德国开元华人社区开元周游

标题: Math Changed My Life [打印本页]

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:37
发信人: springer (emmy), 信区: math 标题: Math Changed My Life (ZZ) 发信站: 饮水思源 (2003年09月18日19:45:47 星期四) The following is from bbs.pku.edu.cn. I collected all the 25 papers into one. Hope it would be interesting to the readers in SJTU. 发信人: mingzi (单身汉), 信区: Mathematics 标题: Math changed My Life-连载（序） 发信站: 北大未名站 (2003年09月16日17:18:22 星期二) , 站内信件 【原文由 Taubes 所发表】 Math changed My Life-连载（序）By Taubes 数学既是一门充满迷人魅力的纯粹的基础科学，同时也在工程和其他自然科学中起着 重要的作用。近几十年来数学更是取得了重大的进展，数学在公众日常生活中的影响也越 来越大。 1995年Wiles证明Fermat大定理，其影响可与DNA的发现相媲美。 1999年美国商人Clay夫妇出资数千万美元创立Clay数学研究所，并以每题100万美金 悬赏7道数学史上的著名难题。 2001年8月23日，挪威总理宣布挪威政府出资2千2百万美元设立Abel数学奖，从2002年 也就是天才数学家Able出生200周年开始颁奖。奖金与Nobel奖不相上下。 。。。 这些都预示着数学必将在21世纪对人类生活产生更大的影响。 本人原是混合班计算机系，在数学系已呆了3年，对数学及其应用也有了许多认识，鉴 于近十年来数学的进展也许并不为大多数人所知，所以我的连载文章定位主要是近10年来 数学上鲜为人知的重大进展。限于水平，错漏在所难免，望不吝指正。 希望通过这些文章，和大家更多的交流数学，树立起对数学重要性的认识，增强大家努 力学好数学的信心。也希望在自己剩下不多的研究生阶段能够为Math版留下些什么。 我特别想说的是，以前自己的理想就是靠计算机找个好工作。是数学彻底改变了我的 人生，让我认识到靠编程赚钱其实是浪费青春，人生完全应该有更高更美好的追求，正是 这几年数学系的学习经历让我感受到科学的博大精深，让我从小就崇拜的大科学家们离我 不再遥远... 我要感谢数学系许多教授和同学对我的帮助和照顾。尤其要感谢一位数学系的女生， 感谢她许多年来给我的巨大勇气和动力。我要对她说，你在我眼中永远是最优秀的。 我也把这些连载文章献给她。

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:38
Math Changed My Life-连载（一） Andres Beal是Texas州Dallas的一位银行家，他是一位业余的数论爱好者。曾经花很 多时间思考过如Fermat大定理这样的数论问题，并且一直坚信存在着一种比较简单的证明 方法，据说他至今还在努力。 让数学家感兴趣的是，他提出了一个猜测，如果A^x+<img src='style_emoticons/<#EMO_DIR#>/beer_yum.gif' border='0' style='vertical-align:middle' alt='beer_yum.gif' />y=C^z,那么A,B,C有大于1的公 因子，这里x,y,z是大于2的正整数。 据说Beal先生已经花了很大的精力在研究这个问题上了。这个问题至今还是一个Open

roblem。Beal为了鼓励数学家解决这个问题，于1997年悬赏$5,000，并许诺这个数字每 年增加$5,000，直到$50,000。 这个奖的评审委员会由Charles Fefferman,Ron Graham和Daniel Mauldin组成， Fefferman是1978年的Fields奖得主。 显然Fermat大定理只是Beal猜测的一个特例。两者的另一个类似的地方是，1908年时一 位德国物理和业余数学家Wolfskehl在遗嘱中悬赏征求Fermat大定理的证明。Wolfskehl奖 极大的提升了Fermat大定理的声誉，吸引了许多职业和业余的数学家投身其中。 从数论学家的角度来看，Beal提出的问题是一种Diophantine方程，这是现代数学的一 个主流的研究方向，在这里代数几何与代数数论得到了完美的结合。类似的问题还有很多 ，如1980年提出的"abc conjecture",以及著名的Fermat-Catalan猜测等。 下面这2个网站有关于Beal猜测的详细介绍。 <a href='http://www.math.unt.edu/~mauldin/beal.html' target='_blank'>http://www.math.unt.edu/~mauldin/beal.html</a> <a href='http://www.ams.org/notices/199711/beal.pdf' target='_blank'>http://www.ams.org/notices/199711/beal.pdf</a>

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:38
Math Changed My Life-连载（二） 1999年秋季的时候，先是Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond 和Richard Taylor宣布完全证明了Shimura-Taniyama-Weil猜测，接着Michael Harris和 Richard Taylor宣布证明了局部Langlands猜测。 这是数论学界的两件大事，STW猜测的完全证明是20世纪数学的一项重大成就。局部L anglands猜测的解决也被认为在代数数论中具有里程碑式的意义。Taylor在协助他的老师 Wiles证明Fermat大定理而声誉鹊起后，再一次让整个数学界为之瞩目。不过奇怪的是Tay lor在2002年Fields奖的评选中第一轮就被淘汰。 STW猜测是由于Shimura,Taniyama两位日本数学家和法国大数学家Weil的工作于1950年 左右形成的，是说有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个猜测沟通了椭圆曲线和模形式 这两个看似非常不同的重要数学分支之间的紧密联系。 后来Kenneth Ribet在继承Gerhard Frey,Jean-Pierre Serre等人工作的基础上，证明 了STW猜测如果成立，那么Fermat大定理也成立。Wiles正是沿着这条路证明Fermat大定理 的，他其实只证明了椭圆曲线是半稳定的情形，STW猜测成立，但是这对于证明Fermat大定 理已经足够了。 虽然Fermat大定理的知名度比STW猜测高得多，但是从数论研究角度来说，STW猜测却 更加重要。因为STW猜测在椭圆曲线理论中占有核心的地位。同时Wiles等人的工作中诞生 的新理论在旨在统一整个数学的Langlands纲领中也开始发挥重要作用。 下面再说一点局部Langlands猜测，这个猜测是初等数论中Gauss二次互反律在更一般 情形下的推广，是加拿大数学家，Wolf奖得主Langlands在1960年给出的。 附1：Fermat大定理证明最重要的3篇文章 "On modular representations of Gal(Q-bar/Q) arising from modular forms", by Kenneth Ribet; Inventiones Mathematicae 100 (1990), pages 431-476. 这篇文章证明了Taniyama-Shimura-Weil猜测蕴含Fermat大定理 "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem," by Andrew Wiles; Annals of Mathematics, Volume 141 (1995), pages 443-551. 这篇文章Wiles证明了TSW猜测在半稳定椭圆曲线的情形，Fermat大定理是当然的副产品。 "Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras", by Richard Taylor and A ndrew Wiles; Annals of Mathematics, Volume 142 (1995), pages 553-572. 这篇文章是Wiles和他的学生Taylor合作的，弥补了1993年发现的上一篇文章里的一个漏洞 。 附2：下面2篇文章通俗的介绍了STW猜测和局部Langlands猜测的历史和证明 <a href='http://www.ams.org/notices/199911/comm-darmon.pdf' target='_blank'>http://www.ams.org/notices/199911/comm-darmon.pdf</a> <a href='http://www.ams.org/notices/200001/comm-rogawski.pdf' target='_blank'>http://www.ams.org/notices/200001/comm-rogawski.pdf</a>

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:38
Math Changed My Life-连载（三） 这篇的内容是有关3体问题的。 首先考虑宇宙中2个星体互相作用，牛顿根据万有引力定律和Kepler运动定律解决了2 体运动问题。记X=X1-X2，即2个星体的位移的差，必是如下的Kepler问题的解 2 2 d x/dt = -kx/|x|^3 其中Kepler常数k等于两个星体质量之和。 情形1，若两个星体相比，一个质量可以忽略，则质量小的那个星体 必绕着质量大的星体作轨道是圆锥曲线的运动，质量大的星 体位于这条圆锥曲线的一个焦点上。 情形2，若两个星体质量相当，则它们分别作轨道是圆锥曲线的运动， 其中这两个星体的质心是它们运动轨道的公共焦点。 对于一般的N体运动问题，等价于解一个2阶的，有2N个方程的常微分方程组，法国大数 学家Poincare证明了，这个方程组对于N >2的情形不能求出一般解。可见一般的多体问题 的复杂性。 多体问题一直是数学和天文学研究的热点。尤其是人们对于3体问题已经有了许多好的 结论。对于3体问题的周期解，有以下经典结论 1）Euler在1765年证明了对于任意质量的3个星体，存在一类运动模式，它们各自作椭圆轨 道 运动，在任意时刻，它们保持共线。 2）Lagrange在1772年证明了对于任意质量的3个星体，存在一类运动模式，3个星体各自作 椭圆轨道运动，在任意时刻，它们都构成一个等边三角形。 3）19世纪的美国数学家G.W.Hill在给出了地球-月亮-太阳的运动模型，即地球和月亮绕着 它 们的质心作近圆周运动，而它俩的质心又和太阳一起绕着3个星体的公共质心作近圆周 运动。 美国加州Santa Cruz分校的数学教授Richard Montgomery和法国数学家Alain Chencin er合作在2000年11月的Annal of Math上发表了一篇文章，严格证明了3个等质量星体的运 动存在一种∞形状的新的运动模式。他们的证明用到了拓扑学里的一些复杂的技巧。 Minnesota大学数学教授Richard Moeckel在1988年就预测过∞轨道的存在性。后来新墨 西哥大学计算机系Cristopher Moore在1993年通过计算机的数值方法经验的发现了这一结 论，但缺少严格的证明。 计算机数值方法在多体问题研究中起了很大的作用，Moore，Simo,以及Joseph Gerver 等是代表人物。他们对一般的N体运动轨道也做出了许多预测。 附录 <a href='http://www.ams.org/new-in-math/cover/orbits1.html' target='_blank'>http://www.ams.org/new-in-math/cover/orbits1.html</a> <a href='http://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf' target='_blank'>http://www.ams.org/notices/200105/fea-montgomery.pdf</a>

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:39
Math Changed My Life-连载（四） 这篇介绍量子计算与著名的Peter Shor算法的。 1964年时Intel公司的创建人之一，半导体工程师Gordon Moore提出了现在被称为“M oore's Law”的著名论断，即硅电路板的集成密度 比特/平方英寸=2^(t-1962)，t是年份。事实证明Moore定律是基本正确的。虽然现在计算 机芯片以及主板的电路集成度还在飞速增长，但是可以预见的是，按现在的发展速度到20 20年，一个字节的信息将只需要一个原子来表示。但是那时候主宰计算机芯片运作的将是 量子物理，而不是现在的经典物理学。 所以很自然的人们开始研究在量子状态下计算机芯片的计算能力。量子计算机的基本 存储单元是量子比特，每个量子比特的状态是0和1的叠加，它可以同时操作0和1两个值， 这和经典计算机的每一位上的0或1单值性有很大不同，这也使得量子计算机的计算速度大 大提高。 Peter Shor是美国AT&T实验室的高级研究人员，他生于1959年，在加州理工获数学学 士学位，后来在MIT获应用数学博士学位，在Berkeley高等数学研究所从事过一年的博士后 研究。由于他在量子计算理论上的杰出贡献，使他获得过1999年的Godel奖，1998年的Nev anlinna奖以及1999年的MacArthur奖金，他也刚刚当选为美国国家科学院院士。特别是Ne vanlinna奖，每四年在国际数学家大会上颁发一次，奖励在理论计算机科学方面做出巨大 贡献的一位科学家。Nevanlinna奖是公认的理论计算机科学的最高奖，比图灵奖更具权威 性。 Shor在量子计算理论方面有很多好的工作，最著名的就是他给出的在量子计算机上大 数质因子分解的多项式复杂度的算法，而在经典计算机上，质因数分解目前最好的算法也 是指数复杂度的。这就对当前的密码信息安全提出了挑战，由于目前广泛应用于电子签名 ，信用卡密码的"RSA"密钥体制的基本的依赖原则就是“大数不可分解原则“。所以量子计 算机一旦出现，将对现有的信息安全构成重大的威胁。但另一方面，密码学家们也注意到 了这样一个事实,"quantum information cannot be measured without disrupting it"。 所以可以编制一种保护量子信息传送安全的软件，当有人试图窃取量子信息时，可以发出 警报，同时切断信息传输。 量子计算机研究目前还停留在理论阶段。数学在其中有着非常大的应用潜力。 附录： <a href='http://www.msnbc.com/news/269473.asp' target='_blank'>http://www.msnbc.com/news/269473.asp</a> <a href='http://www.imsa.edu/~matth/cs299/node1.html' target='_blank'>http://www.imsa.edu/~matth/cs299/node1.html</a>

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:39
Math Changed My Life-连载（五） 数学是所有工科的基础，要想在工程科学上真正严谨的作学问，必须有一个扎实的数 学功底。比如计算机科学中，离散数学就是它的精髓。 下面向大家介绍几位学数学出身或者本身就是数学家的计算机图灵奖得主以及他们的 主要成就。 1986年获奖的Robert E.Tarjan，在加州理工获数学学士学位，后来在Stanford取得计 算机和数学博士学位。现在是Princeton计算机系教授，主要研究图论，算法和数据结构设 计。他发现了判断一个图是否为平面图的线性时间复杂度的算法，在数据库软件，电路设 计， 航空线路图优化等领域有广泛应用。Tarjan也是1982年首届Nevalinna奖得主。 1972年获奖的Edsger W.Dijkstra，在祖国荷兰获数学和物理学学士，理论物理博士学 位。在他2000年退休前一直是美国Taxas大学的计算机科学和数学教授。发现了以他名字命 名的图论中的最短路径算法。但他获得图灵奖的主要原因却是发明了ALGOL这一第二代编程 语言。 1985年获奖的Richard M.Karp，在Harvard大学获应用数学博士学位。现在是Washing ton大学计算机系教授。最重要的论文是1972年发表的"Reducibility Among Combinatori al Problems"。他在并行算法，组合优化问题的概率分析方面颇有建树。现在的研究方向 是人类基因测序和基因数据表达。他也是美国国家科学院院士，获得过美国国家科学奖。 1974年获奖的Donald E. Knuth，在加州理工获数学博士，退休前是Standford大学计 算机系教授。发明数学排版软件TeX，现在正在撰写巨著 The Art of Computer Programm ing，已出版3卷。 1983年获奖的Dennis M.Ritchie，在Harvard大学获应用数学博士学位。毕业后加入B ell实验室，参与发明了Unix操作系统，发明了C,C++编程语言。 1989年获奖的William V.Kahan是加州Berkeley分校的数学教授。他因为在数值计算， 特别是浮点运算方面的贡献而获奖，有人评价他是"dedicated himself to make the wor ld safe for numerical computations." 1987年获奖的John Cocke，在Duke大学获数学博士学位。毕业后进入IBM公司工作，同 时也在MIT和NYU的Courant研究所做过客座教授。主要贡献是发明了RISC（reduced instr uction set computers），大大改善了芯片的性能。 1969年获奖的Marvin Minsky，在Harvard获数学学士，在Princeton获数学硕士，后在 MIT任数学和计算机教授。主要贡献是人工智能。 1971年获奖的John McCarthy，在加州理工获数学学士，在Princeton获数学博士学位 。人工智能大师，Lisp语言发明人。 1970年获奖的John Hardy Wilkinson，16岁入Rochester大学数学系学习，后在剑桥大 学获博士学位。主要贡献是数值计算和"backward"误差分析。 1968年获奖的Richard Hamming，在UIUC获数学博士学位，博士论文题目是“线性微分 方程中的边值问题”。在数值分析，概率统计，编码理论上有卓越 建树。 附录： <a href='http://www.cs.wlu.edu/~whaleyt/classes/313/Turing/' target='_blank'>http://www.cs.wlu.edu/~whaleyt/classes/313/Turing/</a>

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:39
Math Changed My Life-连载（六） 这篇介绍3维拓扑学里的著名难题，Open了98年的Poincare猜测。本文主要参考了Mil nor的一篇文章和Massey的代数拓扑教材。 1904年，当时世界上最具权威的数学家，同时也是法国有史以来最伟大的数学家Henr i Poincare在研究拓扑流形基本群的时候提出了一个猜测，是否每个3维的紧致无边的单连 通流形必同胚于3维球面。这就是现在纯粹数学领域最著名的未解难题之一的Poincare猜测 。 要知道在Poincare的年代，流形研究才刚刚起步，流形的很多基本问题，甚至有些概 念都还不十分清楚。那时Poincare可以说是单抢匹马的在搞流形拓扑学研究，主要工具就 是他自己开创的同调群和基本群，因此Poincare是公认的代数拓扑的开山鼻祖。 早在1901年的时候，Poincare就提出过一个有关流形拓扑的猜测，每个可单纯剖分的 流形若具有和n维球面同样的同调群，则它必同胚于n维球面。后来在1904年的时候Poinca re自己给出了一个反例，M^3=SO(3)/I^60。其中M^3的基本群的阶数是120。 1934年，代数拓扑学大师Whitehead在研究Poincare猜测的过程中提出一个命题，是否 每个可缩的3维非紧致拓扑流形必同胚于欧氏空间。不久，Whitehead从Poincare的文章中 获得启发，给出了一个反例，推翻了以上命题。他的工作还是大大推进了人们对流形拓扑 学的认识。 对于4维以上的流形，Poincare的问题很容易看出不对，比如S^2*S^2和S^4不同胚。但 是我们有对应的广义Poincare猜测，即和n维球面同伦等价的n维紧致流形必同胚于n维球面 。 n=3时广义Poincare猜测和经典Poincare猜测等价。 n>4的广义Poincare猜测被Smale在1960年证明。 n=4的广义Poincare猜测被Freedman在1982年的文章中证明。 20世纪五，六十年代是流形拓扑的黄金时期。这从那时候的Fields奖得主就可以看出 来。人们发现5维以上流形的拓扑比较简单，原因就在于2维圆盘到5维以上流形的映射像总 是可以做到是不自相交的。这个就使得基本群的使用相对简单。 3维流形在近代的突破性贡献是Thurston作出的，Thurston有一个关于3维流形分类的 著名猜测是说，每个3维流形都可以沿着2维球面和环面进行本质上唯一的切割，从而分成 具有简单几何结构的几何片。这些几何片必是8种具有双曲度量的3维流形之一。 Poincare猜测只是Thurston猜测的一个特例。 // 考大家一个小问题，本文中共提到了几位Fields奖得主？

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:39
Math Changed My Life-连载（七） 人只不过是一根芦苇，是自然界最脆弱的东西，但他是一根有思想的芦苇。 ---帕斯卡(1623-1662) 数学是科学的皇后，她为人类文明的进步做出了巨大的贡献。也许数学家从事的职业 在常人看来是很枯燥和生涩的，但有幸沉浸在数学的美妙王国里，真的是莫大的幸福。 本篇介绍几位从其他学科领域转而研究数学，并取得巨大成功的数学家。 Raoul Bott,(1923-) 匈牙利裔的美国数学家，本科和硕士在McGill大学读工程，在C arnegie Mellon大学获应用数学博士学位。后来在Princeton高等研究所开始纯粹数学研究 ，在拓扑学，微分几何，Lie群，数学物理等领域做出了重大贡献。他从1959年开始在Har vard任教授，直到1999年退休。Bott获得过2000年的以色列Wolf奖，1990年美国 教授，直到1999年退休。Bott获得过2000年的以色列Wolf奖，1990年美国数学会Steel终身 成就奖，1987年的美国国家科学奖和1964年的微分几何最高奖Veblen奖。他还是美国国家 科学院的院士。 William Paul Thurston,(1946-) 本科是读生物的，后来去UC.Berkeley跟着Hirsch 和Smale学拓扑，因为在2，3维流形拓扑学上的开创性工作荣获1982年的国际数学最高奖F ields奖。他是美国国家科学院院士，获得过1976年的Veblen奖。 Edward Witten,(1951-) 本科在Brandis大学读历史和经济，后在Princeton获得物理 学博士学位。他借助物理学的直观和自身扎实的数学功底，在代数几何，低维拓扑等纯粹 数学领域做出了许多大胆的猜测，推动了这些领域的大发展。同时他在弦论，广义相对论 ，量子论，高能物理等领域也做出了许多贡献。是目前国际上数学物理领域的绝对权威。 他获得过1990年的Fields奖，1986年的国际理论物理研究中心Dirac奖，1998年的美国物理 学会Heineman奖等众多数学和理论物理的国际大奖。他是美国国家科学院院士，两次被邀 请在国际数学家大会上作1小时的全会报告(1986和2002)。 另外，像美国哥伦比亚大学数学教授张寿武本科是中山大学化学系的。他在1998年柏 林的国际数学家大会上作过45分钟报告。由于在算术代数几何上的卓越成就，他还是2002 年Fields奖的候选人。 这样的例子还有很多，欢迎大家补充：）

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:40
Math Changed My Life-连载（八） "The mere enumeration of Grothendieck's best known contributions is o verwhelming, it is difficult to imagine that they all sprang from a single m ind." 这篇介绍一位极具传奇色彩的数学Fields奖得主Alexander Grothendieck。 Grothendieck，1928年出生于德国柏林的一个犹太人家庭。他的父亲在二战时被纳粹 杀害。战争结束后，Grothendieck去法国学习数学，先后师从Bourbaki学派的分析大师Di eudonne和著名的泛函分析大师Laurent Schwartz,20几岁时Grothendieck就成为当时研究 很热的拓扑向量空间理论的权威了。 但是1957开始，Grothendieck的研究主要转向了代数几何和同调代数，1959年他成为 了刚成立的巴黎高等科学研究所的主席。他的工作把Leray,Serre等人的代数几何的同调方 法和层论发展到了一个崭新的高度。他创立的Scheme理论奠定了现代代数几何的基础。由 于他的许多开创性的工作，使得代数几何这个古老的数学分支焕发出了新的活力，最终导 致Deligne完全证明了Weil猜测，这被认为是20世纪纯粹数学最重大的成就之一。由于Gro thendieck的领导，那段时期巴黎高等研究所是公认的世界代数几何研究中心，他也为此获 得了1966年国际数学最高奖Fields奖。 可能由于他年少时的战时经历，Grothendieck是一个激进的和平主义者，他可以为了 战争而放弃自己从事的数学研究。越战期间，他在河内的森林里为当地的学者讲授范畴论 。1970年，只有42岁，正值研究顶峰的的他彻底放弃了数学，也离开了巴黎高等研究所。 后来在法国的Montpellier大学教书，直到60岁退休。他还说过要去欧洲西南部的比利牛斯 山做个隐居的佛教徒。 1988年正值他60大寿时，Grothendieck出人意料的谢绝了瑞典皇家科学院的向他颁发 的Crafoord奖和25万美元的奖金。理由是他认为应该把这些钱花在年轻有为的数学家身上 。 尽管Grothendieck已经远离学术圈很久了，但他依然是公认的现代最伟大和最有影响 力的数学家之一。他创立的现代代数几何博大精深的理论体系所带来的巨大变革，在几乎 所有的核心数学分支中都能感受到。 翻开任何一本现代代数几何教材或专著，都会频繁的看到如Groth. topology Groth. cohomology，Groth. ring 等名词。每当这时，我都会想起Grothendieck， 这位最令我钦佩的大数学家，也许他此刻正默默无闻的生活在欧洲哪个很小的城镇里，但 他留给人类的巨大财富无疑将永载史册！ 向20世纪最伟大的代数几何学家Grothendieck致敬！

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:40
Math Changed My Life-连载（九） “对于这些“纯粹”数学家来说,物质世界仅仅是幻象,只有精神世界才是永恒的。 他们只需要一支铅笔、几张白纸,就可以凭着自己聪明的头脑, 在纯粹数学的象牙塔中雕镂 出一个辉煌的天地。” 这篇补充一点有关Grothendieck的故事，呵呵，非常感谢Redfx的建议。以下主要参考 了北大数学论坛上的几篇文章。 六十年代是一个颇不安分的年代。这个时候的青年学生崇拜的偶像是毛泽东和切&#82 26;格瓦拉。他们会戴着红袖箍,抬着格瓦拉的像,走上街头同荷枪实弹的军警对垒。这个时 候的大学教授,似乎由于和学生接触比较多的缘故,也不太听话。比如美国数学家、1966年 Fields奖得主S•Smale就曾多次公开抨击美苏的霸权主义政策。因为这,他受到了CI A的“关照”。而1966年莫斯科国际数学家大会期间,克格勃干脆把他“请”到了一辆小汽 车里呆了一段时间。不过和Grothendieck比起来,Smale的所作所为倒还不算太出格。 Bourbaki是三十年代时由一批法国青年数学家建立的学派。它的首批成员都毕业于高等 师范学校(Ecole Normale Supérieure)，包括A.Weil、H.Cartan、J.Dieudonné、C.Che valley、J.Delsarte等人。Grothendieck加入这个学派的时候,正值它的全盛时期。当时的 Bourbaki学派除了老一辈的大师外,还有L.Schwartz、J.-P.Serre这样才华横溢的青年。在 这里,Grothendieck接触到了数学的前沿,进而成长为新一代数学家中的佼佼者。 Grothendieck起初研究泛函分析,他深刻地改变了这门学科的面貌。Dieudonné称Gro thendieck的工作和S.Banach的工作一样,在泛函分析中留下了最强的印记。不过,Grothen dieck最重要的工作还是代数几何。代数几何研究的是代数方程(组)的解所表示的图形。从 R•Descartes发明解析几何算起,这门学科已经有将近四百年的历史了。二十世纪三 十年代,O.Zariski和B.L.van der Waerden把交换代数引进了代数几何。四十年代中期,We il将代数几何彻底地建立在抽象代数的基础上,并提出了著名的Weil猜想。后来的小平邦彦 (Kodaira)、F.Hirzebruch、J.-P.Serre等人也曾在这门学科中作出重大突破。 五六十年代,Grothendieck对代数几何进行了彻底的革命,发表了十几本巨著,建立了一 套宏大而完整的“概型理论”。Grothendieck的工作堪称代数几何的颠峰,他的著作被誉为 “Grothendieck圣经”。在概型理论的基础上,数学家们取得了一个又一个令人瞠目的成就 :1973年,P.Deligne证明了Weil猜想;1983年,G.Faltings证明了Mordell猜想;1995年,A.Wi les证明了谷山-志村(Taniyama-Shimura)猜想,进而解决了有三百五十多年历史的费尔马大 定理(Fermat's Last Theorem)。这些成就代表着当代数学的最高水平,足以光彪千古。对 此,Grothendieck功不可没。 Grothendieck是一个彻底的无政府主义者及和平主义者。他经常向那些来找他请教数 学问题的人作他的那一套政治宣传。六十年代,他被聘为法国高等科学研究所(Institut d es Hautes Etudes Scientifiques)的教授,但当他发现这个机构是由NATO(北大西洋公约组 织)出资支持的时候,便毅然辞职回乡务农去了。1970年的国际数学家大会上,苏联盲人数学 家L•S•

ontrjagin作关于“微分对策”的报告,其中谈到了用导弹追踪飞机的 问题。Grothendieck愤然走上台夺下话筒,抗议他在数学会议上提到军事。 G•H•Hardy曾说过:“真正的数学对战争毫无影响,……是一门‘无害而清 白’的职业”。或许Grothendieck就是因为这个原因才选择了数学。但是Grothendieck逐 渐失望地发现数学往往被用在军事上,象他所研究的代数几何就被用来编制密码,而且数学 研究大多直接或间接得到军方支持。这显然与他的理想背道而驰。于是在1970年,他便永久 地离开了他所喜爱的数学事业,转向了裁军活动和经营农场。到80年代,他干脆消失在这个 肮脏的世界上,只有他的少数朋友知道他的住址,但这些朋友们都守口如瓶。至今,Grothen dieck依然不知所终。 隐逸之士古已有之,但如Grothendieck这般,不恋荣华,功成身退,则亘古罕有。 发信人: redfx (阿基米德全集), 信区: Mathematics 标题: Re: [转载] Math Changed My Life-连载（九） 发信站: 飘渺水云间 (Tue Jul 30 09:23:49 2002), 转信 补充一点听来的东东 Grothendieck在做Dieudonne和L.Schwartz的学生之前已经非常有名气，因此他们都拿自己 没做出来的问题考他，结果被Grothendieck很快解决了。那时他20岁另外一个是Grothend ieck到法国一私立大学找工作，因为Grothendieck出名的难缠，该大学不想接受Grothend ieck，就把Grothendieck的成果寄到Princeton高等研究所作鉴定。Princeton高等研究所 的回复只有两句话：“XXX大学我们没听说过。Grothendieck我们都是知道的。”另外听说 Grothendieck两年前曾发表文章，措辞严厉地批评现在数学研究很浮躁， 水平不高。

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:40
Math Changed My Life-连载（十） 本篇介绍纳粹在二次世界大战期间对哥廷根数学家的迫害。 一百年前,D•Hilbert在巴黎国际数学家大会上所作的题为《数学问题》的报告 ,揭开了二十世纪数学的序幕,Hilbert也随之成为数学界当之无愧的领袖。那时,全世界有 志于学习数学的学生都会收到这样的忠告:“打起你的背包,到哥廷根去！”在Hilbert和F .Klein等人的努力之下,哥廷根大学成为世界上数学和理论物理研究的中心,可谓人材济济 ,盛极一时。 以Hilbert为代表的一批哥廷根的数学家们瞧不起应用数学。有一次,在听完 T.von.Kármán讲的应用数学课后,Hilbert对授课者说:“我仍旧不喜欢应用数学,不过听 听头脑灵活的人讲课总是件快事。”而Zermelo则干脆说:“Kármán,这班热衷于应用数学 的白痴中,只有你算是有教养的。” 但是,现实的世界并不像数学那样是非分明。1933年,纳粹在德国开始掌权。冲锋队大 队长出身的教育部长Rust扬言要使学校不再成为一个玩弄学术的机构,于是大批学者被从讲 坛上赶走。E.Landau失去了讲课资格,Hilbert的弟子O.Blumenthal和G.Gentzen则惨死在集 中营。H.Weyl、von Neumann、E.Noether、R.Courant、E.Artin、C.L.Siegel、M.Dehn、 F.Bernstein……等一大批哥廷根的数学家逃到了美国。Hilbert多年苦心经营建立起来的 哥廷根学派跌入了毁灭的深渊。后来Weyl在Princeton领导那里的高等数学研究所，Coura nt在纽约大学创立了Courant应用数学研究所。 法国在一次大战时，一大批优秀的青年数学家上战场当了炮灰，使法国数学研究出现 了一个时代的断层。但是哥廷根神话的毁灭却使德国数学直到今天还没缓过气来，德国只 有Faltings一人获得过Fields奖就是明证。 有一次,Hilbert和Rust共进晚餐。Rust得意洋洋地问Hilbert:“现在哥廷根的数学怎 么样？那里完全摆脱了犹太人的影响。”Hilbert没好气地回答:“哥廷根？这儿已经没有 什么数学了！”岂止是哥廷根！凡纳粹铁蹄所践踏之处,自由与公正都被剥夺殆尽,世界面 临着灭顶之灾。不能再犹豫了,用技术写就的法西斯不败神话,也要用技术来打倒！全世界 爱好和平的科学家们纷纷动员起来,以自己的知识来对抗法西斯。就连一向超然物外的数学 家们亦走出了象牙塔,加入到反对专制与暴政的战斗中。

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:41
Math Changed My Life-连载（十一） 这篇介绍苏美英数学家在二战中所起的巨大作用。 在苏联,一代数学泰斗柯尔莫哥洛夫开始研究枪炮的火力与轰炸;在英国,A.Turing领导 的一个小组破译了许多德军的密码;在美国,S.Lefschetz、O.Veblen等数学家都成为军方的 顾问……素有“神童”之誉的Wiener研究起了高炮射击和通讯工程,拓扑学家M.Ulam则在洛 斯阿拉莫斯实验室进行核试验中的数学计算,深受纳粹迫害的Courant也为消灭纳粹作了大 量工作。 在这些人中,von Neumann的经历是比较典型的。1940年以前,象大部分哥廷根的数学家 一样,von Neumann的研究集中在理论数学和理论物理。他在数理逻辑、测度论、遍历理论 、算子理论、群论、格论等方面均有卓越的贡献,并将量子力学的数学基础建立在了泛函分 析之上。这些成就已经足以使他跻身超一流数学家之列。 从1940年开始,由于军事的需要,von Neumann的注意力逐渐转移到应用数学上来。他在 阿伯丁弹道实验研究所、海军兵工局等单位担任顾问,并成为洛斯阿拉莫斯实验室的核心人 物之一。为了解决实际数据计算问题,von Neumann在矩阵计算、数值分析等学科中作了大 量奠基性工作。他还同Ulam等人一起,发明了Monte Carlo方法。Von Neumann相信,经济现 象是最复杂的现象,其中所要用到的数学也最高深。他是对策论和数理经济学的创始人之一 。1944年,他和O.Morgenstern发表的巨著《对策论和经济行为》,标志了现代数理经济学的 开始。此外,他还发展了线性规划方法。 不过,von Neumann最令人称道的工作是在计算机领域。他一直关注并指导世界上第一 台电子计算机ENIAC的设计。在他的两篇报告中,他提出了“存储程序原理”,并依此设计了 比ENIAC更先进的EDVAC机和IAS机。他也是自动机理论的创始人。现代主流计算机都采用了 存储程序原理,故被称作“von Neumann机”,von Neumann则被誉为“电子计算机之父”。 这些成就大都是因为战争的实际需要而发展起来的。当时很多数学家都象von Neuman n一样,在战争中遇到了新问题,并发展了新方法来解决这些问题。战争结束后,曾参与其中 的数学家们回到了自己的工作岗位上来。他们终于有时间深入地思考一下战争中遇到的那 些问题,总结当时使用的方法,进而极大地丰富了数学的内容。当然,世界仍然不太平,但那 是政客们的事,对于数学家来说,只要能心无旁骛地研究数学就足够了…… 美国国防部至今仍大力资助纯粹数学研究，认为今天基础数学研究的成果是对未来科 技发展所作的储备。

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:41
Math Changed My Life-（十二） “阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌五百年。” ---Hermite(1822-1901) 今年8月5日是著名数学家Abel诞辰200周年纪念日，虽然Abel在27岁时就去世了， 但他在数学上的成就足可彪炳史册。他在1824年证明了用根式求解五次方程不可能。他是 公认的椭圆函数论的创始人，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大 的贡献。 尽管家境贫寒，加上疾病缠身，早期的工作又得不到应有的重视，Abel至死仍坚持着 数学研究。 读着Abel的传记，令我触动最大的一段是： 　　“1829年4月5日夜间，阿贝尔的病情急剧恶化，于4月6日上午11点去世。然而命 运捉弄人的是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔“...我国教育部决定聘请您为柏 林大学教授...，一个月之内就能发出聘书...。”这封信还提到，希望阿贝尔能尽量用最 好的药物治疗，不要考虑费用支出。他的亲人们听到这一消息，禁不住泪流满面。” 后人给了Abel应有的公正评价。一位数学界权威在提到19世纪学术上最登峰造极的数 学家时，提到了4位数学家的名字，Gauss,Riemann,Abel,Poincare。 Abel是挪威人民的骄傲，挪威政府已出巨资设立Abel数学奖，以纪念自己伟大的儿子 。2002年，世界各地都将举办许多纪念Abel诞辰200周年的学术活动。 我准备用3-4篇文章介绍Abel的生平和数学成就。

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:41
Math Changed My Life-(十三) 本篇是Abel的较为详细的传记，可读性很好。 　　尼尔斯•亨利克•阿贝尔(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一个名叫芬 德的小村庄。有七个兄弟姐妹，阿贝尔在家里排行第二。他父亲是村子里的穷牧师，母亲 安妮是一个非常美丽的女人，她遗传给阿贝尔惊人的漂亮容貌。小时候由他父亲和哥哥教 导识字，小学教育基本上是由父亲来教，因为他们没有钱请不起家庭教师。 　　十三岁时，阿贝尔和哥哥被送到克里斯蒂安尼亚(即后来的奥斯陆)市的天主教学校靠 一点奖学金读书。在最初的两年，他们兄弟的成绩还不错可是后来教师枯燥的教学方式， 高压的手法，使得他们兄弟的成绩下降了。 　　1817年是阿贝尔一生的转折点。当时给他教数学的老师是一个好酒如命又脾气粗暴的 家伙，后因体罚而致死一名学生被解职，并由一位比阿贝尔大七岁的年青的教师霍姆伯厄 代替。霍姆伯厄本身在数学上没有什么成就，是一个称职但决不是很有才气的数学家。他 在科学上的贡献，就是发掘了阿贝尔的数学才能，而且成为他的忠诚朋友，给他许多帮助 。阿贝尔死后，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。 　　霍姆伯厄很快就发现了十六岁的阿贝尔惊人的数学天赋，私下开始给他教授高等数学 ，还介绍他阅读泊松、高斯以及拉格朗日的著作。在他的热心指点下，阿贝尔很快掌握了 经典著作中最难懂的部分。 　　在中学的最后一年，阿贝尔开始试图解决困扰了数学界几百年的五次方程问题，不久 便认为得到了答案。霍姆伯厄将阿贝尔的研究手稿寄给丹麦当时最著名的数学家达根。达 根教授看不出阿贝尔的论证有甚么错误的地方，但他知道这个许多大数学家都解决不出的 问题不会这么简单的解决出来，于是给了阿贝尔一些可贵的忠告，希望他再仔细演算自己 的推导过程。就在同时，阿贝尔也发现了自己推理中的缺陷。这次失败给他一个非常有益 的打击，把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否可能。后来他终于证明了五次 方程不可解，而那已经是他十九岁时的事情了。 　　1822年6月，阿贝尔靠着霍姆伯厄和其他教授们的帮助，在克里斯蒂安尼亚大学念完了 必须的课程，那时大学和城里人人都知道他是一个了不起的数学天才。可他的父亲已于两 年前去世，家里一贫如洗，没钱继续从事数学研究。他的老师和朋友们也很穷，无法再拿 出更多的钱资助他去当时世界数学的中心巴黎深造。 　　1823年夏，教天文学的拉斯穆辛教授给阿贝尔一笔钱去哥本哈根见达根，希望他能在 外面见识和扩大眼界。从丹麦回来后阿贝尔重新考虑一元五次方程解的问题，总算正确解 决了这个几百年来的难题：即五次方程不存在代数解。后来数学上把这个结果称阿贝尔-鲁 芬尼定理。阿贝尔认为这结果很重要，便自掏腰包在当地的印刷馆印刷他的论文。因为贫 穷，为了减少印刷费，他把结果紧缩成只有六页的小册子。 　　阿贝尔满怀信心地把这小册子寄给外国的数学家，包括德国被称为数学王子的家高斯 ，希望能得到一些反应。可惜文章太简洁了，没有人能看懂。高斯收到这小册子时觉得不 可能用这么短的篇幅证明这个世界著名的问题----连他还没法子解决的问题，于是连拿起 刀来裁开书页来看内容也懒得做，就把它扔在书堆里了。 　　阿贝尔在数学和天文学界的朋友们，说服大学去请求挪威政府资助这个年轻人，作一 次以数学为主要目的的欧洲之行。经过过分的慎重考虑之后，政府妥协了，但不是立刻派 阿贝尔去法国和德国，而是给他一笔奖金，让他在克里斯蒂安尼亚复习法语和德语。在延 误了一年半后，在1825年8月，皇家从窘迫的财政中拨出一笔钱当时二十三岁的阿贝尔，让 他足够在法国和德国旅行和学习一年。 　　阿贝尔在德国并没有去找在哥廷根的高斯，可能他觉得这个大数学家难以接近，也难 以帮助他，因为他以前的作品寄给他却得不到回音。1826年7月，阿贝尔离开德国到了法国 ，当时的法国皇家科学院正被柯西、泊松、傅里叶、安培和勒让德等年迈的大数学家们把 持，学术气氛非常保守，各自又忙于自己的研究课题，对年青人的工作并不重视。阿贝尔 留在巴黎期间觉得很难和法国数学家谈论他研究的成果。他曾寄过一份长篇论文给法国科 学研究院，论文交到了勒让德手上，勒让德看不大懂，就转给柯西。多产的柯西正忙着自 己的工作，无暇理睬，把论文随便翻翻丢在一个角落里去了。 　　阿贝尔的那篇论文《关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的论文》是数学史上重 要的工作，他长久的等待着消息，可是一点音讯也没有，最后只好失望回到柏林。在那里 他病倒了，他不知道自己已患上了肺结核病，以为是法国的孤寂生活使他身体衰弱。他只 剩下大约七元钱。他写了一封急信，延误了一些时间，从霍姆伯厄那里借来了一笔钱。阿 贝尔从1827年3月到5月，靠霍姆伯厄的大约六十元借款生活和从事研究。最后，当他所有 的来源都枯竭时，只好掉头回国。 　　1827年5月底，阿贝尔回到了克里斯蒂安尼亚。那时他不仅身无分文，还欠了朋友一些 钱。他的弟弟无所事事，用他的名字借了一些钱，他必须还清。于是，阿贝尔靠给一些小 学生和中学生补习初级数学、德语和法语赚点儿钱。没多久，阿贝尔很幸运地被推荐到军 事学院教授力学和理论天文学，薪水虽不是很多，却已经可以让他安心继续从事椭圆函数 的工作了。 　　这时，阿贝尔的身体越来越衰弱。在1828年夏天他一直生病发烧咳嗽，人也变的消沉 ，感到前途真是暗淡无光，而且无法摆脱靠他养活的家人的负担。他们直到最后一直缠着 他，实际上弄得他自己一无所有，可是直到最后他也从没有说过一句不耐烦的话。 　　挪威1828年的冬天很冷，阿贝尔穿上了所有的衣服，可是身体还是觉得冷。他咳嗽、 发抖，觉得胸部不适，但是在朋友面前他装作若无其事，而且常开玩笑，以掩饰他身体的 不舒服。 　　1829年14月6日，阿贝尔去世，身边只有未婚妻克里斯汀。 　　阿贝尔死后两天，阿贝尔将被任命为柏林大学的数学教授。第二年6月法国科学院颁给 著名的Grand Prix奖给阿贝尔。1830年柯西在旧书堆终于找出积满灰尘的阿贝尔的手稿， 1841年这篇史诗般的手稿又一次丢失，直到1952年才在佛罗伦萨被重新发现。 　　法国数学家厄米特(Hermite,任何学习过量子力学的人对这几个字母都不会陌生)在谈 到阿贝尔时说：“阿贝尔留下的工作，可以使以后的数学家足够忙碌五百年。”

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:41
Math Changed My Life-（十四） 这篇再贴一点关于Abel的故事，以纪念这位19世纪的天才数学家诞辰200周年。 失踪的手稿 　　阿贝尔在法国时，向巴黎科学院提交了一篇很长的论文。这就是勒让德后来用贺拉斯 的话描述为“永恒的纪念碑”的工作，也是厄米特说的阿贝尔留给未来多少代数学家的五 百年的工作。它是现代数学的一项登峰造极的成就。 　　1826年10月10日阿歇特把阿贝尔的这篇《关于非常广泛的一类超越函数的一般性质的 论文》呈交给巴黎科学院。勒让德和柯西被任命为评阅人。那时勒让德七十四岁，柯西三 十九岁。老手正在失去他的锐气，巨头正在他自我中心的顶峰。勒让德抱怨（1829年4月8 日给雅可比的的信）说“我们发觉这篇论文很难辨认；它是用淡得几乎是白色的墨水写的 ，字写得很糟，我们两人认为应该要求作者送一分写得整齐易读的来。”于是他把论文给 了柯西。柯西把论文带回家，不知放在什么地方了，完全把它给忘了。 　　由于某种奇迹，这篇论文在阿贝尔死后被发掘出来了。雅可比从勒让德那里听说过它 ，阿贝尔在回到挪威后曾经和雅可比通过信。在1829年3月14日写给勒让德的信中，雅可比 惊呼，“阿贝尔先生的这个发现是什么样的发现啊！……有谁看见过同样的东西吗？这个 发现，也许是我们这个世纪最伟大的发现，在两年前就交给你们科学院了，可你的同事们 怎么会没有注意呢？” 　　挪威得知了这个质问。挪威驻巴黎的领事就这份遗失的手稿提出了外交抗议。巴黎科 学院在1830年赔偿阿贝尔，让他和雅可比一起获得了数学大奖，然而，此时阿贝尔已经去 世了。 　　柯西在1830年从他的旧书堆找出了这积满灰尘的阿贝尔的手稿。可是不久七月革命爆 发，柯西溜到国外去，八年后才回来巴黎。论文最后发表在《法兰西科学院著名科学家论 文集》第七卷，一百七十六页至二百六十四页，但那已经是1841年了。在对待这篇史诗般 的著作方面极端无能的顶点就是编辑，或者印刷工，或者他们一起，相继在阅读清样以前 把手稿丢失了。 　　不是无意丢失的，有人因为知道阿贝尔文章的价值，故意把他的手稿偷掉，准备以后 能善价待沽。阿贝尔论文的原稿是被一个原籍意大利的法国数学家利布里（Libri）偷走的 。利布里是一个神气十足的小人，他利用所谓历史专家的身份，在编排法国文物时，盗卖 了一些文物到外国去赚钱。利布里是巴黎大学教授，还是科学院的成员。他知道阿贝尔手 稿的价值，盗取了三份。这个关于阿贝尔积分的重要手稿，直到1952年才在意大利的佛罗 伦萨被发现。

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:42
Math Changed My Life-（十五） 最近有点忙，姑且贴一篇不错的文章吧。是一个搞政策研究的学者在剑桥访问期间写 的，读来很有味道。 穿越牛顿桥 作者：曾剑秋 男, 湖南湘潭市人, 北京邮电大学教授，1998-1999国家公派留学英国剑桥大学高级访 问学者。主要研究电信产业技术经济与战略。在国内外发表“技术经济剖析法”，“电信 产业投入产出模型的应用研究”，“中国电信产业战略与政策”等学术论文三十余篇。出 版书稿十二部，其中《超常策略》、《国际贸易实务》、《金融危机与中国》、《电信资 费谁说了算？》以及《哈佛第一年》（译著）、具有一定的影响。主持完成十余项科研课 题。 一九九九年三月十六日下午三点十分，一位身着西服、里面的白衬衫显得有点皱皱巴 巴的瘦高个年轻人急匆匆地跨上一辆没有铃铛、链条打着链条护板的旧自行车，歪歪斜斜 、喀嚓喀嚓行驶在剑桥大学狭窄的米尔胡同（Mill lane）。他就是时年只有34 岁并与里 查德•波杰蒂斯（Richard Borcherds）教授一起获得一九九八年数学上的诺贝尔奖 -- 费尔茨奖（Fields Medals）的剑桥大学纯数学系教授蒂姆•高维斯（Tim Gower s ）。剑桥大学数学系就在米尔（Mill lane ）胡同边上一座显得有点破旧不堪的旧房子 里。就是这么一栋历史悠久的老房子，剑桥大学数学系还与国际工程制造系"合住"(Share ) 。走进这座牛顿曾经工作过的旧房子，狭窄的过道边排列着一间间狭小的办公室。这里 驻扎着一大批极富数学天赋的学子。一间很不规整、桌椅陈旧的教室里坐着一批从世界各 国来寻求数学博士学位的学生。走进地下屋，光线暗淡，地面不平，但从敞开门的办公室 里可以看到堆积如山的书、杂志和正在伏案工作的研究人员。他们就是在这样的环境里一 次又一次地摘取数学上的桂冠。在中国国内，报刊杂志、书籍、人们谈论的话题好象已经 归结为一种定式：中国国内的科学研究、工作环境如何之差，国外发达国家的科学研究、工作环境如何如何之好。其实，在许多硬件环境方面，中国国内不少高 Ｑ芯苛煊虿⒉槐裙?夥⒋锕?页勖?咝！⒀芯炕?共疃嗌伲?嗖畹闹饕?侨砑?肪撤矫妫 ??抑饕?枪芾硭?讲詈透丛拥娜思使叵怠 数学是科学的基础，也是生活的基石。人们生活中时时刻刻都要与数学打交道，睡觉 睡了几个小时，开车时速要达到多少英里，以及女人的金项链含金量是多少等。中国古代 的哲人形象地用一支筷子与十支筷子来说明数量与质量的深刻含义。一支筷子容易折断， 十支筷子捆到一起就很难折断，一滴水微不足道，一滴一滴水却可以汇成汪洋，威力无比 。数量、质量、力量的关系可谓相互依存、相互转换，既简单明了，又深奥复杂。这种以 数量为生长点的道理贯穿在生活中的每一个细节、每一个事件当中。 物理、化学、经济、管理，无论是自然科学，还是人文、社会科学，在其作为一门科 学存在、推进的过程中也必然要运用到数学知识。不说物理学牛顿力学中的万有引力定理 、爱因斯坦相对论中能量与质量、速度的数学公式，也不论化学中门捷列夫利用数学方法 发现自然界中的元素具有周期律，现代管理科学、经济科学在越来越多的定量化研究中成 长为令人信服的科学，数学知识的应用功不可没。一九六九年设立的诺贝尔经济学奖，首 先就将这象征科学的奖牌授予了丁伯根和费里希两位把数学引入经济学的教授。的确，数 学使科学的含义更为深刻、更为准确、更具有含金量。然而，在象征科学的"奥运"金牌-- 诺贝尔奖上却没有设立数学奖。这是科学家诺贝尔在设立诺贝尔奖时留下的遗嘱。为什么 不设立诺贝尔数学奖也就成为人们迷惑不解和揣摩猜测的话题。有一种说法认为诺贝尔一 辈子没有结婚，因为他年轻时深爱的恋人被一个学数学的情敌"夺"走了，因而留下了不设 诺贝尔数学奖的遗嘱；另一种说法认为诺贝尔相信实验科学，不喜欢数学游戏，诺贝尔本 人就是以发明炸药、从事物理化学试验作为自己一生的追求，数量的正确性依赖于反复、 多次的试验。还有一种解释是，诺贝尔非常看重数学，认为数学是科学上的皇冠，在他弥留之际设立诺贝尔奖时不设数学奖，是希望以后有人能设立一种含金量 ?叩氖澜绱蠼薄５?牵?嗣且丫?邮懿⑾肮吲当炊?蔽?澜缟献罡叩目蒲Ы保?谂当炊? 辈槐闵枇⑹?Ы钡那疤嵯拢?枇⒘艘幌钍?Уハ罱?-费尔茨奖，它等价于数学科学的诺贝 尔奖。费尔茨奖（Fields Medals ）由国际数学学会设立，每四年才评奖一次，从某种角 度看，费尔茨奖比一年一度的诺贝尔奖还要难取得。 看着骑自行车远去的蒂姆•高维斯教授的背影消失在米尔胡同的尽头，我转身朝 王后学院（Queens 'College）的方向走去。王后学院建于1465 年，初到剑桥参观王后学 院的游人往往不经意威武、气派的学院大铁门上金光闪闪的"Queens' College"（王后学院 ）上"Que ens'"采用的是英文复数。有的游人甚至认为在英文名词"Queen"后加"S" ，再带 一撇正好表示是一种所有格的关系，即表示"王后的学院"。实际上，采用复数表示的是两 位王后共同努力建成了这所学院。因此，王后学院全称是"圣玛格丽特及圣伯纳特王后学院 "（The Queen s' College of St Margaret and St Bernard）。 走进王后学院，可以见到一座古老的木桥，它跨越在剑河上显得那么陈旧。在剑桥这 座城市里居然还有这么一座似乎在偏僻的山区才能寻觅到的木桥，这就是牛顿桥，也称数 学桥。相传牛顿采用数学和力学的方法设计并建造了这座桥，桥上没有用一颗钉子。牛顿 的学生认为：牛顿老师能做到的事，牛顿的学生也能够做到。他们把这座桥拆了，可是怎 么也不能把这座桥不用钉子恢复成牛顿老师建筑的原样，最后不得不用钉子才重新将木桥 架好。这是一个流传久远的故事，其真实性已无从考证，但它代表了一种剑桥文化，那就 是亲身体验，只有试一试（try ）才能知道好坏，才能测出深浅。从化学系试验楼到卡文 迪什实验室，从生物系到管理学院，学术研究构成了剑桥大学的独特氛围。当问到什么是 搞研究时，无论是莘莘学子还是睿智的教授都会告诉你：" 去试验，试验，一次又一次， 反复的发现就是研究（Re-search）。" 踏上这座剑桥大学古老的木桥使人顿生一系列的联想，仔细端详这座富有传奇色彩的 牛顿桥使人联想起北京天安门前的金水桥。两桥设计的形态、坡度，甚至桥身长度都似有 异曲同工之处。耸立在北京天安门前的金水桥采用的是汉白玉，具有皇家气派；横跨剑桥 大学剑河上空的数学桥使用的纯木结构，显得古色古香。站在数学桥拱型面的最高处，想 象着牛顿曾经采用微积分的数学方法求出了这一点的极值，这一极值不仅是数学上的最优 点，而且也符合牛顿力学原理，其极值点在张力、稳定性等等方面均具有科学的依据，在 理论上论证无懈可击。数学桥两边的木栅栏大概也经过精心设计。各种条状的木块象小孩 搭的积木，看似不规则、不经意的三角形、长方形、菱形等几何图案事先都在牛顿的设计 纸上经过周密策划、计算。大科学家牛顿留给后人去了解、揭开他那 神奇的数学王国之谜，期待着来自外星球的"上帝"读懂数学这门放之宇宙而皆准的科学， 让他们惊叹这个蓝色星球智慧的深邃及其神奇的魅力。 数学桥下面是清澄如镜的剑河水，细细涓流荡漾着数学桥那多姿多彩的神奇图案。其 梦幻般的身躯更显活力，同时也能看到自己的脸和站立在数学桥当中略显放大的身影。有 人说，站在牛顿桥上借剑河水照镜子就能沾上剑桥的灵气和得到某种灵光，我虔诚地等待 着，象一个基督徒、象一个迷恋气功的人。但是除了淙淙流淌的剑河水声和微风吹拂着岸 边杨柳似情人絮叨的声音以外，数学桥显得格外的宁谧。数学桥的左侧是弯弯曲曲、由南 往北顺河而下的美丽剑河，一座接一座凌架在剑河上空的桥将"剑"与"桥"融入在一起。那 象征着剑桥人生生不息、孜孜不倦追求的浓浓热血，那表现剑桥人不屈不挠、独领风骚的 铮铮傲骨，构成了这幅世界驰名的剑桥图画。数学桥右侧还架设了一座连接剑河东、西两 岸的桥，东来西去的人们从这里进入热闹的剑桥城市中心，西来东往的人们从这里走向达 尔文学院、东方研究院、法学院、外语系、剑桥大学图书馆以及剑桥大学经济系。穿过数 学桥，人们可以很容易地找到剑桥城市中心最大的自由市场（Open Market ）。剑桥大学 数学家哈密尔顿曾经冥思苦想的"复数"（i或a+bi）问题就是在他漫不经心来到自由市场时 突然想起来的，可谓"得来全不费功夫"。 穿过数学桥和王后学院就来到了毗邻的国王学院（King's College）。国王学院富丽 堂皇的一角被称为"凯恩斯角"。凯恩斯是剑桥大学国王学院的学生，他在国王学院学习、 生活期间，经常在国王学院聚集爱好学术论争的同窗好友或学生、学者就一些共同感兴趣 的问题进行辩论，达到互相启发思维、分享智慧的目的。凯恩斯成为二十世纪杰出的经济 学家，得益于剑桥大学独特的学术氛围的熏陶。有人认为二十世纪有两个重要公式，一个 是爱因斯坦的相对论基本公式：E=mc2（能量=质量×光速的平方）；另一个则为凯恩斯关 于倍数或乘数理论的公式：K=1/（1-△Y/△C）（倍数=1除1减边际消费倾向率）。凯恩斯 利用这一倍数或乘数理论公式，从定量的角度阐述了消费与投资，各部门之间经济联系的 关系。例如，倍数公式认为：某一部门与企业的对外贸易出口或某一部门与企业的经济效 益会带动与其相关部门或企业的经济效益增长，而这种链式的经济 关系会带动整个国民经济成倍数的增长。 尽管凯恩斯提出的倍数公式应用到经济领域还显得有点"呆板"，有点牵强附会。但是 ，凯恩斯理论为西方国家从"大萧条"走向新的成长起到了指导作用。凯恩斯与爱因斯坦提 出的数学公式看起来很简单，但其链式关系却成为"热核爆炸"、"经济拉动"的基石。客观 而论，凯恩斯虽然热爱用数学公式来表达经济学的基本意义，而他的数学才能并非杰出无 比。凯恩斯善于利用比他更具有数学天赋的英才。拉姆塞是剑桥大学一位杰出的数学人材 ，他在剑桥大学求学期间，帮助凯恩斯对其经济理论进行数学证明。尽管拉姆塞只是一个 二十几岁的大学生，发表的论文也屈指可数，凯恩斯对拉姆塞论文的评价却非常高，凯恩 斯称拉姆塞为" 有史以来对数理经济学的最卓越的贡献之一。" 剑桥大学培养出来的数学 奇才数不胜数。世界上著名的数学大难题" 费马大定理，是包括数学家高斯在内的一大批 数学家多年来没有解决的问题。而毕业于剑桥大学的怀尔斯（Wile s）却解证了这一世界级数学上的奥秘。 数学的神奇力量在于应用，特别是应用到经济领域。一代伟人马克思不仅留下了他耗 费四十年撰写的巨著《资本论》，还留下了《数学手稿》这样一本不朽的著作。一批杰出 的英才以促进社会经济发展为己任，成功地把数学引入经济学研究之中，使经济学这门古 老的科学如虎添翼、熠熠生辉。华罗庚教授是举世公认的数学天才，1936年，华罗庚由中 国清华大学选派来到英国剑桥大学作为期两年的"访问学者"。在剑桥大学期间，华罗庚潜 心研究数论，解决了华林（Waring）问题，泰利（Tarry ）问题等数学难题，其杰出才华 在剑桥沃土上显露出来，在国际数学界引人注目。在剑桥大学这样一个世界顶尖数学家云 集的环境里，华罗庚不仅了解到了最新的数学研究动态、发展方向，而且在作出自己贡献 的同时也奠定了他回中国以"数学知识报效祖国"的基本信念。 我曾经与剑桥大学应用数学系的一位学者交谈，在谈到中国数学家华罗庚曾来剑桥大 学作访问学者时，这位学者竖起了大拇指，夸奖华罗庚教授在应用数学领域的杰出贡献。 华罗庚教授在二十世纪七十年代率先在神州大地推广、普及"优选法"和"统筹法"，他率领 中国科学院数学研究所等一大批专家走遍天南海北一百多个城市，以"0.618"为特征的"优 选法" 、"统筹法"为企业、为社会创造了巨大财富，也开创了"数学富国"、"数学强国" 的 提高经济效益之路。

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:42
Math Changed My Life-（十六） 这篇介绍剑桥大学的著名数学教授Timony.Gowers。值得一提的是，这位年轻时还曾得 过国际中学生数学奥林匹克竞赛的金牌。而北大的一大堆奥赛奖牌牌得主，到今天为止我 所知道的，1990年奥赛银牌的小姑娘颜华菲，她现在Texas A&M大学当助教，搞组合数学， 刚拿到今年的P.Sloan奖学金。还有那个曾以满分获得88年奥赛金牌的何宏宇，现在Texas 州立大学当助教。 T.Gowers (1963-) 高尔斯是英国数学家，1963年11月2O日生于马尔波洛。1982年进入剑桥大学攻读， 其后在剑桥读研究生，在匈牙利组合数学家博洛巴什（B.Bolloas）指导下，于199O年获博 士学位。1989—1993年任剑桥大学三一学院研究员，1991—1995年间在伦敦大学学院任教 ，1995年回到剑桥大学，在纯粹数学与数理统计系任教，同时兼任三一学院研究员。他是 英国皇家学会会员。 高尔斯的重要贡献在巴拿赫空间理论。用他1995年获得怀特海Whitehead）奖时的评语 说：他在过去五年中使得巴拿赫空间的几何完全改变了面貌。巴拿赫空间理论是192O年由 波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及 其推广，它们有许多重要的应用。但从那时起，遗留下许多基本问题有待解决，特别是与 超平面定理和施罗德—伯恩斯坦（Schroder-Bernstein)定理有关的问题，它们并不难懂， 可以看成康托尔（G.Cantor）无穷集合论到无穷维空间的推广。大多数巴拿赫空间是无穷 维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。因此，康托尔发现的关于无穷集合的两个定 理是否对无穷维空间也成立，自然成为大家关注的问题。 第一个是无穷集一定与其一个子集同势（即一一对应或等价），相应的巴拿赫空间定 理就是任何巴拿赫空间一定同它的超平面同构？而施罗德-伯恩斯坦定理是，如果X与Y的一 个真子集同势，Y与X的一真子集同势，则X与Y同势，相应的定理是，加工是Y的有补子空间 ，Y是X的有补子空间，则X与Y同构。高尔斯对这两种情形都举出反例，从而否定地解决了 这些基本问题。 高尔斯证明了一系列基本定理，例如，如果所有无穷维闭子空间都同构，则它是希尔 伯特空间；发现了所谓高尔斯二分法定理：任何无穷维巴拿赫空间不是包含具有无条件基 的子空间，就是包含一个子空间，其上每个算子都是指标为0的弗雷德霍姆（Fredholm）算 子。他的贡献还在于独特创新的方法——无穷的拉姆齐（Ramsey)理论。并不难懂，可以看 成康托尔（G.Cantor）无穷集合论到无穷维空间的推广。大多数巴拿赫空间是无穷维空间 ，可看成通常向量空间的无穷维推广。因此，康托尔发现的关于无穷集合的两个定理是否 对无穷维空间也成立，自然成为大家关注的问题。 第一个是无穷集一定与其一个子集同势（即一一对应或等价），相应的巴拿赫空间定 理就是任何巴拿赫空间一定同它的超平面同构？而施罗德-伯恩斯坦定理是，如果X与Y的一 个真子集同势，Y与X的一真子集同势，则X与Y同势，相应的定理是，加工是Y的有补子空间 ，Y是X的有补子空间，则X与Y同构。高尔斯对这两种情形都举出反例，从而否定地解决了 这些基本问题。 高尔斯证明了一系列基本定理，例如，如果所有无穷维闭子空间都同构，则它是希尔 伯特空间；发现了所谓高尔斯二分法定理：任何无穷维巴拿赫空间不是包含具有无条件基 的子空间，就是包含一个子空间，其上每个算子都是指标为0的弗雷德霍姆（Fredholm）算 子。他的贡献还在于独特创新的方法——无穷的拉姆齐（Ramsey)理论。

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:42
Math Changed My Life--(十七) 评--为何这次只有两个菲尔兹奖 2002年菲尔兹奖已经揭晓，Lafforgue和Voevodsky获奖，空缺2个名额。这种情况在菲 尔兹奖历史上是第一次。谈一点个人看法。 菲尔兹奖初创的时候只有每届2个名额，后来在1966年增加到了不超过4个，我印象中只 有1984年时出现过空缺，那一届只有Connes,Thurston,Yau 3个人得奖，可以说当时其他的 候选人和他们相比有不小的差距。 90年时Witten的当选是有很多议论的，最后还是Atiyah主持了公道。现在看来，如果当初 没有Atiyah的慧眼，Witten真是很冤的。 1994年的菲尔兹奖Bourgain,Yoccoz,Lion,Zalmanov其中前3个都是法国人，当时曾有过争 议，因为那时是法国人当国际数学家联盟的主席。而且Lion是搞应用数学的，很多数学家 都对他不太了解。Yoccoz的复动力系统也不算很核心的数学。Bourgain的当选倒是可以让 人信服的。为何94年的时候不空缺呢？ 1998年，Borcherds,Gowers是那种天才的数学家，解难题的高手，在有限群论，Banach空 间几何这些相对冷僻的分支里作出了突破，当之无愧。 Mcmullen虽然是复动力系统方面的大牛，但他关键还是因为受到了Milnor等人的支持。剩 下的Tian Gang和Kontsevich，Tian Gang 97年的时候刚拿了Veblen奖，在国际微分几何学 界也算是一个领袖人物，得菲奖的呼声也很高。而Kontsevich虽然比田刚小5岁，但在97， 98年的时候正是他上升势头最猛的时候，就在菲尔兹奖评选前他还作出了很好的工作，就 这样吸引了大家的目光。最后以很小的优势取胜。田刚的失利也和Yau并不支持他有关。所 以有一些大佬的支持是很重要的事情。 2002年，Taylor绝对是外人眼中的热门之一，他除了协助解决FLT外，还合作证明了局 部 Langlands猜测和Taniyama-Shimura猜测。当然Lafforgue和Voevodsky的当选无话可说 ，都是各自领域中的大师级人物. 个人觉得Taylor比较擅长处理局部技巧，但很难说他在 算术代数几何这个领域称得上绝对权威。所以他的第一轮被淘汰应该还是实力的原因。而 且一个好的数学家一定要有自己独立的工作，比如Yau的Calabi猜测，Thurston的3维几何 拓扑，而Taylor主要的工作都是与别人合作的，很难说他在其中唱了主角。还有田刚，他 的工作虽然涉及的领域很广，但缺少重量级的成就，许多好的工作也是和别人合作的，和 阮勇斌证明的退化情形的Arnold猜测，在Kahler几何方面也主要是走了Yau的路线。Konts evich受Witten的影响很大，所以研究几何问题会用到许多物理工具，这里就有许多独创， 所以深的一群大佬的赏识。 如果忽略年龄的因素，以田刚98年时的实力角逐这届菲尔兹奖，他应该会比Taylor有优势 的。但和今年得奖的Lafforgue和Voevodsky相比可能还是有一些差距，那么就要看东道主 的面子是否足够大了，呵呵。好象90年时候Mori的当选有讨好东道国之嫌一样，呵呵。

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:42
Math Changed My Life-(十八) 这篇是介绍拓扑学中的扭结理论(Knot Theory)在DNA分子结构中的应用的。其中的一个 挑战就是通过观察酶在DNA的几何和拓扑结构变化中所起的作用，来推导酶的作用机理。 Mathematics of DNA Why is DNA packed into twisted, knotted shapes? What does this knotted st ructure have to do with how DNA functions? How does DNA ``undo'' these complic ated knots to transform itself into different structures? The mathematical the ory of knots, links, and tangles is helping to find answers. In order to perform such functions as replication and information transmission, DNA must transform itself from one form of knotting or coiling i nto another. The agent for these transformations are enzymes. Enzymes maintain the proper geometry and topology during the transformation and also ``cut'' t he DNA strands and recombine the loose ends. Mathematics can be used to model these complicated processes. In an article published in the May 1995 issue of the Notices of the AMS, " Lifting the Curtain: Using Topology to Probe the Hidden Action of Enzymes," mathematician De Witt Sumners discusses these problems. Sumners has worked for a number of years with molecular biologists to help them unravel some of the mathematical problems presented by DNA structure. ``The description and quantization of the three-dimensional structure of DNA and the changes in DNA structure due to the action of these enzymes have r equired the serious use of geometry and topology,'' Sumners writes. ``This use of mathematics as an analytical tool is especially important because there is no experimental way to observe the dynamics of enzymatic action directly.'' A key mathematical challenge is to deduce the enzyme mechanisms from obse rving the changes the enzymes bring about in the geometry and topology of the DNA. ``This requires the construction of mathematical models for enzyme action and the use of these models to analyze the results of topological enzymology experiments,'' the article says. ``The entangled form of the product DNA knots and links contains information about the enzymes that made them.''

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:43
Math Changed My Life-(十九) 附： Florida数学系主任De Witt Sumners的文章 全文见http://www.ams.org/notices/199505/sumners.pdf Lifting the Curtain: Using Topology to Probe the Hidden Action of Enzymes One of the important issues in molecular biology is the three-dimensional s tructure (shape) of proteins and deoxyribonucleic acid (DNA) in solution in th e cell and the relationship between structure and function. Ordinarily, protei n and DNA structure is determined by X-ray crystallography or electron microsc opy.Because of the close packing needed for crystallization and the manipulati on required to prepare a specimen for electron microscopy, these methods provi de little direct evidence for molecular shape in solution. Topology can shed light on this key issue. The topological approach to enzy mology is an experimental protocol in which the descriptive and analytical pow ers of topology and geometry are employed in an indirect effort to determine t he enzyme mechanism and the structure of active enzyme-DNA complexes in vitro (in a test tube).We describe how recent results in 3-dimensional topology [3, 5, 9, 10, 11] have proven to be of use in the description and quantization of the action of cellular enzymes on DNA.

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:44
Math Changed My Life-(二十) 这篇介绍由于Seiberg-Witten方程的发现，给4维流形几何学带来的巨大推动。以Wit ten为代表的一批理论物理学家的工作开始对现代数学产生巨大影响。21世纪的数学，Str ing Theory无疑将是主角之一。 A Revolution in Mathematics During 1994 and 1995, mathematics witnessed a revolution in the study of four- dimensional topology. Sparking this revolution was a new set of equations, kno wn as the Seiberg-Witten equations, which grew out of work in theoretical phys ics. These equations have simplified much of the existing theory of four-dimen sional shapes, known as manifolds, and have led to some spectacular new result s. To try to understand what a four-dimensional manifold is, it helps to consider lower-dimensional manifolds first. Two simple examples of two-dimensional man ifolds are the surface of a ball or of a doughnut. Imagine you are standing on one of these surfaces and you are very small compared to the surface: you wou ld see only a small patch of the surface, and that patch would look very much like a flat, two-dimensional plane. The definition of a two-dimensional manifo ld amounts to making mathematically precise the notion that small portions of the surface look like a flat plane. Similarly, a three-dimensional manifold--- such as the interior of a sphere or of a doughnut---have the property that small portions of them look like three-dimensional space. Four- dimensional manifolds, though much more difficult to visualize, are neverthele ss easily defined mathematically in an analogous way, as are higher-dimensiona l manifolds. In the nineteenth century mathematicians already understood that two-dimension al manifolds can be classified according to the number of holes they have(e.g. , the surface of a ball has zero holes, the surface of a doughnut has one hole , etc.). This means that if two, two-dimensional manifolds have the same numbe r of holes, no matter how different they might otherwise look, they are, in a fundamental, mathematical sense, the same. A long-standing aim in topology---t he branch of mathematics concerned with manifolds---has been to provide this k ind of classification for manifolds in dimensions larger than two (in other dimensions the distinguishing characteristic would not necessar ily be the number of holes, but some other mathematical property). These class ifications are the least understood in exactly those dimensions that are impor tant in physics---the usual three dimensions of our physical world, and the fo ur dimensions of space-time. So it is natural that mathematicians have turned to ideas from physics, like the Seiberg-Witten equations, to help them underst and manifolds of these dimensions. For the past decade or so, one of the main tools for understanding such questions has been a theory developed by the math ematician Simon Donaldson (Oxford University) and based on ideas from gauge th eory in physics. While Donaldson theory produced some spectacular results, it was from technically extremely difficult. When the Seiberg-Witten equations bu rst onto the scene in the fall of 1994, mathematicians were well prepared to p ut the new tools to immediate use: they had already cut their teeth on the much more difficult theory of Donaldson. It was in a lecture in September 1994 that mathematical physicist Edward Witte n (Institute for Advanced Study, Princeton) first conjectured that certain equ ations that arose out of his joint work with physicist Nathan Seiberg (Rutgers University) might contain all of the information found in Donaldson theory. T his idea was quickly taken up by a number of mathematicians, most notably Pete r B. Kronheimer (now at Harvard University), Tomasz S. Mrowka (California Inst itute of Technology), and Clifford H. Taubes (Harvard University). Within week s startling results were found. The Seiberg-Witten equations have been used to simplify and generalize most of the results obtained through Donaldson theory. One important new result shows that there are strong restrictions on the geometry and topology of an importa nt class of manifolds called symplectic manifolds. The Seiberg-Witten equation s have also been used to prove a long-standing question, known as the Thom Con jecture, about what kinds of two-dimensional surfaces can occur inside a four- dimensional manifold. As important as these results have been in mathematics, the saga of the Seiber g-Witten equations is far from over. In fact, physics suggests a whole class o f equations of which the Seiberg-Witten equations are only the simplest. This new class of equations is sure to bring to light new discoveries and ins ights.

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:44
Math Changed My Life-(21) 数学理论不是虚无，不着边际的，其最终目的都是为了解决数学，物理或者工程应用上 非常Concrete的problem. 当年Grothendieck创立抽象代数几何，特别是庞大的Scheme体系的时候，也有人对他的 理论的过分抽象不解，可是很快Grothendieck的理论就发挥了价值，他不但第一次给出了 著名的Riemann-Roch定理的代数证明，而且间接导致了Deligne在他的理论基础上证明了著 名的Weil猜测。更近一点的，Faltings证明Modell猜测，Wiles证明Fermat大定理 这些当代数学的最高成就的取得都是建立在他的理论基础上的。20世纪的代数几何学涌现 了许多天才和菲尔兹奖，但是上帝只有一个，就是Grothendieck。他的系列专著EGA是公认 的代数几何圣经。 还有2002年的2位菲尔兹奖之一的Voevodsy，是搞代数几何的，他研究的理论很抽象， 一直都没有引起大家的重视，直到他用自己的理论证明了K理论中著名的Milnor猜测以后， 他的工作才开始受到重视，他也一下从美国西北大学的副教授成了普林斯顿的终身教授。 所以数学不是玄学，不要老是盘算着搞出一套玄乎的理论，梦想以后或许有用。现在的 年轻人若有志于数学研究，应该静下心来多读些数学上的经典名著，把自己的基础打得扎 实一点。历史证明，天才的理论不是信手拈来的，Galois读中学时就研读过Legendre，La grange这些大家的著作。Weil在读了Gauss和Riemann的大堆手稿后，提出了推动20世纪代 数几何大发展的Weil猜测。 所以上面这篇伤心者的文章，我认为没有可取之处。数学的各个分支上都有无数的难题 尚待解决，把理论建立在凭空的基础上是没有意义的。如果真的有心在数学上有一番建树 ，潜心研究那些大的Open Problem才是正道。 作为研究自然界秩序的数学科学的每一次进步都会在史册上留下一位数学家的名字。A bel,Gauss,Riemann,Poincare,Hilbert,Weyl,Grothendieck, Weil, Kodaire, Cartan, . .... 在金钱膨胀的现代社会，却总有那么一批为人类理性思维工作着的数学家，他们是真正英 雄！！ We must know, we will know！！ 标题: Re: Math Changed My Life-(21) 发信站: 北大未名站 (2003年09月16日22:20:44 星期二), 转信 Voevodsky 是 IAS 的教授, 不是普林斯敦的教授. 他是年少就有天才声誉的, 而且他的理 论也一直受到很高的重视.他证明 Milnor 猜测是早在 97 年或更早的事了. 1998 年就有 很多人揣测他要拿当年的菲尔兹奖. 他当时没拿奖的原因, 是因为他不是很积极的写下他 的工作.他长时呆在西北大学, 一方面是他懒的离开芝加哥, 一方面是西?在他这个方向真 的很强.要挖他的好学校一直很多. 这几年, 他写下他的工作的比较多细节,没写下的部分 , 听说 Deligne 也都听他解释过并认可了.因此, Deligne 把他挖到 IAS, 而那时, 所有 的人都看出这次他一定会拿到非尔资奖.

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:44
Math Changed My Life-(22) 2002年8月前后，印度理工学院的Agrwal教授和两个计算机专业的本科学生合作， 第一次给出了素数判定的多项式算法。 "New Method Said to Solve Key Problem in Math"也上了纽约时报的头版头条。 他们的证明方法很初等，只用到了一些数论和有限域的工具，给出的算法也只有13行。 Agrawal教授今年37岁，主要研究算法复杂性。那两个本科生Neeraj Kayal和Nitin Saxen a现在都留校读博了。两个人还都曾经代表印度参加过97年的国际中学生数学奥林匹克竞赛 。 他们的文章预印本发表后，Dan Bernstein等数论学家对其中的主要结果的证明作了很 大的改进。现在据说Agrawal已经在和Peter Sarnak联系，想把他们的文章作些改进，发表 到Annal of Math上去。 这项工作引起了学术界很大的关注，也为此专门召开了许多有关算法数论的国际会议 。Agrawal教授也和微软研究院的概率论学家Schramm分享了2002年的Clay数学奖。印度理 工学院校长Sanjay Dhande在听说Agrawal的工作上了纽约时报的头条以后，非常兴奋，说 Agrawal将会成为2006年菲尔兹奖的热门人选。不过偶个人认为，他们的工作和主流数学相 去甚远，不太可能获Fields奖。 到目前为止，他们的工作只有理论上的价值，因为其中涉及到的常数非常之大，实际上 AKS算法在速度上要远远逊色于现在一些通用的素数判定算法，所以不会如某些媒体报道的 那样会对现有的密码体制产生威胁。 结束语 印度虽然经济不算发达，但是学术水平在亚洲首屈一指，仅次于日本，印度拥有世界 第三大的大学系统和享有国际盛誉的Tata基础科学研究所(TIFR)。

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:45
Math Changed My Life-(23) 美国，法国，英国，日本以及德国是公认的数学大国。日本的数学在20世纪后半叶进 步很快，尤其在代数，微分几何，代数几何等领域日本数学家都做出了巨大的贡献。Koba yashi和Nomizu的两卷本Foundations of Differential Geometry是微分几何的经典教材。 1960年仅37岁就因病去世的Yamabe是当时几何分析领域的绝对权威。日本数学家Oka在二十 世纪三，四十年代解决了一系列多复变函数论的难题，被法国著名数学家H.Cartan誉为su per-human task。代数数论中Iwasawa理论就是日本数学家岩泽健吉的杰作，成为后来Wil es证明费马大定理的主要工具之一。 这篇介绍一下日本的数学家。 ●日本历史上的著名数学家有 ◇日本数学家高木贞治(Takagi Teiji 1875－1960)创立类域论，1927年合作解决 Hilbert第9问题。 ◇日本数学家永田雅宜(M.Nagata )1958年给出Hilbert第14问题的反例。 ◇1927年提出的谷山丰-志村五郎(Taniyama-Shimura)猜想最终导致了费马大定理的 完全证明。 ●近年来在国际数学家大会上做过一小时报告的日本数学家 ◇2002 Nakajima Hiraku (Department of Mathematics, Kyoto University, Japan) 数 学物理，群表示论 ◇1998 Tetsuji Miwa (RIMS, Kyoto University, Japan): Integrable Systems, Infinite Dimensional Algebras Algebraic Analysis of Solvab le Lattice Models ◇1990 Shigffumi Mori ●获得菲尔兹奖的日本数学家有3位 ◇小平邦彦(Kodaira Kunihiko 1915-1997) 　　出生日期（获奖时年龄）：１９１５年３月１６日（３９岁）。 　　获奖年度、地点：１９５４年于阿姆斯特丹。 　　获奖前后的工作地点：普林斯顿高等研究所。 　　主要成就：推广了代数几何的一条中心定理——黎曼－罗赫定理；证明了狭义卡勒流 形是代数流形，得到了小平邦彦消灭定理。 ◇广中平祐(Hironaka Heisuke 1931-- ) 　　出生日期（获奖时年龄）：１９３１年４月９日（３９岁）。 　　获奖年度、地点：１９７０年于尼斯。 　　获奖前后的工作地点：哈佛大学。 　　主要成就：完全解决了任何维数的代数簇的奇点解消问题，建立了相应定理，并把这 一结果向复流推广，对一般奇点理论作出了贡献。 ◇森重文(Shigffumi Mori 1951-- ) 　　出生日期（获奖时年龄）：１９５１年２月２３日（３９岁）。 　　获奖年度、地点：１９９０年于京都。 　　获奖前后的工作地点：京都数学科学研究所。 　　主要成就：三维代数族的分类。他建立了一种三维代数簇的分类研究，发现了一些变 换，它们正好只存在于至少三维的情形——被称为“ｆｌｉｐ”，从而更新了广中平祐对 奇点的研究。 ●获得沃尔夫奖的日本数学家有3位 ◇小平邦彦(Kodaira Kunihiko 1915.3.15-1997.7.26) 小平邦彦1915年3月15日生于东京，1935年入东京大学数学系学习，在大学期间已经 自学当时很时髦的抽象代数学和拓扑学的著作，并且做出这方面的论文，1938年毕业后又 到物理系学习，但主要还是自学数学，1941年毕业后在东京文理科大学任助教授和东京大 学助教授， 1949年获理学博士学位，他在战时和战后的研究工作是把大数学家外尔（H.W ey1)的黎曼面理论推广到高维，即所谓调和积分理论，这个工作被外尔称赞为“伟大的工 作”。外尔邀请他到普林斯顿高等研究院工作，小平于1949年8月赴美，在普林斯顿高等研 究院任研究员（1949—1953，1956—1961），并先后在普林斯顿大学（1953—1961）、哈 佛大学（1961—1962）、约翰•霍普金斯大学（1962一1965〕。斯坦福大学（1965— 1967）任教授，1967年他回到日任东京大学 教授，1977年退休任学习院大学教授，1987年退职，1997年7月26日去世。 小平邦彦在美期间取得代数几何学上一系列成就，主要是把黎曼•洛赫定理推广 到代数曲面，证明狭义凯勒（kahler）流形是代数流形，证明小平消没定理。他同斯潘塞 （D.C.Spencer）合作把黎曼的参模理论推广成高维复结构的变形理论，并把代数曲面的分 类扩展到复解析曲面的分类，特别证明除直纹面之外极小模型存在，小平维数和极小曲面 成为向高维推广的关键。他的变形理论是代数几何学和复解析几何学的重要方向。小平邦 彦被认为是日本产生的最伟大的数学家， 他是日本学士院院士和美国等科学院的院士，他不仅获得菲尔兹奖，而且获1984／1985年 度沃尔夫数学奖。 ◇伊藤清(It\^o, Kiyosi, 1915.9.7--) 日本数学家.生于三重县.1935年到1938年在东京大学数学系学习,1939年到1943年在 政府统计局工作.其间研读概率论并发表两篇论文.1943年到1952年在名古屋大学任副教授 ,1945年获理学博士学位.1952年起在京都大学任教授直到1979年退休.其间他多次去国外访 问:普林斯顿大学(1954--1956);斯坦福大学(1961--1964);丹麦Aarhus大学(1966--1969); 美国Cornell大学(1969--1975)等.1979年到1985年到学习院大学工作,其后在美国明尼苏达 大学数学及其应用研究所工作一年.伊藤清的工作集中于概率论,特别是随机分析领域.早在 1944年他率先对Brown运动引进随机积分,从而建立随机微积分或随机分析这个新分支.195 1年他引进计算随机微分的伊藤公式,后推广成一般的变元替换公式,这是随机分析的基础定 理.同时他定义多重Wiener积分和复多重Wiener积分.伊藤还发展一般Markov过程的随机微 分方程理论,他还是最早研究流形上扩散过程的学者之一.由此他得到随机微分的链式法则 ,以及随机平行移动的观念,这预示1970年随机微分几何学的建立.面对一般的Markov过程的 鞅论方向、位势论方向以及其他各种推广,伊藤都进行了一些研究,例如1975年他导出伊藤 积分和 Stratonovich积分的关系,以及无穷维随机变元情形的推广.他证明对Banach空间值随机 变元,独立随机变元和弱收敛与几乎确定收敛等价.他还以此为工具研究无穷维动力系统理 论. 伊藤是日本学士院会员(1991),曾获日本学士院赏恩赐赏(1978).因在概率论方面的奠基性 工作而获1987年Wolf奖. ◇佐藤幹夫(MIKIO SATO 1928.4.18--) 获得2003年沃尔夫奖 Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University, Kyoto, Japan, for his creation of algebraic analysis, including hyperfunction and mic rofunction theory, holonomic quantum field theory, and a unified theory of sol iton equations;

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:46
Math Changed My Life-(24) Fields奖作为国际数学最高荣誉更看重获奖者研究成果的深度，论文数量不是评估的指 标。 2002年获奖的法国数学家36岁的Lafforgue发表的论文总共只有9篇。 下面贴的是几位获得Fields奖的数学家的最具代表性的论文。其至少占了获奖因素的 80%-90%。有成就数学家工作都是很勤奋的，每天做学问的时间往往在10小时以上，几十年 如一日。如Grothendieck,Thompson等。 ◆H.Hironaka,日本,1970年Fields奖 论文 Resolution of singularities of an algebraic variety over a fieldof characteristic zero: I, II, Ann. of Math.(2) 79 (1964), 109-326. 说明 Grothendick once claimed orally that Hironaka's work is the most complicated mathematical work. This is rightly so. After a quarter of a century, nobody has been successful in simplifying the web of inductions in Hironaka's work. This is truly amazing. ◆P.Deligne, 法国,1978年Fields奖 论文 La conjecture de Weil, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 48 (1974), 273-308. La conjecture de Weil. II, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 52 (1980), 137-252. 说明证明了当时代数几何的中心问题Weil猜测。 ◆S.T Yau,美国，1984年Fields奖 论文 　　On the Ricci curvature of a compact Kahler manifoldand the complex Monge-Ampere equation, I, Comm. Pure and Appl. Math. 31 (1978), 339-411. 说明证明了代数几何中非常重要的Calabi猜测。 ◆L.Lafforgue,法国，2002年获Fields奖 论文 Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands Inventiones mathematicae, 2002, 147 (1) January, p. 1-242 说明推广了1990年Fields奖得主Drinfeld的工作，证明了函数域的Langlands猜想 ◆G.Faltings,德国，1986年获Fields奖 论文 Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern, Invent. Math. 73:3 (1983), 349-366. 说明证明了Diophantine几何中非常重要的Mordell猜测 ◆A.Wiles,英国，1998年获Fields特别奖 论文 Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem The Annals of Mathematics, 142(1995),443-551 说明证明了Fermat大定理，其理论对算术代数几何贡献巨大。 ◆M.H Freedman,美国，1986年获Fields奖 论文 topology of four-dimensional manifolds, J. Diff. Geom. 17 (1982), 357-453. 说明证明了4维流形广义Poincare猜测。 ◆S.Donalson,英国，1986年获Fields奖 论文 An application of gauge theory to four-dimensional topology,J. Diff. Geom 18 (1983) 279-315. 说明证明了4维欧氏空间存在非标准光滑结构。 ◆J. Milnor, 美国，1966年获Fields奖 论文 On manifolds homeomorphic to the 7-sphere, Ann. Math. 64 (1956), 399--405 说明证明7维球面上存在怪球结构 ◆S.P Novikov, 前苏联，1970年获Fields奖 论文 Topological invariance of rational Pontrjagin classes, Dokl.Akad.Nauk SSSR 163(1965) 298-300 (Soviet Math. Dokl. 6 (1965) 921-923). 说明证明有理Pontrjagin示性类的拓扑不变性。 ◆S.Smale, 美国，1986年Fields奖 论文 Generalized Poincare Conjecture in dimensions greater than four, Annals of Math 74 (1961) 391-406 说明证明5维以上流形的广义Poincare猜测。 ◆E. I. Zelmanov，前苏联，1994年 论文 [1]The solution of the restricted Burnside problem for 2-groups. Mat. Sb., 182:568-592, 1991. [2] The solution of the restricted Burnside problem for groups of odd exponent. Izv. Math. USSR, 36:41-60, 1991. 说明证明群论中著名的Burnside猜想。 ◆G.Thompson, 美国，1970年Fields奖 论文 [1] Feit, W. and Thompson, J. G. "Solvability of Groups of Odd Order." Pacific J. Math. 13, 775-1029, 1963. [2] Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable. I, II, III,IV, V, VI, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), 383–437; Pacific J. Math. 33 (1970),451–536; Pacific J. Math. 39 (1971), 483–534; Pacific J. Math. 48 (1973), 511–592;

acific J. Math. 50 (1974), 215–297; Pacific J. Math. 51 (1974), 573–630. 说明文[1]证明奇数阶群必可解。[2]中系列论文对有限单群分类做出巨大 贡献Thompson还有其他好的工作，比如在博士论文中证明Frobenius猜测。 ◆Paul Cohen,美国，1966年获Fields奖 论文 Cohen, P. J. The Independence of the Continuum Hypothesis.

roc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 50, 1143-1148, 1963. Cohen, P. J. The Independence of the Continuum Hypothesis. II.

roc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 51, 105-110, 1964. 说明证明公理集合论中的连续统假设不可判定。详细可以看他的书 Cohen, P. J. Set Theory and the Continuum Hypothesis. New York: W. A. Benjamin, 1966. ◆E. Bombieri，美国，1974年获Fields奖 论文 [1]E. Bombieri, E. De Giorgi, E. Giusti, Minimal cones and the Bernstein problem, Invent. Math. 7 (1969), 243-268. [1] E. Bombieri, On the Large Sieve, Mathematika, 12 (1965), 201-225 说明论文[1]中证明微分几何中的Bernstein问题在8维以上存在奇点。 论文[2]中简洁证明Goldbach猜想的1+3 据说 Deligne 懂的东西非常多. 所有他引用过的结果, 或是他引用过的结果证明中需要引 用的结果, 他都会证明.也就是说所有他自己的东西, 他都可以从集合论公理出发,给你完 整的证明. 有很多文献上找不到的东西, 或文献中有漏洞, Deligne 的柜子里都有手稿, 不由你不叹服. 不过, 还是有个例外. Deligne 常常需要用 Hironaka 的大定理,而这个证明, Deligne 没 有去读懂. 这是唯一的例外.所以 1995 年 de Jong 的著名论文发表后, Deligne 很高兴 . 因为 Deligne 过去要用 Hironaka 定理的地方, 都可以改用 de Jong 定理,而后者的文章 对 Deligne 来讲是很容易的.

作者: 令狐药师 时间: 13.9.2006 14:47
Math Changed My Life-(25)
谈一点关于最近传说的Poincare猜测的证明。
这个俄国人用的是96年和田刚一起获Veblen奖的Hamilton的Ricci flow那套理论，把一个拓扑的问题和几何分析联系起来了。浙大的盛为民可能对Ricci flow有研究。80年代的天才数学家Thurston提出的椭圆化猜测把Poincare猜测包括进来作为了一个特例。
Porelman教授的工作单位是俄罗斯的Steklov研究所，他最近在MIT做了一系列的演讲，介绍他的论文，田刚正好是MIT的Simon讲座教授。不过好像说他的论文还有一些技术上的困难需要克服，有几个结论是作为猜测给出的。不管怎么说，Porelman的文章对Ricci flow的研究是一个很大的贡献。如果这次Poincare猜测真的被证明了，那么按Clay数学所的规定，至少Hamilton和Thurston也应该分到100万美金中的一部分。
做数学就需要这种精神，能够投身于自己所热爱的事业中去，是最大的幸福。而且只要能坚持付出，终将有所回报。探索科学的奥秘所带来的身心愉悦，是多少金钱都换不来的。 我要告诉大家的是，真正的数学家人生路上每一天都充满了挑战，研究数学是一个不断攀登思维新境界的过程。能做出好的成绩固然重要，但真正吸引数学工作者的却是学习，钻研数学过程中的巨大的创造性的乐趣。
一个人有多大的才能，就应该做多大的事！--By Yau
1. 名字是 Perelman.
2. 此人最有名之处, 是近八年来没有职业, 窝在家里一心搞 Poincare conjecture. 如果任职 steklov 研究所, 应该是很新的新闻. 有点怀疑...
3. Perelman 潜伏八年, 没有完全解决问题不会跑出来声张的. 这里说的有结论是作为猜测给出, 应该是大半年前的旧闻. 那时他贴出搽虭篇文章, 大家都在揣测他想干嘛. 他现身做了很多系列演讲之后, 是很坚定的宣称 Poincare conjecture 已解决, 不依赖猜测.
4. 田刚是 Simons 教授.

[ 本帖最后由令狐药师于 5.9.2007 16:29 编辑 ]

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