 p混沌理论（Chaos theory）是在数学和物理学中，研究非线性系统在一定条件下表现出的“混沌”现象的理论。
% M" o* z1 T7 V/ W* [1 S/ G' o9 O0 L3 U; ]( t8 l
1963年美国气象学家爱德华·诺顿·洛伦茨提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了决定系统可能产生随机结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究里有重大的作用。
3 N$ q: g6 {9 J. k! \1 t; d2 T7 ^% ~2 m  e
混沌理论认为在混沌系统中，初始条件十分微小的变化，经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方世界流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说：
( u6 X% V1 I" S9 t
# M* u* A7 S; R" t3 k5 X  r丢失一个钉子， 坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁， 折了一匹战马； 折了一匹战马， 伤了一位骑士； 伤了一位骑士， 输了一场战斗； 输了一场战斗， 亡了一个帝国。  a$ c" X$ w! G& u1 @/ ~* g( Y
2 y$ [* l8 p5 T! L
马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。混沌系统对外界的刺激反应，比非混沌系统快。0 I- ^9 P$ o4 C( a$ b

* w; S7 o! C* R0 t% e布莱德福所发明之定律为书目计量学三大定律，布莱德福以应用地球物理学为例：& E1 v, ]# Y, R. s
2 I/ d2 y& Y5 I' x, E  d
每区的期刊数之比9：59：258 视为10：50：250 等于1：5：25" R$ r' _$ `0 d8 D! e
: o2 S) B6 J; v% Y
所以，推论出其公式为“y=x1+x2+x3...+xn+E”。E 即 error 混沌不明的变因，如同噪声是无法解释的。 文献计量学为何用混沌理论（chaos）？ 布莱德福试图想了解这有没有法则，他研究期刊生产力的分布比例约为1:n:n^2，它分成三区：核心区、相关区、边缘区，不同区期刊数量都是差不多。核心期刊，产出的论文数量，可能一种期刊抵过其他50种期刊。
2 a$ H& k, r" |7 S/ g) P9 }. z9 S1 _8 b5 `8 o1 t
浑沌理论亦可以运用在知识管理上，当可以解释的因素之下，不可解释的便是E，而创造就是在E上面所产生的。知识管理者所求的就是创新，在创新的空间上就是隐性知识，掌握住隐性知识便能够激发一个组织的创造力。
* k6 z# n7 ]$ [; ~
/ u: |" u$ N, \混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学，生物学，信息技术，经济学，工程学，金融学，哲学，物理学，政治学，人口学，心理学和机器人学$ h. g, w" I7 w
6 }6 i. @- `: f$ Y& f& c: k
多种系统的浑沌状态在实验室中得到观察，包括电路，激光，流体的动态，以及机械和电磁装置。) H5 s% m2 s, [
; }9 H  o& e8 E
在自然中进行的有对天气，卫星运动，天体磁场，生态学中的种群增长，神经元中的动作电位和分子振动的观察。4 a1 o/ A6 x+ k: ]2 B
* [7 l+ `2 ^( I4 }! \, F" Z
浑沌理论最成功的应用之一在于生态学中的雷克动态综合模型，在其中显示了受密度制约之下的种群增长如何引致混沌状态。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:27

$ v3 k, n! @5 m- N: @1 f# ^6 q0 Z+ j! ^$ R. e
7 p: T2 R! R; I$ v  ?3 u# t
复分析是研究复函数，特别是亚纯函数和复解析函数的数学理论。这些函数定义在复平面上，其值为复数，而且可微。$ Z! h# ~; K/ q- P/ x8 U! n6 B
4 D+ B" l% Z8 n
复函数的可微性有比实函数的可微性更强的性质。例如：每一个正则函数在其定义域中的每个开圆盘都可以幂级数来表示：
, ~, g3 I. P, y
5 r. A6 q+ N. S。
! h' U+ m( I- i1 Z% `, C$ w2 v! k特别地，全纯函数都是无限次可微的，这性质对实可微函数而言普遍不成立。大部分初等函数（多项式、指数函数、三角函数）都是全纯函数。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:28

1 P( @6 e1 V3 l$ G5 H+ P6 u5 t) u9 S+ ?- R
* L1 J7 J4 t: [/ q) [( u1 Y1 ?  w; m% s% F" W! V" x
分形一般是指“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少会大略）是整体缩小尺寸的形状”，此一性质称为自相似。分形一词是由曼德勃罗于1975年提出的，有“零碎”、“破裂”之意。
6 N5 }% ?# q$ J) I" `& C, \; _! M+ X: n
- ?' z  a5 o% \1 G1 h/ o' |/ m5 `9 g分形一般有以下特质：# u7 r, U! o2 d$ c" ^

) q% H# \4 G4 j在任意小的尺度上都能有精细的结构；: p! K$ i1 p% a: N
太不规则，以至难以传统欧氏几何的语言来描述；* b$ \6 O- k. z/ s- [3 N- Q
（至少是大略或任意地）自相似
/ K; t' q, d+ q+ ]( a7 [* Z4 {2 R豪斯多夫维数会大于拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；8 t8 j2 l3 c( S. F9 u
有着简单的递归定义。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:30
1 ~3 `9 c1 B+ E: L
. D. r" r9 f3 g7 B7 j
数理逻辑是数学的一个分支，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。$ d2 g0 i1 q2 Q# p" x- [& |4 K

8 H* D+ T, S, @0 s- ]0 S数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
+ g! ]7 F9 l4 J) _- l# e; ~9 R" x- }7 @0 C  V
数理逻辑”的名称由皮亚诺（Peano）首先给出，他又称其为符号逻辑。数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。
& K- M& r2 \( H1 [; U# @, P" L5 I* W2 Q* ^! O. R3 ~4 e3 b  b
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。* y: l9 e, J, o( q' f6 j$ E
- u% S  F+ D  S" R- Z
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。! T" D$ f) _( u! |
" x1 \, e! c5 ^1 X( L8 M( i
传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
3 p! k) x; b- a2 J8 {/ h0 F" ^2 D. E7 z' I
数理逻辑的重要著作有哥特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:32
2 ~' x5 g/ o, Z

% G. Y7 s1 w( i4 M; l集合论是一门研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含集合、元素和成员关系等数学中最基本的概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。
; N; m$ E% k% P  k7 z$ p9 J
6 h7 e* o. Q! C在朴素集合论中，集合是被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。
* ~$ k+ h  a! T3 a: H8 n
/ Y0 j5 p7 U, S# d在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:33
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- Z! ?( c, w4 ]0 K4 W" X0 i2 f! W0 {; q, \
向量分析(Vector Analysis)是数学的分支，关心拥有两个维度或以上的向量的多元实分析。它有一套方程式及难题处理技巧，对物理学及工程学特别有帮助。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:35

9 L+ b% n0 n/ D0 f7 S: v( ~# m) h: Z: L) e7 }

3 d, ?- B' j8 {) N" b) b$ r在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。
! F- ?9 x0 r; Y# `. V; f, V! v
群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。线性代数群（linear algebraic groups）和李群（Lie groups）作为群论的分支，在经历了重大的发展之后，已经形成相对独立的研究领域。1 T! Y0 l# D  b- D3 p% ^6 D4 M

9 t- V5 u: L- d* z群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
: t+ Q4 H" A& [, o) o. l
4 t/ x& l' U6 }群论中的重要结果，有限单群分类（classification of finite simple groups）是20世纪数学最重要的结果之一。该定理的证明是集体努力的结果，它的证明出现在1960年和1980年之间出版的超过10,000页的期刊上。
6 D+ i( G# O! t0 [& r7 h' t! |
. l' ^+ ^( d$ R0 ^群论在数学上被广泛地运用，通常以自同构群的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。如果在一类操作中存在不变式，那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。! t9 i  P0 @( F, \! N" c- Y
) @7 \) z* m# ~9 [: }/ |& N
阿贝尔群概括了另外几种抽象集合研究的结构，例如环、域、模。
( R: A8 r' K" F# _( Z5 B3 }! b) }- d* j, U8 H' S
在代数拓扑中，群用于描述拓扑空间转换中不变的性质，例如基本群和透射群。% Y9 ?: G$ W# }/ Q; O

+ j# W; J& M" q李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其结合了群论和分析数学，李群能很好的描述分析数学结构中的对称性。对这类群的分析又叫调和分析。
: h' [5 F; e$ ]) {2 L. B, M5 j" i9 X) j5 o- a
在组合数学中，交换群和群作用常用来简化在某些集合内的元素的计算。
( n" T$ R  N' c+ v' K  N2 u+ W% U2 W" g9 E0 h9 h8 C+ L( O
后来群论广泛应用于各个科学领域。凡是有对称性出现的地方，就会有它的影子，例如物理学的超弦理论。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:37

$ }1 o7 N4 o7 n3 X; f' p3 i! l
  N* p3 o; |2 t
* k- @  w$ T1 a1 f. y- v0 _2 U序理论是研究捕获数学排序的直觉概念的各种二元关系的数学分支。7 l- L0 s! d4 Q& Z9 a  f8 e* x2 s

6 {# a& E) a3 |次序无所不在——至少在数学和相关领域比如计算机科学是这样。你典型遇到的第一个次序是小学数学教育中的自然数的≤次序。这个直觉概念很容易扩展到其他数的集合的排序，比如整数和实数。实际上大于或小于另一个数的概念一般是数系统的基本直觉（尽管你通常还感兴趣于两个数实际的差，它不能由这个次序给出）。排序的另一个非常熟悉的例子是词典中词典次序。6 m% M! M# j0 O1 s

: _; v$ x7 a1 g6 L4 o+ N! f( \, S. Z上述类型的次序有特殊性质: 每个元素都是可以“比较”于另一个元素，就是说，它或者大于、或者小于、或者等于另一个元素。但是，这不总是想要的要求。一个周知的例子是集合的子集排序。如果一个集合 A 包含集合 B 的所有元素，则 B 被称为小于等于 A。然而有些集合不能在这种方式来比较，因为其中每个都包含在其他集合中不存在的某些元素。所以，子集包含是偏次序，对立了前面给出的全次序。" T9 h4 v% b0 C* T" v

3 a; `  T$ I# z5 N序理论在一般性架构下捕获了上述例子引发的直觉次序。这是通过指定关系≤必须是数学上次序的一些性质来完成的。这种更加抽象的方式更有意义，因为你可以从一般性架构推导出各种定理，而不用关心任何特定次序的细节。这种洞察可以容易的转换到很多具体应用中。
) }6 O: S! W5 \% k. r- X7 ~$ n8 C1 |3 Y
由次序的各种实践使用所驱动，已经定义了多个特殊种类的有序集合，其中某些已经发展出自己的数学领域。此外，序理论不限制于各种种类的排序关系，还考虑在它们之间的逼近函数。函数的序理论的性质的一个简单例子来自在数学分析中常见的单调函数。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:38

6 t. k, e7 ^  @1 B! t9 B8 ?4 o) i1 |6 f: [, t7 y) x& U# I

5 L: ^# Q* m0 d" k6 J' S抽象代数作为数学的一门学科，主要研究对象是代数结构，比如群、环、域、模、向量空间和代数。这些代数结构中，有的在19世纪就已经被给出了正式的定义。事实上，对抽象代数的研究是应数学更严格化的要求而发展起来的。对抽象代数的研究还使人们形成了对全部数学和自然科学的基础性逻辑假设（的复杂性）的整体认识，现今，几乎没有那一个数学分支用不到代数学的结论。此外，随着抽象代数的发展，代数学家们发现：明显不同的逻辑结构通过类比可以得到一个很简练的由公理构成的核心。这对深入研究代数的数学家是有益的，并赋予他们更大的本领。8 q6 Z8 u" w2 ^

7 f- A' @6 H- Z- ^) M) ?“抽象代数”这词，是为了与“初等代数”区别开，后者教授公式和代数表达式的运算方法，其中有实数、复数和未知项。20世纪初，抽象代数有时也称为现代代数，近世代数。  d- ?) d: Y: N" T2 J
2 x9 ]# Y( A" }
在泛代数中有时用抽象代数这一称呼，但作者大多简单的称作“代数”。
8 A( N- v" Q* t1 R- `* S5 i8 t4 T
8 d, T. c- m( f3 L4 B* v
3 X8 L5 A8 r" y% e在过去，代数结构通常首先在数学其它学科出现，以公理(axioms)指明后在抽象代数专门研究。正因如此，抽象代数与所有别的数学学科间有许多成果丰硕的联系。
+ u' g' j, ?: ~3 @! w" \$ c8 s3 N. t0 M7 \0 `) w2 D. {4 V
有一个二元运算的代数结构的例子有：
2 O9 Y, {; Y$ X4 ~; J9 j$ g: D5 {- U, k. C4 K8 L7 q, Y+ J# Z, P  ^4 Y
广群，$ |2 q/ u5 p7 X" r% T# F6 P
拟群，
, h% X( u7 x% x幺半群，半群，及最重要的群。+ _6 O1 y2 Y7 f. H) H1 n
更复杂的例子有：
' x- q9 F1 C& U1 i9 I* l8 D& t/ @: S- N$ _" _. H( m
环和域，) x2 x1 S  L3 c: W" l: @  r
模和向量空间，
  L/ r. U7 O* h1 J+ ^结合代数和李代数，
( Y3 ~+ Y) X; f" Q& v& s+ U格和布尔代数。1 h! x: F, E* C% ^% w
在泛代数中，类似的代数结构的定义和结果都收集起来。上述各类对象，连同赋予恰当意思的同态，便构成各个范畴。很多时候范畴论提供了适当的形式语言，令各种代数结构间可以对译和比较。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:40
7 W* \- C& v! w4 |

# Q& |) ^, Z8 ]1 B# h+ B6 u+ _* {图论（graph theory）是数学的一个分支，它以图（graph）为研究对象，研究顶点（vertex）和边（edge，又称line）组成的图形的数学理论和方法。
; D" I; l& ?6 S  H1 ?1 ^
& M& w: S' w2 n& c$ x  g. G图论中的图是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用顶点代表事物，用连接两顶点的边表示相应两个事物间具有这种关系。
7 I' w! {7 }0 L
  ^1 m+ Y3 c+ X$ b图论起源于著名的柯尼斯堡七桥问题。: Q# }+ Z, X6 J- O% P
0 a3 X* e1 [9 `: N  J
图论的研究对象相当于一维的拓扑学。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:41
4 j0 l8 T- Z* Y, K7 f, m

3 m, R' E# X$ b$ Y5 K( Z0 S/ s! [1 r2 H8 u: a& B
密码学（在西欧语文中之源于希腊语kryptós，“隐藏的”，和gráphein，“书写”）是研究如何隐密地传递信息的学科。在现代特别指对信息以及其传输的数学性研究，常被认为是数学和计算机科学的分支，和信息论也密切相关。著名的密码学者Ron Rivest解释道：“密码学是关于如何在敌人存在的环境中通讯”，自工程学的角度，这相当于密码学与纯数学的异同。密码学是信息安全等相关议题，如认证、访问控制的核心。密码学的首要目的是隐藏信息的涵义，并不是隐藏信息的存在。密码学也促进了计算机科学，特别是在于电脑与网络安全所使用的技术，如访问控制与信息的机密性。密码学已被应用在日常生活：包括自动柜员机的芯片卡、电脑使用者存取密码、电子商务等等。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:42
) c: Y. l; Y9 t2 q: a' k

3 L6 n- Z$ Z. {6 G
+ Y  K. y8 {9 V* W7 m: C% [' C7 w7 |1 Y8 j3 B- b' M; c
数学物理是数学和物理学的交叉领域，指应用特定的数学方法来来研究的物理学的某些部分。对应的数学方法也叫数学物理方法。
' t" n1 W' k8 e8 X数学和物理学的发展历史上一直密不可分。数学理论是在物理问题的基础上发展起来的；很多数学方法和工具通常也只在物理学中找到实际应用。  `4 i' C6 Q: ?6 @4 u) U7 n

. H2 ]: R. U# p+ a主要内容2 Y* D, F2 ]) [
, c: k5 n/ M  p& o) L7 R
微分方程的解算：很多物理问题，比如在经典力学和量子力学中求解运动方程，都可以被归结为求解一定边界条件下的微分方程。因此求解微分方程成为数学物理的最重要组成部分。相关的数学工具包括： 7 B9 o$ X/ y) W9 O, G: I/ v
常微分方程的求解
( _3 k, L) \* ?7 |' ^: o偏微分方程求解
% [) V0 l9 u; A7 ?- G- H特殊函数
( h& x; k/ h1 U7 S积分变换2 {1 d+ F3 V0 a. T2 c" l
复变函数论  p7 d6 r" E- v' K, I. I5 N, I
场的研究（场论）：场是现代物理的主要研究对象。电动力学研究电磁场；广义相对论研究引力场；规范场论研究规范场。对不同的场要应用不同的数学工具，包括： * p* g8 U8 ~% G6 l  A" G
矢量分析
! k7 f$ h# n! R  C4 C- ]% j; i2 p( S张量分析  {  [6 T8 G& A% |2 r; t/ l% _' R/ J
微分几何
( l0 E1 ^6 ^& u/ v对称性的研究：对称性是物理中的重要概念。它是守恒律的基础，在晶体学和量子场论中都有重要应用。对称性由对称群或相关的代数结构描述，研究它的数学工具是： 0 z1 D, }$ K4 \' x
群论) {) C6 J, o* B/ c
表示论+ }( h' s  w: _+ F
作用量（action）理论：作用量理论被广泛应用于物理学的各个领域，例如分析力学和路径积分。相关的数学工具包括： ' {+ b8 q$ ^9 q; ?8 t: {
变分法
$ q! L% f. ?/ `8 R  O# ?$ ?& W6 b泛函分析
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:44

1 H) [/ {' t5 F2 f# A  f7 I, N! T! H$ n8 k- T' |
2 T# G4 s  k  `1 I5 O
流体力学是连续介质力学的一门分支，是研究流体（包含气体及液体）现象以及相关力学行为的科学。可按研究对象的运动方式分为流体静力学和流体动力学，还可按应用范围分为水力学，空气动力学等等。理论流体力学的基本方程是纳维-斯托克斯方程，简称N-S方程。& k) m$ c$ b" |: E
9 j; g' z  r) X# m( W
纳维-斯托克斯方程由一些微分方程组成，通常只有通过一些边界条件或者通过数值计算的方式才可以求解。它包含速度, 压强p,密度ρ, 黏度η，和温度T等变量，而这些都是位置(x,y,z) 和时间t的函数。通过质量守恒、能量守恒和动量守恒，以及热力学方程 f(ρ,p,T)和介质的材料性质我们可以确定这些变量。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:46
7 h/ Y: v5 o1 }5 `$ o& r8 D

! y8 R6 {. a1 I数值分析(numerical analysis), 是数学的一个分支, 主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的算法." }* K4 S. ?) Q, ^% e. N( U

8 Z* V0 s/ _) a7 F' D巴比伦石碑 YBC 7289 是关于数值分析的最早数学作品之一, 它给出了  在六十进制下的一个数值逼近.
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:48

4 K8 ^! ^. l6 e9 K4 i
% a* c6 W9 v+ M/ F4 K+ ]最优化，是应用数学的一个分支：
. a9 j, J- @# E0 [4 T) ~3 g
. K* U+ K% Y3 u; ?8 C( k主要分支
* E$ ^, s( P$ O+ P3 D% ~) y8 Y7 q线性规划
+ O' ?( D0 l. x& i/ K5 u当目标函数f是线性函数而且集合A是由线性等式函数和线性不等式函数来确定的， 我们称这一类问题为线性规划
! n: [0 f( F) F4 P& _0 f$ I. Z整数规划
8 \' a7 x' ]+ n8 B( {当线性规划问题的部分或所有的变量局限于整数值时， 我们称这一类问题为整数规划问题3 B1 Z  B% s8 @9 l" i4 O1 [
二次规划1 `* J1 x- o7 S) a( i
目标函数是二次函数，而且集合A必须是由线性等式函数和线性不等式函数来确定的。6 K0 c* A, |: [3 R
非线性规划
' ]8 y$ d0 f- I% ?3 n8 ~8 l研究的是目标函数或是限制函数中含有非线性函数的问题。
& a  q) P9 m% N1 ~& h6 z随机规划
) A) c, J9 ?9 E# M% n研究的是某些变量是随机变量的问题。
/ `/ e6 m4 u; u+ _动态规划
# R; D% r; v) K研究的是最优策略基于将问题分解成若干个较小的子问题的优化问题。
7 ?& E# o4 \; A8 p# Z/ J- K' |组合最优化9 Y# O' _- g% \
研究的是可行解是离散或是可转化为离散的问题。
0 {- A$ T, F% I$ G' @! }  s% {无限维最优化
5 O. i2 \8 b* x& w& F( A研究的是可行解的集合是无限维空间的子集的问题，一个无限维空间的例子是函数空间。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:49
  O9 |1 x: U6 V- q2 {& r9 S

( K: y6 n# W; ~7 W
- b) J) v' t5 N: x& B3 k概率论是研究随机性或不确定性等现象的数学。更精确地说，机率论是用来模拟实验在同一环境下会产生不同结果的情状。典型的随机实验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。* w1 u' {& u; d% H/ g
* F2 S. B$ i& R$ j7 k9 v( C
数学家和精算师认为机率是在0至1之间之闭区间的数字，指定给一发生与失败是随机的“事件”。机率P(A)根据机率公理来指定给事件A。8 ^4 m1 _- K; l

/ }- u8 L8 J) n" u5 W7 t一事件A在一事件B确定发生后会发生的机率称为B给之A的条件机率；其数值为(当P(A)不等于零时)。若B给之A的条件机率和A的机率相同时，则称A和B为独立事件。且A和B的此一关系为对称的，这可以由一同价叙述：“，当A和B为独立事件时。”中看出。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:50
7 k( J8 O2 h8 D/ T6 I( c3 L

9 u6 Y6 W* k9 H$ b. N2 j
! Z5 [) G/ q) j7 w统计学是在统计实践的基础上，自17世纪中叶产生并逐步发展起来的一门社会学科。它是研究如何测定、收集、整理、归纳和分析反映客观现象总体数量的数据，以便给出正确认识的方法论科学，被广泛的应用在各门学科之上，从自然科学和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。% r" Y, q9 y) S! i
  c5 k& M) ~- n2 E/ l* }/ ]
譬如自一组数据中，可以摘要并且描述这份数据的集中和离散情形，这个用法称作为描述统计学。另外，观察者以数据的形态，建立出一个用以解释其随机性和不确定性的数学模型，以之来推论研究中的步骤及母体，这种用法被称做推论统计学。这两种用法都可以被称作为应用统计学。数理统计学则是讨论背后的理论基础的学科。
作者: extras    时间: 24.4.2010 20:51

5 O" \4 P4 W# o: W; E' g
3 f3 }$ E6 {) e6 w1 |! h- k( u( [" r1 B# I! o8 L" y6 D) S
博弈论（Game Theory），有时也称为对策论，或者赛局理论，应用数学的一个分支, 目前在生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。主要研究公式化了的激励结构（游戏或者博弈（Game)）间的相互作用。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。也是运筹学的一个重要学科。 博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。 表面上不同的相互作用可能表现出相似的激励结构(incentive structure)，所以他们是同一个游戏的特例。其中一个有名有趣的应用例子是囚徒困境(Prisoner's dilemma)。# n# `0 z% c$ T5 Z4 c6 M
* n& o- |9 Z8 p; h
具有竞争或对抗性质的行为成为博弈行为。在这类行为中，参加斗争或竞争的各方各自具有不同的目标或利益。为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。比如日常生活中的下棋，打牌等。博弈论就是研究博弈行为中斗争各方是否存在着最合理的行为方案，以及如何找到这个合理的行为方案的数学理论和方法。
/ }# O6 C- M0 P5 ], T! Q
2 ?0 ~0 I/ f9 t# _* q生物学家使用博弈理论来理解和预测演化（论）的某些结果。例如，John Maynard Smith 和George R. Price 在1973年发表于《自然》杂志上的论文中提出的“evolutionarily stable strategy”的这个概念就是使用了博弈理论。还可以参见演化博弈理论（evolutionary game theory）和行为生态学（behavioral ecology）。6 L& x6 D1 h6 f
0 X/ t! C: f% q3 A4 y% m, a1 z
博弈论也应用于数学的其他分支，如概率，统计和线性规划等。
作者: styler    时间: 24.4.2010 21:55
回复 5# extras
# H" M9 n, x/ p* @: e# T, y. S1 r; F, V& x. K

% ^; [8 k* \$ t/ U5 v) i. w    orz，1900年数学大会了解，不过没想到希尔伯特还有这样的照片~~
作者: miaomiaotian    时间: 24.4.2010 22:13
楼主是学数学的,俺是学数学的可毕业没干数学这行.
作者: miaomiaotian    时间: 24.4.2010 22:27
TU 的数学很难,LMU的经济数学经济类很难,别的学校我不清楚.学经济数学的一般会在保险和银行工作.我在IT领域上班,搞数据库.
作者: dahuludekeai    时间: 24.4.2010 23:12
瞻仰数学强人，膜拜~~~~
作者: sagenfreiheit    时间: 24.4.2010 23:45
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者: 慕尼黑求租    时间: 24.4.2010 23:48
楼上为什么老写空格体？
& K9 ~" P: J( M0 o  z( B
# G& r; ?6 q5 X) V! p9 z顺便膜拜下兰州
作者: pingning    时间: 25.4.2010 03:30
用处很大' `6 q, d. G, D
要看用在哪里了
作者: Marsliang    时间: 25.4.2010 07:50
回复 16# extras ( ]9 j5 {0 Y9 [; G! u
$ ?* w$ G2 x* P

! H* |& z- v% H% \# b, K    amazing.
作者: 寿司设计师    时间: 25.4.2010 09:35
楼主说得有道理~~数学很重要，有次客人买东西，我不太熟悉收银机，就用心算的，结果赔钱卖了
作者: dahuludekeai    时间: 25.4.2010 10:11
楼主说得有道理~~数学很重要，有次客人买东西，我不太熟悉收银机，就用心算的，结果赔钱卖了 ...
& s( Q- y7 Z; k5 x0 N寿司设计师 发表于 25.4.2010 10:35

0 Q2 V- k7 q+ C) l4 N+ Z8 s  m/ l% g, i# w$ ?+ F( B

# k9 W8 s) q% F    pat pat, 练一练就好啦，表伤心~~~~~
作者: haisipi1    时间: 25.4.2010 12:30
数学重要的 楼主我顶你
作者: extras    时间: 25.4.2010 12:37
楼主说得有道理~~数学很重要，有次客人买东西，我不太熟悉收银机，就用心算的，结果赔钱卖了 ...
1 w" g9 [0 d; b# ?, |( R: @寿司设计师 发表于 25.4.2010 10:35
8 r+ |& M+ w" S

$ v9 q6 k. Z7 ?& v+ O9 ?! K8 ~7 |; U+ K
   
作者: yellowbee    时间: 25.4.2010 12:55
数学是锻炼大脑的体操
作者: muhaha    时间: 25.4.2010 14:30
高中奥数的时候，那个每年都指导N个大牛进国家队的老师说他做数学几十年了也就懂了数学的10%左右，然后我就毅然放弃数学了。。。
作者: 迷糊小猪    时间: 25.4.2010 15:15
第一页拉过，就头晕了～看LZ这么辛苦的份上，帮顶一个～
: G/ G; n5 a+ \, N; F0 O' @* \/ A! z, K4 v( J
数学最重要的就是生活中的计算问题，算数好就行～
作者: yangz    时间: 25.4.2010 15:28
数学~是人类开发自身大脑潜能的最好工具' _3 U( [; I& T; P) S0 K+ V
是人类玩弄自身智力的最佳途径
作者: jennyjou    时间: 25.4.2010 16:08
这辈子第一大憾事就是数学没学好，从小底子就不行，感觉欠缺了很多
作者: 8284940    时间: 25.4.2010 16:18
慕尼黑百年不遇的学术贴？
作者: extras    时间: 25.4.2010 16:29
慕尼黑百年不遇的学术贴？
2 Z% a6 D# |+ N; x3 v  O' ]8284940 发表于 25.4.2010 17:18
1 T3 E* F" w7 y# j
( p4 c! P; U/ p. t& b7 t

" C0 \' k9 N+ A. Y* o: V' }) f    [attach]340507[/attach]
作者: 8284940    时间: 25.4.2010 16:35
作者: 囧囧    时间: 25.4.2010 18:34
学术贴～～好孩子哇
作者: einfisch    时间: 25.4.2010 19:05
...俺是数学白痴
; f7 j. Z. u" v2 c.....
作者: miaomiaotian    时间: 25.4.2010 21:38
慕尼黑学数学的中国人多吗?# `  X5 V0 H( @2 W
extras 发表于 25.4.2010 20:45

1 w. \* r3 c" u- b; H3 G
) M: A* l' ~8 z$ j0 P/ h4 b: E& R( Q3 D) [: m( J" ^
    不少每学期都有10/20人在LMU注册.
作者: 8284940    时间: 26.4.2010 09:04
回复 56# extras ' j* w1 R% o* I% z. ^
' `- r& X: s: a! d4 _7 q
大城市的大学都差不多吧~~~
作者: 橙色温暧    时间: 26.4.2010 09:06
太高深了。。。。我的数学学得一踏糊涂。。。。
作者: yinmimi    时间: 27.4.2010 13:49
数学系毕业的女生飘过
作者: miaomiaotian    时间: 27.4.2010 16:07
那好多啊!!1 e9 A+ T) q. E7 G& c) m

# X' G( U& F* Y+ \- @' d柏林这里只有读经济数学的中国人.! A. l$ G& o+ N2 j; o, @0 K* ^& p
$ M. \9 @  Q( V# a
读纯数学和 技术数学的 中国人几乎没有!! ...
& p" [6 y5 ]' oextras 发表于 26.4.2010 20:09
' K9 A: t, c" f% w% ?
LMU 总数为10/20 人，一大部分为经济数学，少数纯数学。
作者: 令狐药师    时间: 27.4.2010 23:41
三大数学流派，为何楼主只提希尔伯特的形式主义？
作者: yabei    时间: 28.4.2010 19:23
看来LZ是要正坛风啊



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